Таємнича математика більярдних столів | Журнал Quanta

У фільмі Діснея 1959 року Дональд в Математичній країні, Дональд Дак, натхненний описом оповідача про геометрію більярду, енергійно вдаряє по битку, відправляючи його рикошетом навколо столу, перш ніж він нарешті влучить у призначені кулі. Дональд запитує: «Як тобі це з математики?»

Оскільки у прямокутних більярдних столів є чотири стіни, що стикаються під прямим кутом, більярдні траєкторії, подібні траєкторії Дональда, передбачувані та добре зрозумілі, навіть якщо їх важко реалізувати на практиці. Однак математики-дослідники досі не можуть відповісти на елементарні питання щодо можливих траєкторій руху більярдних куль на столах у формі інших багатокутників (форм з плоскими сторонами). Навіть трикутники, найпростіші багатокутники, все ще зберігають таємниці.

Чи завжди можна вдарити м’яч так, щоб він повернувся у вихідну точку, рухаючись у тому ж напрямку, створюючи так звану періодичну орбіту? Ніхто не знає. Для інших, більш складних фігур, невідомо, чи можна вдарити м’яч з будь-якої точки на столі в будь-яку іншу точку на столі.

Незважаючи на те, що ці питання, здається, щільно вписуються в рамки геометрії, як її викладають у середній школі, спроби їх розв’язати вимагали від деяких провідних математиків світу залучити ідеї з різних галузей, включаючи динамічні системи, топологію та диференціальну геометрію. Як і у випадку з будь-якою великою математичною проблемою, робота над цими проблемами створила нову математику та поглинула нові знання в інших галузях. Проте, незважаючи на всі ці зусилля та розуміння, яке привнесли сучасні комп’ютери, ці, здавалося б, прості проблеми вперто не піддаються вирішенню.

Ось що математики дізналися про більярд після епічного заплутаного удару Дональда Дака.

Зазвичай вони припускають, що їх більярдна куля є нескінченно малою безрозмірною точкою і що вона відскакує від стін з ідеальною симетрією, відлітаючи під тим самим кутом, під яким вона прибуває, як показано нижче.

Без тертя м’яч рухається нескінченно довго, поки не досягне кута, який зупинить м’яч, як кишеню. Причина, чому більярд так важко проаналізувати математично, полягає в тому, що два майже ідентичні удари, які припадають по обидва боки кута, можуть мати дуже різні траєкторії.

Ключовий метод аналізу багатокутного більярду полягає в тому, щоб не думати про те, що куля відскакує від краю столу, а натомість уявити, що щоразу, коли куля вдаряється об стіну, вона продовжує мандрувати у свіжу копію столу, яку перевертають краю, утворюючи дзеркальне відображення. Цей процес (див. нижче), який називається розгортанням більярдної доріжки, дозволяє кулі продовжувати рух по прямій траєкторії. Склавши уявні таблиці назад на їхні сусіди, ви можете відновити фактичну траєкторію м’яча. Цей математичний трюк дає змогу довести речі про траєкторію, які інакше було б складно побачити.

Наприклад, його можна використати, щоб показати, чому прості прямокутні таблиці мають нескінченну кількість періодичних траєкторій через кожну точку. Подібний аргумент справедливий для будь-якого прямокутника, але для конкретності уявіть стіл, який вдвічі ширший за його довжину.

Припустімо, ви хочете знайти періодичну орбіту, яка перетинає стіл n разів у довгому напрямку і m разів у короткому напрямку. Оскільки кожне дзеркальне відображення прямокутника відповідає м’ячу, що відскакує від стіни, щоб м’яч повернувся у вихідну точку, рухаючись у тому ж напрямку, його траєкторія повинна перетнути стіл парну кількість разів в обох напрямках. Так m та n має бути рівним. Накресліть сітку з однакових прямокутників, кожен з яких розглядається як дзеркальне відображення сусідніх. Накресліть відрізок лінії від точки на оригінальній таблиці до ідентичної точки на копії n столи в довгому напрямку і m столи подалі в короткому напрямку. Злегка відкоригуйте вихідну точку, якщо шлях проходить через кут. Ось приклад, де n = 2 і m = 6. У складеному назад контурі створює періодичну траєкторію, як показано в зеленому прямокутнику.

Нерівність трикутника

Більш складний більярд в трикутниках, які не мають гарної прямокутної геометрії прямокутників. Як ви, напевно, пам’ятаєте зі шкільної геометрії, існує кілька видів трикутників: гострокутні трикутники, де всі три внутрішні кути менші за 90 градусів; прямокутні трикутники, які мають кут 90 градусів; і тупокутні трикутники, у яких один кут перевищує 90 градусів.

Більярдні столи у вигляді гострокутного і прямокутного трикутників мають періодичні траєкторії. Але ніхто не знає, чи те ж саме справедливо для тупокутних трикутників.

Щоб знайти періодичну траєкторію в гострокутному трикутнику, проведіть перпендикуляр від кожної вершини до протилежної сторони, як видно зліва внизу. З’єднайте точки, де виникають прямі кути, щоб утворити трикутник, як показано праворуч.

Цей вписаний трикутник є періодичною більярдною траєкторією, яка називається орбітою Фаньяно, названою на честь Джованні Фаньяно, який у 1775 році показав, що цей трикутник має найменший периметр з усіх вписаних трикутників.

На початку 1990-х Фред Холт у Вашингтонському університеті та Григорій Гальперін та його співробітників у Московському державному університеті самостійно показав що кожен прямокутний трикутник має періодичні орбіти. Один простий спосіб показати це — відобразити трикутник навколо одного катета, а потім іншого, як показано нижче.

Почніть з траєкторії під прямим кутом до гіпотенузи (довшої сторони трикутника). Гіпотенуза та її друге відображення паралельні, тому перпендикулярний відрізок, що з’єднує їх, відповідає траєкторії, яка вічно відскакує туди-сюди: м’яч відходить від гіпотенузи під прямим кутом, відскакує від обох катетів, повертається до гіпотенузи під правим кутом. кутом, а потім повторює свій маршрут.

Але тупокутні трикутники залишаються загадкою. У своїй статті 1992 року Гальперін і його співробітники запропонували різноманітні методи відображення тупих трикутників таким чином, щоб ви могли створювати періодичні орбіти, але методи працювали лише в деяких особливих випадках. Потім, у 2008 р. Річард Шварц в Університеті Брауна показали, що всі тупокутні трикутники с кути 100 градусів або менше містять періодичну траєкторію. Його підхід передбачав розбиття проблеми на кілька випадків і перевірку кожного випадку за допомогою традиційної математики та комп’ютерної допомоги. У 2018 році Джейкоб Гарбер, Боян Маринов, Кеннет Мур і Джордж Токарський в Університеті Альберти розширив цей поріг до 112.3 градусів. (Токарський і Маринов провів більше десяти років переслідування цієї мети.)

Топологічний поворот

Інший підхід був використаний, щоб показати, що якщо всі кути раціональні — тобто їх можна виразити дробами — тупі трикутники з ще більшими кутами повинні мати періодичні траєкторії. Замість того, щоб просто копіювати багатокутник на плоскій площині, цей підхід відображає копії багатокутників на топологічні поверхні, пончики з одним або кількома отворами в них.

Якщо ви відобразите прямокутник над його короткою стороною, а потім відобразите обидва прямокутники над їхньою найдовшою стороною, створивши чотири версії вихідного прямокутника, а потім склеїте верх і низ, а також ліворуч і праворуч разом, ви зробите пончик, або тор, як показано нижче. Більярдні траєкторії на столі відповідають траєкторіям на торі, і навпаки.

У знаковій статті 1986 року Говард Мазур використовував цю техніку, щоб показати, що всі багатокутні таблиці з раціональними кутами мають періодичні орбіти. Його підхід спрацьовував не лише для тупокутних трикутників, але й для набагато складніших форм: скажімо, неправильні 100-гранні столи або багатокутники, чиї стіни зиґоподібно утворюють закутки та тріщини, мають періодичні орбіти, якщо кути раціональні.

Дещо примітно, що існування однієї періодичної орбіти в багатокутнику означає існування нескінченної кількості; зсув траєкторії лише на трохи дасть сімейство пов’язаних періодичних траєкторій.

Проблема освітлення

Форми з закутками викликають схоже запитання. Замість запиту про траєкторії, які повертаються до початкової точки, ця задача запитує, чи можуть траєкторії відвідати кожну точку заданої таблиці. Це називається проблемою освітлення, тому що ми можемо подумати про це, уявивши лазерний промінь, який відбивається від дзеркальних стін, що оточують більярдний стіл. Ми запитуємо, чи можна, маючи дві точки на конкретній таблиці, завжди світити лазером (ідеалізовано як нескінченно тонкий промінь світла) від однієї точки до іншої. Іншими словами, якби ми поставили лампочку, яка світить у всіх напрямках одночасно, в якусь точку на столі, чи освітлила б вона всю кімнату?

Існувало два основних напрямки дослідження проблеми: пошук форм, які неможливо висвітлити, і доказ того, що великі класи форм можуть бути освітлені. У той час як знайти дивні фігури, які неможливо підсвітити, можна за допомогою розумного застосування простої математики, довести, що багато форм можна підсвітити, стало можливим лише за допомогою важкої математичної техніки.

У 1958, Роджер Пенроуз, математик, який став переможцем 2020 Нобелівської премії з фізики, знайшов вигнуту таблицю, в якій будь-яка точка в одній області не може освітлювати жодну точку в іншій області. Десятиліттями ніхто не міг придумати багатокутник із такою ж властивістю. Але в 1995 році Токарський використав простий факт про трикутники, щоб створити блоковий 26-гранний багатокутник із двома точками, які є взаємно недоступними, як показано нижче. Тобто лазерний промінь, випущений з однієї точки, незалежно від його напрямку, не може потрапити в іншу точку.

Ключова ідея, яку Токарський використовував при створенні спеціальної таблиці, полягала в тому, що якщо лазерний промінь починається під одним із гострих кутів у трикутнику 45°-45°-90°, він ніколи не зможе повернутися в цей кут.

Його зубчастий стіл складається з 29 таких трикутників, розташованих так, щоб розумно використовувати цей факт. У 2019 році Аміт Волецький, який тоді був аспірантом Тель-Авівського університету, застосував цю саму техніку до створити форму з 22 сторонами (показано нижче), що, як він довів, є найменшою можливою кількістю сторін для фігури, яка має дві внутрішні точки, які не освітлюють одна одну.

Довести результати в іншому напрямку було набагато важче. У 2014 році Мар'ям Мірзахані, математик зі Стенфордського університету, стала першою жінкою, яка виграти медаль Філдса, найпрестижнішою нагородою в галузі математики, за її роботу над просторами модулів ріманових поверхонь — свого роду узагальнення пончиків, які Мазур використовував, щоб показати, що всі багатокутні таблиці з раціональними кутами мають періодичні орбіти. У 2016 році Самюель Лельєвр університету Париж-Сакле, Тьєррі Монтей Французького національного центру наукових досліджень і Барак Вайс Тель-Авівського університету застосував низку результатів Мірзахані , Щоб показати, що будь-яка точка раціонального багатокутника освітлює всі точки, крім кінцевої кількості. Можуть бути поодинокі темні плями (як у прикладах Токарського та Волецького), але немає темних областей, як у прикладі Пенроуза, який має вигнуті стінки, а не прямі. в Стаття Волецького за 2019 рік, він посилив цей результат, довівши, що існує лише кінцева кількість пар неосвітлюваних точок.

На жаль, Мірзахані помер у 2017 році у віці 40 років після боротьби з раком. Її робота здавалася далекою від трюків у більярдних залах. І все ж аналіз більярдних траєкторій показує, як навіть найабстрактніша математика може пов’язати світ, у якому ми живемо.