Плитки, що ніколи не повторюються, можуть захистити квантову інформацію | Журнал Quanta

Якщо ви хочете покрити плиткою підлогу у ванній кімнаті, квадратна плитка є найпростішим варіантом — вона з’єднується без будь-яких зазорів у вигляді сітки, яка може тривати нескінченно. Ця квадратна сітка має властивість, спільну з багатьма іншими мозаїками: зсув усієї сітки на фіксовану величину, і отриманий візерунок неможливо відрізнити від оригіналу. Але для багатьох математиків такі «періодичні» тайлінги нудні. Якщо ви бачили одну маленьку ділянку, ви бачили все.

У 1960-х роках почали вивчати математики «аперіодичні» набори плитки з набагато багатшою поведінкою. Мабуть, найвідомішою є пара ромбоподібних плиток, знайдених у 1970-х роках фізиком-фізиком і майбутнім лауреатом Нобелівської премії. Роджер Пенроуз. Копії цих двох плиток можуть утворювати нескінченну кількість різних візерунків, які тривають вічно, і називаються тайлінгами Пенроуза. Проте як би ви не розташували плитки, ви ніколи не отримаєте періодично повторюваний візерунок.

«Це тайлінги, які насправді не повинні існувати», — сказав Ніколас Брейкман, фізик Брістольського університету.

Понад півстоліття аперіодичні тайлінги захоплювали математиків, любителів і дослідників у багатьох інших галузях. Тепер двоє фізиків виявили зв’язок між аперіодичними тайлінгами та, здавалося б, непов’язаною галуззю інформатики: дослідженням того, як майбутні квантові комп’ютери можуть кодувати інформацію для захистити його від помилок. У папір опублікований на сервері препринтів arxiv.org у листопаді, дослідники показали, як перетворити тайлінги Пенроуза на абсолютно новий тип квантового коду з виправленням помилок. Вони також побудували подібні коди на основі двох інших типів аперіодичного тайлінгу.

В основі відповідності лежить просте спостереження: і в аперіодичних тайлінгах, і в кодах квантового виправлення помилок вивчення невеликої частини великої системи нічого не розкриває про систему в цілому.

«Це одна з тих прекрасних речей, які здаються очевидними в ретроспективі», — сказав Тобі Кубітт, дослідник квантової інформації в Університетському коледжі Лондона. «Ти кажеш: «Чому я про це не подумав?»

Заборонене знання

Звичайні комп’ютери представляють інформацію, використовуючи біти з двома різними станами, позначеними 0 і 1. Квантові біти, або кубіти, також мають два стани, але вони також можуть бути переведені в так звані суперпозиції, в яких їхні стани 0 і 1 співіснують. Використовуючи складніші суперпозиції за участю багатьох кубітів, квантові комп'ютери може виконувати певні обчислення набагато швидше, ніж будь-яка звичайна машина.

І все ж квантові суперпозиції — це чудернацькі істоти. Виміряйте кубіт у стані суперпозиції, і він згорнеться до 0 або 1, знищуючи будь-які поточні обчислення. Що ще гірше, помилки, що виникають через слабку взаємодію між кубітами та їх середовищем, можуть імітувати руйнівні ефекти вимірювань. Будь-що, що стирає кубіт неправильно, чи то цікавий дослідник, чи блукаючий фотон, може зіпсувати обчислення.

Ця надзвичайна крихкість може зробити квантові обчислення безнадійними. Але в 1995 році прикладний математик Петро Шор відкритий розумний спосіб зберігання квантової інформації. Його кодування мало дві ключові властивості. По-перше, він міг допускати помилки, які впливали лише на окремі кубіти. По-друге, він мав процедуру виправлення помилок у міру їх виникнення, запобігаючи їх накопиченню та зриву обчислень. Відкриття Шора було першим прикладом квантового коду з виправленням помилок, і його дві ключові властивості є визначальними рисами всіх таких кодів.

Перша властивість випливає з простого принципу: секретна інформація менш вразлива, коли її розділено. Шпигунські мережі використовують подібну стратегію. Кожен шпигун знає дуже мало про мережу в цілому, тому організація залишається в безпеці, навіть якщо якусь особу буде схоплено. Але квантові коди з виправленням помилок доводять цю логіку до крайності. У квантовій шпигунській мережі жоден шпигун нічого не знав би, але разом вони знали б багато.

Кожен квантовий код з виправленням помилок є певним рецептом для розподілу квантової інформації між багатьма кубітами в стані колективної суперпозиції. Ця процедура ефективно перетворює кластер фізичних кубітів в один віртуальний кубіт. Повторіть процес багато разів із великим масивом кубітів, і ви отримаєте багато віртуальних кубітів, які можна використовувати для виконання обчислень.

Фізичні кубіти, з яких складається кожен віртуальний кубіт, схожі на квантових шпигунів, які не помічають. Виміряйте будь-який із них, і ви нічого не дізнаєтеся про стан віртуального кубіта, частиною якого він є — властивість, яка називається локальною нерозрізненістю. Оскільки кожен фізичний кубіт не кодує інформацію, помилки в окремих кубітах не зіпсують обчислення. Інформація, яка має значення, так чи інакше є всюди, але ніде конкретно.

«Ви не можете прив’язати це до будь-якого окремого кубіта», — сказав Кабітт.

Усі квантові коди з виправленням помилок можуть поглинати принаймні одну помилку без жодного впливу на закодовану інформацію, але всі вони врешті-решт піддадуться, коли помилки накопичаться. Ось тут і спрацьовує друга властивість кодів квантового виправлення помилок — власне виправлення помилок. Це тісно пов’язано з локальною нерозрізненістю: оскільки помилки в окремих кубітах не знищують жодної інформації, завжди можна скасувати будь-яку помилку використовуючи встановлені процедури, специфічні для кожного коду.

Покаталися

Чжі Лі, постдок в Інституті теоретичної фізики Perimeter у Ватерлоо, Канада, добре знався на теорії квантової корекції помилок. Але ця тема була далека від його думки, коли він почав розмову зі своїм колегою Летам Бойл. Це була осінь 2022 року, і двоє фізиків їхали вечірнім шатлом із Ватерлоо до Торонто. Бойл, фахівець з аперіодичних плиток, який на той час жив у Торонто, а зараз навчається в Единбурзькому університеті, був знайомим обличчям у цих маршрутних поїздках, які часто потрапляли в затор.

«Зазвичай вони можуть бути дуже жалюгідними», — сказав Бойл. «Це було як найкраще за всі часи».

До того фатального вечора Лі та Бойл знали про роботу один одного, але сфери їхніх досліджень безпосередньо не збігалися, і вони ніколи не спілкувалися сам-на-сам. Але, як і незліченна кількість дослідників у незв’язаних галузях, Лі цікавився аперіодичними тайлінгами. «Дуже важко не бути зацікавленим», - сказав він.

Інтерес переріс у захоплення, коли Бойл згадав про особливу властивість аперіодичних мозаїк: локальну нерозрізненість. У цьому контексті цей термін означає щось інше. Один і той самий набір плиток може утворювати нескінченну кількість плиток, які виглядають абсолютно по-різному в цілому, але неможливо відрізнити будь-які дві плитки, досліджуючи будь-яку локальну область. Це тому, що кожна кінцева ділянка будь-якої мозаїки, незалежно від того, наскільки вона велика, з’явиться десь у кожній іншій мозаїці.

«Якщо я закину вас у одну чи іншу плитку й дам вам решту життя на дослідження, ви ніколи не зможете зрозуміти, чи я поклав вас у вашу плитку, чи в свою», — сказав Бойл.

Для Лі це здавалося неймовірно схожим на визначення локальної нерозрізненості в квантовій корекції помилок. Він згадав про зв’язок із Бойлом, який був миттєво зачарований. Основна математика в цих двох випадках була досить різною, але подібність була надто інтригуючою, щоб її відкинути.

Лі та Бойл цікавилися, чи зможуть вони встановити більш точний зв’язок між двома визначеннями локальної нерозрізненості, побудувавши квантовий код з виправленням помилок на основі класу аперіодичних мозаїк. Вони продовжували розмовляти протягом усієї двогодинної поїздки на маршрутці, і до того часу, як вони прибули до Торонто, вони були впевнені, що такий код можливий — це було лише питання побудови формального доказу.

Квантові плитки

Лі та Бойл вирішили почати з тайлінгів Пенроуза, які були простими та знайомими. Щоб перетворити їх на квантовий код для виправлення помилок, їм потрібно спочатку визначити, як виглядатимуть квантові стани та помилки в цій незвичайній системі. Ця частина була легкою. Нескінченну двовимірну площину, вкриту плитками Пенроуза, подібну до сітки кубітів, можна описати за допомогою математичної основи квантової фізики: квантові стани є конкретними мозаїками замість 0 і 1. Помилка просто видаляє окрему ділянку шаблону тайлінгу, як певні помилки в масивах кубітів знищують стан кожного кубіта в маленькому кластері.

Наступним кроком було визначення конфігурацій мозаїки, на які не впливатимуть локалізовані помилки, наприклад стани віртуальних кубітів у звичайних кодах квантового виправлення помилок. Рішенням, як і в звичайному коді, було використання суперпозицій. Ретельно підібране накладання плитки Penrose схоже на розкладку плитки у ванній кімнаті, запропоновану найбільш нерішучим декоратором інтер’єрів у світі. Навіть якщо частина цього заплутаного креслення відсутня, це не видасть жодної інформації про загальний план поверху.

Для цього підходу до роботи Лі та Бойл спочатку мали розрізнити два якісно різні зв’язки між окремими тайлінгами Пенроуза. З огляду на будь-яку плитку, ви можете генерувати нескінченну кількість нових плиток, зсуваючи її в будь-якому напрямку або обертаючи. Набір усіх мозаїк, згенерованих таким чином, називається класом еквівалентності.

Але не всі тайлінги Пенроуза належать до одного класу еквівалентності. Мозаїка в одному класі еквівалентності не може бути перетворена на мозаїку в іншому класі за допомогою будь-якої комбінації поворотів і трансляцій — два нескінченні шаблони якісно відрізняються, але все ще локально нерозрізнені.

З цією відмінністю Лі та Бойл нарешті змогли побудувати код для виправлення помилок. Нагадаємо, що у звичайному квантовому коді з виправленням помилок віртуальний кубіт кодується в суперпозиції фізичних кубітів. У їхньому коді на основі тайлінгів аналогічні стани є суперпозиціями всіх тайлінгів у межах одного класу еквівалентності. Якщо площина покрита такою суперпозицією, існує процедура заповнення прогалин без розкриття інформації про загальний квантовий стан.

«Контроль Пенроуза якимось чином знав про квантову корекцію помилок ще до винаходу квантового комп’ютера», — сказав Бойл.

Під час поїздки в автобусі інтуїція Лі та Бойла була правильною. На глибинному рівні два визначення локальної нерозрізненості самі були нерозрізненими.

Пошук шаблону

Хоча новий код Лі і Бойла був математично добре визначений, він навряд чи був практичним. Краї тайлів у мозаїках Пенроуза не розташовуються через регулярні інтервали, тому для вказівки їх розподілу потрібні безперервні дійсні числа, а не дискретні цілі. З іншого боку, квантові комп’ютери зазвичай використовують дискретні системи, такі як сітки кубітів. Гірше того, мозаїки Пенроуза нерозрізнені лише локально на нескінченній площині, що погано переноситься на кінцевий реальний світ.

"Це дуже цікавий зв'язок", - сказав Барбара Терхал, дослідник квантових обчислень у Делфтському технологічному університеті. «Але також добре опустити це на землю».

Лі та Бойл уже зробили крок у цьому напрямку, побудувавши два інших коди на основі мозаїк, у яких базова квантова система є скінченною в одному випадку та дискретною в іншому. Дискретний код також можна зробити кінцевим, але залишаються інші проблеми. Обидва кінцеві коди можуть виправляти лише помилки, які згруповані разом, тоді як найпопулярніші квантові коди виправлення помилок можуть обробляти випадково розподілені помилки. Поки що не зрозуміло, чи є це невід'ємним обмеженням кодів на основі листів, чи його можна обійти за допомогою розумнішого дизайну.

"Є багато подальшої роботи, яку можна зробити", - сказав Фелікс Флікер, фізик Брістольського університету. «Усі хороші газети повинні це робити».

Необхідно краще зрозуміти не лише технічні деталі — нове відкриття також викликає більш фундаментальні питання. Одним з очевидних наступних кроків є визначення того, які інші мозаїки також працюють як коди. Лише минулого року математики відкрили сімейство аперіодичних мозаїк що кожен використовує лише одну плитку. «Було б цікаво побачити, як ці нещодавні розробки можуть бути пов’язані з проблемою квантового виправлення помилок», — написав Пенроуз в електронному листі.

Інший напрямок передбачає дослідження зв’язків між квантовими кодами виправлення помилок і деякими моделі квантової гравітації. У Папір 2020, Бойл, Флікер і покійна Мадлен Діккенс показали, що в геометрії простору-часу цих моделей з’являються аперіодичні мозаїки. Але цей зв’язок випливає з властивості плиток, яка не відіграє жодної ролі в роботі Лі та Бойла. Здається, що квантова гравітація, квантова корекція помилок і аперіодичні тайлінги — це різні частини головоломки, контури якої дослідники тільки починають розуміти. Як і у випадку з аперіодичними мозаїками, з’ясувати, як ці частини поєднуються один з одним, може бути надзвичайно тонким.

«Ці різні речі пов’язані глибоким корінням», — сказав Флікер. «Цей приголомшливий набір зв’язків просто вимагає відпрацювання».