Вступ
Уявіть, що перед вами тягнеться сітка з шестикутників, схожих на соти. Деякі шестикутники порожні; інші заповнені 6-футовою колоною з міцного бетону. У результаті виходить своєрідний лабіринт. Понад півстоліття математики ставили питання про такі випадково згенеровані лабіринти. Яка велика мережа розчищених доріжок? Яка ймовірність того, що існує шлях від одного краю до центру сітки та назад? Як ці шанси змінюються, коли сітка збільшується в розмірах, додаючи все більше шестикутників до її країв?
На ці запитання легко відповісти, якщо є або багато порожнього простору, або багато бетону. Скажімо, кожному шестикутнику призначається його стан випадковим чином, незалежно від усіх інших шестикутників, з імовірністю, яка є постійною по всій сітці. Імовірність того, що кожен шестикутник порожній, може бути, скажімо, 1%. Бетон заповнює сітку, залишаючи між собою лише невеликі кишені повітря, що робить шанс знайти шлях до краю фактично нульовим. З іншого боку, якщо ймовірність того, що кожен шестикутник порожній, становить 99%, це лише тонка вкраплення бетонних стін, переривчасті смуги відкритого простору — не дуже схожий на лабіринт. Знайти шлях від центру до краю в цьому випадку майже напевно.
Для великих сіток відбувається надзвичайно раптова зміна, коли ймовірність досягає 1/2. Подібно до того, як лід тане в рідку воду рівно за нуль градусів Цельсія, характер лабіринту різко змінюється в цій точці переходу, яка називається критичною ймовірністю. Нижче критичної ймовірності більша частина сітки буде лежати під бетоном, тоді як порожні шляхи незмінно потрапляють у тупики. Вище критичної ймовірності масивні масиви залишаються порожніми, а бетонні стіни обов’язково зруйнуються. Якщо ви зупинитесь саме на критичній ймовірності, бетон і порожнеча врівноважуватимуть одне одного, і жодне не зможе домінувати в лабіринті.
«У критичній точці з’являється вищий ступінь симетрії», — сказав він Майкл Айзенман, фізик-математик Прінстонського університету. «Це відкриває двері до величезного масиву математики». Він також має практичне застосування в усьому: від розробки протигазів до аналізу того, як поширюються інфекційні хвороби або як нафта просочується крізь каміння.
В документ, опублікований минулої осені, четверо дослідників нарешті підрахували ймовірність знайти шлях для лабіринтів із критичною ймовірністю 1/2.
Гонка озброєнь
Будучи докторантом у Франції в середині 2000-х років, П'єр Нолен дуже детально вивчив сценарій критичної ймовірності. Випадковий лабіринт, на його думку, є «справді прекрасною моделлю, можливо, однією з найпростіших моделей, які ви можете винайти». Ближче до кінця свого докторського навчання, яке він закінчив у 2008 році, Нолін захопився особливо складним питанням про те, як поводиться гексагональна сітка при критичній ймовірності. Скажімо, ви будуєте сітку навколо центральної точки, щоб вона наближалася до кола, і ви випадковим чином будуєте свій лабіринт звідти. Нолін хотів дослідити ймовірність того, що ви зможете знайти відкритий шлях, який тягнеться від краю до центру та назад, не повертаючись назад. Математики називають це монохроматичним дворукавним шляхом, тому що і внутрішня, і зовнішня «рука» знаходяться на відкритих шляхах. (Іноді вважають, що такі сітки складаються з двох різних кольорів, скажімо, світло-блакитного та темно-синього, а не з відкритих і закритих клітинок.) Якщо ви збільшите розмір лабіринту, довжина необхідного шляху також збільшиться. , і шанс знайти такий шлях буде ставати все меншим. Але як швидко шанси зменшуються, коли лабіринт стає довільно великим?
Відповіді на простіші пов’язані запитання були знайдені десятиліття тому. Розрахунки з 1979 по Марсель ден Нійс оцінив шанс того, що ви зможете знайти один шлях або рукав від краю до центру. (Порівняйте це з вимогою Ноліна, щоб одне плече було всередині, а інше — поза ним.) Робота Ден Ніджа передбачила, що ймовірність знайти одне плече в шестикутній сітці пропорційна $latex 1/n^{5/48}$ , де n це кількість плиток від центру до краю або радіус сітки. У 2002 році Грегорі Лоулер, Одед Шрамм та Венделін Вернер в кінці кінців доведений що прогноз однієї руки був правильним. Для стислого кількісного визначення ймовірності, що зменшується зі збільшенням розміру сітки, дослідники використовують експонент від знаменника, 5/48, який відомий як експонента з одним плечем.
Нолін хотів обчислити більш невловимий монохроматичний експонент із двома руками. Чисельне моделювання 1999 року показало, що воно дуже близько до 0.3568, але математикам не вдалося визначити його точне значення.
Набагато простіше було обчислити так званий поліхроматичний двоплечий показник, який характеризує ймовірність того, що, починаючи з центру, можна знайти не лише «відкритий» шлях до периметра, але й окремий «закритий» шлях. (Подумайте про замкнутий шлях як про шлях, який проходить через вершини бетонних стін лабіринту.) У 2001 році Станіслав Смирнов і Вернер доведений що цей показник дорівнює 1/4. (Оскільки 1/4 значно більша за 5/48, $latex 1/n^{1/4}$ стискається швидше, ніж $latex 1/n^{5/48}$ як n росте. Таким чином, ймовірність поліхроматичної дворукавої структури набагато нижча, ніж ймовірність однієї плеча, як можна було очікувати.)
Це обчислення значною мірою спиралося на знання про форму кластерів на графіку. Уявіть, що лабіринт із критичною ймовірністю надзвичайно великий — складається з мільйонів і мільйонів шестикутників. Тепер знайдіть скупчення порожніх шестикутників і обведіть край скупчення товстим чорним шарпі. Ймовірно, це не призведе до отримання простої круглої краплі. З миль у повітрі ви побачите звивисту криву, яка постійно повертається вдвічі, часто здається, ніби вона ось-ось перетнеться, але ніколи не зачіпає.
Це тип кривої, який називається кривою SLE, введений Шраммом у a Папір 2000 що перевизначило поле. Математик, який вивчає шанси знайти один відкритий шлях і один закритий шлях, знає, що ці шляхи повинні знаходитися всередині великих кластерів відкритих і закритих ділянок, які врешті-решт зустрічаються вздовж кривої SLE. Математичні властивості кривих SLE перетворюються на безцінну інформацію про шляхи в лабіринті. Але якщо математики шукають кілька шляхів одного типу, криві SLE значно втрачають свою ефективність.
До 2007 року Нолін та його колега Вінсент Беффара створили чисельне моделювання, яке показало, що монохроматичний двоплечий експонент становив приблизно 0.35. Це було підозріло близько до 17/48 — сума експоненти з одним плечем, 5/48, і поліхроматичного показника з двома руками, 1/4 (або 12/48). «17/48 справді вражає», — сказав Нолін. Він почав підозрювати, що 17/48 є істинною відповіддю — це означає, що існує простий зв’язок між різними видами показників. Ви можете просто скласти їх разом. «Ми сказали: добре, це надто добре, щоб бути неправдою; це має бути правдою».
Вступ
Деякий час із гіпотези Ноліна та Беффари нічого не виходило, хоча Нолін опублікував її на своєму веб-сайті, щоб інші могли працювати з нею. У 2017 році він переїхав до Гонконгу, щоб зайняти посаду професора в Міському університеті Гонконгу, і продовжував працювати над цією проблемою. У 2018 році він підняв експонент у розмові з Вей Цянь, який тоді був постдоктом у Кембриджському університеті в Англії. Цянь вивчав випадкову геометрію в безперервному, а не дискретному контексті, з особливим акцентом на кривих SLE. Вона перебувала в розпалі проекту, який використовував SLE для обчислення експоненти в іншому типі випадкової моделі, і Нолін почала підозрювати, що її досвід також має відношення до монохроматичної двоплечої експоненти. Пара незабаром знайшла просте на перший погляд рівняння, розв’язок якого дасть експоненту, але це рівняння покладалося на проміжну величину, пов’язану з простором, обмеженим кривою SLE на краю сітки. Нолін і Цянь не змогли визначити це число.
«Я зробив багато обчислень, але я все ще не зміг обчислити цю властивість», — сказав Цянь. «Мені не вдалося, тому я просто зупинився на деякий час».
«Ми ніколи нікому про це не згадували, тому що не були впевнені, чи буде це корисно чи ні», — додав Нолін.
Показник магістралі
Монохроматична експонента з двома рукавами є особливо цікавою, оскільки вона також описує «кістяк» сітки: набір шестикутників, які з’єднані з двома різними рукавами, що тягнуться до двох рукавів, які не перекриваються: один до краю лабіринту, а інший – до його центр. Коли ці сайти забарвлені, вони утворюють мережу, яка охоплює всю сітку та називається основою. Коли дослідники моделюють поширення хвороб або пористих гірських утворень, основою є магістраль, по якій можуть текти мікроби або нафта. Експонента, яку шукали Нолін і Цянь, показує розмір магістралі та називається показником магістралі.
Нолінь і Цянь були не єдиними, хто шукав хребта. Сінь Сун, який тоді працював в Університеті Пенсільванії, також намагався обчислити показник магістралі. Протягом попередніх років Sun і його співробітники, включаючи Ніну Холден з Нью-Йоркського університету, знайшли спосіб дослідження кривих SLE за допомогою випадкових фрактальних поверхонь. Ці розлогі вигнуті поверхні мають фестончасті краї, які тягнуться до довгих вусиків. До деяких пунктів можна легко дістатися від сусідів, а до інших — подорож тривалістю в місяці. У деяких місцях ці ефекти надто екстремальні, щоб їх можна було візуалізувати. "Насправді це неможливо намалювати" цілком точно, сказав Холден. «Вам довелося б сильно розтягнути поверхню».
Влітку 2022 року Сунь залучив Цзіцзе Чжуанга, студента другого курсу, щоб приєднатися до дослідження випадкового лабіринту за критичної ймовірності. Вони розглядали випадкові лабіринти, де шестикутники лежали на випадковій фрактальній поверхні, а не на плоскій площині. Оскільки випадковість визначає, де і наскільки поверхня розтягується та стискається, поверхня має унікальні властивості. (Ці властивості також роблять такі поверхні корисними для фізиків, які вивчають моделі квантової гравітації у двовимірному Всесвіті, даючи їм назву: поверхні квантової гравітації Ліувіля.) Наприклад, якщо ви піднесете ножиці до такої поверхні, форми поверхні дві половини не залежать одна від одної. «Така незалежність справді надзвичайно спрощує речі», – сказав Скотт Шеффілд Массачусетського технологічного інституту. Коли речі випадкові, ви знаєте про них менше, але це може означати менше інформації для нудного обліку.
Сунь і Чжуан спочатку спробували визначити ймовірність того, що існує відкрита дорога, що з’єднує мале коло навколо центру сітки з великим колом навколо. Після того, як вони відповіли на це запитання, Сан запропонував підвищити свої амбіції: обчислити ймовірність того, що існує два шляхи, що з’єднують вкладені кола, що дало б їм можливість обчислити магістральний показник. Однак незабаром вони зіткнулися з труднощами. «Ми пробували цей підхід протягом кількох місяців, але розрахунок, здається, не дуже зрозумілий», — написав Чжуан в електронному листі.
Вступ
Тим часом, хоча Нолін і Цянь не змогли знайти значення експоненти, вони досягли прогресу в інших напрямках. Цянь взяла відпустку зі своєї посади у Французькому національному центрі наукових досліджень і приєдналася до Ноліна в якості професора в Міському університеті Гонконгу. (Вони також одружилися.) Влітку 2021 року вона натрапила на кілька статей Сана та його співробітників, які її заінтригували, тож після зняття обмежень на подорожі через пандемію вона запланувала відвідати Інститут передових досліджень у Прінстоні в грудні 2022 року. , Нью-Джерсі, де Сан провів рік.
Це виявилося вигідним візитом. Коли Цянь описувала рівняння, яке вони з Ноліном знайшли, Сунь почала думати, що воно може піддатися його та Чжуану техніці накладання лабіринтів на поверхні квантової гравітації Ліувіля. «Це якийсь збіг обставин, — сказав Сан. «В одного хлопця є замок, в одного є ключ».
Чжуан був налаштований дещо скептично. «У нас немає прогнозів, і ми навіть не знаємо, чи формула матиме гарне рішення», — сказав він, описуючи стан справ на той час. Сунь і Чжуан провели наступні кілька місяців, використовуючи свою техніку квантової гравітації Ліувіля — ключ — щоб розблокувати невловиму величину в рівнянні Ноліна й Цяня, написану роками раніше — замок.
Після чотирьох місяців роботи Сунь і Чжуан відкрили метафоричний замок. Сунь надіслав електронного листа Чжуану, Цянь і Ноліну, проголошуючи: «Чудові новини: точна формула для опорного показника». Відповідь, як він знайшов, була помірно складним виразом квадратних коренів і тригонометричної функції синуса. Це відповідало попереднім оцінкам, нескінченний потік цифр, починаючи з 0.3566668.
Четверо перетворили свою роботу на письмову статтю, уточнюючи аргументи, доки ідеї Ноліна та Цяня з одного боку та Суня та Чжуана з іншого не об’єдналися, щоб створити доказ того, що Шеффілд, який був докторським радником Суня, назвав «прекрасним дорогоцінний камінь». «Стратегія доказів, безумовно, дивує і дуже оригінальна, але коли ви її бачите, це також виглядає щось природно», — сказав Холден.
Нолін нарікає на свої підозри 2011 року, що експонента дорівнює саме 17/48. «Ми досить довго вводили поле в оману. Я не дуже цим пишаюся». Основний експонент разюче відрізняється від своїх поліхромних родичів. Це не тільки ірраціонально, але й трансцендентно, тобто як $latex pi$ і e, його не можна записати як розв’язок простого поліноміального рівняння.
«Доказ насправді не пояснює, звідки ця формула», — сказав він. «Ми показували це фізикам і дуже чекаємо на їхнє розуміння».
Трансцендентна природа опорного експонента привернула увагу інших у цій галузі. Грегорі Хубер з Chan Zuckerberg Biohub, який є співавтором a додаткова стаття щодо основного показника, сказав, що вважає результат «першим проблиском нового континенту» в статистичній механіці. Хоча поєднання кривих SLE і квантової гравітації Ліувіля є надзвичайно технічною справою, чітка і проста числова відповідь, яка виникла, писав він, є «напрочуд простою та елегантною».
- Розповсюдження контенту та PR на основі SEO. Отримайте посилення сьогодні.
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai. Додайте собі сили. Доступ тут.
- PlatoAiStream. Web3 Intelligence. Розширення знань. Доступ тут.
- ПлатонЕСГ. вуглець, CleanTech, Енергія, Навколишнє середовище, Сонячна, Поводження з відходами. Доступ тут.
- PlatoHealth. Розвідка про біотехнології та клінічні випробування. Доступ тут.
- джерело: https://www.quantamagazine.org/maze-proof-establishes-a-backbone-for-statistical-mechanics-20240207/
- : має
- :є
- : ні
- :де
- ][стор
- $UP
- 2001
- 2008
- 2011
- 2017
- 2018
- 2021
- 2022
- 35%
- a
- Здатний
- МЕНЮ
- вище
- AC
- Угода
- рахунки
- точно
- через
- насправді
- додавати
- доданий
- додати
- просунутий
- Справи
- після
- знову
- назад
- AIR
- ВСІ
- по
- Також
- амбіція
- придатний
- an
- Аналіз
- та
- Інший
- відповідь
- будь
- застосування
- підхід
- наближає
- ЕСТЬ
- аргумент
- ARM
- зброю
- навколо
- AS
- призначений
- At
- увагу
- назад
- Хребет
- Balance
- BE
- красивий
- стали
- оскільки
- було
- перед тим
- почалася
- початок
- нижче
- між
- Великий
- Біт
- Black
- синій
- тіло
- обидва
- приніс
- будувати
- але
- by
- обчислювати
- розрахований
- розрахунок
- розрахунок
- розрахунки
- званий
- Виклики
- Кембридж
- прийшов
- CAN
- не може
- випадок
- спійманий
- Клітини
- Цельсія
- Центр
- центральний
- Століття
- певний
- складні
- чан
- шанс
- шанси
- зміна
- Зміни
- характер
- характеризує
- Коло
- кола
- Місто
- Міський університет Гонконгу
- ясно
- близько
- закрито
- кластер
- збіг
- співробітники
- збір
- Колонка
- комбінований
- об'єднання
- Приходити
- майбутній
- здійснення
- повністю
- складний
- обчислення
- обчислення
- обчислення
- бетон
- припущення
- підключений
- З'єднувальний
- вважається
- постійна
- постійно
- контекст
- безперервний
- контрастність
- Розмова
- виправити
- може
- створювати
- створений
- критичний
- Перетинати
- крива
- темно
- мертвий
- десятиліття
- Грудень
- безумовно
- Ступінь
- залежати
- описаний
- описує
- описують
- дизайн
- деталь
- Визначати
- визначає
- DID
- різний
- утруднення
- цифр
- зменшується
- Захворювання
- хвороби
- чіткий
- do
- Ні
- Домінувати
- Не знаю
- Двері
- Парний
- вниз
- різко
- малювати
- кожен
- Раніше
- легше
- легко
- край
- фактично
- ефективність
- ефекти
- або
- з'явився
- виникає
- кінець
- Нескінченний
- закінчується
- England
- Весь
- встановлює
- оцінка
- Оцінки
- Навіть
- врешті-решт
- Кожен
- все
- точно
- очікувати
- експертиза
- Пояснювати
- дослідити
- вираз
- продовжити
- розширення
- екстремальний
- надзвичайно
- не вдалося
- false
- почуває
- кілька
- поле
- розібрався
- заповнений
- в кінці кінців
- знайти
- виявлення
- Перший
- плоский
- потік
- Сфокусувати
- для
- форма
- формула
- Вперед
- знайдений
- чотири
- Франція
- французька
- від
- Повний
- функція
- ГАЗ
- Гем
- генерується
- отримати
- Давати
- даний
- дає
- Проблиск
- добре
- є
- випускник
- графік
- вага
- великий
- сітка
- Рости
- Зростає
- Хлопець
- було
- Половина
- рука
- Мати
- має
- he
- сильно
- її
- вище
- Шосе
- його
- число переглядів
- Гонконг
- Гонконг
- Як
- Однак
- HTML
- HTTP
- HTTPS
- величезний
- i
- ICE
- ідеї
- if
- картина
- in
- В інших
- У тому числі
- Augmenter
- незалежність
- незалежний
- інфекційний
- Інфекційні захворювання
- інформація
- всередині
- розуміння
- екземпляр
- замість
- Інститут
- цікавий
- в
- введені
- безцінний
- незмінно
- ірраціональний
- IT
- ЙОГО
- сам
- Джерсі
- приєднатися
- приєднався
- подорож
- просто
- збережений
- ключ
- Дитина
- види
- Знати
- знання
- відомий
- знає
- Гонконг
- великий
- більше
- найбільших
- останній
- лежати
- Залишати
- догляд
- залишити
- довжина
- менше
- брехня
- Піднятий
- світло
- як
- LINK
- Рідина
- замикати
- Довго
- шукати
- втрачати
- серія
- знизити
- made
- журнал
- зробити
- Робить
- маски
- Массачусетс
- Массачусетський технологічний інститут
- масивний
- математики
- математичний
- математика
- може бути
- значити
- сенс
- механіка
- Зустрічатися
- згаданий
- може бути
- мільйони
- MIT
- модель
- Моделі
- помірно
- місяців
- більше
- найбільш
- переїхав
- багато
- множинний
- повинен
- ім'я
- National
- Природний
- природа
- Близько
- необхідний
- сусіди
- ні
- ніколи
- Нові
- Нью Джерсі
- Нью-Йорк
- новини
- наступний
- приємно
- немає
- нічого
- зараз
- номер
- Шанси
- of
- часто
- Нафта
- on
- ONE
- ті,
- тільки
- відкрити
- відкритий
- Відкриється
- or
- оригінал
- Інше
- інші
- з
- над
- пара
- пандемія
- Папір
- документи
- особливо
- шлях
- стежки
- Пенсільванія
- Пітер
- фізик
- місця
- літак
- запланований
- plato
- Інформація про дані Платона
- PlatoData
- кишені
- точка
- точок
- поставлений
- положення
- це можливо
- розміщені
- Практичний
- попередній
- передвіщений
- прогноз
- Прогнози
- Princeton
- ймовірно
- Проблема
- Професор
- прибутковий
- прогрес
- проект
- доказ
- властивості
- власність
- гордий
- доведений
- Квантамагазин
- кількість
- Квантовий
- питання
- питань
- швидко
- досить
- випадковий
- випадково сформований
- швидше
- Досягає
- насправді
- переосмислений
- називають
- рафінування
- пов'язаний
- доречний
- вимога
- дослідження
- Дослідники
- Обмеження
- результат
- Виявляє
- Rock
- коренеплоди
- круглий
- Зазначений
- то ж
- say
- сценарій
- науковий
- Грати короля карти - безкоштовно Nijumi логічна гра гри
- побачити
- Здається,
- посланий
- окремий
- кілька
- Форма
- форми
- вона
- Короткий
- показав
- сторона
- простий
- спрощує
- моделювання
- сидіти
- сайти
- Розмір
- скептичний
- невеликий
- менше
- So
- solid
- рішення
- деякі
- що в сім'ї щось
- іноді
- скоро
- шукати
- Простір
- спеціальний
- Витрати
- відпрацьований
- розростання
- поширення
- площа
- Починаючи
- стан
- статистичний
- Крок
- Як і раніше
- Стоп
- зупинений
- Стратегія
- потік
- структура
- студент
- навчався
- Дослідження
- Вивчення
- вивчення
- по суті
- процвітати
- такі
- раптовий
- літо
- Sun
- Переконайтеся
- поверхню
- дивно
- Навколо
- Підозріло
- Приймати
- технічний
- техніка
- методи
- Технологія
- ніж
- Що
- Команда
- Графік
- Держава
- їх
- Їх
- потім
- Там.
- Ці
- вони
- тонкий
- речі
- думати
- Думає
- це
- ті
- хоча?
- думка
- через
- час
- до
- разом
- занадто
- прийняли
- верхівки
- Трасування
- перехід
- переводити
- подорожувати
- Величезно
- намагався
- правда
- намагається
- Опинився
- два
- тип
- під
- створеного
- Всесвіт
- університет
- Кембриджський університет
- відімкнути
- до
- використання
- використовуваний
- корисний
- використання
- значення
- дуже
- Вінсент
- візит
- хотів
- було
- Вашингтон
- вода
- шлях..
- способи
- we
- Web
- webp
- веб-сайт
- ДОБРЕ
- були
- Що
- коли
- Чи
- який
- в той час як
- ВООЗ
- чий
- волі
- з
- в
- без
- Work
- робочий
- б
- дав би
- письмовий
- пише
- рік
- років
- йорк
- Ти
- вашу
- зефірнет
- нуль
- Цукерберг