تخلیقیت، فن، منطق اور زبان پر ایک ریاضی دان | کوانٹا میگزین

کلیئر وائسن کو ریاضی سے پیار ہونے میں کافی وقت لگا۔

اس کا مطلب یہ نہیں ہے کہ اس نے کبھی بھی اس موضوع کو ناپسند کیا تھا۔ فرانس میں پرورش پانے والی - 10 بچوں میں سے 12 ویں - وہ اپنے والد، ایک انجینئر کے ساتھ ریاضی کے مسائل حل کرنے میں گھنٹوں گزارتی تھی۔ جب وہ 12 سال کی ہوئی، اس نے اپنے طور پر ایک ہائی اسکول الجبرا کی نصابی کتاب پڑھنا شروع کر دی تھی، اس کے صفحات میں بیان کردہ تعریفوں اور ثبوتوں سے متوجہ ہو کر۔ "وہاں یہ سارا ڈھانچہ تھا،" اس نے کہا۔ "الجبرا دراصل ڈھانچے کا ایک نظریہ ہے۔"

لیکن اس نے ریاضی کو زندگی بھر کی کالنگ کے طور پر نہیں دیکھا۔ یہ اس کی یونیورسٹی کے سالوں تک نہیں تھا کہ اس نے پہچان لیا کہ یہ کتنا گہرا اور خوبصورت ہو سکتا ہے - اور یہ کہ وہ نئی دریافتیں کرنے کے قابل تھی۔ اس وقت تک، اس نے ریاضی کے علاوہ کئی دلچسپیوں کو سنجیدگی سے اپنایا: فلسفہ، مصوری اور شاعری۔ ("جب میں 20 سال کی تھی، مجھے لگتا ہے کہ میں نے صرف ریاضی اور پینٹنگ کی تھی۔ یہ شاید تھوڑا بہت زیادہ تھا،" وہ ہنسی۔ لیکن مصوری اور شاعری اس پر اثر کرتی رہی۔ وہ ریاضی کو ایک فن کے طور پر دیکھتی ہے - اور زبان کی حدوں کو آگے بڑھانے اور کھیلنے کے طریقے کے طور پر۔

کئی دہائیوں بعد، الجبری جیومیٹری کے میدان میں رہنما بننے کے بعد، Voisin کو دوبارہ مٹی کے مجسمے پینٹ کرنے اور بنانے کا وقت ملا ہے۔ پھر بھی، ریاضی اس کی زیادہ تر توجہ پر قابض ہے۔ وہ اپنا وقت اس "مختلف دنیا" کی تلاش میں گزارنے کو ترجیح دیتی ہے جہاں "ایسا لگتا ہے جیسے آپ خواب دیکھ رہے ہوں۔"

وائسن پیرس میں فرانسیسی نیشنل سینٹر فار سائنٹیفک ریسرچ کے سینئر محقق ہیں۔ وہاں، وہ الجبری قسموں کا مطالعہ کرتی ہے، جن کے بارے میں سوچا جا سکتا ہے کہ کثیر الجبری مساوات کے سیٹوں کے ذریعے وضاحت کی گئی شکلیں، جس طرح سے ایک دائرے کی تعریف کثیر نامی مساوات کے ذریعے کی جاتی ہے۔ x² + y² = 1. وہ ہوج تھیوری کی دنیا کے صف اول کے ماہرین میں سے ایک ہیں، ایک ٹول کٹ جسے ریاضی دان الجبری اقسام کی کلیدی خصوصیات کا مطالعہ کرنے کے لیے استعمال کرتے ہیں۔

Voisin نے اپنے کام کے لیے بہت سے ایوارڈز جیتے ہیں، جن میں 2008 میں Clay Research Award، 2015 میں Heinz Hopf پرائز، اور 2017 میں ریاضی کے لیے شا پرائز شامل ہیں۔ جنوری میں، وہ پہلی خاتون بن گئیں جنہیں کرافورڈ پرائز سے نوازا گیا۔ ریاضی.

Quanta Voisin کے ساتھ ریاضی کی تخلیقی نوعیت کے بارے میں بات کی۔ انٹرویو کو کم کیا گیا ہے اور وضاحت کے لیے اس میں ترمیم کی گئی ہے۔

آپ نے بچپن میں ریاضی کا لطف اٹھایا، لیکن آپ نے خود کو اس کا تعاقب کرتے ہوئے نہیں دیکھا۔ کیوں نہیں؟

ثبوت کا جادو ہے — وہ جذبات جو آپ محسوس کرتے ہیں جب آپ اسے سمجھتے ہیں، جب آپ کو احساس ہوتا ہے کہ یہ کتنا مضبوط ہے اور یہ آپ کو کتنا مضبوط بناتا ہے۔ بچپن میں، میں اسے پہلے ہی دیکھ سکتا تھا۔ اور میں نے اس ارتکاز کا لطف اٹھایا جس کی ریاضی میں ضرورت ہوتی ہے۔ یہ وہ چیز ہے جس کی عمر بڑھتی جارہی ہے، مجھے ریاضی کی مشق میں زیادہ سے زیادہ مرکزی حیثیت حاصل ہوتی ہے۔ باقی دنیا غائب ہو جاتی ہے۔ آپ کا پورا دماغ کسی مسئلے کا مطالعہ کرنے کے لیے موجود ہے۔ یہ ایک غیر معمولی تجربہ ہے، جو میرے لیے بہت اہم ہے — اپنے آپ کو عملی چیزوں کی دنیا چھوڑنے، ایک مختلف دنیا میں رہنے کے لیے۔ شاید یہی وجہ ہے کہ میرا بیٹا ویڈیو گیمز کھیلنا بہت پسند کرتا ہے۔

لیکن جس چیز نے مجھے ریاضی میں دیر سے آنے والا بنا دیا، کسی لحاظ سے، یہ ہے کہ مجھے کھیلوں میں قطعی دلچسپی نہیں ہے۔ یہ میرے لیے نہیں ہے۔ اور ہائی اسکول میں، ریاضی کو ایک کھیل کی طرح محسوس ہوا۔ میرے لیے اسے سنجیدگی سے لینا مشکل تھا۔ میں نے پہلے ریاضی کی گہرائی نہیں دیکھی۔ یہاں تک کہ جب میں نے ہائی اسکول کے بعد بہت ہی دلچسپ ثبوت اور تھیورمز دریافت کرنا شروع کیے، تب بھی میں نے یہ نہیں سوچا کہ میں خود کوئی چیز ایجاد کر سکتا ہوں، کہ میں اسے اپنا بنا سکتا ہوں۔

مجھے کسی گہری، زیادہ سنجیدہ، ایسی چیز کی ضرورت تھی جسے میں اپنا بنا سکوں۔

اس سے پہلے کہ آپ نے اسے ریاضی میں پایا، آپ نے اسے کہاں تلاش کیا؟

میں نے فلسفہ اور اس کے تصور کے تصور پر اصرار کا لطف اٹھایا۔ اس کے علاوہ، جب تک میں 22 سال کا تھا، میں نے بہت زیادہ وقت پینٹنگ میں صرف کیا، خاص طور پر جیومیٹری سے متاثر علامتی ٹکڑوں میں۔ اور مجھے شاعری کا بہت شوق تھا — Mallarmé، Baudelaire، René Char کے کام کا۔ میں پہلے ہی ایک طرح کی دنیا میں رہ رہا تھا۔ لیکن یہ عام بات ہے، میرے خیال میں، جب آپ چھوٹے ہوتے ہیں۔

لیکن ریاضی زیادہ سے زیادہ اہم ہوتی گئی۔ یہ واقعی آپ کا سارا دماغ لیتا ہے۔ جب آپ کسی خاص مسئلے پر کام کرنے کے لیے اپنی میز پر نہیں ہوتے، تب بھی آپ کا دماغ مصروف رہتا ہے۔ لہذا میں نے جتنا زیادہ ریاضی کیا، اتنا ہی کم پینٹ کیا۔ میں نے حال ہی میں دوبارہ پینٹنگ شروع کی ہے، اب جب کہ میرے بچے سب گھر چھوڑ چکے ہیں اور میرے پاس بہت زیادہ وقت ہے۔

آخر کس چیز نے آپ کو اپنی تخلیقی توانائی کا زیادہ تر حصہ ریاضی کے لیے وقف کرنے کا فیصلہ کیا؟

ریاضی میرے لیے اور زیادہ دلچسپ ہوتی گئی۔ بطور ماسٹر اور پی ایچ ڈی۔ طالب علم، میں نے دریافت کیا کہ 20ویں صدی کی ریاضی بہت گہری اور غیر معمولی چیز تھی۔ یہ تصورات اور تصورات کی دنیا تھی۔ الجبری جیومیٹری میں، ایک مشہور انقلاب تھا جس کی قیادت الیگزینڈر گروتھنڈیک نے کی۔ Grothendieck سے پہلے بھی، ناقابل یقین نتائج تھے. تو یہ ایک حالیہ فیلڈ ہے، جس کے خیالات خوبصورت ہیں لیکن انتہائی طاقتور بھی ہیں۔ ہوج تھیوری، جس کا میں مطالعہ کرتا ہوں، اس کا حصہ تھا۔

یہ زیادہ سے زیادہ واضح ہوتا گیا کہ میری زندگی وہاں تھی۔ بے شک، میری خاندانی زندگی تھی - ایک شوہر اور پانچ بچے - اور دیگر فرائض اور سرگرمیاں۔ لیکن میں نے محسوس کیا کہ ریاضی سے، میں کچھ بنا سکتا ہوں۔ میں اپنی زندگی اس کے لیے وقف کر سکتا تھا، کیونکہ یہ بہت خوبصورت، اتنا شاندار، بہت دلچسپ تھا۔

آپ پہلے بھی لکھ چکے ہیں کہ ریاضی کس طرح ایک تخلیقی کوشش ہے۔

میں ایک پیشہ ور ریاضی دان ہوں، اس لیے میرا کام کا دن سرکاری طور پر ریاضی کے ارد گرد ترتیب دیا جاتا ہے۔ میں ایک میز پر بیٹھا ہوں؛ میں کمپیوٹر پر کام کرتا ہوں۔ لیکن اس دوران میری زیادہ تر ریاضی کی سرگرمیاں نہیں ہوتیں۔ آپ کو ایک نئے آئیڈیا، ایک اچھی تعریف، ایک بیان کی ضرورت ہے جس سے آپ کو لگتا ہے کہ آپ اس سے فائدہ اٹھا سکیں گے۔ تب ہی آپ کا کام شروع ہو سکتا ہے۔ اور جب میں اپنی میز پر ہوں تو ایسا نہیں ہوتا۔ مجھے اپنے دماغ کی پیروی کرنے کی ضرورت ہے، اپنے آپ کو سوچنے کے لۓ.

ایسا لگتا ہے کہ ریاضی آپ کے لیے گہری ذاتی ہے۔ کیا آپ نے اس عمل میں اپنے بارے میں کچھ دریافت کیا ہے؟

ریاضی کرتے ہوئے، زیادہ تر وقت مجھے اپنے آپ سے لڑنا پڑتا ہے، کیونکہ میں بہت بے ترتیب ہوں، میں زیادہ نظم و ضبط کا شکار نہیں ہوں، اور میں افسردہ بھی رہتا ہوں۔ مجھے یہ آسان نہیں لگتا۔ لیکن جو کچھ میں نے دریافت کیا وہ یہ ہے کہ کچھ لمحوں میں — جیسے صبح ناشتے میں، یا جب میں پیرس کی سڑکوں سے گزر رہا ہوں یا صفائی جیسا کوئی دماغی کام کر رہا ہوں — میرا دماغ خود سے کام کرنا شروع کر دیتا ہے۔ مجھے احساس ہے کہ میں ریاضی کے بارے میں سوچ رہا ہوں، بغیر کسی ارادے کے۔ ایسا لگتا ہے جیسے تم خواب دیکھ رہے ہو۔ میں 62 سال کا ہوں، اور میرے پاس اچھی ریاضی کرنے کا کوئی حقیقی طریقہ نہیں ہے: میں اب بھی کم و بیش اس لمحے کا انتظار کرتا ہوں جب مجھے کچھ ترغیب ملے۔

آپ انتہائی تجریدی اشیاء کے ساتھ کام کرتے ہیں — اعلیٰ جہتی خالی جگہوں کے ساتھ، ایسے ڈھانچے کے ساتھ جو پیچیدہ مساوات کو پورا کرتے ہیں۔ آپ ایسی تجریدی دنیا کے بارے میں کیسے سوچتے ہیں؟

یہ واقعی اتنا مشکل نہیں ہے۔ سب سے تجریدی تعریف، ایک بار جب آپ اس سے واقف ہو جائیں گے، اب تجریدی نہیں ہے۔ یہ ایک خوبصورت پہاڑ کی طرح ہے جسے آپ بہت اچھی طرح سے دیکھتے ہیں، کیونکہ ہوا بہت صاف ہے اور روشنی ہے جو آپ کو تمام تفصیلات دیکھنے دیتی ہے۔ ہمارے نزدیک، ہم جن ریاضیاتی اشیاء کا مطالعہ کرتے ہیں وہ ٹھوس لگتے ہیں، کیونکہ ہم انہیں کسی بھی چیز سے بہتر جانتے ہیں۔

بلاشبہ، ثابت کرنے کے لیے بہت ساری چیزیں ہیں، اور جب آپ کچھ سیکھنا شروع کرتے ہیں، تو آپ کو تجرید کی وجہ سے نقصان اٹھانا پڑ سکتا ہے۔ لیکن جب آپ کوئی نظریہ استعمال کرتے ہیں — کیونکہ آپ تھیوریز کو سمجھتے ہیں — تو آپ حقیقت میں زیربحث اشیاء کے بہت قریب محسوس کرتے ہیں، چاہے وہ تجریدی ہی کیوں نہ ہوں۔ اشیاء کے بارے میں سیکھنے سے، ان سے جوڑ توڑ کرکے اور ریاضی کے دلائل میں ان کا استعمال کرکے، وہ بالآخر آپ کے دوست بن جاتے ہیں۔

اور یہ بھی ان کو مختلف نقطہ نظر سے دیکھنے کی ضرورت ہے؟

میں نے اصل میں الجبری جیومیٹری کا مطالعہ نہیں کیا۔ میں نے پیچیدہ تجزیاتی اور تفریق جیومیٹری میں کام کیا۔ تجزیاتی جیومیٹری میں، آپ فنکشنز کی ایک بہت بڑی کلاس اور ان شکلوں کا مطالعہ کرتے ہیں جو ان فنکشنز کے ذریعہ مقامی طور پر بیان کی جاتی ہیں۔ الجبری جیومیٹری کے برعکس ان میں عام طور پر عالمی مساوات نہیں ہوتی ہے۔

میں نے پہلے الجبری نقطہ نظر پر زیادہ توجہ نہیں دی۔ لیکن میری عمر جتنی زیادہ ہوتی ہے اور میں اس شعبے میں جتنا زیادہ کام کرتا ہوں، اتنا ہی مجھے ان دو مختلف زبانوں کی ضرورت محسوس ہوتی ہے۔

ایک ناقابل یقین نظریہ ہے، جسے GAGA کہا جاتا ہے، جو کہ تھوڑا سا مذاق ہے۔ فرانسیسی میں اس کا مطلب ہے "سینائل"، لیکن اس کا مطلب بھی ہے۔ géometrie algébrique et géometrie analytic. یہ کہتا ہے کہ آپ ایک زبان سے دوسری زبان میں جا سکتے ہیں۔ آپ پیچیدہ تجزیاتی جیومیٹری میں حساب کر سکتے ہیں اگر یہ آسان ہے تو پھر الجبری جیومیٹری پر واپس آئیں۔

دوسری بار، الجبری جیومیٹری آپ کو کسی مسئلے کے مختلف ورژن کا مطالعہ کرنے کا امکان فراہم کرتی ہے جو غیر معمولی نتائج دے سکتی ہے۔ میں نے الجبری جیومیٹری کو مجموعی طور پر سمجھنے کے لیے کام کیا ہے، بجائے اس کے کہ اس کے پیچیدہ جیومیٹری سائیڈ پر توجہ دی جائے۔

یہ دلچسپ ہے کہ آپ ان کو مختلف ریاضیاتی زبانوں کے طور پر سوچتے ہیں۔

زبان ضروری ہے۔ ریاضی سے پہلے زبان ہوتی ہے۔ بہت سی منطق پہلے ہی زبان کے اندر موجود ہے۔ ہمارے پاس ریاضی میں یہ تمام منطقی اصول موجود ہیں: کوانٹیفائر، نفی، قوسین عمل کی صحیح ترتیب کی نشاندہی کرنے کے لیے۔ لیکن یہ سمجھنا ضروری ہے کہ یہ تمام اصول جو ریاضی دانوں کے لیے ضروری ہیں ہماری روزمرہ کی زبان میں پہلے سے موجود ہیں۔

آپ ریاضی کے تھیوریم کا نظم سے موازنہ کر سکتے ہیں۔ لفظوں میں لکھا ہے۔ یہ زبان کی پیداوار ہے۔ ہمارے پاس صرف ریاضی کی چیزیں ہیں کیونکہ ہم زبان استعمال کرتے ہیں، کیونکہ ہم روزمرہ کے الفاظ استعمال کرتے ہیں اور انہیں ایک مخصوص معنی دیتے ہیں۔ لہذا آپ شاعری اور ریاضی کا موازنہ کر سکتے ہیں، اس میں کہ وہ دونوں زبان پر مکمل انحصار کرتے ہیں لیکن پھر بھی کچھ نیا بناتے ہیں۔

الجبری جیومیٹری میں گروتھنڈیک کے انقلاب کی وجہ سے آپ ریاضی کی طرف راغب ہوئے۔ اس نے اس قسم کی ریاضی کرنے کے لیے بنیادی طور پر ایک نئی زبان بنائی۔

حق.

کیا ایسے طریقے ہیں جن میں آپ جو ریاضی کی زبان استعمال کر رہے ہیں اسے اب بھی تبدیل کرنے کی ضرورت ہو سکتی ہے؟

ریاضی دان مسلسل اپنی زبان پر کام کرتے رہتے ہیں۔ یہ افسوس کی بات ہے، کیونکہ یہ پرانے کاغذات کو پڑھنا کافی مشکل بنا دیتا ہے۔ لیکن ہم ماضی کی ریاضی پر دوبارہ کام کرتے ہیں کیونکہ ہم اسے بہتر سمجھتے ہیں۔ یہ ہمیں تھیومز لکھنے اور ثابت کرنے کا ایک بہتر طریقہ فراہم کرتا ہے۔ جیومیٹری میں شیف کوہومولوجی کے اطلاق کے ساتھ ، گروتھنڈیک کے ساتھ بھی یہی معاملہ تھا۔ یہ واقعی شاندار ہے۔

آپ جس چیز کا مطالعہ کرتے ہیں اس سے واقف ہونا ضروری ہے، یہاں تک کہ یہ آپ کے لیے مادری زبان کی طرح ہے۔ جب کوئی نظریہ بننا شروع ہوتا ہے، تو اسے صحیح تعریفیں معلوم کرنے اور ہر چیز کو آسان بنانے میں وقت لگتا ہے۔ یا شاید یہ اب بھی بہت پیچیدہ ہے، لیکن ہم تعریفوں اور اشیاء سے بہت زیادہ واقف ہو جاتے ہیں۔ یہ ان کا استعمال کرنے کے لئے زیادہ قدرتی ہو جاتا ہے.

یہ ایک مسلسل ارتقاء ہے۔ ہمیں مسلسل دوبارہ لکھنا اور آسان بنانا ہے، نظریہ بنانے کے لیے کہ کیا اہم ہے، اس بارے میں کہ کون سے اوزار دستیاب کیے جائیں۔

کیا آپ کو اپنے کام میں نئی ​​تعریفیں متعارف کرانی پڑیں؟

کبھی کبھی۔ میں کام میں نے کیا ساتھ جانوس کولار, ایک اہم موڑ تھا جہاں ہم آخر کار مسئلے کا صحیح نقطہ نظر تلاش کرنے کے قابل ہو گئے — ایک مخصوص تعریف کے ذریعے۔ یہ ایک بہت ہی کلاسیکل مسئلہ تھا، اور ہم نے کلاسیکی ٹولز کے ساتھ کام کیا، لیکن ہمارا ثبوت واقعی اس تعریف پر مبنی تھا جسے ہم نے ترتیب دیا تھا۔

ایک اور معاملے میں ، اولیور ڈیبار, ڈینیئل ہیبریچٹس, ایمانوئل میکری اور میں نے ایک اچھا ثابت کیا درجہ بندی کا نتیجہ ہائپر-Kähler کئی گنا کہلانے والی اشیاء کے بارے میں۔ اور اس ثبوت کا نقطہ آغاز ایک غیر متزلزل کا تعارف تھا، جسے ہم اصل میں کہتے ہیں "a."[ہنسی.]

آپ ریاضی میں تعریفوں کی اہمیت کو کم کر سکتے ہیں، لیکن آپ کو ایسا نہیں کرنا چاہیے۔

تعریف اور زبان ریاضی میں واحد رہنما قوتیں نہیں ہیں۔ اسی طرح قیاس آرائیاں بھی ہیں، جو ہو بھی سکتی ہیں یا درست نہیں۔ مثال کے طور پر، آپ نے ہوج قیاس پر بہت کام کیا ہے، ایک مٹی کا ہزار سالہ مسئلہ جس کا حل اس کے ساتھ آتا ہے۔ million 1 ملین انعام.

کہتے ہیں کہ آپ کے پاس الجبری قسم ہے جسے آپ سمجھنا چاہتے ہیں۔ لہذا آپ پیچیدہ تجزیاتی جیومیٹری کی طرف جائیں اور اس کی بجائے اس پر غور کریں جسے پیچیدہ کئی گنا کے طور پر جانا جاتا ہے۔ آپ اس کی عالمی شکل، یا ٹوپولوجی کے لحاظ سے ایک پیچیدہ کئی گنا کے بارے میں سوچ سکتے ہیں۔ ایک آبجیکٹ ہے، جسے ہومولوجی کہا جاتا ہے، جو آپ کو کئی گنا کے بارے میں بہت ساری ٹاپولوجیکل معلومات فراہم کرتا ہے۔ لیکن اس کی تعریف کرنا اتنا آسان نہیں ہے۔

اب اپنی اصل قسم کے اندر الجبری ذیلی اقسام پر غور کریں۔ ہر ایک کے پاس ایک ٹاپولوجیکل انویرینٹ ہوگا، اس سے وابستہ کچھ ٹوپولاجیکل معلومات۔ ان ٹاپولوجیکل انویریئنٹس کو دیکھ کر پیچیدہ کئی گنا کے ہومولوجی کا کون سا حصہ حاصل کیا جا سکتا ہے؟

ہوج قیاس ایک مخصوص جواب دیتا ہے۔ اور جواب بہت باریک ہے۔

لہذا ریاضی دان اس بات کا یقین نہیں کر رہے ہیں کہ کیا ہوج کا قیاس درست یا غلط ہوگا؟

آپ ہوج کے قیاس پر یقین کرنا چاہتے ہیں، کیونکہ یہ الجبری جیومیٹری کے بڑے نظریات میں ایک رہنما ہے۔

آپ واقعی ایک الجبری قسم کی اہم خصوصیات کو سمجھنا چاہیں گے۔ اور اگر ہوج کا قیاس درست ہے، تو یہ آپ کو اپنی مختلف قسم کی جیومیٹری پر ناقابل یقین کنٹرول فراہم کرے گا۔ آپ کو اقسام کی ساخت کے بارے میں بہت اہم معلومات حاصل ہوں گی۔

اس پر یقین کرنے کی کچھ مضبوط وجوہات ہیں۔ ہوج قیاس کے خاص معاملات معلوم ہیں۔ اور الجبری اقسام کے بارے میں بہت سے گہرے بیانات ہیں جو اشارہ کرتے ہیں کہ ہوج کا قیاس درست ہے۔

لیکن اسے ثابت کرنے کی طرف پیشرفت کا تقریباً مکمل فقدان رہا ہے۔ میں نے یہ بھی ثابت کیا کہ ہوج کے قیاس کو کسی اور ترتیب تک بڑھانے کا کوئی طریقہ نہیں ہے جہاں یہ قدرتی معلوم ہوتا ہے۔ تو یہ تھوڑا سا صدمہ تھا۔

ایک ریاضی دان کے طور پر کئی دہائیوں تک کام کرنے کے بعد، کیا آپ کو لگتا ہے کہ اب آپ ریاضی اور بھی گہرائی سے کر رہے ہیں؟

اب جب کہ میں بڑا ہو گیا ہوں، میرے پاس ریاضی پر اپنی توانائی صرف کرنے کے لیے بہت زیادہ وقت ہے، اس میں واقعی موجود رہنے کے لیے۔ میرے پاس یہاں اور وہاں جانے کی بہتر صلاحیت بھی ہے۔ ماضی میں، شاید اس لیے کہ میرے پاس وقت کم تھا، میری نقل و حرکت کم تھی — اگرچہ بہت زیادہ موبائل ہونے کی وجہ سے، صرف مسائل کو ان کے ساتھ لگے ہوئے چھونا بھی اچھا نہیں ہے۔ اب میں زیادہ تجربہ کار ہوں، اور میں اپنی تصویر خود بنا سکتا ہوں۔

آپ کے پاس اس سے کہیں زیادہ بہتر تصویر ہے جو آپ نہیں جانتے، کھلے مسائل کی. آپ کو اپنے فیلڈ اور اس کی سرحدوں کا تفصیلی نظارہ ہے۔ بڑھاپے کے کچھ اچھے پہلو ہونے چاہئیں۔ اور ابھی بھی بہت کچھ کرنا باقی ہے۔