Напрочуд проста математика, що стоїть за загадковими матчами | Журнал Quanta

Це чемпіонська гра уявної математичної ліги, де Atlanta Algebras зустрінеться з Carolina Cross Products. Дві команди не грали між собою в цьому сезоні, але на початку року «Атланта» перемогла «Бруклін Бісектрис» з рахунком 10:5, а «Бруклін» переміг «Кароліну» з рахунком 7:3. Чи дає це нам якесь уявлення про те, хто візьме титул?

Ну, ось одна думка. Якщо Атланта перемагає Бруклін, то Атланта краща за Бруклін, а якщо Бруклін перемагає Кароліну, то Бруклін кращий за Кароліну. Отже, якщо Атланта краща за Бруклін, а Бруклін кращий за Кароліну, то Атланта повинна бути кращою за Кароліну і виграти чемпіонат.

Якщо ви граєте в змагальні ігри чи спорт, ви знаєте, що передбачити результат матчу ніколи не буває так просто. Але з чисто математичної точки зору цей аргумент має певну привабливість. Він використовує важливу ідею в математиці, відому як транзитивність, звичну властивість, яка дозволяє нам будувати рядки порівнянь між зв’язками. Транзитивність — одна з тих математичних властивостей, які є настільки фундаментальними, що ви можете навіть не помітити їх.

Наприклад, рівність чисел є транзитивною. Це означає, що якщо ми це знаємо a = b та b = c, можна зробити висновок a = c. Відношення «більше ніж» також є транзитивним: для дійсних чисел, якщо a > b та b > c, То a > c. Коли зв’язки транзитивні, ми можемо порівнювати та комбінувати їх, створюючи порядок об’єктів. Якщо Анна вища за Бенджі, а Бенджі вищий за Карла, то ми можемо впорядкувати трьох за їхнім зростом: A, B, C. Транзитивність також стоїть за нашим наївним аргументом, що якщо A краще, ніж B та B краще, ніж C, То A краще, ніж C.

Перехідність присутня в рівності, конгруентності, подібності, навіть паралелізмі. Це частина всієї основної математики, яку ми виконуємо, що робить її особливо математично цікавою, коли її немає. Коли аналітики ранжують команди, економісти вивчають уподобання споживачів або громадяни голосують за кандидатів, яким вони віддають перевагу, відсутність транзитивності може призвести до несподіваних результатів. Щоб краще зрозуміти такі системи, математики вивчали «неперехідні кубики» понад 50 років, і недавній документ з онлайн-математичного співробітництва, відомого як проект Polymath, просунув це розуміння. Щоб отримати уявлення про те, як виглядає і відчувається неперехідність, давайте створимо власну лігу та пограємо.

У нашій новій математичній лізі гравці змагаються, підкидаючи власні монети та порівнюючи результати. Скажімо, гравець A має монету з цифрою 10 на одній стороні та цифрою 6 на іншій, і гравець BМонета має номери 8 і 3. Ми припустимо, що монети справедливі — тобто кожна сторона з однаковою ймовірністю з’явиться, коли монети підкинуті — і ми представимо числа на монетах таким чином.

У грі гравці підкидають свої монети, і виграє будь-яка монета, яка покаже більше число. Хто коли переможе A відіграє B?

Звичайно, залежить. іноді A виграє, іноді B переможе. Але це не важко побачити A має перевагу для перемоги B. Існує чотири шляхи розвитку гри A перемагає в трьох з них.

Так і в грі A в порівнянні з B, A має 75% шансів на перемогу.

зараз C приходить і кидає виклики B до гри. CМонета має 5 на одній стороні та 4 на іншій. Знову є чотири можливості.

тут B та C кожен виграє два з чотирьох матчів, тому кожен з них виграє 50% ігор. B та C рівні.

А тепер, що б ви очікували, коли станеться A та C грати? Добре, A зазвичай б'є B та B рівномірно поєднується з C, тому здається доцільним очікувати цього A ймовірно, буде надано перевагу проти C.

але A є більш ніж улюбленим. A домінує C, виграючи 100% часу.

Це може здатися дивним, але з математичної точки зору не важко зрозуміти, чому це відбувається. Cномери знаходяться між ними Bтак, так C виграє будь-коли B перевертає їх нижче число. але CОбидва номери вказані нижче Aтак, так C ніколи не виграє цей матч. Цей приклад не порушує ідеї транзитивності, але він показує, що речі можуть бути складнішими, ніж просто A > B > C. Невелика зміна нашої гри показує, наскільки вона може бути складнішою.

Нашим конкурентам швидко набридає гра з підкиданням двосторонньої монети, оскільки її легко повністю зрозуміти з математичної точки зору (додаткову інформацію дивіться у вправах у кінці колонки), тому ліга вирішує перейти на тристоронню монету. (Одна з переваг гри в уявній математичній лізі полягає в тому, що все можливо.)

Ось A та Bмонети:

Хто віддає перевагу в грі між A та B? Ну, є три результати для Aпідкидання монети і три за B, що веде до дев’яти можливих результатів гри, які ми можемо легко скласти.

Знову припускаючи, що всі результати однаково ймовірні, A ударів B у п’яти з дев’яти результатів. Це означає A повинні виграти $latex frac{5}{9} приблизно в 55% випадків, отже A має перевагу проти B.

Почуваючись трохи пригніченими своїми перспективами, B проблеми C до гри. Cномери показано нижче. Тобі подобається Bшанси?

Знову ж таки, у грі є дев’ять можливих результатів B в порівнянні з C, тому ми можемо просто перерахувати їх.

Ми бачимо це B виглядає досить добре проти C. У п'яти з дев'яти можливих результатів, B виграє. Так B має перевагу проти C.

бідних C тепер треба грати A. З A виступає проти B та B виступає проти C, що робить шанс C повинні виграти? Досить непоганий, як виявилося.

У п’яти з дев’яти можливих тут результатів, C ударів A. Це означає що C має перевагу проти A, незважаючи на Aмає перевагу проти B та B має перевагу проти C.

Це приклад неперехідної системи. Говорячи більш технічними термінами, відношення «переваги проти» в нашій грі не є транзитивним: A має перевагу проти B та B має перевагу проти C, Але A не обов'язково має перевагу проти C.

Ми не часто бачимо це в математиці, але така поведінка не здивує любителів спорту. Якщо «Гігантс» перемогли «Іглз», а «Іглз» перемогли «Ковбоїв», «Ковбої» все одно могли б перемогти «Гігантс». Є багато факторів, які впливають на результат окремої гри. Команди можуть ставати кращими з практикою або застоюватися, якщо не впроваджувати інновації. Гравці можуть змінювати команди. Такі деталі, як місце проведення гри — вдома чи на виїзді — або як останнім часом грали команди, можуть впливати на те, хто виграє, а хто програє.

Але цей простий приклад показує, що за такою неперехідністю також стоять чисто математичні причини. І цей суто математичний розгляд має щось спільне з реальними обмеженнями конкуренції: матчі.

Ось цифри для A, B та C.

Коли ми розглядаємо їх поруч, легше зрозуміти, чому в цій ситуації виникає неперехідність. Хоча B має перевагу для перемоги C, CДва середньо-високих числа — 7 і 6 — дають їм перевагу A Що B не має. Незважаючи на A має перевагу проти B та B має перевагу проти C, C матчі проти A краще, ніж B робить. Це схоже на те, як аутсайдерська спортивна команда може добре протистояти сильнішому супернику, тому що ця команда важко впоратися з їхнім стилем гри або тому, що гравець чи тренер дає їм перевагу проти цього конкретного суперника.

Той факт, що спорт неперехідний, є частиною того, що робить його веселим і переконливим. Адже якщо A ударів B та B ударів C, C не збирається просто втрачати через перехідність, коли вони зіткнуться з A. У конкуренції все може бути. Як сказав багато коментаторів після розладів: «Ось чому вони грають у гру».

І тому ми граємося з математикою. Щоб знайти те, що весело, і переконливо, і дивує. Все може статися.

Вправи

1. Припустімо, що двоє гравців грають у гру з двосторонньою монетою, і всі чотири числа з двох монет різні. Фактично існує лише шість можливих сценаріїв щодо того, хто виграє та як часто. Хто вони?

2. У сценарії тристоронньої гри, описаному вище, знайдіть іншу тристоронню монету для C так що B все ще надає перевагу проти C та C все ще надає перевагу проти A.

3. Доведіть, що в грі двосторонньої монети неможливо мати трьох гравців A, B, C такий, що A має перевагу проти B, B має перевагу проти C та C має перевагу проти A.