Теоретик, який бачить математику в мистецтві, музиці та письмі | Журнал Quanta

Сара Харт завжди дивилася на приховані шляхи проникнення математики в інші галузі. У дитинстві вона була вражена всюдисущістю числа 3 у своїх казках. Мати Харта, вчителька математики, заохочувала її шукати зразки, даючи їй математичні головоломки, щоб згаяти час.

У 2000 році Гарт здобув докторський ступінь з теорії груп, а пізніше став професором Лондонського університету Біркбек. Дослідження Харта досліджували структуру груп Кокстера, більш загальних версій структур, які каталогізують симетрії багатокутників і призм. У 2023 році опублікувала Once Upon a Prime, книга про те, як математика з’являється в художній літературі та поезії. «Оскільки ми, люди, є частиною всесвіту, цілком природно, що наші форми творчого вираження, зокрема література, також виявлятимуть схильність до зразків і структур», — писав Харт. «Отже, математика є ключем до зовсім іншого погляду на літературу».

З 2020 року Харт є професором геометрії в Gresham College в Лондоні. У Gresham немає традиційних курсів; натомість кожен із професорів читає кілька публічних лекцій на рік. Харт є першою жінкою, яка обіймає 428-річну посаду, яку в 17 столітті обіймав Ісаак Барроу, відомий тим, що навчав іншого Ісаака (Ньютона). Зовсім недавно його тримав Роджер Пенроуз, математик, лауреат Нобелівської премії з фізики 2020 року. Гарт розмовляв з Quanta про те, як математика та мистецтво впливають одне на одне. Інтерв’ю було скорочено та відредаговано для ясності.

Чому ви вирішили написати книгу про зв’язки між математикою та літературою?

Ці зв’язки менш досліджені та менш відомі, ніж між математикою та, скажімо, музикою. Зв'язок між математикою та музикою вшановувався принаймні ще з часів піфагорійців. Однак, незважаючи на те, що про конкретні книги, авторів чи жанри було написано та проведено наукові дослідження, я не бачив книжки для широкої аудиторії про ширший зв’язок між математикою та літературою.

Як люди мистецтва повинні думати про математику?

Існує багато спільного між математикою та іншими видами мистецтва. У літературі, як і в музиці та мистецтві, ви ніколи не починаєте взагалі з нічого. Якщо ви поет, ви обираєте: чи буду я мати хайку з його дуже точними числовими обмеженнями, чи я напишу сонет із певною кількістю рядків, певною схемою римування, певним метром? Навіть те, що не має схеми рими, матиме розриви рядків, ритм. Будуть обмеження, які надихають на творчість, допомагають зосередитися.

У математиці ми маємо те саме. У нас є деякі основні правила. Всередині цього ми можемо досліджувати, ми можемо грати та можемо доводити теореми. Те, що математика може зробити для мистецтва, це допомогти знайти нові структури, показати, які є можливості. Як би виглядав музичний твір, який не має ключового підпису? Ми можемо подумати про 12 тонів і розташувати їх по-іншому, і ось усі способи, як це можна зробити. Ось різні кольорові схеми, які ви можете придумати, ось різні форми поетичного метра.

Який приклад того, як література вплинула на математику?

Тисячі років тому в Індії поети намагалися міркувати про можливі метри. У поезії на санскриті є довгі та короткі склади. Довгий вдвічі довший за короткий. Якщо ви хочете обчислити, скільки є, для яких тривалість часу становить три, ви можете мати короткий, короткий, короткий або довгий, короткий або короткий, довгий. Є три способи зробити три. Є п’ять способів зробити фразу довжиною чотири. І є вісім способів зробити фразу довжиною п’ять. У цій послідовності кожен член є сумою двох попередніх. Ви точно відтворюєте те, що ми сьогодні називаємо послідовністю Фібоначчі. Але це було за століття до Фібоначчі.

Як щодо впливу математики на літературу?

Досить проста послідовність, але вона діє дуже, дуже потужно, — книга Елеонор Кеттон Світила, який вийшов у 2013 році. Вона використала послідовність 1,1/2, 1/4, 1/8, 1/16. Кожен розділ у цій книзі вдвічі менший за попередній. Це створює справді захоплюючий ефект, тому що темп прискорюється, а вибір персонажів стає більш обмеженим. Все мчить до свого завершення. До кінця глави надзвичайно короткі.

Іншим прикладом дещо складнішої математичної структури є так звані ортогональні латинські квадрати. Латинський квадрат схожий на сітку судоку. У цьому випадку це буде сітка 10 на 10. Кожне число з’являється рівно один раз у кожному рядку та в кожному стовпці. Ортогональні латинські квадрати утворюються шляхом накладення двох латинських квадратів, тому в кожному проміжку є пара чисел. Сітка, утворена першим числом у кожній парі, є латинським квадратом, як і сітка, утворена другим числом у кожній парі. Крім того, у сітці пар жодна пара не з’являється більше одного разу.

Вони дуже корисні в усіх відношеннях. Ви можете створювати з них коди для виправлення помилок, які корисні для надсилання повідомлень через шумні канали. Але одна з чудових особливостей цих конкретних, розміру 10, полягає в тому, що один із найвидатніших математиків усіх часів Леонард Ейлер вважав, що вони не можуть існувати. Це був один із небагатьох випадків, коли він зробив помилку; тому це було так захоплююче. Через довгий час після того, як він зробив цю гіпотезу про те, що ці речі не можуть існувати для певних розмірів, вона була спростована, і квадрати такого розміру були знайдені в 1959 році. Це було на обкладинка of Scientific American цього року.

Через багато років після цього французький письменник Жорж Перек шукав структуру для своєї книги Життя: Посібник користувача. Він вибрав один із цих ортогональних латинських квадратів. Він розмістив свою книгу в паризькому житловому будинку, який мав 100 кімнат площею 10 на 10. Кожна глава була в іншій кімнаті, і кожна глава мала свій унікальний смак. У нього були списки з 10 речей — різних тканин, кольорів тощо. Кожен розділ використовуватиме унікальну комбінацію. Це справді захоплюючий спосіб структурувати книгу.

Ви явно цінуєте гарний текст. Що ви думаєте про якість написання наукових робіт з математики?

Це дуже мінливо! Я знаю, що ми цінуємо стислість, але я думаю, що іноді це заходить занадто далеко. Надто багато документів, у яких немає корисних прикладів.

Те, що ми насправді цінуємо, так це геніальний аргумент, який, оскільки він охоплює всі випадки одночасно, є коротким і елегантним. Це не те ж саме, що розтиснути вашу довгу аргументацію на менший простір, ніж це потрібно, покриваючи сторінку таємничими сигілами, які ви створили, щоб зробити позначення коротшими, але які не лише читач, а й, ймовірно, ви самі, доведеться копітко розпаковувати. знову, щоб зрозуміти, що відбувається.

Ми не приділяємо належної уваги корисним позначенням, які нагадують читачеві, що мається на увазі. Правильна нотація може абсолютно трансформувати математичну частину, а також може звільнити простір для узагальнень. Подумайте про історичний перехід від написання невідомого, його квадрата та його куба трьома різними літерами, і наскільки ймовірнішим і навіть можливим є почати думати про те,  коли ви почали писати  і  натомість.

Чи бачите ви еволюцію у зв’язках між математикою та мистецтвом?

Постійно є нові речі. У 1990-х роках фрактали були скрізь. На стінах кожної кімнати студентського гуртожитку було зображення набору Мандельброта або щось на зразок цього. Усі сказали: «О, це захоплююче, фрактали». Ви отримуєте, наприклад, музикантів, композиторів, які використовують фрактальні послідовності у своїх композиціях.

Коли мені було близько 16, з’явилися такі нові речі, які називалися графічними калькуляторами. Дуже захоплююче. І подруга моєї матері подарувала мені цю програму, за допомогою якої можна було намалювати множину Мандельброта на одному з цих маленьких графічних калькуляторів. Він мав близько, я не знаю, 200 пікселів. Ви запрограмували цю штуку, а потім мені довелося залишити її на 12 годин. Ці 200 точок буде нанесено наприкінці. Тож навіть звичайні школярі могли займатися цим наприкінці 80-х і на початку 90-х і створювати ці фотографії для себе.

Ще коли ти був у школі, ти вже дуже цікавився жорсткою математикою, це звучить так.

 Мені здається, я цікавився ще до того, як навіть знав, що це означає, що я математик. Мовляв, я завжди робив викрійки, коли був крихітною дитиною.

Коли я був зовсім маленьким, моєю улюбленою іграшкою були дуже прості дерев’яні розписані плитки. Вони були різних кольорів. Я робив з них візерунки, а потім з гордістю дивився на це протягом дня або близько того, а потім робив інший.

Коли я трохи подорослішав, я грався з цифрами та дивився на візерунки. Мама була тією людиною, до якої я підходив і казав: «Мені нудно». А потім вона сказала: «Ну, чи можете ви визначити, яка закономірність кількості точок, які вам потрібні, щоб скласти трикутник?» або що там було. Вона змусила мене заново відкрити трикутні числа чи щось подібне, і я був би дуже схвильований.

Моя бідна мати, кількість дивовижних винаходів, з якими я пішов би до своєї матері. «Я розробив абсолютно новий спосіб щось робити!» І вона казала: «Добре, це дуже приємно. Але, знаєте, Декарт думав про це багато століть тому». А потім я пішов би; Кілька днів потому я придумав ще одну дивовижну ідею. «Це чудово, любий. Але такий був у стародавніх греків».

Чи пригадуєте ви якісь особливо приємні моменти з вашої кар’єри в галузі математики?

Моменти, коли ви нарешті розумієте, що таке шаблон, який ви бачите, завжди приносять задоволення, а також коли ви працюєте, як завершити доказ, з яким ви боролися. Мої найсильніші спогади про ті почуття захвату, ймовірно тому, що я їх відчув уперше, з’явилися на початку моєї наукової кар’єри. Але все одно приємно почувати це «ага», коли ти нарешті розумієш, що відбувається.

Дуже рано я намагався довести щось про нескінченні групи Кокстера. Я розв’язав деякі випадки, а, розглянувши решту, я придумав техніку, яка працюватиме, якщо задовольнятиметься певний критерій. Ви можете записати ці зв’язки у вигляді графіка, тому я почав складати колекцію графіків, для яких можна застосувати мою техніку. Це було одного року на Різдво.

Через деякий час мій набір зображень почав виглядати як окремий набір графіків, які були перелічені в книзі про групи Кокстера, яка була в моєму офісі, і я почав сподіватися, що це був саме цей набір графіків. Якби це було так, це заповнило б діру в моєму доказі, і моя теорема була б завершена. Але я не міг перевірити напевно, доки не повернувся в університет після Різдва — це було до того, як ви могли просто шукати все в Google. Я думаю, що передчуття того, що мені доведеться чекати, щоб підтвердити мою здогадку, стало ще кращим, коли я дістався до книги та порівняв свій рукописний набір схем із діаграмами в книзі, і вони справді збігалися.

Що ви думаєте про те, чи математика створена чи відкрита? Майже ніхто не стане сперечатися, що хтось із романістів, про яких ви пишете у своїй книжці, «відкрив» свої романи. Це принципова різниця між математикою та літературою чи ні?

Напевно так, хоча певні резонанси все ж є.

Займатися математикою відчувається як відкриття. Якби ми винаходили математику, довести речі було б не так важко! Іноді ми відчайдушно хочемо, щоб щось було правдою, а це не так. Гадаю, ми не можемо уникнути наслідків логіки.

Усе це схоже на відкриття, коли ти це робиш. Деякі варіанти віддзеркалюють те, що ми відчуваємо в реальному світі, як-от аксіоми геометрії, з якими ми працюємо, які вибираються тому, що здається приблизно такою, якою є реальність — хоча навіть там не існує такого поняття, як «точка» чи « лінія» (тому що ми не можемо намалювати те, що не займає місця, а лінія в геометрії не має ширини і тягнеться нескінченно далеко).

До певної міри є паралелі цьому континууму в літературі. Коли ви визначите правила сонета, вам буде важко написати сонет, перший рядок якого закінчується на «апельсин» або «димар».

Але я не можу втриматися, щоб не поділитися чимось, що J.R.R. Толкін сказав про письмо Хоббіт: «Все почалося з того, що я читав екзаменаційні роботи, щоб трохи підзаробити. … Ну, одного разу я знайшов порожню сторінку в екзаменаційному зошиті й нашкрябав на ній. «У ополонці в землі жив хоббіт». Я знав про ці істоти не більше, і минули роки, перш ніж його історія виросла. Я не знаю, звідки взялося це слово».

Хоббіти — він їх створив чи відкрив?