Теорія ймовірностей і чисел стикаються — за одну мить

Їхні амбіції завжди були високими. Коли Вілл Савін і Мелані Матчетт Вуд уперше почали працювати разом влітку 2020 року, вони вирішили переосмислити ключові компоненти деяких із найцікавіших припущень у теорії чисел. Предмети їхньої уваги, класні групи, тісно пов’язані з основними питаннями про те, як працює арифметика, коли числа виходять за межі цілих. Савін, в Колумбійському університеті, і дерево, у Гарварді, хотів зробити прогнози щодо структур, які є навіть більш загальними та математично лякаючими, ніж класова група.

Ще до того, як вони закінчили формулювати свої прогнози, у жовтні вони довели a новий результат це дозволяє математикам застосовувати один із найкорисніших інструментів теорії ймовірностей не лише до груп класів, але й до колекцій чисел, мереж та багатьох інших математичних об’єктів.

«Це лише базовий документ, до якого всі звертаються, коли починають думати про ці проблеми», — сказав Девід Цюрік-Браун, математик Університету Еморі. «Таке відчуття, що вам більше не доведеться винаходити щось на нулю».

Закон про клас

Група класів є прикладом структурованого математичного набору, який називається групою. Групи включають багато знайомих наборів, як-от цілі числа. Що робить цілі числа групою, а не просто набором чисел, це те, що ви можете додати його елементи разом і отримати інше ціле число. Загалом, набір є групою, якщо він містить певну операцію, яка, як і додавання, поєднує два елементи в третій елемент у спосіб, який задовольняє деяким основним вимогам. Наприклад, має бути нульова версія, елемент, який не змінює жодного з інших.

Цілі числа, які математики зазвичай називають $latex mathbb{Z}$, нескінченні. Але багато груп мають кінцеву кількість елементів. Наприклад, щоб створити групу з чотирьох елементів, розглянемо набір {0, 1, 2, 3}. Замість звичайного додавання поділіть суму будь-яких двох чисел на 4 і візьміть залишок. (За цими правилами 2 + 2 = 0 і 2 + 3 = 1.) Ця група називається $latex mathbb{Z}/4mathbb{Z}$.

Загалом, якщо ви хочете створити групу з елементами $latex n$, ви можете взяти числа від нуля до n – 1 і враховуйте остачу при діленні на n. Отримана група називається $latex mathbb{Z}/nmathbb{Z}$, хоча це не завжди єдина група з n елементи.

Група класів з'являється, коли теоретики чисел досліджують структуру чисел за межами цілих. Для цього до цілих чисел додають нові числа, наприклад i (квадратний корінь із −1), $latex sqrt{5}$ або навіть $latex sqrt{–5}$.

«Те, до чого ми звикли щодо чисел, у цьому контексті вже не відповідає дійсності. Або, принаймні, вони не обов’язково правдиві», – сказав Джордан Елленберг, математик Університету Вісконсіна, Медісон.

Зокрема, розкладання на множники працює інакше в розширеннях цілих чисел. Якщо ви дотримуєтесь лише цілих чисел, числа можна розкласти на прості (числа, які можна поділити лише на себе та на 1) лише одним способом. Наприклад, 6 дорівнює 2 × 3, і його не можна розкласти на інші прості числа. Ця властивість називається унікальною факторизацією.

Але якщо ви додаєте $latex sqrt{–5}$ до своєї системи числення, ви більше не матимете унікальної розкладки на множники. Ви можете розкласти 6 на прості числа двома різними способами. Це все ще 2 × 3, але це також $latex (1 + sqrt{–5})$ × $latex (1 – sqrt{–5})$.

Групи класів створюються з таких розширень до цілих чисел. «Класні групи неймовірно важливі», — сказав Вуд. «Тому цілком природно запитати себе: якими вони зазвичай є?»

Розмір групи класів, пов’язаної з будь-яким розширенням цілих чисел, є барометром того, наскільки порушується унікальна факторізація. Хоча математики довели, що групи класів завжди скінченні, з’ясувати їх структуру та розмір складно. Тому в 1984 р. Анрі Коен і Хендрік Ленстра наважився на деякі припущення. Їхні гіпотези, які тепер називаються евристикою Коена-Ленстри, стосувалися всіх груп класів, які з’являлися, коли ви додавали нові квадратні корені до цілих чисел. Якби всі ці класні групи були зібрані разом, Коен і Ленстра запропонували відповіді на такі запитання: яка частка з них містить групу $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$? Або $latex mathbb{Z}/7mathbb{Z}$? Чи якийсь інший відомий тип скінченної групи?

Коен і Ленстра спонукали теоретиків чисел розглядати не лише окремі приклади класових груп, але статистичні дані, які лежать в основі класових груп у цілому. Їхні передбачення ґрунтувалися на уявленні про математику як про всесвіт із закономірностями, які слід розкривати на кожному рівні.

Майже 40 років по тому евристика Коена-Ленстри вважається істинною, хоча ніхто не наблизився до її доказу. Їхній вплив на математику був відчутним, сказав Найджел Бостон, почесний професор Університету Вісконсіна, Медісон. «Те, що було виявлено, — це дивовижна мережа», — сказав він. «Є величезна інфраструктура того, як ми думаємо, що світ зібраний».

Єдина гра в місті

Не маючи змоги безпосередньо впоратися з евристикою, математики придумали більш легкі проблеми, які, як вони сподівалися, прояснили б ситуацію. З цієї роботи з’явився корисний набір величин, які математики почали називати моментами за терміном, який використовується в теорії ймовірностей.

Імовірно, моменти можуть допомогти вам визначити розподіли за випадковими числами. Наприклад, розглянемо розподіл денної високої температури 1 січня в Нью-Йорку — ймовірність того, що 1 січня наступного року вона становитиме 10 градусів за Фаренгейтом, або 40 градусів, або 70 або 120. Все, що вам потрібно працювати з минулими даними: історія щоденного максимуму 1 січня кожного року з початку записаної історії.

Якщо ви обчислите середнє значення цих температур, ви дізнаєтеся трохи, але не все. Середня висока температура 40 градусів не говорить про ймовірність того, що температура буде вище 50 градусів або нижче 20.

Але це змінюється, якщо ви отримуєте більше інформації. Зокрема, ви можете дізнатися середнє значення квадрата температури, кількість, відома як другий момент розподілу. (Середнє — це перший момент.) Або ви можете дізнатися середнє значення кубів, яке називається третім моментом, або середнє четвертого степеня — четвертий момент.

До 1920-х років математики зрозуміли, що якщо моменти в цьому ряду ростуть досить повільно, то знання всіх моментів дозволяє зробити висновок, що лише один можливий розподіл має ці моменти. (Хоча це не обов’язково дозволяє безпосередньо обчислити цей розподіл.)

«Це справді неінтуїтивно, — сказав Вуд. «Якщо ви думаєте про безперервний розподіл, він має певну форму. Таке відчуття, що в ньому є більше, ніж можна просто охопити послідовністю чисел».

Математики, які цікавляться евристикою Коена-Ленстри, з’ясували, що так само, як моменти в теорії ймовірностей можна використати для отримання розподілу ймовірностей, моменти, визначені особливим чином для груп класів, можуть бути лінзою, через яку ми можемо побачити їхній розмір і структуру . Джейкоб Цимерман, математик з Університету Торонто, сказав, що він не може уявити, як розподіл розмірів груп у класі можна прямо розрахувати. Використовувати моменти, за його словами, «більш ніж простіше. Це єдина гра в місті».

Ця чарівна мить

У той час як кожен момент у ймовірності пов’язаний з цілим числом — третім ступенем, четвертим ступенем і так далі — нові величини, введені теоретиками чисел, відповідають групі. Ці нові моменти залежать від того факту, що ви часто можете зменшити групу до меншої, згортаючи різні елементи разом.

Щоб обчислити момент, пов'язаний з групою G, візьміть усі можливі групи класів — по одній для кожного нового квадратного кореня, який ви додаєте до цілих чисел. Для кожної групи класу підрахуйте кількість різних способів, якими ви можете її згорнути G. Потім візьміть середнє значення цих чисел. Цей процес може здатися заплутаним, але з ним набагато легше працювати, ніж із фактичним розподілом, що стоїть за прогнозами Коена та Ленстри. Хоча саму евристику Коена-Ленстри складно сформулювати, всі моменти розподілу, які вони передбачають, дорівнюють 1.

«Це змушує вас думати, вау, можливо, моменти — це природний спосіб підійти до цього», — сказав Елленберг. «Здається більш правдоподібним довести, що щось дорівнює 1, ніж довести, що воно дорівнює якомусь божевільному нескінченному продукту».

Коли математики вивчають розподіл за групами (групами класів чи іншим чином), вони отримують рівняння для кожної групи G, з ймовірностями, які тепер представляють, скажімо, частку груп класів, які виглядають як $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$. Маючи нескінченну кількість рівнянь і нескінченну кількість можливих груп класів, розв’язати ймовірності досить складно. Неочевидно, що взагалі є сенс це робити.

«Коли у вас є нескінченні суми, все може піти не так», — сказав Вуд.

Проте математики, досі не знаходячи інших шляхів вивчення розподілів, постійно поверталися до проблеми моменту. У роботі, опублікованій в Аннали математики у 2016 році Елленберг разом з Акшаєм Венкатешем і Крейгом Вестерландом, використані моменти вивчити статистику класових груп у дещо інших умовах, ніж розглядали Коен і Ленстра. Ця ідея була повторне використання кілька times. Але кожного разу, коли дослідники використовували ці моменти, вони спиралися на особливості своєї проблеми, щоб довести, що нескінченний набір рівнянь має рішення. Це означало, що їхні методи не можна було передати. Наступний математик, якому знадобилося б використовувати моменти, мав би розв’язувати проблему моментів заново.

На початку співпраці Савін і Вуд також планували піти цим шляхом. Вони використовували моменти, щоб спрогнозувати, як розподіляються складніші версії класних груп. Але приблизно через рік після початку свого проекту вони звернули увагу на саму проблему моменту.

Відволіктися

Колеги описують Савіна і Вуда як надзвичайно захоплених своєю роботою. «Вони обоє дуже розумні. Але є багато розумних людей», – сказав Зюрейк-Браун. «У них просто позитивне ставлення до занять математикою».

Спочатку Савін і Вуд хотіли використати моменти, щоб розширити передбачення Коена-Ленстри до нових умов. Але незабаром вони стали незадоволені своїм аргументом щодо проблеми моменту. «У нас була потреба неодноразово писати подібні аргументи», — згадував Савін. Крім того, додав він, математична мова, яку вони використовували, «здавалося, не вникала в суть того, що робив аргумент... Ідеї були, але ми просто не знайшли правильного способу їх вираження».

Савін і Вуд глибше досліджували свої докази, намагаючись з’ясувати, що насправді було під цим усім. У підсумку вони отримали доказ, який вирішив проблему моменту не лише для їх конкретного застосування, але й для будь-якого розподілу груп — і для всіх видів інших математичних структур.

Вони розбивають проблему на невеликі, керовані кроки. Замість того, щоб намагатися вирішити весь розподіл ймовірностей за один раз, вони зосередилися лише на невеликій частині моментів.

Наприклад, щоб вирішити проблему моментів для розподілу ймовірностей по групах, кожен момент буде пов’язано з групою G. Спочатку Савін і Вуд розглядали систему рівнянь, яка включала лише моменти для обмеженого списку груп. Потім вони повільно додавали групи до списку, переглядаючи щоразу все більше моментів. Поступово ускладнюючи проблему, вони перетворювали кожен крок на розв’язувану проблему. По крупицях вони дійшли до повного вирішення моментної проблеми.

«Цей фіксований список схожий на окуляри, які ви одягаєте, і чим більше груп ви готові розглянути, тим кращі ваші окуляри», — пояснив Вуд.

Коли вони нарешті змахнули пил із останніх зайвих подробиць, вони опинилися в суперечці, вусики якої сягали математики. Їхні результати спрацювали для класних груп, для груп, пов’язаних з геометричними фігурами, для мереж точок і ліній, а також для інших наборів з більшою математичною складністю. У всіх цих ситуаціях Савін і Вуд знайшли формулу, яка бере набір моментів і викидає розподіл, який має ці моменти (якщо моменти не ростуть надто швидко, серед інших вимог).

«Це дуже в стилі Мелані», — сказав Елленберг. «Начебто: «Давайте доведемо дуже загальну теорему, яка обробляє багато різних випадків наче однорідно й елегантно».»

Савін і Вуд тепер повертаються до своєї початкової мети. На початку січня вони поділилися новий папір що виправляє помилкові передбачення Коена-Ленстри зроблений наприкінці 1980-х років Коеном та його колегою Жаком Мартіне. Крім того, вони мають ще більше результатів у своїй черзі, і планують розширити евристику на ще більше нових ситуацій. «Я не знаю, чи завершиться коли-небудь цей проект», — сказав Савін.

Проблема моменту, яку розв’язали Савін і Вуд, була «свого роду колючкою на потилиці для багатьох різних запитань», – сказав Цімерман. «Я думаю, що багато математиків зітхнуть з полегшенням».