ایک پرانا قیاس گرتا ہے، دائروں کو بہت زیادہ پیچیدہ بناتا ہے۔ کوانٹا میگزین

جون کے اوائل میں، ریاضی دانوں کے لندن کے ہیتھرو ہوائی اڈے پر اترتے ہی بز بنی۔ ان کی منزل آکسفورڈ یونیورسٹی تھی اور اے کانفرنس کی 65 ویں سالگرہ کے اعزاز میں مائیکل ہاپکنز، ہارورڈ یونیورسٹی میں ایک ریاضی دان جس نے بہت سے شرکاء کے لئے بطور سرپرست خدمات انجام دیں۔

ہاپکنز نے 1980 کی دہائی کے اواخر میں سات قیاس آرائیوں پر کام کے لیے اپنے لیے ایک نام پیدا کیا۔ ڈوگ ریوینیل یونیورسٹی آف روچیسٹر نے ایک دہائی قبل تشکیل دی تھی۔ انہیں اس بات کا تعین کرنے کی تکنیک کے ساتھ کرنا تھا کہ دو شکلیں، یا خالی جگہیں، جو مختلف نظر آتی ہیں، واقعی ایک جیسی ہیں۔ ہاپکنز اور اس کے ساتھیوں نے ثابت کیا کہ ریوینیل کے تمام قیاس آرائیاں ایک کو بچاتی ہیں، یہ مسئلہ ایک پراسرار نام کا مسئلہ ہے جسے ٹیلی سکوپ قیاس کہا جاتا ہے۔

اس وقت، ہاپکنز نے اپنا کام ریوینیل کے قیاس آرائیوں پر رکھا۔ اس کے بعد کئی دہائیوں تک، دوربین کے قیاس کو حل کرنا ناممکن لگتا تھا۔

"آپ اس طرح کے ایک نظریہ کو چھو نہیں سکتے،" ہاپکنز نے کہا۔

لیکن جیسے ہی ریاضی دان لندن میں اترے، افواہیں تھیں کہ یہ میساچوسٹس انسٹی ٹیوٹ آف ٹیکنالوجی سے تعلق رکھنے والے چار ریاضی دانوں کے ایک گروپ نے کیا تھا، جن میں سے تین کو گریجویٹ اسکول میں ہاپکنز نے مشورہ دیا تھا۔ چاروں میں سب سے چھوٹا، ایک گریجویٹ طالب علم جس کا نام ہے۔ ایشان لیوی، کانفرنس کے دوسرے دن منگل کو ایک تقریر کرنے والا تھا، جو ایسا لگتا تھا کہ کب کسی ثبوت کا اعلان کیا جائے گا۔

"میں نے یہ افواہیں سنی تھیں کہ یہ سامنے آ رہا ہے، اور میں بالکل نہیں جانتا تھا کہ کیا امید رکھوں،" کہا ویسنا اسٹوجانوسکا, الینوائے یونیورسٹی کے ایک ریاضی دان، Urbana-Champaign جنہوں نے کانفرنس میں شرکت کی۔

یہ جلد ہی واضح ہو گیا کہ افواہیں سچ تھیں۔ منگل سے شروع ہو کر، اور اگلے تین دنوں میں، لیوی اور اس کے شریک مصنفین — رابرٹ برکلنڈ, جیریمی ہان اور ٹومر شلانک - نے تقریباً 200 ریاضی دانوں کے ہجوم کو سمجھایا کہ انہوں نے کیسے ثابت کیا کہ دوربین کا قیاس غلط تھا، جس سے یہ ریوینل کے اصل قیاسات میں سے صرف ایک تھا جو درست نہیں تھا۔

دوربین کے قیاس کی تردید کے وسیع پیمانے پر مضمرات ہیں، لیکن سب سے آسان اور سب سے گہرا یہ ہے: اس کا مطلب یہ ہے کہ بہت اونچی جہت (100 جہتی دائرے کے بارے میں سوچئے)، مختلف اشکال کی کائنات اس سے کہیں زیادہ پیچیدہ ہے۔ ریاضی دانوں کی توقع

نقشہ جات کا نقشہ بنانا

اشکال، یا ٹاپولوجیکل خالی جگہوں کی درجہ بندی کرنے کے لیے، ریاضی دان ان فرقوں کے درمیان فرق کرتے ہیں جو اہم ہیں اور جو نہیں ہیں۔ ہوموٹوپی تھیوری ایک نقطہ نظر ہے جس سے ان امتیازات کو بنایا جاتا ہے۔ یہ ایک گیند اور ایک انڈے کو بنیادی طور پر ایک ہی ٹاپولوجیکل اسپیس سمجھتا ہے، کیونکہ آپ ایک کو پھیرے بغیر ایک دوسرے کو موڑ اور پھیلا سکتے ہیں۔ اسی طرح، ہوموٹوپی تھیوری ایک گیند اور ایک اندرونی ٹیوب کو بنیادی طور پر مختلف سمجھتی ہے کیونکہ آپ کو گیند کے سوراخ کو پھاڑنا پڑتا ہے تاکہ اسے اندرونی ٹیوب میں تبدیل کیا جا سکے۔

ہوموٹوپی ٹاپولوجیکل خالی جگہوں کی درجہ بندی کرنے کے لیے مفید ہے - ہر قسم کی شکلوں کا چارٹ بنانا جو ممکن ہے۔ یہ کسی اور چیز کو سمجھنے کے لیے بھی ضروری ہے جس کی ریاضی دان خیال رکھتے ہیں: خالی جگہوں کے درمیان نقشے۔ اگر آپ کے پاس دو ٹاپولوجیکل اسپیس ہیں، تو ان کی خصوصیات کی چھان بین کرنے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ آپ ان فنکشنز کو تلاش کریں جو ایک پر پوائنٹس کو دوسری پر پوائنٹس میں تبدیل کرتے ہیں، یا اسپیس A پر پوائنٹ ڈالتے ہیں، اسپیس B پر اپنے آؤٹ پٹ کے طور پر ایک پوائنٹ حاصل کرتے ہیں، اور A پر تمام پوائنٹس کے لیے ایسا کریں۔

یہ دیکھنے کے لیے کہ یہ نقشے کیسے کام کرتے ہیں، اور وہ اس میں شامل خالی جگہوں کی خصوصیات کو کیوں روشن کرتے ہیں، ایک دائرے سے شروع کریں۔ اب اسے دو جہتی دائرے پر نقشہ بنائیں، جو کہ گیند کی سطح ہے۔ ایسا کرنے کے لامحدود طریقے ہیں۔ اگر آپ کرہ کو زمین کی سطح کے طور پر تصور کرتے ہیں، تو آپ اپنے دائرے کو عرض بلد کی کسی بھی لائن پر رکھ سکتے ہیں، مثال کے طور پر۔ ہوموٹوپی تھیوری کے نقطہ نظر سے، وہ سب مساوی ہیں، یا ہوموٹوپک، کیونکہ وہ سب شمالی یا جنوبی قطب پر ایک نقطہ تک سکڑ سکتے ہیں۔

اس کے بعد، دائرے کو اندرونی ٹیوب (ایک سوراخ والا ٹورس) کی دو جہتی سطح پر نقشہ بنائیں۔ ایک بار پھر، ایسا کرنے کے لامحدود طریقے ہیں، اور زیادہ تر ہوموٹوپک ہیں۔ لیکن ان میں سے سبھی نہیں۔ آپ ٹورس کے گرد ایک دائرہ افقی یا عمودی طور پر رکھ سکتے ہیں، اور نہ ہی کسی دوسرے میں آسانی سے درست شکل اختیار کر سکتے ہیں۔ یہ ٹورس پر دائرے کی نقشہ سازی کے دو (بہت سے) طریقے ہیں، جب کہ اس کو کرہ پر نقشہ بنانے کا صرف ایک طریقہ ہے، جو دو خالی جگہوں کے درمیان بنیادی فرق کی عکاسی کرتا ہے: ٹورس میں ایک سوراخ ہے جبکہ کرہ میں کوئی نہیں ہے۔

ان طریقوں کو گننا آسان ہے جن کو ہم دائرے سے دو جہتی کرہ یا ٹورس تک نقشہ بنا سکتے ہیں۔ وہ مانوس جگہیں ہیں جن کا تصور کرنا آسان ہے۔ لیکن نقشوں کی گنتی اس وقت زیادہ مشکل ہوتی ہے جب اعلیٰ جہتی جگہیں شامل ہوں۔

جہتی اختلافات

اگر دو دائروں کا طول و عرض ایک ہی ہے، تو ان کے درمیان ہمیشہ لامحدود بہت سے نقشے ہوتے ہیں۔ اور اگر آپ جس جگہ سے نقشہ سازی کر رہے ہیں وہ اس جگہ سے کم جہتی ہے جس کی آپ نقشہ سازی کر رہے ہیں (جیسا کہ ہماری مثال کے طور پر ایک جہتی دائرے کو دو جہتی دائرے پر نقشہ بنایا گیا ہے)، ہمیشہ صرف ایک نقشہ ہوتا ہے۔

جزوی طور پر اس وجہ سے، نقشوں کی گنتی اس وقت سب سے زیادہ دلچسپ ہوتی ہے جب آپ جس جگہ سے نقشہ بنا رہے ہیں اس کی جہت اس جگہ سے زیادہ ہوتی ہے جس کا آپ نقشہ بنا رہے ہیں، جیسے کہ جب آپ کسی سات جہتی کرہ کو تین جہتی کرہ پر نقشہ بناتے ہیں۔ ان جیسے معاملات میں، نقشوں کی تعداد ہمیشہ محدود ہوتی ہے۔

ہان نے کہا، "عمومی طور پر کرہوں کے درمیان نقشے زیادہ دلچسپ ہوتے ہیں جب ماخذ کی جہت زیادہ ہوتی ہے۔"

مزید یہ کہ نقشوں کی تعداد کا انحصار صرف طول و عرض کی تعداد میں فرق پر ہوتا ہے (ایک بار جب طول و عرض فرق کے مقابلے میں کافی بڑا ہو جاتا ہے)۔ یعنی 73 جہتی کرہ سے 53 جہتی کرہ تک نقشوں کی تعداد 225 جہتی کرہ سے 205 جہتی کرہ تک نقشوں کی تعداد کے برابر ہے، کیونکہ دونوں صورتوں میں طول و عرض میں فرق ہے۔ 20۔

ریاضی دان طول و عرض میں کسی بھی فرق کی خالی جگہوں کے درمیان نقشوں کی تعداد جاننا چاہیں گے۔ وہ 100 تک کے طول و عرض میں تقریباً تمام فرقوں کے لیے نقشوں کی تعداد کا حساب کرنے میں کامیاب ہو گئے ہیں: جب فرق 24 ہو تو کرہوں کے درمیان 20 نقشے ہوتے ہیں، اور جب یہ 3,144,960 ہو تو 23 ہوتے ہیں۔

لیکن 100 سے بڑے فرق کے لیے نقشوں کی تعداد کا حساب لگانا جدید کمپیوٹنگ طاقت کو ختم کر دیتا ہے۔ اور ایک ہی وقت میں، ریاضی دانوں نے نقشوں کی تعداد میں اتنے نمونوں کا پتہ نہیں لگایا ہے کہ وہ مزید نکال سکیں۔ ان کا مقصد ایک جدول کو پُر کرنا ہے جو طول و عرض میں کسی بھی فرق کے لیے نقشوں کی تعداد بتاتا ہے، لیکن یہ مقصد بہت دور محسوس ہوتا ہے۔

"یہ ایسا سوال نہیں ہے جس کی میں اپنے پوتے پوتیوں کی زندگی میں مکمل حل کی توقع کرتا ہوں،" ریوینیل نے کہا، جو 76 سالہ ہیں۔

دوربین کا اندازہ اس بارے میں پیشین گوئی کرتا ہے کہ طول و عرض میں فرق بڑھنے کے ساتھ ہی نقشوں کی تعداد کیسے بڑھتی ہے۔ درحقیقت، یہ پیش گوئی کرتا ہے کہ تعداد آہستہ آہستہ بڑھتی ہے۔ اگر یہ سچ ہوتا تو اس ٹیبل کو بھرنے کا مسئلہ قدرے آسان ہو جاتا۔

کفر میں شک

دوربین کے قیاس کو اس کا نام ایک ناممکن انداز میں ملا۔

یہ اس حقیقت سے شروع ہوا کہ بہت زیادہ جہتوں میں، نچلے جہتوں میں بننے والا ہندسی انتشار اکثر ٹوٹ جاتا ہے، اور کرہوں کے درمیان نقشوں کو شمار کرنا مشکل ہوتا ہے۔ لیکن اپنے قیاس کو مرتب کرتے ہوئے، ریوینیل سمجھ گیا کہ آپ کو ایسا کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔ کرہوں کے درمیان نقشوں کو شمار کرنے کے بجائے، آپ کرہوں اور اشیاء کے درمیان نقشوں کی ایک آسان پراکسی گنتی کر سکتے ہیں جسے دوربین کہتے ہیں۔

دوربینوں میں بند اعلیٰ جہتی منحنی خطوط کی کاپیوں کا ایک سلسلہ شامل ہوتا ہے، ہر ایک اس سے پہلے آنے والے کا چھوٹا سا ورژن۔ منحنی خطوط کا سلسلہ ایک حقیقی ٹوٹنے والی دوربین کی آپس میں جڑی ہوئی ٹیوبوں سے مشابہ ہے۔ ریوینیل نے کہا، "جب آپ اس کی وضاحت کرتے ہیں تو یہ دوربین جتنی عجیب لگتی ہے، یہ درحقیقت کرہ خود سے نمٹنے کے لیے ایک آسان چیز ہے۔"

لیکن پھر بھی، کرہ کئی مختلف طریقوں سے دوربینوں پر نقشہ بنا سکتے ہیں، اور چیلنج یہ جاننا ہے کہ وہ نقشے حقیقی طور پر کب الگ ہیں۔

اس بات کا تعین کرنے کے لیے کہ آیا دو خالی جگہیں ہوموٹوپک ہیں، ایک ریاضیاتی ٹیسٹ کی ضرورت ہوتی ہے جسے ایک انویرینٹ کہا جاتا ہے، جو خالی جگہوں کی خصوصیات پر مبنی ایک حساب کتاب ہے۔ اگر حساب ہر اسپیس کے لیے ایک مختلف قدر پیدا کرتا ہے، تو آپ جانتے ہیں کہ وہ ہوموٹوپی کے نقطہ نظر سے منفرد ہیں۔

انویریئنٹس کی بہت سی قسمیں ہیں، اور کچھ ان فرقوں کو محسوس کر سکتے ہیں جن سے دوسرے انویریئنٹس نابینا ہیں۔ دوربین قیاس یہ پیش گوئی کرتا ہے کہ موروا نامی ایک غیر متزلزل شے ہے۔ Eتھیوری (اور اس کی ہم آہنگی) کرہ اور دوربین کے درمیان ہوموٹوپی تک تمام نقشوں کو بالکل الگ کر سکتی ہے - یعنی اگر موروا E-نظریہ کہتا ہے کہ نقشے الگ ہیں، وہ الگ ہیں، اور اگر یہ کہتا ہے کہ وہ ایک جیسے ہیں، تو وہ ایک جیسے ہیں۔

لیکن 1989 تک ریوینل نے شک کرنا شروع کر دیا تھا کہ یہ سچ ہے۔ اس کے شکوک و شبہات اس نے انجام دیے گئے حساب سے ابھرے جو قیاس کے مطابق نہیں لگتے تھے۔ لیکن یہ اس سال اکتوبر تک نہیں ہوا تھا، جب وہ برکلے میں تھا تو بے ایریا میں ایک زبردست زلزلہ آیا، کہ وہ شکوک و شبہات مکمل کفر میں بدل گئے۔

"میں زلزلے کے ایک یا دو دن کے اندر اس نتیجے پر پہنچا ہوں، اس لیے میں یہ سوچنا چاہتا ہوں کہ کچھ ایسا ہوا جس نے مجھے یہ سوچنے پر مجبور کیا کہ یہ سچ نہیں تھا،" ریوینیل نے کہا۔

دوربین کے قیاس کو غلط ثابت کرنے کے لیے ایک زیادہ طاقتور انویرینٹ تلاش کرنے کی ضرورت ہوگی جو موراوا چیزوں کو دیکھ سکے۔ E- نظریہ نہیں کر سکتا. کئی دہائیوں سے ایسا کوئی غیر متزلزل دستیاب نظر نہیں آتا تھا، جو قیاس کو مضبوطی سے اپنی پہنچ سے دور رکھتا ہے۔ لیکن حالیہ برسوں میں ہونے والی پیشرفت نے اسے بدل دیا - اور برکلنڈ، ہان، لیوی اور شلانک نے اس کا فائدہ اٹھایا۔

دی ایکسپلوڈنگ ایگزوٹک

ان کا ثبوت آلات کے ایک سیٹ پر انحصار کرتا ہے جسے الجبری کہتے ہیں۔ Kتھیوری، جسے 1950 کی دہائی میں الیگزینڈر گروتھنڈیک نے قائم کیا تھا اور پچھلی دہائی میں تیزی سے ترقی کی ہے۔ اس کے پاس ریاضی میں ایپلی کیشنز ہیں، بشمول جیومیٹری میں، جہاں یہ ایک انویرینٹ کو سپر چارج کرنے کی صلاحیت رکھتا ہے۔

چار مصنفین الجبری استعمال کرتے ہیں۔ Kایک گیجٹ کے طور پر نظریہ: وہ موروا کو داخل کرتے ہیں۔ E-نظریہ، اور ان کی پیداوار ایک نئی تبدیلی ہے جسے وہ الجبری کہتے ہیں۔ Kموروا کے فکسڈ پوائنٹس کا نظریہ E-نظریہ. اس کے بعد وہ اس نئے تغیر کو کرہ سے لے کر دوربین تک کے نقشوں پر لاگو کرتے ہیں اور ثابت کرتے ہیں کہ یہ موروا کے نقشوں کو دیکھ سکتا ہے۔ E- نظریہ نہیں کر سکتا.

اور یہ صرف یہ نہیں ہے کہ یہ نیا متغیر کچھ اور نقشے دیکھتا ہے۔ یہ بہت زیادہ دیکھتا ہے، یہاں تک کہ لامحدود زیادہ۔ اتنے زیادہ کہ موروا کہنا مناسب ہے۔ Eتھیوری بمشکل سطح کو کھرچ رہی تھی جب یہ کرہوں سے لے کر دوربین تک کے نقشوں کی شناخت کی بات کی گئی۔

کرہوں سے دوربین تک لامحدود زیادہ نقشے کا مطلب ہے خود کرہوں کے درمیان لامحدود زیادہ نقشے۔ طول و عرض میں کسی بھی فرق کے لیے اس طرح کے نقشوں کی تعداد محدود ہے، لیکن نئے ثبوت سے پتہ چلتا ہے کہ تعداد میں تیزی سے اور غیرمعمولی اضافہ ہوتا ہے۔

کہ بہت سارے نقشے ہیں جو ایک پریشان کن ہندسی حقیقت کی طرف اشارہ کرتے ہیں: بہت سارے دائرے ہیں۔

1956 میں جان ملنور نے پہلی مثالوں کی نشاندہی کی جنہیں "غیر ملکی" دائرہ کہا جاتا ہے۔ یہ وہ خالی جگہیں ہیں جو ہوموٹوپی کے نقطہ نظر سے اصل دائرہ میں تبدیل ہو سکتی ہیں لیکن ایک خاص معنوں میں کرہ سے مختلف ہیں۔ ایک، دو یا تین طول و عرض میں خارجی دائرے بالکل موجود نہیں ہیں، اور کسی نے بھی ان کی مثالیں طول و عرض سات کے نیچے نہیں دریافت کی ہیں — وہ جہت جہاں ملنور نے انہیں پہلی بار پایا۔ لیکن جیسے جیسے طول و عرض بڑھتا ہے، غیر ملکی دائروں کی تعداد پھٹ جاتی ہے۔ طول و عرض 16,256 میں 15 اور طول و عرض 523,264 میں 19 ہیں۔

اور پھر بھی، یہ تعداد جتنی بڑی ہے، دوربین کے قیاس کی تردید کا مطلب ہے کہ بہت سے، اور بھی بہت ہیں۔ غلط ہونے کا مطلب ہے کہ کرہوں کے درمیان متوقع سے زیادہ نقشے ہیں جب ریوینیل نے قیاس کیا تھا، اور آپ کو زیادہ نقشے حاصل کرنے کا واحد طریقہ یہ ہے کہ آپ کے درمیان نقشے کے لیے دائروں کی ایک بڑی قسم کا ہونا ہے۔

ریاضی اور سائنس میں ترقی کی مختلف اقسام ہیں۔ ایک قسم افراتفری کو ترتیب دیتی ہے۔ لیکن ایک اور امید افزا مفروضوں کو ختم کرکے افراتفری کو تیز کرتا ہے جو درست نہیں تھے۔ دوربین کے قیاس کی تردید اس طرح ہے۔ یہ جیومیٹری کی پیچیدگی کو مزید گہرا کرتا ہے اور یہ مشکلات پیدا کرتا ہے کہ اس سے پہلے کہ کوئی بھی دائروں کے درمیان نقشوں کو پوری طرح سمجھ نہ لے، پوتے پوتیوں کی کئی نسلیں آئیں گی۔

"موضوع میں ہر بڑی پیش رفت ہمیں بتاتی ہے کہ جواب اس سے کہیں زیادہ پیچیدہ ہے جتنا ہم نے پہلے سوچا تھا،" ریوینیل نے کہا۔