Двоє студентів розгадують загальноприйняту математичну гіпотезу | Журнал Quanta

Саммер Хааг і Клайд Керцер покладали великі надії на свій літній дослідницький проект. Залишення цілої галузі математики не було одним із них.

У травні Хааг закінчувала свій перший курс аспірантури в Університеті Колорадо, Боулдер, де Керцер була студенткою. Обидва з нетерпінням чекали перерви в заняттях. Хааг планував вивчити нові походи та маршрути для скелелазіння. Кертцер, уродженець Боулдера, хотів грати у футбол і підготувати заяву до аспірантури. Але як починаючі математики-дослідники, вони також подали заявку на участь у літній дослідницькій програмі на півставки в групі математиків Кетрін Штанге.

Штанге — теоретик чисел, яка називає себе математиком.жаба” — той, хто глибоко заглиблюється в одну проблему, перш ніж перейти до іншої. За її словами, її цікавлять «прості, здавалося б, питання, які ведуть до багатства структури». Її проекти часто торкаються невловимих відкритих проблем теорії чисел, використовуючи комп’ютери для створення великих наборів даних.

Хааг і Кертцер розпочали програму в 23-й день народження Гаага з тижневого навчання про упаковку аполлонівських кіл — стародавнє дослідження того, як кола можуть гармонійно втиснутися в одне велике коло.

Уявіть, що ви розташували три монети так, щоб кожна торкалася іншої. Ви завжди можете намалювати навколо них коло, яке торкається всіх трьох із зовнішнього боку. Тоді ви можете почати задавати запитання: як розмір цього більшого кола співвідноситься з розміром трьох монет? Круг якого розміру поміститься в щілину між трьома монетами? І якщо ви почнете малювати кола, які поступово заповнюють все менші й менші проміжки між колами — створюючи фрактальну модель, відому як упаковка — як розміри цих кіл співвідносяться один з одним?

Замість того, щоб думати про діаметр цих кіл, математики використовують міру, яка називається кривизною — величину, обернену радіусу. Отже, коло з радіусом 2 має кривизну 1/2, а коло з радіусом 1/3 має кривизну 3. Чим менше коло, тим більша кривизна.

Математики епохи Відродження довели, що якщо перші чотири кола мають цілу кривизну, кривизни всіх наступних кіл у упаковці гарантовано будуть цілими числами. Це чудово саме по собі. Але математики пішли далі, ставлячи питання про те, які цілі числа з’являються, коли кола стають усе меншими й меншими, а викривлення — більшими й більшими.

У 2010, Олена Фукс, теоретик чисел, який зараз працює в Каліфорнійському університеті в Девісі, доведений що кривизни слідують певному відношенню, яке змушує їх потрапляти в певні числові відра. Невдовзі після цього математики переконалися, що кривизни не тільки повинні потрапляти в ту чи іншу групу, а й що всі можливі числа в кожній групі повинні бути використані. Ідея стала відомою як локально-глобальна гіпотеза.

«Багато робіт посилалися на це так, ніби це вже факт», — сказав Кертцер. «Ми обговорювали це так, ніби це буде доведено в якийсь момент у найближчому майбутньому».

Джеймс Рікардс, математик з Боулдера, який працює зі Штанге та студентами, написав код для перевірки будь-якого бажаного розташування упаковок кіл. Тому, коли Хааг і Кертцер приєдналися до групи 15 травня, вони подумали, що створять круті сюжети про надійне застосування локального глобального правила.

На початку червня Штанге прилетів до Франції на конференцію. Коли вона повернулася 12 червня, команда збилася навколо діаграм, які демонстрували, як у кількох відрах, здавалося, не вистачає певних цифр.

"Ми не досліджували це явище", - сказав Рікардс. «Я не намагався перевірити, чи це правда. Я знав, що це правда — я просто припускав, що це правда. І раптом ми стикаємося з даними, які стверджують, що це не так».

До кінця тижня команда була впевнена, що припущення було помилковим. Числа, які вони очікували, так і не з’явилися. Вони розробили доказ, і 6 липня вони опублікував свою роботу на сайт наукових препринтів arxiv.org.

Фукс пригадує розмову зі Штанге незабаром після того, як доказ став на місце. «Наскільки ви вірите в гіпотезу «від локального до глобального»?» — запитав Штанге. Фукс відповіла, що, звичайно, вірить у це. «Потім вона показала мені всі ці дані, і я сказав: «Боже, це неймовірно», — сказав Фукс. «Я маю на увазі, що я справді вірив у те, що гіпотеза «від локального до глобального» була вірною».

«Побачивши це, ви просто скажете «Ага! Звичайно!» — сказав Петро Сарнак, математик в Інституті перспективних досліджень і Прінстонському університеті ранні спостереження допоміг підживити локально-глобальну гіпотезу.

«Це фантастичне розуміння», — додав Олексій Конторович Рутгерського університету. «Ми всі жаліємося, що не знайшли цього 20 років тому, коли люди вперше почали з цим грати».

Серед уламків, залишених результатом, робота виявила тріщину в основі інших припущень у теорії чисел. Математикам доводиться гадати, яке поширене переконання може стати наступним падінням.

Кругова історія

Упаковки з аполлонівського кола отримали свою назву від імені свого ймовірного автора, Аполлонія з Перги. Близько 2,200 років тому грецький геометр написав книгу під назвою Дотичні про те, як побудувати коло, дотичне до будь-яких трьох інших. Книгу втратив час. Але приблизно через 500 років грецький математик Папп з Александрії склав збірник, який переживе крах Візантійської імперії.

Використовуючи лише опис Pappus Дотичні, математики епохи Відродження намагалися відновити оригінальну роботу. До 1643 року Рене Декарт виявив просту залежність між кривизнами будь-яких чотирьох кіл, які дотичні одне до одного. Декарт стверджував, що сума всіх квадратів кривизни дорівнює половині квадрата суми кривизн. Це означає, що за трьома колами можна обчислити радіус четвертого дотичного кола. Наприклад, якщо у вас є три кола з кривизною 11, 14 і 15, ви можете підключити ці числа до рівняння Декарта та обчислити кривизну кола, яке поміститься в них: 86.

У 1936 році радіохімік, лауреат Нобелівської премії Фредерік Содді помітив щось дивне, коли він створював упаковки з відношенням Декарта. Оскільки кола ставали меншими, а кривизни більшими, він сподівався отримати вузлуваті числа з квадратним коренем або нескінченними десятковими дробами. Натомість усі кривизни були цілими числами. Це був досить простий наслідок рівняння Декарта, але ніхто не помічав цього протягом сотень років. Це надихнуло Содді на опублікувати вірш у науковому журналі природа, який розпочався:

Можливо, щоб пару губ поцілувати
Не передбачає тригонометрії.
Це не так, коли цілуються чотири кола
Кожен – три інших.

Можливе і неминуче

Як тільки було встановлено, що існують упаковки, повні цілих чисел, математики спробували знайти закономірності в цих цілих числах.

У 2010 році Фукс і Кетрін Санден вирішив будувати на a папір від 2003. Дует помітив, що якщо розділити кожну кривизну в даній упаковці на 24, виникло правило. Деякі упаковки мають лише кривизни із залишками 0, 1, 4, 9, 12 або 16, наприклад. Інші залишають лише залишки 3, 6, 7, 10, 15, 18, 19 або 22. Було шість різних можливих груп.

Коли математики досліджували різні категорії упаковок, вони почали помічати, що для досить малих кіл — з великою кривизною — здавалося, що всі можливі числа в кожній категорії з’являються для упаковок такого типу. Ця ідея отримала назву локально-глобальної гіпотези. Доведення цього стало «однією з моїх мрій цих маленьких математиків», - сказав Фукс. «Можливо, в якийсь момент через багато років я зможу це вирішити».

У 2012 році Конторович і Жан Бурген (який помер у 2018 році) довів це практично кожне число передбачене гіпотезою, дійсно відбувається. Але «практично всі» не означає «всі». Наприклад, ідеальні квадрати настільки рідкісні, що з математичної точки зору «практично всі» цілі числа не є ідеальними квадратами, хоча, наприклад, 25 і 49 такими є. Математики вважали, що рідкісні контрприклади, які залишалися можливими після статті Конторовича та Бургена, насправді не існували, головним чином через те, що два чи три найбільш добре вивчені упаковки кіл, здавалося, так добре відповідають локально-глобальній гіпотезі, сказав Конторович.

Прокручування циферблата

Коли Хааг і Керцер почали цього літа в Боулдері, Рікардс нашкрябав ідеї на дошці в офісі Штанге. «У нас був цілий список», — сказав Рікардс. Вони мали чотири чи п’ять відправних точок для експериментів. «Речі, з якими можна просто пограти і подивитися, що станеться».

Одна з ідей полягала в тому, щоб обчислити всі можливі упаковки кіл, які містять дві довільні кривизни A і B. Рікардс написав програму, яка виводить свого роду реєстр, який повідомляє, які цілі числа показуються стороні, коли A є хостом.

Базуючись на цій програмі, Хааг створив сценарій Python, який створював безліч симуляцій одночасно. Це було схоже на таблицю множення: Хааг вибирав, які рядки та стовпці включити, виходячи з їхніх залишків після ділення на 24. Пари чисел, які з’являються в аполлонівській упаковці, разом отримують білі пікселі; ті, які не мають чорних пікселів.

Хааг переорав десятки ділянок — по одному на кожну пару залишків у кожній із шести груп.

Вони виглядали саме так, як і очікувалося: біла стіна, приправлена ​​чорними цятками для менших цілих чисел. «Ми очікували, що чорні крапки зникнуть», — сказав Штанге. Рікардс додав: «Я думав, що, можливо, навіть можна буде довести, що вони вичерпуються». Він припустив, що, дивлячись на діаграми, які синтезують багато упаковок разом, команда зможе довести результати, які були б неможливі, коли вони розглядали будь-яку одну упаковку окремо.

Поки Штанге був у від’їзді, Хааг закінчив складати кожну пару залишків — близько 120. Ніяких несподіванок тут немає. Тоді вона стала великою.

Хааг планував, як взаємодіють 1,000 цілих чисел. (Графік більший, ніж здається, оскільки він містить 1 мільйон можливих пар.) Потім вона повернула циферблат до 10,000 10,000 разів на XNUMX XNUMX. На одному графіку регулярні ряди та стовпці чорних цяток відмовилися розчинятися. Це не було схоже на те, що передбачила локально-глобальна гіпотеза.

Команда зустрілася в понеділок після повернення Штанге. Хааг представила свої графіки, і всі вони зосередилися на тому з дивними точками. «Це була лише безперервна схема», — сказав Хааг. «І тоді Кейт сказала: «А що, якщо локально-глобальна гіпотеза не відповідає дійсності?»

«Це схоже на шаблон. Треба продовжувати. Отже, локально-глобальна гіпотеза має бути хибною», — згадав думку Штанге. «Джеймс був більш скептичним».

«Моєю першою думкою було те, що в моєму коді має бути помилка», — сказав Рікардс. «Я маю на увазі, що це була єдина розумна річ, про яку я міг думати».

За півдня Рікардс прийшов до себе. Шаблон виключав усі пари, де перше число має вигляд 8 × (3n ± 1)² а другий дорівнює 24 квадратам. Це означає, що 24 і 8 ніколи не з’являються в одній упаковці. Числа, які ви очікуєте, не з’являться.

«Мені запаморочилося. Нечасто буває, що щось справді дивує», — сказав Штанге. «Але це магія гри з даними».

Команда Липневий папір наводить суворий доказ того, що закономірність, яку вони спостерігали, триває нескінченно довго, спростовуючи припущення. Доказ ґрунтується на багатовіковому принципі, що називається квадратичною взаємністю, який включає квадрати двох простих чисел. Команда Штанге виявила, як взаємність застосовується до кругових упаковок. Це пояснює, чому певні кривизни не можуть бути дотичними одна до одної. Правило, яке називається обструкцією, поширюється по всій упаковці. "Це просто абсолютно нова річ", - сказав Джеффрі Лагаріас, математик з Мічиганського університету, який був співавтором статті про упаковку кіл у 2003 році. «Вони знайшли це геніально», — сказав Сарнак. "Якби ці цифри дійсно з'явилися, вони порушили б взаємність".

Опадання

Низка інших припущень у теорії чисел тепер може бути під сумнівом. Як і локально-глобальну гіпотезу, їх важко довести, але вже було показано, що вони справедливі практично для всіх випадків і, як правило, вважаються істинними.

Наприклад, Фукс вивчає трійки Маркова, набори чисел, які задовольняють рівняння x² + y² + z² = 3хуг. Вона та інші показали, що певні типи рішень пов’язані для простих чисел, більших за 10³⁹². Кожен вважає, що візерунок повинен тривати до нескінченності. Але у світлі нового результату Фукс дозволила собі відчути крапку сумніву. «Можливо, я щось пропускаю», — сказала вона. «Можливо, кожен щось втрачає».

«Тепер, коли ми маємо єдиний приклад, де це невірно, постає питання: чи це також невірно для інших прикладів?» - сказав Рікардс.

Є також гіпотеза Заремби. У ньому сказано, що дріб із будь-яким знаменником можна виразити як неперервний дріб, який використовує лише числа від 1 до 5. У 2014 році Конторович і Бурген показали, що гіпотеза Заремби справедлива майже для всіх чисел. Але несподіванка про упаковку кіл підірвала довіру до гіпотези Заремби.

Якщо проблема з упаковкою є провісником того, що прийде, обчислювальні дані можуть стати інструментом її знищення.

«Я завжди вважаю захоплюючим, коли нова математика народжується лише завдяки простому аналізу даних», — сказав Фукс. «Без цього справді важко уявити, що [вони] натрапили б на це».

Штанге додав, що нічого з цього не сталося б без літнього проекту з низькими ставками. «Прозорливість і грайливе ставлення до дослідження відіграють величезну роль у відкритті», — сказала вона.

"Це був чистий збіг", - сказав Хааг. «Якби я не був достатньо великим, ми б цього не помітили». Ця робота обіцяє майбутнє теорії чисел. «Ви можете отримати розуміння математики через свою інтуїцію, через докази», — сказав Штанге. «І ти дуже довіряєш цьому, тому що витратив багато часу на роздуми про це. Але з даними не посперечаєшся».

Примітка редактора: Олексій Конторович є членом Журнал Quantaнауково-консультативна рада Росії. Він брав інтерв’ю для цієї історії, але іншим чином не брав участі в її створенні.