Мішель Талагран отримав Абелівську премію за випадковість роботи | Журнал Quanta

Навколо нас відбуваються випадкові процеси. Один день йде дощ, а наступного – ні; акції та облігації набувають і втрачають вартість; пробки об'єднуються і зникають. Оскільки вони керуються численними факторами, які взаємодіють один з одним складним чином, неможливо передбачити точну поведінку таких систем. Натомість ми думаємо про них у термінах ймовірностей, характеризуючи результати як ймовірні або рідкісні.

Сьогодні французький теоретик ймовірності Мішель Талагран був удостоєний Абелівської премії, однієї з найвищих нагород у математиці, за розвиток глибокого та витонченого розуміння таких процесів. Премія, яку вручає король Норвегії, створена за зразком Нобелівської премії та складається з 7.5 мільйонів норвезьких крон (близько 700,000 XNUMX доларів). Коли йому сказали, що він виграв, «мій розум опустився», — сказав Талагранд. «Та математика, якою я займаюся, була зовсім не модною, коли я починав. Це вважалося нижчою математикою. Те, що мені дали цю нагороду, є абсолютним доказом, що це не так».

Інші математики погоджуються. Робота Талагранда «змінила мій погляд на світ», — сказав він Ассаф Наор Прінстонського університету. Сьогодні додав Хельге Холден, голова комітету з Абелівської премії, «стає дуже популярним описувати та моделювати події реального світу за допомогою випадкових процесів. Набір інструментів Talagrand з’являється одразу».

Талагранд розглядає власне життя як ланцюг малоймовірних подій. Він ледве закінчив початкову школу в Ліоні: хоч він цікавився наукою, він не любив вчитися. Коли йому було 5 років, він втратив зір на праве око через відшарування сітківки; у віці 15 років він переніс три відшарування сітківки іншого ока, що змусило його провести місяць у лікарні з перев’язаними очима, побоюючись, що він осліпне. Його батько, професор математики, відвідував його щодня, займаючи його розум, навчаючи його математики. «Ось як я дізнався про силу абстракції», — Талагранд написав у 2019 після виграшу премії Шоу, ще однієї великої нагороди з математики, яка приносить винагороду в розмірі 1.2 мільйона доларів. (Талагранд використовує частину цих грошей разом зі своїми виграшами на Абелі, щоб заснувати власну премію, «визнаючи досягнення молодих дослідників у сферах, яким я присвятив своє життя»).

Він пропустив півроку школи, поки одужав, але його надихнуло почати зосереджуватися на навчанні. Він видався в математиці, і після закінчення коледжу в 1974 році його прийняли на роботу у Французький національний центр наукових досліджень, найбільший науково-дослідний інститут Європи, де він працював до виходу на пенсію в 2017 році. За цей час він отримав докторський ступінь; закохався в свою майбутню дружину-статистику з першого погляду (запропонував їй через три дні після знайомства); і поступово розвинув інтерес до ймовірності, опублікувавши сотні робіт на цю тему.

Це не було наперед визначено. Талагран почав свою кар'єру з вивчення геометричних просторів великої розмірності. «Протягом 10 років я так і не зрозумів, у чому я хороший», — сказав він. Але він не шкодує про цей обхід. Зрештою це привело його до теорії ймовірностей, де «у мене була інша точка зору... яка дала мені спосіб поглянути на речі по-іншому», — сказав він. Це дозволило йому досліджувати випадкові процеси через призму геометрії великих розмірів.

«Він використовує свою геометричну інтуїцію для вирішення суто імовірнісних питань», — сказав Наор.

Випадковий процес — це набір подій, наслідки яких змінюються залежно від випадковості таким чином, що його можна змоделювати — наприклад, послідовність підкидання монети, або траєкторії атомів у газі, або загальну кількість опадів за день. Математики хочуть зрозуміти зв’язок між окремими результатами та сукупною поведінкою. Скільки разів потрібно підкинути монету, щоб зрозуміти, чи це справедливо? Річка вийде з берегів?

Талагранд зосереджувався на процесах, результати яких розподіляються відповідно до дзвоноподібної кривої, яка називається Гаусс. Такі розподіли є звичайними в природі та мають низку бажаних математичних властивостей. Він хотів знати, що можна з упевненістю сказати про екстремальні результати в цих ситуаціях. Тож він довів набір нерівностей, які встановлюють жорстку верхню та нижню межі можливих результатів. «Отримати хорошу нерівність — це мистецтво», — сказав Холден. Це мистецтво корисне: методи Талагранда можуть дати оптимальну оцінку, скажімо, найвищого рівня річки, до якого може піднятися протягом наступних 10 років, або величини найсильнішого потенційного землетрусу.

Коли ми маємо справу зі складними, багатовимірними даними, знайти такі максимальні значення може бути важко.

Скажімо, ви хочете оцінити ризик розливу річки, який залежатиме від таких факторів, як кількість опадів, вітер і температура. Ви можете моделювати висоту річки як випадковий процес. Талагранд витратив 15 років на розробку техніки, яка називається загальним ланцюгом, яка дозволила йому створити високовимірний геометричний простір, пов’язаний з таким випадковим процесом. Його метод «дає вам можливість прочитати максимум з геометрії», - сказав Наор.

Техніка дуже загальна і тому широко застосовна. Скажімо, ви хочете проаналізувати величезний багатовимірний набір даних, який залежить від тисяч параметрів. Щоб зробити значущий висновок, потрібно зберегти найважливіші характеристики набору даних, охарактеризувавши його лише за кількома параметрами. (Наприклад, це один із способів аналізу та порівняння складних структур різних білків.) Багато найсучасніших методів досягають цього спрощення шляхом застосування випадкової операції, яка відображає багатовимірні дані в низьковимірний простір. . Математики можуть використовувати загальний метод ланцюжка Talagrand, щоб визначити максимальну кількість помилок, які вносить цей процес, що дозволяє їм визначити ймовірність того, що якась важлива функція не збережеться в спрощеному наборі даних.

Робота Талагранда не обмежувалася лише аналізом найкращих і найгірших можливих результатів випадкового процесу. Він також вивчав, що відбувається в середньому випадку.

У багатьох процесах випадкові окремі події можуть у сукупності призводити до дуже детермінованих результатів. Якщо вимірювання є незалежними, то підсумки стають дуже передбачуваними, навіть якщо кожну окрему подію передбачити неможливо. Наприклад, підкиньте чесну монету. Наперед нічого не скажеш про те, що буде. Переверніть його 10 разів, і ви отримаєте чотири, п’ять або шість голів — близько до очікуваного значення п’яти голів — приблизно в 66% випадків. Але підкиньте монету 1,000 разів, і ви отримаєте від 450 до 550 голів у 99.7% випадків, результат, який навіть більше сконцентрований навколо очікуваного значення 500. «Це надзвичайно чітко навколо середнього», — сказав Холден.

«Навіть якщо щось має так багато випадковості, випадковість скасовує сама себе», — сказав Наор. «Те, що спочатку здавалося жахливим безладом, насправді організовано».

Це явище, відоме як концентрація міри, має місце і в набагато складніших випадкових процесах. Талагранд придумав набір нерівностей, які дають змогу кількісно визначити цю концентрацію, і довів, що вона виникає в багатьох різних контекстах. Його прийоми ознаменували відхід від попередньої роботи в цій області. Доведення першої такої нерівності, писав він у своєму есе 2019 року, було «чарівним досвідом». Він був «у стані постійного піднесення».

Він особливо пишається однією зі своїх наступних нерівностей концентрації. «Нелегко отримати результат, який намагається подумати про Всесвіт і в той же час має докази на одній сторінці, які легко пояснити», — сказав він. (Він із захопленням пригадує, що одного разу скористався послугою таксі, власник якої впізнав його ім’я, дізнавшись про нерівність під час уроку ймовірності в бізнес-школі. «Це було надзвичайно», — сказав він.)

Подібно до його методу загального ланцюжка, концентраційні нерівності Талагранда з’являються в усій математиці. "Дивно, як далеко це заходить", - сказав Наор. «Нерівності Талагранда — це гвинти, які тримають речі разом».

Розглянемо задачу оптимізації, де вам потрібно сортувати елементи різного розміру в контейнери — модель розподілу ресурсів. Коли у вас багато предметів, дуже важко визначити найменшу кількість баків, які вам знадобляться. Але нерівності Талагранда можуть підказати вам, скільки бункерів вам, імовірно, знадобиться, якщо розміри елементів є випадковими.

Подібні методи використовувалися для доказу явища концентрації в комбінаториці, фізиці, інформатиці, статистиці та інших сферах.

Нещодавно Талагран застосував своє розуміння випадкових процесів, щоб довести важливу гіпотезу про спінові скла, невпорядковані магнітні матеріали, створені випадковими, часто суперечливими взаємодіями. Талагранд був розчарований тим, що, хоча спінові окуляри математично чітко визначені, фізики розуміють їх краще, ніж математики. «Це була шип у нашій нозі», — сказав він. Він довів результат — про так звану вільну енергію спінових окулярів — що заклало основу для більш математичної теорії.

Упродовж усієї своєї кар’єри дослідження Талагранда були відзначені «цією здатністю просто відступити та знайти загальні принципи, які можна використовувати всюди», – сказав Наор. «Він переглядає і переглядає, і думає про щось з усіх точок зору. І врешті-решт він викладає розуміння, яке стає робочою конячкою, якою всі користуються».

«Мені подобається дуже добре розуміти прості речі, тому що мій мозок дуже повільний», — сказав Талагранд. «Тож я думаю про них дуже, дуже довго». Він сказав, що ним керує бажання «зрозуміти щось глибоко, чистим способом, що значно полегшує теорію. Тоді наступне покоління зможе почати звідси і досягти прогресу на своїх власних умовах».

За останнє десятиліття він досяг цього, написавши підручники — не лише про випадкові процеси та спінові окуляри, а й про область, у якій він взагалі не працює, — квантову теорію поля. Він хотів дізнатися про це, але зрозумів, що всі підручники, які він міг знайти, були написані фізиками та для них, а не математиками. Тож він написав один сам. «Якщо ви більше не можете винаходити речі, ви можете їх пояснити», — сказав він.