Квантовий алгоритм Гоманса-Вільямсона з тестом Адамара та обмеженнями наближеної амплітуди

Квантовий алгоритм Гоманса-Вільямсона з тестом Адамара та обмеженнями наближеної амплітуди

Мітка часу: 12 липня 2023 р., 8:29

Тейлор Л. Патті1,2, Жан Косаїфі2, Аніма Анандкумар3,2та Сюзанна Ф. Єлін1

1Фізичний факультет Гарвардського університету, Кембридж, Массачусетс 02138, США
2NVIDIA, Санта-Клара, Каліфорнія 95051, США
3Департамент комп’ютерних і математичних наук (CMS), Каліфорнійський технологічний інститут (Caltech), Пасадена, Каліфорнія 91125 США

Вам цей документ цікавий чи ви хочете обговорити? Скайте або залиште коментар на SciRate.

абстрактний

Напіввизначені програми — це методи оптимізації з широким спектром застосувань, наприклад, апроксимація складних комбінаторних задач. Однією з таких напіввизначених програм є алгоритм Гоманса-Вільямсона, популярний метод цілочисельної релаксації. Ми представляємо варіаційний квантовий алгоритм для алгоритму Гоманса-Вільямсона, який використовує лише $n{+}1$ кубітів, постійну кількість підготовок схеми та значення очікування $text{poly}(n)$ для наближеного вирішення напіввизначених програм до $N=2^n$ змінних і $M sim O(N)$ обмежень. Ефективна оптимізація досягається шляхом кодування цільової матриці як належним чином параметризованої унітарної обумовленої допоміжним кубітом, методу, відомого як тест Адамара. Тест Адамара дає нам змогу оптимізувати цільову функцію, оцінюючи лише одне очікуване значення допоміжного кубіта, а не окремо оцінювати експоненціально багато очікуваних значень. Подібним чином ми показуємо, що обмеження напіввизначеного програмування можна ефективно застосувати шляхом реалізації другого тесту Адамара, а також накладення поліноміального числа обмежень амплітуди рядка Паулі. Ми демонструємо ефективність нашого протоколу, розробляючи ефективну квантову реалізацію алгоритму Гоманса-Вільямсона для різних NP-складних задач, включаючи MaxCut. Наш метод перевищує продуктивність аналогічних класичних методів на різноманітній підмножині добре вивчених задач MaxCut із бібліотеки GSet.

Квантовий алгоритм Гоманса-Вільямсона з тестом Адамара та обмеженнями наближеної амплітуди PlatoBlockchain Data Intelligence. Вертикальний пошук. Ai.

Рекомендоване зображення: діаграма HTAAC-QSDP для алгоритму Гоманса-Вільямсона з $n=3$ недопоміжних кубітів. a) Класична задача $N$ змінних (тут $N$-вершина MaxCut задача, де $N=8$). Вагова матриця $W$ використовується для створення унітарного $U_W$. b) Критерій Адамара використовується для ефективної оцінки цільової функції та обмежень балансування населення. $n$-кубітний стан $|psirangle = U_V|mathbf{0}rangle$ готується за допомогою варіаційної квантової схеми $U_V$. $n+1$-й (допоміжний) кубіт ініціалізується як $(|0rangle -i |1rangle)/sqrt{2}$. Згодом виконується тест Адамара: $U_W$ реалізується як контрольоване унітарне обумовлене допоміжним кубітом, який потім вимірюється для обчислення $langle sigma_{n+1} rangle_{W,t} = text{Im} [langle psi|U_W|psi діапазон]$ або $langle sigma_{n+1} rangle_{P,t} = текст{Im}[langle psi|U_P|psi діапазон]$. c) Обмеження амплітудних обмежень $M=2^n$ SDP приблизно застосовуються лише з обмеженнями рядка Паулі $m sim text{poly}(n)$. Вони обчислюються шляхом збору $n$-кубітних вимірювань Паулі-$z$ і використання граничної статистики для оцінки $m$ очікуваних значень.

Популярне резюме

Напіввизначені програми дозволяють нам апроксимувати широкий спектр складних задач, включаючи NP-складні задачі. Однією з таких напіввизначених програм є алгоритм Гоманса-Вільямсона, який може вирішувати складні проблеми, такі як MaxCut. Ми представляємо варіаційний квантовий алгоритм для алгоритму Гоманса-Вільямсона, який використовує лише $n{+}1$ кубітів, постійну кількість підготовок схеми та поліноміальне число очікуваних значень, щоб наближено розв’язувати напіввизначені програми з експоненційною кількістю змінні та обмеження. Ми кодуємо проблему в квантову схему (або унітарну) і зчитуємо її на одному допоміжному кубіті, метод, відомий як тест Адамара. Подібним чином ми показуємо, що обмеження проблеми можуть бути забезпечені за допомогою 1) другого тесту Адамара та 2) поліноміального числа обмежень рядків Паулі. Ми демонструємо ефективність нашого протоколу, розробляючи ефективну квантову реалізацію алгоритму Гоманса-Вільямсона для різних NP-складних задач, включаючи MaxCut. Наш метод перевершує продуктивність аналогічних класичних методів на різноманітній підмножині добре вивчених проблем MaxCut.

► Дані BibTeX

► Список літератури

[1] Стівен П. Бойд і Лівен Ванденберге. “Опукла оптимізація”. Cambridge Press. (2004).
https://​/​doi.org/​10.1017/​CBO9780511804441

[2] Мішель X. Гоманс. “Напіввизначене програмування в комбінаторній оптимізації”. Математичне програмування 79, 143–161 (1997).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02614315

[3] Лівен Ванденберге та Стівен Бойд. “Застосування напіввизначеного програмування”. Applied Numerical Mathematics 29, 283–299 (1999).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​S0168-9274(98)00098-1

[4] Веньцзюнь Лі, Ян Дін, Йонцзі Ян, Р. Саймон Шерратт, Чон Хюк Пак і Джин Ван. “Параметризовані алгоритми фундаментальних np-складних задач: огляд”. Людино-орієнтовані обчислювальні та інформаційні науки 10, 29 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1186 / s13673-020-00226-w

[5] Крістоф Хельмберг. “Напіввизначене програмування для комбінаторної оптимізації”. Konrad-Zuse-Zentrum fur Informationstechnik Berlin. (2000).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02614315

[6] Мішель X. Гоманс і Девід П. Вільямсон. «Покращені алгоритми наближення для задач максимального розрізу та виконуваності з використанням напіввизначеного програмування». J. ACM 42, 1115–1145 (1995).
https: / / doi.org/ 10.1145 / 227683.227684

[7] Флоріан А. Потра та Стівен Дж. Райт. «Методи внутрішньої точки». Журнал обчислювальної та прикладної математики 124, 281–302 (2000).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​S0377-0427(00)00433-7

[8] Хаотян Цзян, Тарун Катурія, Їнь Тат Лі, Сваті Падманабхан і Чжао Сонг. «Швидший метод внутрішньої точки для напіввизначеного програмування». У 2020 році 61-й щорічний симпозіум IEEE з основ інформатики (FOCS). Сторінки 910–918. IEEE (2020).
https://​/​doi.org/​10.1109/​FOCS46700.2020.00089

[9] Байхе Хуан, Шуньхуа Цзян, Чжао Сун, Руньчжоу Тао та Руйче Чжан. «Швидше вирішення sdp: надійна структура ipm та ефективне впровадження». У 2022 році 63-й щорічний симпозіум IEEE з основ комп’ютерних наук (FOCS). Сторінки 233–244. IEEE (2022).
https://​/​doi.org/​10.1109/​FOCS54457.2022.00029

[10] Девід П. Вільямсон і Девід Б. Шмойс. “Проектування апроксимаційних алгоритмів”. Cambridge University Press. (2011).
https://​/​doi.org/​10.1017/​CBO9780511921735

[11] Ніколай Молл, Панайотіс Баркуцос, Лев С. Бішоп, Джеррі М. Чоу, Ендрю Кросс, Деніел Дж. Еггер, Стефан Філіпп, Андреас Фюрер, Джей М. Гамбетта, Марк Ганжорн та ін. «Квантова оптимізація з використанням варіаційних алгоритмів на короткострокових квантових пристроях». Квантова наука та технологія 3, 030503 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1088 / 2058-9565 / aab822

[12] Едвард Фархі, Джеффрі Голдстоун, Сем Гутман і Майкл Сіпсер. «Квантові обчислення шляхом адіабатичної еволюції» (2000). arXiv:quant-ph/​0001106.
arXiv: quant-ph / 0001106

[13] Тамім Албаш і Даніель А. Лідар. “Адіабатичне квантове обчислення”. Rev. Mod. фіз. 90, 015002 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.90.015002

[14] Sepehr Ebadi, Alexander Keesling, Madelyn Cain, Tout T Wang, Harry Levine, Dolev Bluvstein, Giulia Semeghini, Ahmed Omran, JG Liu, Rhine Samajdar та ін. “Квантова оптимізація максимального незалежного набору з використанням масивів атомів Рідберга”. Наука 376, 1209–1215 (2022).
https://​/​doi.org/​10.1126/​science.abo6587

[15] Тадаші Кадовакі та Хідетоші Нісіморі. “Квантовий відпал у поперечній моделі Ізінга”. фіз. Rev. E 58, 5355–5363 (1998).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevE.58.5355

[16] Елізабет Гібні. «Оновлення D-хвилі: як вчені використовують найбільш суперечливий у світі квантовий комп’ютер». Природа 541 (2017).
https://​/​doi.org/​10.1038/​541447b

[17] Едвард Фархі, Джеффрі Голдстоун і Сем Гутман. “Алгоритм квантової наближеної оптимізації”. arXiv (2014). arXiv:1411.4028.
https://​/​doi.org/​10.48550/​arXiv.1411.4028
arXiv: 1411.4028

[18] Хуан М. Арразола, Вілле Бергхольм, Каміл Брадлер, Томас Р. Бромлі, Метт Дж. Коллінз, Іш Дханд, Альберто Фумагаллі, Томас Геррітс, Андрій Гуссев, Лукас Г. Хелт та ін. «Квантові схеми з багатьма фотонами на програмованому нанофотонному чіпі». Nature 591, 54–60 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41586-021-03202-1

[19] Фернандо Дж.С.Л. Брандао, Амір Калев, Тонг’ян Лі, Седрік Єн-Ю Лін, Кріста М. Своре та Сяоді Ву. «Квантові розв’язувачі SDP: великі прискорення, оптимальність і застосування до квантового навчання». 46-й міжнародний колоквіум з автоматів, мов і програмування (ICALP 2019) 132, 27:1–27:14 (2019).
https://​/​doi.org/​10.4230/​LIPIcs.ICALP.2019.27

[20] Йоран Ван Апелдорн і Андраш Гільєн. «Покращення квантового розв’язування SDP за допомогою програм». У матеріалах 46-го Міжнародного колоквіуму з автоматів, мов і програмування (2019).
https://​/​doi.org/​10.4230/​LIPICS.ICALP.2019.99

[21] Йоран ван Апелдорн, Андрас Гільєн, Сандер Гріблінг і Рональд де Вольф. “Квантові sdp-розв’язувачі: кращі верхні та нижні межі”. Квант 4, 230 (2020).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2020-02-14-230

[22] Фернандо Дж. С. Л. Брандао та Кріста М. Своре. “Квантові прискорення для розв’язування напіввизначених програм”. У 2017 році на 58-му щорічному симпозіумі IEEE з основ комп’ютерних наук (FOCS). Сторінки 415–426. (2017).
https://​/​doi.org/​10.1109/​FOCS.2017.45

[23] Фернандо Г. С. Л. Брандао, Річард Куенг і Даніель Стілк Франца. «Швидші квантові та класичні апроксимації SDP для квадратичної бінарної оптимізації». Квант 6, 625 (2022).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2022-01-20-625

[24] Друміл Пател, Патрік Дж. Коулз і Марк М. Уайльд. «Варіаційні квантові алгоритми для напіввизначеного програмування» (2021). arXiv:2112.08859.
arXiv: 2112.08859

[25] Анірбан Н. Чоудхурі, Гуан Хао Лоу та Натан Вібе. «Варіаційний квантовий алгоритм для підготовки квантових станів Гіббса» (2020). arXiv:2002.00055.
arXiv: 2002.00055

[26] Тейлор Л. Патті, Омар Шехаб, Хадідже Наджафі та Сюзанна Ф. Єлін. «Ланцюг Маркова Монте-Карло, розширені варіаційні квантові алгоритми». Квантова наука і технології 8, 015019 (2022).
https://​/​doi.org/​10.1088/​2058-9565/​aca821

[27] Юле Ван, Гуансі Лі та Сінь Ван. «Варіаційна підготовка квантового стану Гіббса з усіченим рядом Тейлора». Physical Review Applied 16, 054035 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevApplied.16.054035

[28] Санджив Арора, Елад Хазан і Сатьєн Кале. «Метод оновлення мультиплікативних ваг: метаалгоритм і застосування». Теорія обчислень 8, 121–164 (2012).
https://​/​doi.org/​10.4086/​toc.2012.v008a006

[29] Іорданіс Керенідіс і Анупам Пракаш. «Метод квантової внутрішньої точки для lps і sdps». ACM Transactions on Quantum Computing 1 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1145 / 3406306

[30] Брендон Августіно, Джакомо Наннічіні, Тамаш Терлакі та Луїс Ф. Зулуага. «Методи квантової внутрішньої точки для напіввизначеної оптимізації» (2022). arXiv:2112.06025.
arXiv: 2112.06025

[31] М. Серезо, Ендрю Аррасміт, Раян Беббуш, Саймон К. Бенджамін, Сугуру Ендо, Кейсуке Фуджі, Джаррод Р. МакКлін, Косуке Мітараі, Сяо Юань, Лукаш Сінсіо та Патрік Дж. Коулз. “Варіаційні квантові алгоритми”. Nature Reviews Physics 3, 625–644 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s42254-021-00348-9

[32] Кішор Бхарті, Тобіас Хауг, Влатко Ведрал і Леонг-Чуан Квек. «Шумний проміжний квантовий алгоритм для напіввизначеного програмування». фіз. Rev. A 105, 052445 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.105.052445

[33] Леннарт Біттель і Мартін Кліш. «Навчання варіаційних квантових алгоритмів є np-важким». фіз. Преподобний Летт. 127, 120502 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.127.120502

[34] Джаррод Р. МакКлін, Серхіо Бойшо, Вадим Н. Смілянський, Раян Беббуш і Хартмут Невен. «Безплідні плато в ландшафтах навчання квантової нейронної мережі». Nature Communications 9, 4812 (2018).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41467-018-07090-4

[35] Карлос Ортіс Марреро, Марія Кіферова та Натан Вібе. «Безплідні плато, викликані заплутаністю». PRX Quantum 2, 040316 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.2.040316

[36] Тейлор Л. Патті, Хадідже Наджафі, Сюнь Гао та Сюзанна Ф. Єлін. «Entanglement винайшов пом’якшення безплідного плато». фіз. Rev. Res. 3, 033090 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevResearch.3.033090

[37] Артур Песа, М. Серезо, Самсон Ванг, Тайлер Волкофф, Ендрю Т. Сорнборгер і Патрік Дж. Коулз. «Відсутність безплідних плато в квантових згорткових нейронних мережах». фіз. Ред. X 11, 041011 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.11.041011

[38] Доріт Агаронов, Воган Джонс і Зеф Ландау. “Поліноміальний квантовий алгоритм для апроксимації полінома Джонса”. Algorithmica 55, 395–421 (2009).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s00453-008-9168-0

[39] Клейтон В. Командир. «Задача максимального розрізу, максимальне розрізання, максимальне розрізання, максимальне розрізання». Сторінки 1991–1999. Спрингер США. Бостон, Массачусетс (2009).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-0-387-74759-0_358

[40] Стівен Дж. Бенсон, Їню Єб і Сюн Чжан. “Змішане лінійне та напіввизначене програмування для комбінаторної та квадратичної оптимізації”. Методи оптимізації та програмне забезпечення 11, 515–544 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1080 / 10556789908805761

[41] Changhui Choi та Yinyu Ye. «Розв’язування розріджених напіввизначених програм за допомогою алгоритму подвійного масштабування за допомогою ітераційного вирішувача». Рукопис, Департамент управлінських наук, Університет Айови, Айова-Сіті, IA 52242 (2000). url: web.stanford.edu/​ yyye/​yyye/​cgsdp1.pdf.
https://​/​web.stanford.edu/​~yyye/​yyye/​cgsdp1.pdf

[42] Анжеліка Вігеле. “Бібліотека Biq mac – набір екземплярів програмування max-cut і quadratic 0-1 середнього розміру”. Альпен-Адрія-Університет Клагенфурта (2007). url: biqmac.aau.at/​biqmaclib.pdf.
https://​/​biqmac.aau.at/​biqmaclib.pdf

[43] Стефан Х. Шмієта. “Бібліотека dimacs змішаних напіввизначено-квадратично-лінійних програм”. 7th DIMACS Implementation Challenge (2007). url: http://​/​archive.dimacs.rutgers.edu.
http://​/​archive.dimacs.rutgers.edu

[44] Йосікі Мацуда. «Порівняльний аналіз проблеми максимального розрізу на змодельованій біфуркаційній машині». Середній (2019). url: medium.com/​toshiba-sbm/​benchmarking-the-max-cut-problem-on-the-simulated-bifurcation-machine-e26e1127c0b0.
https://​/​medium.com/​toshiba-sbm/​benchmarking-the-max-cut-problem-on-the-simulated-bifurcation-machine-e26e1127c0b0

[45] Р. М. Карп. “Звідність серед комбінаторних задач”. Спрингер США. Бостон, Массачусетс (1972).

[46] Дімітрі П Берцекас. “Обмежена оптимізація та методи множника Лагранжа”. Академічна преса. (1982).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​C2013-0-10366-2

[47] Г. Мауро Д'Аріано, Маттео Г. А. Паріс і Массіміліано Ф. Саккі. «Квантова томографія». Досягнення в області візуалізації та електронної фізики 128, 206–309 (2003).
https://​/​doi.org/​10.48550/​arXiv.quant-ph/​0302028
arXiv: quant-ph / 0302028

[48] Алессандро Бізіо, Джуліо Чірібелла, Джакомо Мауро Д'Аріано, Стефано Факкіні та Паоло Перінотті. «Оптимальна квантова томографія». IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics 15, 1646–1660 (2009).
https://​/​doi.org/​10.1109/​JSTQE.2009.2029243

[49] Макс С. Казнаді та Даніель Ф.В. Джеймс. «Чисельні стратегії для квантової томографії: альтернативи повній оптимізації». фіз. Rev. A 79, 022109 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.79.022109

[50] Хав'єр Пенья. “Збіжність методів першого порядку через опукло спряжене”. Листи з дослідження операцій 45, 561–564 (2017).
https://​/​doi.org/​10.1016/​j.orl.2017.08.013

[51] Алан Фріз і Марк Джерум. “Покращені алгоритми апроксимації для maxk-cut і max bisection”. Algorithmica 18, 67–81 (1997).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02523688

[52] Кларк Девід Томпсон. “Теорія складності для vlsi”. кандидатська дисертація. Університет Карнегі-Меллона. (1980). url: dl.acm.org/​doi/​10.5555/​909758.
https://​/​dl.acm.org/​doi/​10.5555/​909758

[53] Чу Мін Лі та Феліп Манья. “Maxsat, жорсткі та м’які обмеження”. У Довіднику задовільності. Сторінки 903–927. IOS Press (2021).
https:/​/​doi.org/​10.3233/​978-1-58603-929-5-613

[54] Ніколас Дж. Хайгам. «Обчислення найближчої кореляційної матриці — задача з фінансів». Журнал IMA числового аналізу 22, 329–343 (2002).
https://​/​doi.org/​10.1093/​imanum/​22.3.329

[55] Тадайоші Фусікі. “Оцінка позитивних напіввизначених кореляційних матриць за допомогою опуклого квадратичного напіввизначеного програмування”. Нейронні обчислення 21, 2028–2048 (2009).
https://​/​doi.org/​10.1162/​neco.2009.04-08-765

[56] Тодд М.Дж. “Дослідження напрямків пошуку в простих двоїстих методах внутрішньої точки для напіввизначеного програмування”. Методи оптимізації та програмне забезпечення 11, 1–46 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1080 / 10556789908805745

[57] Роджер Флетчер. «Штрафні функції». Математичне програмування The State of Art: Bonn 1982Pages 87–114 (1983).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-642-68874-4_5

[58] Роберт М. Фройнд. “Штрафні та бар’єрні методи оптимізації з обмеженнями”. Конспект лекцій, Массачусетський технологічний інститут (2004). url: ocw.mit.edu/​courses/​15-084j-nonlinear-programming-spring-2004.
https://​/​ocw.mit.edu/​courses/​15-084j-nonlinear-programming-spring-2004

[59] Ерік Рікардо Аншютц. “Критичні точки в квантових генеративних моделях”. На міжнародній конференції з уявлень про навчання. (2022). url: openreview.net/​forum?id=2f1z55GVQN.
https://​/​openreview.net/​forum?id=2f1z55GVQN

[60] Амір Бек. “Методи першого порядку в оптимізації”. СІАМ. (2017).
https: / / doi.org/ 10.1137 / 1.9781611974997

[61] Санджив Арора і Сатьєн Кале. “Комбінаторний, первинно-дуальний підхід до напіввизначених програм”. J. ACM 63 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1145 / 2837020

[62] Тейлор Л. Патті, Жан Коссаіфі, Сюзанна Ф. Єлін та Аніма Анандкумар. «Тензорно-квантовий: квантове машинне навчання з тензорними методами» (2021). arXiv:2112.10239.
arXiv: 2112.10239

[63] Жан Коссаіфі, Янніс Панагакіс, Аніма Анандкумар і Майя Пантіч. «Tensorly: вивчення тензорів у Python». Журнал досліджень машинного навчання 20, 1–6 (2019). url: http://​/​jmlr.org/​papers/​v20/​18-277.html.
http://​/​jmlr.org/​papers/​v20/​18-277.html

[64] Команда cuQuantum. «Nvidia/​cuquantum: cuquantum v22.11» (2022).

[65] Дідерік П. Кінгма та Джиммі Ба. «Адам: метод стохастичної оптимізації» (2017). arXiv:1412.6980.
arXiv: 1412.6980

[66] Брахім Чаурар. “Лінійний часовий алгоритм для варіанту задачі максимального розрізу в послідовних паралельних графах”. Досягнення в дослідженні операцій (2017).
https://​/​doi.org/​10.1155/​2017/​1267108

[67] Юрій Макаричев. “Короткий доказ критерію планарності графа Куратовського”. Журнал теорії графів 25, 129–131 (1997).
<a href="https://doi.org/10.1002/(SICI)1097-0118(199706)25:23.0.CO;2-O”>https:/​/​doi.org/​10.1002/​(SICI)1097-0118(199706)25:2<129::AID-JGT4>3.0.CO;2-O

[68] Бела Боллобас. «Еволюція випадкових графів — гігантський компонент». Сторінки 130–159. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press. (2001). 2 видання.
https://​/​doi.org/​10.1017/​CBO9780511814068.008

[69] Санджив Арора, Девід Каргер і Марек Карпінскі. “Поліноміальні схеми апроксимації часу для щільних екземплярів np-складних задач”. Журнал комп'ютерних і системних наук 58, 193–210 (1999).
https://​/​doi.org/​10.1006/​jcss.1998.1605

[70] Рік Даррет. “Випадкові графи Ердеша–Реньї”. Сторінки 27–69. Кембриджська серія зі статистичної та ймовірнісної математики. Cambridge University Press. (2006).
https://​/​doi.org/​10.1017/​CBO9780511546594.003

[71] Гарі Чартран і Пінг Чжан. “Теорія хроматичних графів”. Тейлор і Френсіс. (2008).
https: / / doi.org/ 10.1201 / 9781584888017

[72] Джон ван де Ветеринг. «Zx-обчислення для робочого квантового інформатика» (2020). arXiv:2012.13966.
arXiv: 2012.13966

[73] Олександр Коутан, Сайлас Ділкс, Росс Дункан, Вілл Сіммонс і Сейон Сівараджа. «Синтез фазового гаджета для неглибоких ланцюгів». Електронні матеріали з теоретичної інформатики 318, 213–228 (2020).
https://​/​doi.org/​10.4204/​eptcs.318.13

[74] Ендрю М. Чайлдс, Юань Су, Мінь Ч. Чан, Натан Вібе та Шучен Чжу. “Теорія помилки Троттера з комутаторним масштабуванням”. фіз. Ред. X 11, 011020 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.11.011020

[75] Джозеф В. Бріттон, Брайан С. Сойєр, Адам С. Кіт, Сі Сі Джозеф Ван, Джеймс К. Фрірікс, Германн Уіс, Майкл Дж. Бірчук і Джон Дж. Боллінджер. «Спроектовані двовимірні ізингові взаємодії в квантовому симуляторі захоплених іонів із сотнями обертів». Nature 484, 489–492 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1038 / nature10981

[76] Ханнес Бернієн, Сільвен Шварц, Олександр Кіслінг, Гаррі Левін, Ахмед Омран, Ханнес Піхлер, Сунвон Чой, Олександр Зібров, Мануель Ендрес, Маркус Грейнер та ін. «Дослідження динаміки багатьох тіл на 51-атомному квантовому симуляторі». Nature 551, 579–584 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1038 / nature24622

[77] Георге-Сорін Параоану. «Останній прогрес у квантовому моделюванні з використанням надпровідних кіл». Журнал фізики низьких температур 175, 633–654 (2014).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s10909-014-1175-8

[78] Кацукі Фудзісава, Хітоші Сато, Сатоші Мацуока, Тошіо Ендо, Макото Ямасіта та Махо Наката. “Високопродуктивний загальний розв’язувач для надзвичайно великих задач напіввизначеного програмування”. У SC '12: Матеріали міжнародної конференції з високопродуктивних обчислень, мереж, зберігання та аналізу. Сторінки 1–11. (2012).
https://​/​doi.org/​10.1109/​SC.2012.67

[79] Адріан С. Льюїс і Майкл Л. Овертон. “Оптимізація власних значень”. Acta Numerica 5, 149–190 (1996).
https: / / doi.org/ 10.1017 / S0962492900002646

[80] Сяосі Сюй, Цзіньчжао Сунь, Сугуру Ендо, Ін Лі, Саймон К. Бенджамін і Сяо Юань. “Варіаційні алгоритми для лінійної алгебри”. Науковий вісник 66, 2181–2188 (2021).
https://​/​doi.org/​10.1016/​j.scib.2021.06.023

Цитується

Не вдалося отримати Перехресне посилання, наведене за даними під час останньої спроби 2023-07-12 14:07:40: не вдалося отримати цитовані дані для 10.22331/q-2023-07-12-1057 з Crossref. Це нормально, якщо DOI був зареєстрований нещодавно. Увімкнено SAO / NASA ADS даних про цитування робіт не знайдено (остання спроба 2023-07-12 14:07:40).

Ця стаття опублікована в Quantum під Creative Commons Attribution 4.0 International (CC на 4.0) ліцензія. Авторське право залишається за оригінальними власниками авторських прав, такими як автори або їх установи.

Часова мітка:

Більше від Квантовий журнал