ایک صدی بعد، نیا ریاضی عمومی رشتہ داری کو ہموار کرتا ہے | کوانٹا میگزین

البرٹ آئن سٹائن کا عمومی نظریہ اضافیت یہ بیان کرنے میں بڑی حد تک کامیاب رہا ہے کہ کشش ثقل کیسے کام کرتی ہے اور یہ کائنات کے بڑے پیمانے پر ڈھانچے کو کس طرح تشکیل دیتی ہے۔ اس کا خلاصہ ماہر طبیعیات جان وہیلر کے ایک قول میں کیا گیا ہے: "خلائی وقت یہ بتاتا ہے کہ کس طرح حرکت کرنا ہے۔ مادہ خلائی وقت بتاتا ہے کہ کس طرح گھماؤ۔" اس کے باوجود عمومی اضافیت کی ریاضی بھی گہرا مخالف ہے۔

کیونکہ اس کی بنیادی مساواتیں بہت پیچیدہ ہیں، یہاں تک کہ سادہ ترین بیانات کو بھی ثابت کرنا مشکل ہے۔ مثال کے طور پر، یہ تقریباً 1980 تک نہیں تھا کہ ریاضی دانوں نے یہ ثابت کیا تھا کہ، عمومی اضافیت کے ایک بڑے نظریے کے حصے کے طور پر، کہ ایک الگ تھلگ جسمانی نظام، یا خلا، جس میں کوئی کمیت نہیں ہے، چپٹا ہونا چاہیے۔

اس نے اس سوال کو حل نہیں کیا کہ اگر کوئی خلا تقریباً ایک خلا ہے، جس میں بڑے پیمانے پر صرف ایک چھوٹی سی مقدار ہوتی ہے تو کیسا لگتا ہے۔ کیا یہ ضروری طور پر تقریبا فلیٹ ہے؟

اگرچہ یہ واضح معلوم ہو سکتا ہے کہ چھوٹا ماس چھوٹے گھماؤ کا باعث بنے گا، لیکن جب عمومی اضافیت کی بات آتی ہے تو چیزیں اتنی کٹی اور خشک نہیں ہوتیں۔ نظریہ کے مطابق، مادے کی گھنی ارتکاز خلا کے ایک حصے کو "وارپ" کر سکتی ہے، جس سے یہ انتہائی خمیدہ ہو جاتا ہے۔ بعض صورتوں میں، یہ گھماؤ انتہائی ہو سکتا ہے، ممکنہ طور پر بلیک ہولز کی تشکیل کا باعث بنتا ہے۔ یہ ایسی جگہ میں بھی ہو سکتا ہے جس میں مادے کی تھوڑی مقدار ہو، اگر یہ کافی حد تک مرتکز ہو۔

حال ہی میں کاغذ, کانگھن ڈونگسٹونی بروک یونیورسٹی میں گریجویٹ طالب علم، اور انٹونی گاناکیلیفورنیا انسٹی ٹیوٹ آف ٹکنالوجی کے ایک اسسٹنٹ پروفیسر نے ثابت کیا کہ چھوٹی اور چھوٹی مقدار میں کمیت والی خمیدہ جگہوں کا ایک سلسلہ آخر کار صفر گھماؤ والی چپٹی جگہ میں بدل جائے گا۔

یہ نتیجہ عمومی اضافیت کی ریاضی کی تلاش میں ایک قابل ذکر پیش رفت ہے - ایک ایسا تعاقب جو آئن سٹائن کے اپنے نظریہ کو وضع کرنے کے بعد ایک صدی سے زیادہ منافع ادا کرتا رہتا ہے۔ ڈین لیکوئینز کالج کے ایک ریاضی دان جو عمومی اضافیت کی ریاضی کا مطالعہ کرتے ہیں لیکن اس تحقیق میں شامل نہیں تھے، نے کہا کہ ڈونگ اور سونگ کا ثبوت اس بات کی گہری سمجھ کی عکاسی کرتا ہے کہ گھماؤ اور بڑے پیمانے پر کیسے تعامل ہوتا ہے۔

جو انہوں نے ثابت کیا۔

ڈونگ اور سونگ کا ثبوت تین جہتی خالی جگہوں سے متعلق ہے، لیکن تمثیل کی خاطر پہلے دو جہتی مثال پر غور کریں۔ کاغذ کی ایک عام، ہموار شیٹ کے طور پر بغیر بڑے پیمانے کے ایک فلیٹ جگہ کی تصویر بنائیں۔ اس مثال میں، چھوٹے بڑے پیمانے پر ایک جگہ، فاصلے سے ایک جیسی نظر آتی ہے - جس کا کہنا ہے کہ، زیادہ تر فلیٹ. تاہم، قریب سے معائنہ کرنے سے کچھ تیز اسپائکس یا بلبلے یہاں اور وہاں ظاہر ہوسکتے ہیں - مادے کے جھرمٹ کے نتائج۔ یہ بے ترتیب کٹائی کاغذ کو اچھی طرح سے رکھے ہوئے لان کی طرح بنا دیتی ہے جس میں کبھی کبھار مشروم یا ڈنٹھل سطح سے چپک جاتے ہیں۔

ڈونگ اور گانا ثابت ہوا۔ قیاس جسے 2001 میں ریاضی دانوں نے وضع کیا تھا۔ گیرہارڈ ہیسکن اور ٹام ایلمنین. قیاس یہ بتاتا ہے کہ جیسے جیسے کسی خلا کی کمیت صفر کے قریب آتی ہے، اسی طرح اس کا گھماؤ بھی ہونا چاہیے۔ Huisken اور Ilmanen نے تسلیم کیا، تاہم، یہ منظر بلبلوں اور spikes کی موجودگی کی وجہ سے پیچیدہ ہے (جو کہ ایک دوسرے سے ریاضی کے لحاظ سے الگ ہیں)۔ انہوں نے یہ قیاس کیا کہ بلبلوں اور اسپائکس کو اس طرح کاٹا جا سکتا ہے کہ ہر اکسائیشن سے خلا کی سطح پر پیچھے رہ جانے والا باؤنڈری ایریا چھوٹا ہو۔ انہوں نے مشورہ دیا، لیکن یہ ثابت نہیں کر سکے کہ ان پریشان کن ضمیموں کو ہٹانے کے بعد جو جگہ باقی رہ گئی ہے وہ فلیٹ کے قریب ہوگی۔ وہ اس بات کا بھی یقین نہیں رکھتے تھے کہ اس طرح کی کٹوتیاں کیسے کی جانی چاہئیں۔

لی نے کہا، "یہ سوالات مشکل تھے، اور مجھے امید نہیں تھی کہ ہوئسکن-المانین کے قیاس کا کوئی حل نظر آئے گا۔"

قیاس کے مرکز میں گھماؤ کی پیمائش ہے۔ خلا مختلف طریقوں، مختلف مقداروں اور مختلف سمتوں میں گھم سکتا ہے — جیسے ایک کاٹھی (دو جہتوں میں) جو آگے اور پیچھے کی طرف مڑتی ہے، لیکن نیچے بائیں اور دائیں طرف جاتی ہے۔ ڈونگ اور سونگ ان تفصیلات کو نظر انداز کرتے ہیں۔ وہ اسکیلر گھماؤ نامی ایک تصور استعمال کرتے ہیں، جو گھماؤ کو ایک عدد کے طور پر ظاہر کرتا ہے جو تمام سمتوں میں مکمل گھماؤ کا خلاصہ کرتا ہے۔

ڈونگ اور گانا کا نیا کام، نے کہا ڈینیئل اسٹرن کارنیل یونیورسٹی کے، "ہمارے پاس اب تک کے سب سے مضبوط نتائج میں سے ایک ہے جو ہمیں دکھاتا ہے کہ کس طرح اسکیلر گھماؤ پوری جگہ کی [جیومیٹری] کو کنٹرول کرتا ہے"۔ ان کا مقالہ واضح کرتا ہے کہ "اگر ہمارے پاس غیر منفی اسکیلر گھماؤ اور چھوٹا ماس ہے تو ہم خلا کی ساخت کو اچھی طرح سمجھتے ہیں۔"

ثبوت

Huisken-Ilmanen قیاس خلاء کی جیومیٹری سے متعلق ہے جس میں مسلسل کم ہوتی ہوئی کمیت ہے۔ یہ یہ بتانے کے لیے ایک مخصوص طریقہ بتاتا ہے کہ چھوٹے بڑے پیمانے کی جگہ فلیٹ اسپیس کے کتنی قریب ہے۔ اس پیمائش کو Gromov-Hausdorff فاصلے کہا جاتا ہے، جو ریاضی دانوں کے نام پر رکھا گیا ہے۔ میخائل گروموف اور فیلکس ہاسڈورف۔ Gromov-Hausdorff فاصلے کا حساب لگانا ایک دو قدمی عمل ہے۔

پہلا قدم Hausdorff فاصلہ تلاش کرنا ہے۔ فرض کریں کہ آپ کے پاس دو دائرے ہیں، A اور B۔ A پر کسی بھی نقطہ سے شروع کریں اور معلوم کریں کہ یہ B کے قریب ترین نقطہ سے کتنا دور ہے۔

اسے A پر ہر پوائنٹ کے لیے دہرائیں۔ آپ جو سب سے بڑا فاصلہ پاتے ہیں وہ دائروں کے درمیان Hausdorff فاصلہ ہے۔

ایک بار جب آپ کے پاس Hausdorff کا فاصلہ ہو جائے تو، آپ Gromov-Hausdorff فاصلے کا حساب لگا سکتے ہیں۔ ایسا کرنے کے لیے، اپنی اشیاء کو ایک بڑی جگہ پر رکھیں تاکہ ان کے درمیان ہاسڈورف کا فاصلہ کم سے کم ہو۔ دو یکساں دائروں کی صورت میں، چونکہ آپ انہیں لفظی طور پر ایک دوسرے کے اوپر رکھ سکتے ہیں، ان کے درمیان Gromov-Hausdorff فاصلہ صفر ہے۔ جیومیٹرک طور پر ایک جیسی اشیاء اس طرح کی "آئیسومیٹرک" کہلاتی ہیں۔

فاصلے کی پیمائش کرنا زیادہ مشکل ہے، یقیناً، جب موازنہ کی جا رہی اشیاء یا خالی جگہیں یکساں ہوں لیکن ایک جیسی نہیں۔ Gromov-Hausdorff فاصلہ دو اشیاء کی شکلوں کے درمیان مماثلت (یا فرق) کا ایک درست پیمانہ فراہم کرتا ہے جو ابتدائی طور پر مختلف جگہوں پر ہوتی ہیں۔ سٹرن نے کہا، "گروموف-ہاؤزڈورف کا فاصلہ ہمارے پاس یہ کہنے کے بہترین طریقوں میں سے ایک ہے کہ دو خالی جگہیں تقریبا isometric ہیں، اور یہ اس کو 'تقریباً' ایک نمبر دیتا ہے۔

اس سے پہلے کہ ڈونگ اور سونگ ایک چھوٹی کمیت والی جگہ اور بالکل چپٹی جگہ کے درمیان موازنہ کر سکیں، انہیں پریشان کن پروٹوبرینسز کو ختم کرنا پڑا - تنگ اسپائکس جہاں مادہ مضبوطی سے بھرا ہوا ہے اور یہاں تک کہ گھنے بلبلے جو چھوٹے بلیک ہولز کو بند کر سکتے ہیں۔ سونگ نے کہا، "ہم نے انہیں اس لیے کاٹا تاکہ باؤنڈری ایریا [جہاں ٹکڑا بنایا گیا تھا] چھوٹا ہو،" سونگ نے کہا، "اور ہم نے دکھایا کہ رقبہ کم ہونے کے ساتھ ساتھ کم ہوتا جاتا ہے۔"

اگرچہ یہ حربہ دھوکہ دہی کی طرح لگ سکتا ہے، سٹرن نے کہا کہ بلبلوں اور اسپائکس کو کاٹ کر جس کا رقبہ کم ہونے کے ساتھ ہی صفر ہو جاتا ہے اسے کاٹ کر قیاس کو ثابت کرنا جائز ہے۔

چھوٹے بڑے پیمانے پر جگہ کے لیے ایک پراکسی کے طور پر، اس نے مشورہ دیا، ہم کاغذ کی ایک ٹوٹی ہوئی شیٹ کا تصور کر سکتے ہیں جو دوبارہ ہموار ہونے کے بعد بھی تیز دھاریں اور تہہ رکھتی ہے۔ آپ سب سے نمایاں بے ضابطگیوں کو دور کرنے کے لیے ہول پنچ کا استعمال کر سکتے ہیں، کاغذ کا تھوڑا سا ناہموار ٹکڑا چھوڑ کر اس میں کچھ سوراخ ہیں۔ جیسے جیسے ان سوراخوں کا سائز سکڑتا جائے گا، اسی طرح کاغذ کے علاقے کی ناہمواری بھی کم ہوتی جائے گی۔ حد پر، آپ کہہ سکتے ہیں، سوراخ سکڑ کر صفر ہو جائیں گے، ٹیلے اور ریزیں غائب ہو جائیں گی، اور آپ کے پاس کاغذ کا ایک یکساں ہموار ٹکڑا رہ جائے گا - فلیٹ جگہ کے لیے ایک حقیقی اسٹینڈ ان۔

ڈونگ اور سونگ نے یہی ثابت کرنا چاہا۔ اگلا مرحلہ یہ دیکھنا تھا کہ یہ خالی جگہیں - ان کی کھردری خصوصیات سے کٹی ہوئی - بالکل چپٹی پن کے معیار کے خلاف کیسے کھڑی ہیں۔ انہوں نے جس حکمت عملی پر عمل کیا اس میں ایک خاص قسم کے نقشے کا استعمال کیا گیا، جو ایک جگہ کے پوائنٹس کو دوسری جگہ کے پوائنٹس کے ساتھ جوڑ کر دو خالی جگہوں کا موازنہ کرنے کا طریقہ ہے۔ انہوں نے جو نقشہ استعمال کیا وہ ایک میں تیار کیا گیا تھا۔ کاغذ اسٹرن اور تین ساتھیوں — ہیوبرٹ برے، ڈیمیٹر کازاراس اور مارکس خوری نے لکھا۔ یہ طریقہ کار یہ بتا سکتا ہے کہ دو جگہیں کتنی قریب ہیں۔

اپنے کام کو آسان بنانے کے لیے، ڈونگ اور سونگ نے سٹرن اور اس کے ساتھی مصنفین سے ایک اور ریاضیاتی چال اپنائی، جس سے معلوم ہوا کہ تین جہتی جگہ کو لامحدود طور پر کئی دو جہتی ٹکڑوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے جسے لیول سیٹ کہتے ہیں، جتنا ایک سخت ابلا ہوا انڈا۔ انڈے کے سلائسر کی تنگ تاروں سے تنگ چادروں میں تقسیم کیا جائے۔

سطح کے سیٹ تین جہتی جگہ کے گھماؤ کو وراثت میں رکھتے ہیں جس پر وہ شامل ہیں۔ بڑی تین جہتی جگہ کی بجائے سطح کے سیٹوں پر اپنی توجہ مرکوز کرنے سے، ڈونگ اور سونگ مسئلے کی جہت کو تین سے دو تک کم کرنے میں کامیاب رہے۔ یہ بہت فائدہ مند ہے، سونگ نے کہا، کیونکہ "ہم دو جہتی اشیاء کے بارے میں بہت کچھ جانتے ہیں … اور ہمارے پاس ان کا مطالعہ کرنے کے لیے بہت سارے اوزار ہیں۔"

سونگ نے کہا کہ اگر وہ کامیابی کے ساتھ یہ دکھا سکتے ہیں کہ ہر سطح کا سیٹ "فلیٹ کی قسم" ہے، تو اس سے وہ یہ ظاہر کرنے کا اپنا مجموعی ہدف حاصل کر سکیں گے کہ کم کمیت والی سہ جہتی جگہ فلیٹ کے قریب ہے۔ خوش قسمتی سے، یہ حکمت عملی ختم ہوگئی۔

اگلے مراحل

آگے دیکھتے ہوئے، سونگ نے کہا کہ فیلڈ کے اگلے چیلنجوں میں سے ایک یہ ہے کہ بلبلوں اور اسپائکس سے چھٹکارا حاصل کرنے کے لیے ایک درست طریقہ کار ترتیب دے کر اور ان خطوں کو بہتر انداز میں بیان کر کے ثبوت کو مزید واضح کیا جائے جنہیں کاٹا گیا ہے۔ لیکن ابھی کے لیے، انہوں نے اعتراف کیا، "ہمارے پاس اس کو حاصل کرنے کے لیے کوئی واضح حکمت عملی نہیں ہے۔"

 سونگ نے کہا کہ ایک اور امید افزا راستہ تلاش کرنا ہوگا۔ الگ قیاس جسے 2011 میں لی اور کرسٹینا سورمانی۔نیو یارک کی سٹی یونیورسٹی میں ایک ریاضی دان۔ لی سورمانی کا قیاس اسی طرح کا سوال ہیوسکن اور ایلمانین کے سوال سے پوچھتا ہے، لیکن یہ شکلوں کے درمیان فرق کو ماپنے کے مختلف طریقے پر انحصار کرتا ہے۔ دو شکلوں کے درمیان زیادہ سے زیادہ فاصلے پر غور کرنے کے بجائے، جیسا کہ گروموف-ہاؤزڈورف فاصلہ کرتا ہے، لی-سورمانی نقطہ نظر اس کے بارے میں پوچھتا ہے۔ خلا کا حجم انکے درمیان. حجم جتنا چھوٹا ہوگا، وہ اتنے ہی قریب ہوں گے۔

گانا، اس دوران، اسکیلر گھماؤ کے بارے میں بنیادی سوالات پر غور کرنے کی امید کرتا ہے جو طبیعیات سے متاثر نہیں ہوتے ہیں۔ "عمومی اضافیت میں،" انہوں نے کہا، "ہم بہت ہی خاص جگہوں سے نمٹتے ہیں جو لامحدودیت پر تقریباً فلیٹ ہیں، لیکن جیومیٹری میں ہم ہر قسم کی خالی جگہوں کا خیال رکھتے ہیں۔"

سٹرن نے کہا کہ "امید ہے کہ یہ تکنیکیں دوسری ترتیبات میں اہمیت کی حامل ہو سکتی ہیں" جو عام رشتہ داری سے متعلق نہیں ہیں۔ "متعلقہ مسائل کا ایک بڑا خاندان ہے،" انہوں نے کہا، جس کی کھوج کا انتظار ہے۔

Quanta ہمارے سامعین کی بہتر خدمت کے لیے سروے کا ایک سلسلہ کر رہا ہے۔ ہماری لے لو ریاضی کے ریڈر سروے اور آپ کو مفت جیتنے کے لیے داخل کیا جائے گا۔ Quanta مرچ۔