تعارف
اس سال کے شروع میں، ریاضی دانوں کی ایک تینوں نے لیموں کو لیموں کا پانی بنانے کا فیصلہ کیا - اور بنانا ختم ہو گیا۔ اہم پیش رفت ایک ایسے مسئلے پر جس کے بارے میں ریاضی دان صدیوں سے سوچ رہے ہیں۔
تینوں ابھی ایک پروجیکٹ مکمل کر رہے تھے اور اگلے اقدامات کے بارے میں سوچ رہے تھے جب مارچ کے آخر میں، ان میں سے دو — Levent Alpöge ہارورڈ یونیورسٹی اور ایری شنیڈمین یروشلم کی عبرانی یونیورسٹی کا - کوویڈ 19 کا معاہدہ ہوا، الگ الگ لیکن تقریبا ایک ساتھ۔ بہت سے لوگ ایسے حالات میں وقفہ لیں گے، لیکن تیسرا ٹیم ممبر، منجول بھارگاوا پرنسٹن یونیورسٹی نے اس کے برعکس تجویز پیش کی۔ اس نے مشورہ دیا کہ ان کی ہفتہ وار زوم میٹنگز کو ہفتے میں تین یا چار بار بڑھانا، اس کے بیمار ساتھیوں کو ان کی علامات سے ہٹا سکتا ہے۔ قرنطینہ، تینوں نے فیصلہ کیا کہ، بلا روک ٹوک سوچنے کا موقع ہو سکتا ہے۔
ان ملاقاتوں کے دوران، انہوں نے نظریہ نمبر کے سب سے پرانے سوالوں میں سے ایک پر غور کیا: کتنے عدد کو دو کیوبڈ فریکشنز کے مجموعے کے طور پر لکھا جا سکتا ہے، یا جیسا کہ ریاضی دان انہیں عقلی نمبر کہتے ہیں؟ نمبر 6، مثال کے طور پر، لکھا جا سکتا ہے (17/21)3 + (37/21)3جبکہ 13 = (7/3)3+(2/3)3.
ریاضی دانوں کو کئی دہائیوں سے شبہ ہے کہ تمام عدد کا نصف اس طرح لکھا جا سکتا ہے۔ بالکل اسی طرح جیسے طاق اور جفت اعداد کے ساتھ، یہ خاصیت پورے نمبروں کو دو مساوی کیمپوں میں تقسیم کرتی نظر آتی ہے: وہ جو دو کیوبز کا مجموعہ ہیں، اور وہ جو نہیں ہیں۔
لیکن کوئی بھی اس کو ثابت کرنے کے قابل نہیں تھا، یا یہاں تک کہ ہر کیمپ میں آنے والے پورے نمبروں کے تناسب پر کوئی پابند نہیں تھا۔ جہاں تک ریاضی دانوں کو معلوم تھا، کیمپ جو کہ عقلی کیوبز کے مجموعوں پر مشتمل ہے ناپید طور پر چھوٹا ہو سکتا ہے - یا اس میں تقریباً ہر پوری تعداد ہو سکتی ہے۔ ریاضی دان حساب کیا ہے کہ، اگر برچ اور سوئنرٹن-ڈائر کے قیاس نام کی کوئی چیز درست ہے (جیسا کہ بڑے پیمانے پر مانا جاتا ہے)، 59 ملین تک کے تقریباً 10% اعداد دو عقلی کیوبز کا مجموعہ ہیں۔ لیکن اس طرح کے اعداد و شمار، بہترین طور پر، اس بارے میں اشارے پیش کر سکتے ہیں کہ باقی نمبر لائن کیسے برتاؤ کر سکتی ہے۔
طاق اور جفت نمبروں کے برعکس، "یہ دونوں کیمپ ٹھیک ٹھیک ہیں،" نے کہا بیری مزور ہارورڈ کے. اس بات کا تعین کرنے کے لیے کوئی ٹیسٹ نہیں ہے کہ کون سے نمبرز کس کیمپ میں ہیں جو تمام نمبروں کے لیے کام کرنے کے لیے جانا جاتا ہے۔ ریاضی دان ایسے ٹیسٹ لے کر آئے ہیں جو مضبوط امیدوار ہیں، لیکن فی الحال ہر ایک میں کچھ کمی ہے — یا تو ریاضی دان یہ ثابت نہیں کر سکتے کہ ٹیسٹ ہمیشہ کسی نتیجے پر پہنچے گا، یا وہ یہ ثابت نہیں کر سکتے کہ نتیجہ درست ہے۔
بھارگوا نے کہا کہ کیوبز کے مجموعوں اور کیوبک مساوات کو زیادہ عام طور پر سمجھنے میں دشواری "نمبر تھیوریسٹوں کے لیے ایک بار بار شرمندگی کا باعث بنی ہوئی ہے"۔ وہ فیلڈز میڈل جیتا۔ کے لئے حصہ میں 2014 میں عقلی حل پر اس کا کام کیوبک مساوات کے لیے جنہیں بیضوی منحنی خطوط کہا جاتا ہے، جن میں سے دو کیوبز کا مجموعہ ایک خاص صورت ہے۔
اب، میں ایک کاغذ اکتوبر کے آخر میں آن لائن پوسٹ کیا گیا، Alpöge، Bhargava اور Shnidman نے دکھایا ہے کہ کم از کم 2/21 (تقریباً 9.5%) اور زیادہ سے زیادہ 5/6 (تقریباً 83%) پورے نمبروں کو دو کیوبڈ فریکشن کے مجموعے کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔
کیوبز کی رقم کا سوال صرف ایک تجسس نہیں ہے۔ بیضوی منحنی خطوط میں ایک بہت پیچیدہ ڈھانچہ ہے جس نے انہیں خالص اور لاگو ریاضی دونوں کے بہت سے شعبوں کے مرکز تک پہنچایا ہے، خاص طور پر خفیہ نگاروں کو طاقتور سائفرز بنانے کے قابل بناتا ہے۔ The Birch and Swinnerton-Dyer conjecture، جو اس شعبے کا مرکزی سوال ہے، اس کے سر پر کلے میتھمیٹکس انسٹی ٹیوٹ کے ملینیم پرائز کے مسائل میں سے ایک کے طور پر $1 ملین کا انعام ہے۔
نیا کام ان ٹولز کے ایک سیٹ پر بنا ہے جو بھارگوا نے گزشتہ 20 سالوں میں تعاون کرنے والوں کے ساتھ تیار کیا ہے۔ پورے خاندان کو دریافت کریں۔ بیضوی منحنی خطوط کا۔ دو کیوبز کی رقم کو سمجھنے کا مطلب ہے ایک بہت چھوٹے خاندان کا تجزیہ کرنا، اور "کنبہ جتنا چھوٹا ہوگا، مسئلہ اتنا ہی مشکل ہوگا،" کہا۔ پیٹر سارنک پرنسٹن میں انسٹی ٹیوٹ فار ایڈوانسڈ اسٹڈی کا۔
سارنک نے مزید کہا کہ یہ خاص خاندان "پہنچنے سے دور لگتا ہے"۔ "میں نے کہا ہوگا، 'یہ بہت مشکل لگتا ہے، بہت مشکل'۔
ایک فیز ٹرانزیشن
کیوبڈ فریکشنز کے مجموعوں کے برعکس، جو بظاہر بہت زیادہ لگتے ہیں، شاید ہی کوئی انٹیجرز دو مربع فریکشن کا مجموعہ ہوں۔ 1600 کی دہائی کے اوائل تک، ریاضی دانوں البرٹ جیرارڈ اور پیئر ڈی فرمیٹ نے اس بات کا تعین کرنے کے لیے ایک سادہ سا ٹیسٹ نکالا تھا کہ کون سے پورے نمبر دو مربعوں کا مجموعہ ہیں: اپنے نمبر کو پرائمز میں فیکٹر کریں، پھر ہر ایک پرائم کے ایکسپوننٹ کو چیک کریں جس میں 3 باقی ہیں۔ جب آپ اسے 4 سے تقسیم کریں۔ دوسری صورت میں، یہ نہیں ہے. مثال کے طور پر، 490 میں 2 عوامل1 . 51 . 72. ان عوامل میں سے صرف ایک جس کے پاس 3 باقی ہوتے ہیں جب آپ 4 سے تقسیم کرتے ہیں تو 7 ہوتا ہے، اور 7 کا ایک یکساں ایکسپونٹنٹ ہوتا ہے۔ لہذا، 490 دو مربعوں کا مجموعہ ہے (تجسس کے لیے، یہ 7 کے برابر ہے۔2 + 212).
نمبروں کی اکثریت یکساں شرح ٹیسٹ میں ناکام ہوجاتی ہے۔ اگر آپ بے ترتیب طور پر ایک مکمل نمبر چنتے ہیں، تو اس بات کا امکان کہ یہ دو مربع فرکشن کا مجموعہ ہے بنیادی طور پر صفر ہے۔ ریاضی دانوں کا خیال ہے کہ چوتھی طاقت، یا پانچویں طاقت، یا تین سے زیادہ کسی بھی طاقت پر اٹھائے گئے دو حصوں کے مجموعے کے لیے بھی یہی بات درست ہے۔ یہ صرف کیوبز کی رقم کے ساتھ ہے کہ اچانک ایک کثرت ہے.
ریاضی دان کیوبک مساوات کے عادی ہیں جو دوسری تمام طاقتوں سے مختلف طریقے سے برتاؤ کرتے ہیں۔ دو متغیرات سے بنی مساواتوں میں (جیسے دو کیوبز کی رقم کی مساوات)، وہ مساوات جن کا سب سے زیادہ ایکسپوننٹ 1 یا 2 ہے اچھی طرح سے سمجھا جاتا ہے — عام طور پر ان کا یا تو کوئی عقلی حل نہیں ہوتا یا لامحدود بہت ہوتا ہے، اور یہ عام طور پر سیدھا ہوتا ہے۔ بتاؤ کون سا. دریں اثنا، وہ مساوات جن کا سب سے زیادہ ایکسپوننٹ 4 یا اس سے زیادہ عام طور پر ہوتا ہے۔ صرف ایک محدود چھڑکاو عقلی حل کے.
اس کے برعکس کیوبک مساوات میں بہت سے حل ہو سکتے ہیں، لامحدود بہت سے یا کوئی بھی نہیں۔ یہ مساوات 3 سے نیچے اور اوپر والے کے درمیان ایک قسم کے مرحلے کی منتقلی کی نمائندگی کرتی ہیں، ایسے مظاہر کو ظاہر کرتی ہیں جو ان دیگر ترتیبات میں کبھی نہیں دیکھے جاتے ہیں۔ "کیوب ہر لحاظ سے مختلف ہوتے ہیں،" مزور نے کہا۔
نچلے ایکسپوننٹ کے ساتھ مساوات کے برعکس، کیوبز کا اندازہ لگانا حیران کن حد تک مشکل ہے۔ کیوبکس کے عقلی حل تلاش کرنے یا گننے کا کوئی بڑا طریقہ نہیں ہے جو ہمیشہ کام کرنے کے لئے ثابت ہوا ہے۔
"ہمارے پاس موجود تمام کمپیوٹنگ طاقت کے باوجود، اگر آپ مجھے بہت بڑے گتانک کے ساتھ ایک بیضوی وکر دیتے ہیں، تو میں ضروری نہیں جانتا کہ اس کے کتنے عقلی حل ہیں،" کہا۔ وی ہوبھارگوا کا سابق طالب علم جو ہے۔ فی الحال ایک وزٹنگ پروفیسر انسٹی ٹیوٹ فار ایڈوانسڈ اسٹڈی میں۔
دو کیوبز کے مجموعے کے مسئلے میں، اس میں شامل حصے بہت زیادہ ہوسکتے ہیں: نمبر 2,803، مثال کے طور پر، دو کیوبڈ فریکشنز کا مجموعہ ہے جن میں سے ہر ایک میں 40 ہندسے ہوتے ہیں۔ اور ایک بار جب ہم لاکھوں میں تعداد کو دیکھ رہے ہیں، بھارگوا نے کہا، بہت سے حصوں میں "اس دنیا کے تمام کاغذ پر فٹ ہونے سے زیادہ ہندسے شامل ہوں گے۔"
میپنگ میٹرکس
چونکہ بیضوی منحنی خطوط اس قدر ناقابل تسخیر ہیں، اس لیے نمبر تھیوریسٹ ان کو مزید قابل عمل اشیاء سے جوڑنے کے طریقے تلاش کرتے ہیں۔ اس اپریل میں، جب Alpöge اور Shnidman Covid سے لڑ رہے تھے، انہوں نے اور بھارگوا نے اس کام کو آگے بڑھایا جو بعد میں پہلے ہو کے ساتھ کر چکے تھے اور پتہ چلا کہ جب بھی کیوبز کے مجموعے کی مساوات کا عقلی حل ہوتا ہے، تو کم از کم ایک خاص 2 بنانے کا ایک طریقہ ہوتا ہے۔ × 2 × 2 × 2 میٹرکس — زیادہ مانوس دو جہتی میٹرکس کا چار جہتی اینالاگ۔ تینوں نے لکھا، "ہم نے ان 2 × 2 × 2 × 2 میٹرکس کو گننے کا منصوبہ بنانا شروع کیا۔"
ایسا کرنے کے لیے، ٹیم نے دو کلاسیکی مضامین کی طرف متوجہ کیا جن میں سے ہر ایک کا ایک صدی سے زیادہ عرصے سے مطالعہ کیا جا رہا ہے۔ ایک ہے "نمبروں کی جیومیٹری"، جس میں مختلف ہندسی اشکال کے اندر جالی پوائنٹس کو شمار کرنے کا طریقہ شامل ہے۔ یہ موضوع پچھلے 20 سالوں میں بیضوی منحنی خطوط کے میدان میں نشاۃ ثانیہ کا لطف اٹھا رہا ہے، جس کی بڑی وجہ بھارگاو اور ساتھیوں کے کام ہیں۔
دوسری تکنیک، جسے دائرہ طریقہ کے نام سے جانا جاتا ہے، 20ویں صدی کے اوائل میں افسانوی ہندوستانی ریاضی دان سری نواسا رامانوجن اور ان کے دیرینہ ساتھی جی ایچ ہارڈی کے کام سے شروع ہوئی۔ "یہ جیومیٹری آف نمبرز تکنیک کے ساتھ دائرے کے طریقہ کار کو یکجا کرنے کا پہلا بڑا استعمال ہے،" ہو نے کہا۔ "وہ حصہ بہت اچھا ہے۔"
ان طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے، تینوں یہ ظاہر کرنے کے قابل تھے کہ تمام مکمل نمبروں کے کم از کم 1/6 کے لیے، کوئی 2 × 2 × 2 × 2 میٹرکس موجود نہیں ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ان نمبروں کے لیے، کیوبز کے مجموعے کی مساوات کا کوئی عقلی حل نہیں ہے۔ لہذا 5/6 سے زیادہ عدد، یا تقریباً 83%، دو حصوں کے کیوبز کا مجموعہ نہیں ہو سکتا۔
الٹی سمت میں، انہوں نے پایا کہ تمام نمبروں میں سے کم از کم 5/12 میں بالکل ایک مماثل میٹرکس ہے۔ یہ نتیجہ اخذ کرنا پرکشش ہے کہ یہ اعداد دو کیوبز کا مجموعہ ہیں، لیکن یہ خود بخود عمل میں نہیں آتا ہے۔ ہر وہ عدد جو دو کیوبز کا مجموعہ ہوتا ہے ایک میٹرکس ہوتا ہے، لیکن اس کا لازمی طور پر یہ مطلب نہیں کہ بات چیت درست ہو: کہ میٹرکس کے ساتھ ہر عدد دو کیوبز کا مجموعہ ہے۔
Alpöge، Bhargava اور Shnidman کی ضرورت تھی جسے elliptic curve محققین ایک converse theorem کہتے ہیں - ایسی چیز جو مکعب مساوات کے بارے میں معلومات لیتی ہے اور اسے عقلی حل بنانے کے لیے استعمال کرتی ہے۔ کنورس تھیورمز بیضوی منحنی خطوط کے نظریہ کا ایک پھلتا پھولتا ذیلی فیلڈ بناتے ہیں، لہذا تینوں نے ذیلی فیلڈ کے دو ماہر پریکٹیشنرز کی طرف رجوع کیا۔ اشے برنگلے ۔ یونیورسٹی آف ٹیکساس، آسٹن اور پرنسٹن کے۔ برونگال اور سکنر یہ ظاہر کرنے کے قابل تھے کہ کم از کم کچھ وقت میں، اگر کسی پورے نمبر میں ایک مربوط میٹرکس ہو، تو وہ نمبر دو ناطق کیوبز کا مجموعہ ہونا چاہیے۔ ان کا نظریہ، جو بنیادی طور پر برچ اور سوئنرٹن-ڈائر کے قیاس کا ایک متعلقہ حصہ ثابت کرتا ہے، کاغذ میں تین صفحات پر مشتمل ضمیمہ کے طور پر ظاہر ہوتا ہے، جسے سارنک اپنے آپ میں شاندار قرار دیتے ہیں۔
برونگال اور سکنر نے ہر پورے نمبر کے لیے اپنے تھیوریم کو بالکل ایک میٹرکس کے ساتھ ثابت نہیں کیا — انہیں ایک تکنیکی شرط لگانی پڑی جس نے 5/12 سب سیٹ کو 2/21، یا تمام مکمل نمبروں کا تقریباً 9.5% تک بڑھا دیا۔ لیکن بھارگوا پر امید ہیں کہ برونگال اور سکنر، یا ان کے علاقے کے دیگر محققین، 5/12 کے بقیہ حصے تک پہنچ جائیں گے (تقریباً 41%) بہت زیادہ وقت سے پہلے۔ "ان کی تکنیکیں مسلسل مضبوط ہو رہی ہیں،" بھارگوا نے کہا۔
مکمل قیاس کو ثابت کرنا - کہ تمام انٹیجرز کا بالکل نصف دو کیوبز کا مجموعہ ہے - آخر کار ان اعداد کے سیٹ سے نمٹنے کی ضرورت ہوگی جن میں ایک سے زیادہ وابستہ میٹرکس ہیں۔ اس سیٹ کو، جسے بھارگوا "بہت ہی دھندلا" کہتے ہیں، میں دونوں نمبر شامل ہیں جو دو کیوبز کا مجموعہ ہیں اور جو نہیں ہیں۔ انہوں نے کہا کہ ایسے نمبروں کو سنبھالنے کے لیے بالکل نئے آئیڈیاز کی ضرورت ہوگی۔
ابھی کے لیے، محققین خوش ہیں کہ آخر کار پورے نمبروں کے کافی تناسب کے لیے سوال کو طے کر لیا ہے، اور ثبوت میں تکنیکوں کی مزید چھان بین کرنے کے خواہشمند ہیں۔ "یہ ان خوبصورت چیزوں میں سے ایک ہے: آپ نتیجہ کو بہت آسانی سے بیان کر سکتے ہیں، لیکن ٹولز نمبر تھیوری کے بہت ہی اہم ترین کنارے پر ہیں،" سارنک نے کہا۔
