Коли Даніель Ларсен навчався в середній школі, він почав складати кросворди. Йому довелося поставити це хобі на поверх інших інтересів: шахи, програмування, фортепіано, скрипка. Після перемоги в регіональному конкурсі він двічі проходив кваліфікацію на Scripps National Spelling Bee поблизу Вашингтона, округ Колумбія. «Він зосереджується на чомусь, і це просто бац-бац-бац, поки він не досягне успіху», — сказала мати Ларсена, Аєлет Лінденштраус. Його перші кросворди були відхилені великими газетами, але він продовжував це робити й зрештою зламався. На сьогоднішній день він тримає рекорд для наймолодшої людини, яка опублікувала кросворд The New York Times , у віці 13 років. «Він дуже наполегливий», - сказав Лінденштраус.
Тим не менш, остання одержимість Ларсена була іншою, «довшою та інтенсивнішою, ніж більшість інших його проектів», сказала вона. Понад півтора року Ларсен не міг перестати думати про певну математичну задачу.
Воно мало коріння в ширшому питанні, яке математик Карл Фрідріх Ґаус вважав одним із найважливіших у математиці: як відрізнити просте число (число, яке ділиться лише на 1 і на себе) від складеного числа. Протягом сотень років математики шукали ефективний спосіб зробити це. Проблема також стала актуальною в контексті сучасної криптографії, оскільки деякі з найбільш широко використовуваних сьогодні криптосистем передбачають виконання арифметики з величезними простими числами.
Понад століття тому, шукаючи швидкий і потужний тест на простоту, математики натрапили на групу порушників спокою — числа, які обманюють тести, вважаючи їх простими, навіть якщо вони не є такими. Ці псевдопрості числа, відомі як числа Кармайкла, було особливо важко зрозуміти. Лише в середині 1990-х, наприклад, математики довели, що їх нескінченно багато. Можливість сказати щось більше про те, як вони розподіляються вздовж числової прямої, представляє ще більший виклик.
Потім з'явився Ларсен новий доказ саме про це, натхненний нещодавньою епохальною роботою в іншій галузі теорії чисел. На той час йому було лише 17.
Іскра
Виріс у Блумінгтоні, Індіана, Ларсен завжди тягнувся до математики. Його батьки, обидва математики, познайомили його та його старшу сестру з предметом, коли вони були маленькими. (Зараз вона вивчає докторський ступінь з математики.) Коли Ларсену було 3 роки, згадує Лінденштраус, він почав ставити їй філософські запитання про природу нескінченності. «Я думав, що ця дитина має математичний склад розуму», — сказав Лінденштрауса, професор Університету Індіани.
Тоді кілька років тому — приблизно в той час, коли він був занурений у свої проекти з орфографії та кросвордів — він натрапив на документальний фільм про Ітан Чжан, невідомий математик, який вийшов з невідомості в 2013 році після підтвердивши знаковий результат які встановлюють верхню межу проміжків між послідовними простими числами. У Ларсена щось клацнуло. Він не міг перестати думати про теорію чисел і про пов’язану з нею проблему, яку Чжан та інші математики все ще сподівалися розв’язати: гіпотезу про подвійні прості числа, яка стверджує, що існує нескінченна кількість пар простих чисел, які відрізняються лише на 2.
Після роботи Чжана, яка показала, що існує нескінченна кількість пар простих чисел, які відрізняються менш ніж на 70 мільйонів, вскочили інші щоб ще більше знизити цю межу. За кілька місяців математики Джеймс Мейнард та Теренс Дао незалежно довів ще сильніше твердження про проміжки між простими числами. Відтоді цей розрив скоротився до 246.
Ларсен хотів зрозуміти дещо з математики, яка лежить в основі роботи Мейнарда і Тао, «але для мене це було майже неможливо», — сказав він. Їхні документи були надто складними. Ларсен спробував прочитати подібну роботу, але виявив, що вона теж непроникна. Він продовжував це, стрибаючи від одного результату до іншого, доки нарешті, у лютому 2021 року, не натрапив на документ, який вважав одночасно красивим і зрозумілим. Його тема: числа Кармайкла, ці дивні складені числа, які іноді можуть видавати себе за прості.
Усі, крім Prime
У середині XVII століття французький математик П’єр де Ферма написав листа своїй подрузі та довіреній особі Френікль де Бессі, у якому виклав те, що пізніше буде відоме як його «маленька теорема». Якщо N тоді є простим числом bN - b завжди кратне N, що б не трапилося b є. Наприклад, 7 - просте число, а в результаті - 27 – 2 (що дорівнює 126) кратне 7. Подібним чином 37 – 3 кратне 7 і так далі.
Математики побачили потенціал для ідеального тесту на те, чи є дане число простим чи складеним. Вони знали, що якщо N є простим, bN - b завжди кратне N. Що, якби було й зворотне? Тобто якщо bN - b є кратним числом N для всіх значень b, повинні N бути прем'єром?
На жаль, виявилося, що в дуже рідкісних випадках N може задовольнити цю умову і все ще бути складеним. Найменше таке число 561: Для будь-якого цілого b, b561 - b завжди кратне 561, навіть якщо 561 не є простим числом. Такі числа були названі на честь математика Роберта Кармайкла, якому часто приписують публікацію першого прикладу в 1910 році (хоча чеський математик Вацлав Шимерка самостійно відкрив приклади в 1885 році).
Математики хотіли краще зрозуміти ці числа, які так сильно нагадують найфундаментальніші об’єкти теорії чисел — прості числа. Виявилося, що в 1899 році — за десять років до результату Кармайкла — інший математик, Елвін Корсельт, дав еквівалентне визначення. Він просто не знав, чи є якісь цифри, які відповідають цьому рахунку.
За критерієм Корсельта ряд N є числом Кармайкла тоді і тільки тоді, коли воно задовольняє три властивості. По-перше, він повинен мати більше ніж один простий множник. По-друге, жоден простий множник не може повторюватися. І по-третє, для кожного простого числа p що розділяє N, p – 1 також ділить N – 1. Знову розглянемо число 561. Воно дорівнює 3 × 11 × 17, тому воно однозначно задовольняє першим двом властивостям у списку Корсельта. Щоб показати останню властивість, відніміть 1 від кожного простого множника, щоб отримати 2, 10 і 16. Крім того, відніміть 1 від 561. Усі три менші числа є дільниками 560. Отже, число 561 є числом Кармайкла.
Хоча математики підозрювали, що чисел Кармайкла нескінченно багато, їх порівняно небагато порівняно з простими числами, що ускладнювало їх визначення. Потім у 1994 році Ред Алфорд, Ендрю Гранвіль та Карл Померанс опублікував прорив папір в якому вони нарешті довели, що цих псевдопростих чисел справді нескінченно багато.
На жаль, методи, які вони розробили, не дозволили їм нічого сказати про те, як виглядали ці числа Кармайкла. Чи з’явилися вони кластерами вздовж числової прямої з великими проміжками між ними? Або ви завжди можете знайти номер Кармайкла за короткий проміжок часу? «Можна подумати, що якщо ти зможеш довести, що їх нескінченно багато, — сказав Ґренвілл, — ти, звичайно, зможеш довести, що між ними немає великих проміжків, що вони мають бути відносно добре розподілені».
Зокрема, він і його співавтори сподівалися довести твердження, яке відображало б цю ідею — що, враховуючи досить велике число X, між ними завжди буде число Кармайкла X і 2X. «Це ще один спосіб виразити, наскільки вони всюдисущі», — сказав Джон Грантам, математик з Інституту оборонного аналізу, який займався подібною роботою.
Але десятиліттями ніхто не міг цього довести. Методи, розроблені Елфордом, Гранвілем і Померансом, «дозволили нам показати, що буде багато чисел Кармайкла, — сказав Померанс, — але насправді не дозволили нам повністю контролювати, де вони будуть. »
Потім, у листопаді 2021 року, Гранвіль відкрив електронний лист від Ларсена, якому тоді було 17 років і він навчався на останньому курсі середньої школи. А папір було прикріплено — і, на подив Ґренвіля, це виглядало правильно. «Це було не найлегше читати, — сказав він. «Але коли я це прочитав, було цілком зрозуміло, що він не пустував. У нього були геніальні ідеї».
Померанс, який прочитав пізнішу версію твору, погодився. «Його доказ справді досить просунутий», — сказав він. «Це був би документ, написанням якого будь-який математик справді пишався б. А ось це пише старшокласник».
Ключем до доказу Ларсена була робота, яка в першу чергу привернула його до чисел Кармайкла: результати Мейнарда і Тао щодо простих розривів.
Навряд чи неможливо
Коли Ларсен вперше вирішив показати, що ви завжди можете знайти число Кармайкла за короткий проміжок часу, «здавалося, що це настільки очевидно, що це так важко довести?» він сказав. Він швидко зрозумів, що це дійсно може бути дуже важко. «Це проблема, яка перевіряє технології нашого часу», — сказав він.
У своїй статті 1994 року Елфорд, Гранвіль і Померанс показали, як створити нескінченну кількість чисел Кармайкла. Але вони не змогли контролювати розмір простих чисел, які використовували для їх побудови. Це те, що Ларсен повинен був зробити, щоб побудувати числа Кармайкла, які були б відносно близькими за розміром. Складність проблеми хвилювала його батька, Майкла Ларсена. «Я не думав, що це неможливо, але я вважав, що навряд чи йому вдасться», — сказав він. «Я бачив, скільки часу він витрачає на це… і відчув, що для нього було б руйнівно віддати цьому стільки себе й не отримати».
І все-таки він знав, що не варто відмовляти сина. «Коли Деніел береться за щось, що його справді цікавить, він дотримується цього в усіх випадках», — сказав він.
Тож Ларсен повернувся до документів Мейнарда — зокрема, до роботи, щоб показати, що якщо взяти певні послідовності з достатньої кількості чисел, деяка підмножина цих чисел має бути простими. Ларсен модифікував техніку Мейнарда, щоб поєднати її з методами, використовуваними Алфордом, Гранвілем і Померансом. Це дозволило йому переконатися, що прості числа, які він отримав, будуть змінюватися за розміром — достатньо, щоб отримати числа Кармайкла, які потраплятимуть у потрібні йому інтервали.
«Він має більше контролю над речами, ніж ми будь-коли», — сказав Гранвіль. І він досяг цього завдяки особливо розумному використанню роботи Мейнарда. «Непросто … використовувати цей прогрес на коротких проміжках між простими числами», — сказав Кайса Матомякі, математик Університету Турку у Фінляндії. «Дуже приємно, що він може поєднати це з запитанням про числа Кармайкла».
Насправді, аргумент Ларсена не просто дозволив йому показати, що число Кармайкла завжди має бути між X і 2X. Його доказ також працює для набагато менших інтервалів. Тепер математики сподіваються, що це також допоможе розкрити інші аспекти поведінки цих дивних чисел. «Це інша ідея», — сказав Томас Райт, математик з Wofford College в Південній Кароліні, який працює над псевдопростими числами. «Це багато чого змінює в тому, як ми можемо доводити речі про числа Кармайкла».
Грантам погодився. «Тепер ви можете робити те, про що ніколи не думали», — сказав він.
Тим часом Ларсен щойно почав свій перший курс у Массачусетському технологічному інституті. Він не впевнений, над якою проблемою він міг би працювати далі, але він дуже хоче дізнатися, що там є. «Я просто відвідую курси... і намагаюся бути відкритим», — сказав він.
«Він робив усе це, не маючи вищої освіти», — сказав Грантам. «Я можу тільки уявити, що він збирається придумати в аспірантурі».
