مشکل ریاضیاتی ٹائلنگ کی مختصر تاریخ | کوانٹا میگزین

ہر روز ہم شکلوں کو دہرانے کی مثالیں دیکھتے ہیں۔ یہ ہم آہنگی اور باقاعدگی دنیاوی اور تقریبا پوشیدہ لگ سکتی ہے، جیسا کہ عمارت کی دیواروں پر اینٹوں کے کام یا شہد کے چھتے میں ہیکساگونل پیٹرن کے ساتھ۔ یا اگر ہم اتنے خوش قسمت ہیں کہ اسپین کے الہامبرا یا MC Escher کی تخلیقی ڈرائنگ میں ٹائل کے خوبصورت کام جیسی کسی چیز کا سامنا کرنا پڑا، تو نمونے ہمیں متاثر اور حیران کر سکتے ہیں۔

صدیوں سے، ریاضی دانوں نے ان دہرائی جانے والی شکلوں کے ساتھ کھیلا ہے، ان سے دلچسپ بصیرت اور نئے امکانات کو چھیڑا ہے۔ ریاضی کی خوبصورتی خود ڈیزائن کی خوبصورتی کا مقابلہ کرتی ہے۔

سب سے آسان ٹائلنگ ایک جیسے کثیر الاضلاع سے بنی ہیں جن کے اطراف برابر لمبائی اور مساوی پیمائش کے زاویے پورے کنارے سے پورے کنارے میں جڑے ہوئے ہیں۔ لیکن اگرچہ ان میں سے بہت سے "باقاعدہ" کثیر الاضلاع ہیں - ہر ایک نمبر کے اطراف کے لئے ایک - صرف تین باقاعدہ ٹائلنگ ہیں، جو تین، چار یا چھ اطراف والی شکلوں سے بنی ہیں - یعنی مثلث، مربع اور مسدس۔

دوسری شکلیں صرف اس کے لیے نہیں بنائی گئی ہیں۔ ایک باقاعدہ پینٹاگون (پانچ اطراف کے ساتھ) کا اندرونی زاویہ 108 ڈگری ہوتا ہے۔ یہ 360 ڈگری میں یکساں طور پر تقسیم نہیں ہوتا ہے، اس لیے باقاعدہ پینٹاگون کو ٹائلنگ میں جمع کرنے کی کوئی بھی کوشش اس خلا کو پیدا کرنے کی پابند ہے جسے پُر نہیں کیا جا سکتا۔ ہم کہتے ہیں کہ باقاعدہ پینٹاگون ہوائی جہاز کو ٹائل نہیں کر سکتا۔ اور چھ سے زیادہ اطراف والے باقاعدہ کثیر الاضلاع کے اندرونی زاویے اتنے بڑے ہوتے ہیں کہ تین ایک ہی نقطہ پر مل سکتے ہیں، اور اس لیے وہ بھی نہیں کر سکتے۔

باقاعدہ کثیر الاضلاع کے ساتھ ٹائل لگانے کا ایک اور طریقہ جوہانس کیپلر کا ہے، جو آج کل سیاروں کی حرکت کے بارے میں اپنی دریافتوں کے لیے مشہور ہے۔ 1619 میں، اس نے دکھایا کہ اگر آپ ایک سے زیادہ باقاعدہ کثیر الاضلاع استعمال کرتے ہیں، تو آپ صرف آٹھ نئے ٹائلنگ پیٹرن بنا سکتے ہیں جہاں ہر چوٹی کے گرد ترتیب ایک جیسی ہو۔ (اگر ہمیں اس پابندی سے بھٹکنے کی اجازت ہے، تو اس کے اور بھی امکانات ہیں۔)

جب ہم فاسد کثیر الاضلاع کی اجازت دیتے ہیں تو چیزیں مزید دلچسپ ہوجاتی ہیں۔ حیرت کی بات یہ ہے کہ ہر مثلث ہوائی جہاز کو ٹائل کر سکتا ہے، اور اس سے بھی زیادہ حیران کن بات یہ ہے کہ ہر چوکور بھی۔

دوسری طرف، جہاز کو چھ سے زیادہ اطراف کے کسی بھی محدب کثیر الاضلاع کے ساتھ ٹائل کرنا ناممکن ہے۔ اندرونی زاویوں کا مجموعہ بہت بڑا ہے۔ تو یہ صرف پینٹاگون اور مسدس کو باقی امکانات کے طور پر چھوڑ دیتا ہے۔

اپنے 1918 کے ڈاکٹریٹ کے مقالے میں، کارل رین ہارڈ نے ثابت کیا کہ ہوائی جہاز کو لامحدود بہت سے محدب مسدس کے ساتھ ٹائل کرنا ممکن ہے — جو بغیر کسی نشان کے — جنہیں اس نے تین خاندانوں میں تقسیم کیا۔

محدب پینٹاگون جو ہوائی جہاز کو ٹائل کرتے ہیں درجہ بندی کرنا زیادہ مشکل تھا۔ Reinhardt نے ایسے پینٹاگون کے پانچ خاندان دریافت کیے۔ 50 سال بعد رچرڈ کرشنر کو تین اور مل گئے۔ پھر 1975 میں، مارٹن گارڈنر نے اس مسئلے کے بارے میں لکھا سائنسی امریکی، اسے پیشہ ورانہ اور شوقیہ ریاضی دانوں کی یکساں توجہ میں لانا۔ ایسے ہی ایک شوقیہ، رچرڈ جیمز III نامی کمپیوٹر پروگرامر نے گارڈنر کو ایک نویں خاندان کی مثال بھیجی، "کیا آپ اس بات سے اتفاق کرتے ہیں کہ کرشنر نے اسے یاد کیا؟" وہ تھا.

مارجوری رائس، ایک گھریلو خاتون، نے بھی گارڈنر کا کالم پڑھا اور اپنے کچن ٹیبل پر اس مسئلے کو حل کرنے لگی۔ اس نے دو سال سے زیادہ ٹنکر کیا اور دریافت کیا۔ مزید چار خاندان ٹائلنگ پینٹاگون کی.

محققین کو 14 میں ٹائلنگ پینٹاگون کا 1985 واں خاندان ملا، اور تین دہائیوں بعد، ایک اور ٹیم نے کمپیوٹر کی تلاش کا استعمال کرتے ہوئے 15 واں خاندان پایا۔ کوئی نہیں جانتا تھا کہ آیا اس دریافت نے فہرست مکمل کی، یا مزید خاندان ابھی بھی چھپے ہوئے ہیں۔ اس سوال کا جواب 2017 میں دیا گیا جب مائیکل راؤ ثابت ہوا کہ تمام محدب ٹائلنگ پینٹاگون - اور ان کے ساتھ، تمام محدب ٹائلنگ کثیر الاضلاع - پائے گئے تھے۔

یہ تمام ٹائلنگ دہرائی جاتی ہیں۔ یعنی، ان کی ایک متواتر ہم آہنگی ہے، جس کا بنیادی طور پر مطلب یہ ہے کہ اگر ہم کاغذ کے ٹکڑے پر ٹائلنگ کو ٹریس کریں اور اس کاغذ کو مخصوص سمتوں میں سلائیڈ کریں، تو یہ دوبارہ ٹائلنگ کے ساتھ بالکل ٹھیک ہو جائے گا۔

دوسری قسم کی ہم آہنگی بھی ممکن ہے۔ مثال کے طور پر، ایک آئینے کی ہم آہنگی کا مطلب یہ ہے کہ اگر ہم اپنے ٹریسنگ پیپر کو ایک مقررہ لکیر کے بارے میں الٹا پلٹتے ہیں تو ہمارے پیٹرن ایک دوسرے کے برابر ہو جائیں گے۔ گردشی توازن کا مطلب ہے کہ اگر ہم اپنے کاغذ کو گھماتے ہیں تو وہ قطار میں لگ جائیں گے۔ اور ہم ایک گلائیڈ ریفلیکشن سمیٹری حاصل کرنے کے لیے اعمال کو یکجا کر سکتے ہیں، جو کہ کاغذ کو سلائیڈ کرنے اور پھر اس پر پلٹنے جیسا ہے۔

1891 میں، روسی کرسٹالوگرافر ایوگراف فیڈوروف نے ثابت کیا کہ صرف 17 طریقے ہیں جن سے ان ہم آہنگی کو ملایا جا سکتا ہے۔ چونکہ یہ پابندی ہوائی جہاز کی تمام متواتر سجاوٹ پر لاگو ہوتی ہے، اس لیے ان کو بڑے پیمانے پر 17 "وال پیپر گروپس" کہا جاتا ہے۔

ایک بار جب کوئی ہم آہنگی کے نمونوں کی اس درجہ بندی سے واقف ہو جاتا ہے، تو متواتر ڈیزائن کو دیکھنا تقریباً ناممکن ہوتا ہے، خواہ وہ کتنا ہی پیچیدہ کیوں نہ ہو، اور اسے ڈی کوڈ کرنے کے لیے ایک پہیلی کے طور پر نہ دیکھیں: یہ کہاں اور کیسے، بالکل دہرایا جاتا ہے؟ وہ مطابقتیں کہاں ہیں؟

یقینا، ہر ٹائلنگ ڈیزائن متواتر نہیں ہے. ہوائی جہاز میں ٹائلیں لگانا ممکن اور اکثر آسان ہوتا ہے تاکہ نتیجے میں بننے والا ڈیزائن کبھی دہرایا نہ جائے۔ ہماری مثال میں مسدس، مربع اور مثلث کے ساتھ، آپ یہ صرف ایک ہیکساگون اور اس کے ارد گرد موجود کثیر الاضلاع کو 30 ڈگری گھما کر کر سکتے ہیں۔ نتیجے میں ٹائلنگ میں اب ترجمہی ہم آہنگی نہیں ہے۔

1961 میں، منطق دان ہاؤ وانگ نے قیاس کیا کہ اگر شکلوں کا ایک سیٹ ہوائی جہاز کو ٹائل کرتا ہے، تو شکلیں وقتاً فوقتاً ہوائی جہاز کو ٹائل کرنے کے قابل ہونا چاہیے۔ صرف چند سال بعد، اس کے گریجویٹ طالب علم رابرٹ برجر نے 20,000 سے زیادہ ٹائلوں کے ایک بڑے سیٹ کو دریافت کرکے اسے غلط ثابت کیا جو ہوائی جہاز کو ٹائل کرتا ہے، لیکن صرف غیر متواتر۔ اس طرح کے ٹائل سیٹوں کو aperiodic کہا جاتا ہے۔

اگرچہ برجر اور دیگر ان ایپیریوڈک سیٹوں کے سائز کو نمایاں طور پر کم کرنے میں کامیاب رہے، 1970 کی دہائی کے وسط میں راجر پینروز نے اپنی ہی ایپیریوڈک ٹائلوں کے بہت چھوٹے سیٹ دریافت کرکے دنیا کی توجہ حاصل کی۔ سب سے چھوٹے سیٹ کے لیے صرف دو ٹائل کی ضرورت ہوتی ہے۔

ان شکلوں اور نمونوں نے ریاضی دانوں، سائنسدانوں اور عام لوگوں کو مسحور کر دیا۔ لیکن انہوں نے ایک واضح اگلا سوال اٹھایا: کیا ایک ہی ایپیریوڈک ٹائل ہے؟ ٹائلنگ تھیوری کی حتمی جستجو اب ایسی "آئن اسٹائن" ٹائل کو تلاش کرنا تھی - جس کا نام طبیعیات دان کے نام پر نہیں، بلکہ جرمن فقرے "ایک پتھر" کے لیے رکھا گیا ہے۔

2010 میں، جوشوا سوکولر اور جان ٹیلر ایک آئن سٹائن کی دریافت کے بہت قریب آئے۔ ان کے نقطہ نظر کا مسئلہ یہ تھا۔ ان کے ٹائل کو منقطع کرنا پڑا; یہ ہوائی جہاز کو ریاست ہوائی جیسی شکلوں کے ساتھ ٹائل کرنے کے مترادف ہوگا، کیلیفورنیا جیسی مربوط شکلوں کے بجائے الگ الگ علاقوں پر مشتمل ایک واحد وجود۔ بڑھتے ہوئے، ریاضی دانوں کو شبہ تھا کہ اگر آئن سٹائن موجود ہے، تو اسے ہندسی طور پر کچھ بہت پیچیدہ ہونا پڑے گا۔

مارچ 2023 میں ایک شوقیہ نے ایک بار پھر دنیا کو چونکا دیا۔ ڈیوڈ اسمتھ نامی ایک ریٹائرڈ پرنٹ ٹیکنیشن اور ریاضی کے شوقین نے نہ صرف ایک aperiodic monotile دریافت کیا تھا بلکہ ایک لامحدود خاندان ان پرجوش آئن سٹائن کی. اس نے کریگ کپلن، چیم گڈمین اسٹراس اور جوزف سیموئیل مائرز - کمپیوٹر سائنس، ریاضی اور تھیوری آف ٹائلنگ کے ماہرین میں لوپ کیا - اور انہوں نے مل کر ایک ہندسی طور پر سادہ آئن اسٹائن پیش کیا جسے ہیٹ ٹائل کہتے ہیں (جس کے بارے میں انٹرنیٹ کا خیال تھا کہ ٹی شرٹ کی طرح دکھائی دیتی ہے۔ )۔

ردعمل تیز اور مثبت تھا۔ دریافت کرنے والوں نے کانفرنسوں میں بات کی اور آن لائن بات چیت کی۔ ریاضی کے فنکاروں نے ان نئی ہندسی طور پر دلچسپ ٹائلوں کی بنیاد پر ایسچر جیسے ڈیزائن تیار کرنے کے تخلیقی طریقے تلاش کرنے کے موقع پر چھلانگ لگائی۔ یہاں تک کہ ہیٹ ٹائل ایک رات گئے ٹیلی ویژن شو کے ایکولوگ میں بھی نمودار ہوئی۔

پھر بھی بہتری کی گنجائش باقی تھی۔ ہوائی جہاز کو ٹوپی کے ساتھ ٹائل کرنے کے لیے، آپ کو تقریباً ایک ساتویں ٹائلوں کو الٹا پلٹنا ہوگا۔ ایک گھر کا مالک جو اپنے باتھ روم کو ہیٹ ٹائل سے ٹائل کرنا چاہتا ہے اسے دو قسم کی ٹائلیں خریدنی ہوں گی: ایک معیاری ٹائل اور اس کا عکس۔ کیا یہ واقعی ضروری تھا؟

ہیٹ ٹائل کا جوش ختم ہونے سے پہلے ہی ٹیم نے ایک اور اعلان کر دیا۔ اسمتھ نے ایپیریوڈک مونوٹائلز کے اس لامحدود خاندان میں پایا تھا، جسے اس نے ایک "سپیکٹر" کہا تھا جو ہوائی جہاز کو ٹائل کر سکتا تھا بغیر عکاس کاپیوں کی ضرورت کے۔ ایک حقیقی آئن سٹائن آخرکار ظاہر ہوا تھا۔

اب ہم ٹائلنگ اور ٹیسلیشنز کی ریاضی کی تلاش میں دوبارہ سر اٹھانے کے درمیان ہیں۔ اس نے شوقیہ افراد کی اہم شراکتوں پر انحصار کیا ہے، ریاضی کے فنکاروں کی تخلیقی صلاحیتوں کو متاثر کیا ہے، اور علم کی حدود کو آگے بڑھانے کے لیے کمپیوٹر کی طاقت کا استعمال کیا ہے۔ اور اس سے، ہم نے توازن، جیومیٹری اور ڈیزائن کی نوعیت میں نئی ​​بصیرتیں حاصل کی ہیں۔

اصلاح: اکتوبر 30، 2023
اس آرٹیکل کے اصل ورژن میں کہا گیا ہے کہ ہوائی جہاز کو چھ سے زیادہ اطراف والے کثیر الاضلاع کے ساتھ ٹائل کرنا ناممکن ہے۔ یہ صرف اس صورت میں درست ہے جب کثیرالاضلاع محدب ہو۔

Quanta ہمارے سامعین کی بہتر خدمت کے لیے سروے کا ایک سلسلہ کر رہا ہے۔ ہماری لے لو ریاضی کے ریڈر سروے اور آپ کو مفت جیتنے کے لیے داخل کیا جائے گا۔ Quanta مرچ۔