Коли справа доходить до розуміння форми скупчень бульбашок, математики тисячоліттями наздоганяють нашу фізичну інтуїцію. Скупчення мильних бульбашок у природі часто, здається, одразу переходять у найнижчий енергетичний стан, у якому мінімізується загальна площа поверхні їхніх стінок (включаючи стінки між бульбашками). Але перевірити, чи правильно мильні бульбашки справляються із цим завданням — або просто передбачити, як мають виглядати великі скупчення бульбашок — одна з найскладніших проблем у геометрії. Математикам знадобилося аж до кінця 19 століття, щоб довести, що сфера є найкращою окремою бульбашкою, хоча грецький математик Зенодор стверджував це понад 2,000 років тому.
Проблему бульбашки досить просто сформулювати: ви починаєте зі списку чисел для об’ємів, а потім запитуєте, як окремо об’єднати ці об’єми повітря, використовуючи найменшу площу поверхні. Але щоб вирішити цю проблему, математики повинні розглянути широкий діапазон різних можливих форм стінок бульбашок. І якщо завдання полягає в тому, щоб включити, скажімо, п’ять томів, ми навіть не можемо дозволити собі розкіш обмежити свою увагу кластерами з п’яти бульбашок — можливо, найкращий спосіб мінімізувати площу поверхні полягає в тому, щоб розділити один із томів на кілька бульбашок.
Навіть у простішому налаштуванні двовимірної площини (де ви намагаєтесь об’єднати набір областей, мінімізуючи периметр), ніхто не знає найкращого способу об’єднати, скажімо, дев’ять або 10 областей. У міру того, як кількість бульбашок зростає, «швидко ви навіть не можете отримати жодного правдоподібного припущення», сказав Емануель Мільман Техніону в Хайфі, Ізраїль.
Але понад чверть століття тому, Джон Салліван, який тепер працює в Берлінському технічному університеті, зрозумів, що в деяких випадках існує a навідна гіпотеза мати. Проблеми з бульбашками мають сенс у будь-якому вимірі, і Салліван виявив, що якщо кількість томів, які ви намагаєтесь охопити, щонайбільше на одиницю перевищує вимір, існує певний спосіб об’єднати томи, який, у певному сенсі, є прекрасніший за будь-який інший — ніби тінь ідеально симетричного скупчення бульбашок на сфері. Це тіньове скупчення, за його припущенням, повинно бути тим, що мінімізує площу поверхні.
Протягом наступного десятиліття математики написали серію новаторських статей, які доводили гіпотезу Саллівана, коли ви намагаєтеся вкласти лише два томи. Тут рішенням є знайомий подвійний міхур, який ви, можливо, видували в парку в сонячний день, зроблений із двох сферичних частин із плоскою або сферичною стінкою між ними (залежно від того, мають дві бульбашки однаковий або різний об’єм).
Але доводячи гіпотезу Саллівана для трьох томів, математик Френк Морган коледжу Вільямса спекулював у 2007 році «може зайняти ще сто років».
Тепер математиків позбавили цього довгого очікування — і вони отримали набагато більше, ніж просто рішення проблеми потрійної бульбашки. В папір опубліковано в Інтернеті в травні, Мілман і Джо Німанз Університету Техасу в Остіні довели гіпотезу Саллівана щодо потрійних бульбашок у вимірах три і більше та чотириразових бульбашок у вимірах чотири і більше, а також розробляють наступну статтю про п’ятірку бульбашок у вимірах п’ять і більше.
А коли мова йде про шість або більше бульбашок, Мілман і Німан показали, що найкращий кластер повинен мати багато ключових атрибутів кандидата Саллівана, що потенційно може спонукати математиків довести гіпотезу і для цих випадків. «Моє враження таке, що вони зрозуміли основну структуру гіпотези Саллівана», — сказав він Франческо Маджі Техаського університету, Остін.
«Центральна теорема Мілмана і Німана є «монументальною», — написав Морган в електронному листі. «Це блискуче досягнення з великою кількістю нових ідей».
Тіньові бульбашки
Наш досвід зі справжніми мильними бульбашками пропонує спокусливу інтуїцію щодо того, як мають виглядати оптимальні скупчення бульбашок, принаймні, коли мова йде про маленькі скупчення. Здається, що потрійні чи чотири бульбашки, які ми видуваємо через мильні палички, мають сферичні стінки (і іноді плоскі) і мають тенденцію утворювати щільні згустки, а не, скажімо, довгий ланцюжок бульбашок.
Але не так легко довести, що це дійсно характеристики оптимальних бульбашок. Наприклад, математики не знають, чи завжди стінки в мінімізуючому бульбашковому кластері є сферичними чи плоскими — вони лише знають, що стінки мають «постійну середню кривизну», що означає, що середня кривизна залишається незмінною від однієї точки до іншої. Цією властивістю володіють сфери та плоскі поверхні, а також багато інших поверхонь, наприклад циліндри та хвилясті форми, які називаються ундулоїдами. Поверхні з постійною середньою кривизною — це «повний зоопарк», — сказав Мілман.
Але в 1990-х роках Салліван визнав, що коли кількість томів, які ви хочете вкласти, щонайбільше на один перевищує розмір, існує кластер-кандидат, який, здається, затьмарює решту — один (і тільки один) кластер, який має функції, які ми прагнемо побачити в маленьких скупченнях справжні мильні бульбашки.
Щоб відчути, як побудований такий кандидат, скористаємося підходом Саллівана, щоб створити кластер із трьох бульбашок на плоскій площині (тому наші «бульбашки» будуть областями на площині, а не тривимірними об’єктами). Ми починаємо з вибору чотирьох точок на сфері, які знаходяться на однаковій відстані одна від одної. Тепер уявіть, що кожна з цих чотирьох точок є центром крихітної бульбашки, яка живе лише на поверхні сфери (так що кожна бульбашка є маленьким диском). Надуйте чотири бульбашки на сфері, доки вони не почнуть натикатися одна на одну, а потім продовжуйте надувати, поки вони разом не заповнять всю поверхню. У підсумку ми отримуємо симетричне скупчення чотирьох бульбашок, що робить сферу схожою на роздутий тетраедр.
Далі ми розміщуємо цю сферу на вершині нескінченної плоскої площини, ніби сфера — це куля, що лежить на нескінченній підлозі. Уявіть, що куля прозора, а на північному полюсі стоїть ліхтар. Стінки чотирьох бульбашок проектуватимуть тіні на підлогу, утворюючи там стінки скупчення бульбашок. З чотирьох бульбашок на сфері три будуть проектуватися вниз, щоб тіні бульбашок на підлозі; четверта бульбашка (та, що містить північний полюс) буде проектуватися вниз на нескінченний простір підлоги поза скупченням трьох тіньових бульбашок.
Конкретний кластер із трьох бульбашок, який ми отримаємо, залежить від того, як ми розташували сферу, коли поставили її на підлогу. Якщо ми обертаємо сферу так, щоб інша точка рухалася до ліхтаря на північному полюсі, ми зазвичай отримуємо іншу тінь, а три бульбашки на підлозі матимуть різні області. У математиків є доведений що для будь-яких трьох чисел, які ви виберете для областей, існує по суті єдиний спосіб розташувати сферу так, щоб три тіньові бульбашки мали саме ці області.
Ми можемо здійснити цей процес у будь-якому вимірі (хоча тіні у більших вимірах важче візуалізувати). Але існує обмеження щодо кількості бульбашок у нашому тіньовому кластері. У наведеному вище прикладі ми не могли створити скупчення чотирьох бульбашок у площині. Для цього потрібно було б почати з п’яти точок на сфері, які знаходяться на однаковій відстані одна від одної, але неможливо розмістити стільки рівновіддалених точок на сфері (хоча ви можете зробити це з більш вимірними сферами). Процедура Саллівана працює лише для створення кластерів до трьох бульбашок у двовимірному просторі, чотирьох бульбашок у тривимірному просторі, п’яти бульбашок у чотиривимірному просторі тощо. Поза цими діапазонами параметрів бульбашкові кластери типу Саллівана просто не існують.
Але в межах цих параметрів процедура Саллівана дає нам скупчення бульбашок у налаштуваннях, які набагато перевищують те, що може зрозуміти наша фізична інтуїція. «Неможливо уявити, що таке 15-міхур у [23-вимірному просторі]», — сказав Меґгі. «Як ти взагалі мрієш описати такий предмет?»
Тим не менш, бульбашки-кандидати Саллівана успадкували від своїх сферичних прабатьків унікальну колекцію властивостей, що нагадують бульбашки, які ми бачимо в природі. Усі їхні стінки сферичні або плоскі, і скрізь, де три стіни стикаються, вони утворюють кути 120 градусів, як у симетричній формі Y. Кожен із томів, які ви намагаєтеся включити, лежить в одному регіоні, замість того, щоб бути розділеним на кілька регіонів. І кожна бульбашка торкається іншої (і зовнішньої частини), утворюючи щільне скупчення. Математики показали, що бульбашки Саллівана є єдиними кластерами, які задовольняють усім цим властивостям.
Коли Салліван припустив, що це повинні бути скупчення, які мінімізують площу поверхні, він, по суті, сказав: «Давайте припустимо красу», — сказав Меґгі.
Але дослідники бульбашок мають вагомі підстави побоюватися припущення, що лише тому, що запропоноване рішення красиве, воно правильне. «Є дуже відомі проблеми... де можна очікувати симетрії для мінімізаторів, і симетрія вражаюче не справляється», — сказав Меґгі.
Наприклад, існує тісно пов’язана проблема заповнення нескінченного простору бульбашками однакового об’єму таким чином, щоб мінімізувати площу поверхні. У 1887 році британський математик і фізик лорд Кельвін припустив, що рішенням може бути елегантна структура, схожа на стільники. Більше століття багато математиків вважали, що це вірогідна відповідь — до 1993 року, коли пара фізиків визначив краще, хоча й менш симетричний варіант. «Математика повна... прикладів, коли відбуваються такі дивні речі», — сказав Меґгі.
Темне мистецтво
Коли Салліван оголосив про свою гіпотезу в 1995 році, її частина з подвійною бульбашкою витала вже ціле століття. Математики розв'язали Двовимірна задача подвійної бульбашки двома роками раніше, а в наступне десятиліття вони її вирішили тривимірний простір а потім в вище розміри. Але коли справа дійшла до наступного випадку гіпотези Саллівана — потрійних бульбашок — вони могли доведіть припущення лише в двовимірній площині, де межі розділу між бульбашками особливо прості.
Потім у 2018 році Мілман і Німан довели аналогічну версію гіпотези Саллівана в контексті, відомому як проблема бульбашки Гауса. У цьому налаштуванні ви можете розглядати кожну точку в просторі як таку, що має грошову цінність: вихідна точка є найдорожчою, і чим далі ви відходите від початкової точки, тим дешевшою стає земля, утворюючи дзвоноподібну криву. Мета полягає в тому, щоб створити корпуси з попередньо вибраними цінами (замість попередньо вибраних обсягів) таким чином, щоб мінімізувати вартість меж корпусів (замість площі поверхні меж). Ця проблема гауссової бульбашки має застосування в інформатиці до схем округлення та питань чутливості до шуму.
Мілман і Німан подали свої доказ до Аннали математики, мабуть, найпрестижніший математичний журнал (куди його пізніше прийняли). Але пара не мала наміру зупинятися на цьому. Їхні методи також здавалися багатообіцяючими для класичної проблеми бульбашок.
Кілька років вони перекидалися ідеями. «У нас був 200-сторінковий документ нотаток», — сказав Мілман. Спочатку здавалося, що вони прогресують. «Але потім швидко це перетворилося на: «Ми спробували цей напрямок — ні». Ми спробували [цей] напрямок — ні». Аби підстрахуватися, обидва математики також почали інші проекти.
Тоді восени минулого року Мілман прийшов у відпустку та вирішив відвідати Німана, щоб пара могла зосереджено поштовхнути до проблеми бульбашки. «Під час творчої відпустки це гарний час, щоб спробувати речі з високим ризиком і високим прибутком», — сказав Мілман.
Перші кілька місяців вони нікуди не ділися. Нарешті вони вирішили поставити собі трохи легше завдання, ніж повна гіпотеза Саллівана. Якщо ви надасте своїм бульбашкам ще один вимір простору для дихання, ви отримаєте бонус: найкраще скупчення бульбашок матиме дзеркальну симетрію в центральній площині.
Гіпотеза Саллівана стосується потрійних бульбашок розміром два і вище, чотирьох бульбашок розміром три і більше тощо. Щоб отримати бонусну симетрію, Мілман і Німан обмежили свою увагу потрійними бульбашками у вимірах три і більше, чотириразовими бульбашками у вимірах чотири і більше тощо. «Тільки коли ми відмовилися від отримання повного спектру параметрів, ми дійсно досягли прогресу», — сказав Німан.
Маючи в своєму розпорядженні таку дзеркальну симетрію, Мілман і Німан запропонували аргумент збурення, який передбачає злегка надування половини скупчення бульбашок, що лежить над дзеркалом, і здування половини, що лежить під ним. Це збурення не змінить об’єм бульбашок, але може змінити їх площу поверхні. Мілман і Німан показали, що якщо оптимальний бульбашковий кластер має будь-які стінки, які не є сферичними або плоскими, буде спосіб вибрати це збурення так, щоб воно зменшувало площу поверхні кластера — суперечність, оскільки оптимальний кластер уже має найменшу поверхню можлива площа.
Використання збурень для вивчення бульбашок – далеко не нова ідея, але з’ясувати, які збурення виявлятимуть важливі особливості скупчення бульбашок, – це «темне мистецтво», – сказав Німан.
Оглядаючись назад, «коли ви бачите [збурення Мілмана та Німана], вони виглядають цілком природними», сказав Джоел Хасс Каліфорнійського університету в Девісі.
Але визнати збурення природними набагато легше, ніж придумати їх спочатку, сказав Меггі. «Це далеко не те, про що можна сказати: «Зрештою люди знайшли б це», — сказав він. «Це справді геніально на дуже видатному рівні».
Мілман і Німан змогли використати свої збурення, щоб показати, що оптимальний бульбашковий кластер повинен задовольняти всі основні властивості кластерів Саллівана, за винятком, мабуть, однієї: умови, що кожна бульбашка повинна торкатися одна іншої. Ця остання вимога змусила Мілмана та Німана боротися з усіма способами, якими бульбашки могли з’єднатися в кластер. Коли мова йде лише про три-чотири бульбашки, не так багато можливостей для розгляду. Але коли ви збільшуєте кількість бульбашок, кількість різних можливих моделей підключення зростає навіть швидше, ніж експоненціально.
Мілман і Німан спочатку сподівалися знайти загальний принцип, який би охоплював усі ці випадки. Але, витративши кілька місяців на «ламання голови», сказав Мілман, вони вирішили поки що задовольнитися більш спеціальним підходом, який дозволив їм обробляти потрійні та чотири бульбашки. Вони також оголосили неопублікований доказ того, що п’ятірна бульбашка Саллівана є оптимальною, хоча вони ще не встановили, що це єдиний оптимальний кластер.
Робота Мілмана та Німана — це «цілком новий підхід, а не розширення попередніх методів», — написав Морган в електронному листі. Цілком ймовірно, передбачив Меґгі, що цей підхід можна просунути ще далі — можливо, до кластерів із понад п’яти бульбашок або до випадків гіпотези Саллівана, які не мають дзеркальної симетрії.
Ніхто не сподівається, що подальший прогрес буде легким; але це ніколи не зупиняло Мілмана та Німана. «З мого досвіду, — сказав Мілман, — усі важливі речі, які мені пощастило зробити, вимагали просто не здаватися».
