جب بلبلوں کے جھرمٹ کی شکل کو سمجھنے کی بات آتی ہے تو، ریاضی دان صدیوں سے ہمارے جسمانی وجدان کو پکڑتے رہے ہیں۔ فطرت میں صابن کے بلبلوں کے جھرمٹ اکثر فوری طور پر سب سے کم توانائی والی حالت میں آتے دکھائی دیتے ہیں، جو ان کی دیواروں کے کل سطحی رقبے کو کم سے کم کرتا ہے (بشمول بلبلوں کے درمیان کی دیواریں)۔ لیکن یہ جانچنا کہ آیا صابن کے بلبلوں سے یہ کام صحیح ہو رہا ہے - یا صرف یہ اندازہ لگانا کہ بڑے بلبلوں کے جھرمٹ کیسا ہونا چاہیے - جیومیٹری میں سب سے مشکل مسائل میں سے ایک ہے۔ ریاضی دانوں کو 19ویں صدی کے آخر تک یہ ثابت کرنے میں لگا کہ کرہ بہترین واحد بلبلہ ہے، حالانکہ یونانی ریاضی دان زینوڈورس نے 2,000 سال پہلے اس بات پر زور دیا تھا۔
بلبلے کا مسئلہ بیان کرنے کے لیے کافی آسان ہے: آپ جلدوں کے لیے نمبروں کی فہرست کے ساتھ شروع کریں، اور پھر پوچھیں کہ کم سے کم سطحی رقبہ کا استعمال کرتے ہوئے ہوا کے ان حجموں کو الگ سے کیسے بند کیا جائے۔ لیکن اس مسئلے کو حل کرنے کے لیے، ریاضی دانوں کو بلبلے کی دیواروں کے لیے مختلف ممکنہ اشکال کی ایک وسیع رینج پر غور کرنا چاہیے۔ اور اگر اسائنمنٹ کا مقصد پانچ جلدوں کو بند کرنا ہے، تو ہمارے پاس اپنی توجہ پانچ بلبلوں کے جھرمٹ تک محدود کرنے کی آسائش بھی نہیں ہے - شاید سطح کے رقبے کو کم کرنے کا بہترین طریقہ یہ ہے کہ ایک والیوم کو متعدد بلبلوں میں تقسیم کیا جائے۔
یہاں تک کہ دو جہتی جہاز کی آسان ترتیب میں (جہاں آپ دائرہ کو کم سے کم کرتے ہوئے علاقوں کے مجموعے کو بند کرنے کی کوشش کر رہے ہیں)، کوئی بھی نہیں جانتا ہے کہ نو یا 10 علاقوں کو بند کرنے کا بہترین طریقہ کیا ہے۔ جیسے جیسے بلبلوں کی تعداد بڑھتی ہے، "جلدی سے، آپ واقعی کوئی قابل قیاس اندازہ بھی نہیں لگا سکتے،" کہا۔ ایمانوئل ملمین حیفا، اسرائیل میں ٹیکنیشن کا۔
لیکن ایک چوتھائی صدی پہلے، جان سلیوان, اب برلن کی تکنیکی یونیورسٹی کے، نے محسوس کیا کہ بعض صورتوں میں، ایک ہے رہنمائی قیاس ہونا بلبلے کے مسائل کسی بھی جہت میں معنی رکھتے ہیں، اور سلیوان نے پایا کہ جب تک آپ جس حجم کو بند کرنے کی کوشش کر رہے ہیں ان کی تعداد جہت سے زیادہ سے زیادہ ہے، جلدوں کو بند کرنے کا ایک خاص طریقہ ہے جو کہ ایک خاص معنوں میں، کسی بھی دوسرے سے زیادہ خوبصورت - ایک کرہ پر بالکل ہم آہنگ بلبلے کے جھرمٹ کا سایہ۔ اس نے قیاس کیا کہ یہ شیڈو کلسٹر ایسا ہونا چاہیے جو سطح کے رقبے کو کم سے کم کرے۔
اس کے بعد کی دہائی کے دوران، ریاضی دانوں نے سلیوان کے قیاس کو ثابت کرنے والے زمینی کاغذات کا ایک سلسلہ لکھا جب آپ صرف دو جلدوں کو بند کرنے کی کوشش کر رہے تھے۔ یہاں، حل وہ مانوس ڈبل بلبلہ ہے جسے آپ نے پارک میں دھوپ کے دن اڑا دیا ہو گا، جو دو کروی ٹکڑوں سے بنا ہوا ہے جس کے درمیان فلیٹ یا کروی دیوار ہے (اس بات پر منحصر ہے کہ آیا دونوں بلبلوں کی ایک جیسی ہے یا مختلف)۔
لیکن تین جلدوں کے لیے سلیوان کے قیاس کو ثابت کرتے ہوئے، ریاضی دان فرینک مورگن ولیمز کالج کے متوقع 2007 میں، "مزید سو سال لگ سکتے ہیں۔"
اب، ریاضی دانوں کو اس طویل انتظار سے بچایا گیا ہے - اور انہوں نے ٹرپل ببل کے مسئلے کے حل سے کہیں زیادہ حاصل کر لیا ہے۔ ایک ___ میں کاغذ مئی میں آن لائن پوسٹ کیا گیا، Milman اور جو نیمنیونیورسٹی آف ٹیکساس، آسٹن کے، نے سلیوان کے قیاس کو تین اور اوپر کے طول و عرض میں تین اور چار اور چوگنی بلبلوں کے لیے ثابت کیا ہے، کام میں پانچ اور اس سے اوپر کے طول و عرض میں کوئنٹپل بلبلوں پر فالو اپ پیپر کے ساتھ۔
اور جب بات چھ یا اس سے زیادہ بلبلوں کی ہو تو ملمن اور نیمن نے یہ ظاہر کیا ہے کہ بہترین کلسٹر میں سلیوان کے امیدوار کی بہت سی کلیدی صفات ہونی چاہئیں، ممکنہ طور پر ریاضی دانوں کو ان معاملات کے لیے بھی قیاس کو ثابت کرنے کی راہ پر گامزن ہونا چاہیے۔ "میرا تاثر یہ ہے کہ انہوں نے سلیوان کے قیاس کے پیچھے ضروری ڈھانچے کو سمجھ لیا ہے،" کہا۔ فرانسسکو میگی یونیورسٹی آف ٹیکساس، آسٹن۔
ملمین اور نیمن کا مرکزی نظریہ "یادگار" ہے، مورگن نے ایک ای میل میں لکھا۔ "یہ بہت سے نئے آئیڈیاز کے ساتھ ایک شاندار کامیابی ہے۔"
شیڈو بلبلے۔
اصلی صابن کے بلبلوں کے ساتھ ہمارے تجربات اس بارے میں پرکشش ادراک پیش کرتے ہیں کہ کم از کم جب چھوٹے کلسٹرز کی بات کی جائے تو بہترین بلبلوں کے کلسٹرز کی طرح نظر آنے چاہئیں۔ ہم صابن کی چھڑیوں کے ذریعے جو ٹرپل یا چوگنی بلبلے اڑاتے ہیں ان میں کروی دیواریں لگتی ہیں (اور کبھی کبھار چپٹی ہوتی ہیں) اور بلبلوں کی ایک لمبی زنجیر کے بجائے تنگ گچھے بنتے ہیں۔
لیکن یہ ثابت کرنا اتنا آسان نہیں ہے کہ یہ واقعی بہترین ببل کلسٹرز کی خصوصیات ہیں۔ مثال کے طور پر، ریاضی دان نہیں جانتے کہ کم سے کم کرنے والے بلبلے کے جھرمٹ میں دیواریں ہمیشہ کروی ہوتی ہیں یا چپٹی — وہ صرف یہ جانتے ہیں کہ دیواروں میں "مسلسل اوسط گھماؤ" ہوتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ اوسط گھماو ایک نقطہ سے دوسرے نقطہ تک یکساں رہتا ہے۔ کرہ اور چپٹی سطحوں میں یہ خاصیت ہوتی ہے، لیکن اسی طرح بہت سی دوسری سطحیں، جیسے سلنڈر اور لہراتی شکلیں جنہیں انڈولائڈز کہتے ہیں۔ ملمن نے کہا کہ مسلسل اوسط گھماؤ والی سطحیں "ایک مکمل چڑیا گھر" ہیں۔
لیکن 1990 کی دہائی میں، سلیوان نے تسلیم کیا کہ جب جلدوں کی تعداد جس کو آپ منسلک کرنا چاہتے ہیں، اس کے طول و عرض سے زیادہ سے زیادہ ایک ہے، وہاں امیدواروں کا ایک جھرمٹ ہے جو بقیہ کو پیچھے چھوڑتا ہے — ایک (اور صرف ایک) کلسٹر جس میں وہ خصوصیات ہیں جن کا ہم رجحان رکھتے ہیں۔ اصلی صابن کے بلبلوں کے چھوٹے جھرمٹ میں دیکھنا۔
اس بات کا احساس حاصل کرنے کے لیے کہ اس طرح کا امیدوار کیسے بنایا گیا ہے، آئیے فلیٹ جہاز میں تین بلبلوں کا جھرمٹ بنانے کے لیے سلیوان کے طریقہ کار کو استعمال کریں (لہذا ہمارے "بلبلے" تین جہتی اشیاء کے بجائے ہوائی جہاز کے علاقے ہوں گے)۔ ہم ایک کرہ پر چار پوائنٹس کو منتخب کرکے شروع کرتے ہیں جو ایک دوسرے سے یکساں فاصلے پر ہیں۔ اب تصور کریں کہ ان چار نکات میں سے ہر ایک چھوٹے بلبلے کا مرکز ہے، جو صرف کرہ کی سطح پر رہتا ہے (تاکہ ہر بلبلہ ایک چھوٹی ڈسک ہو)۔ کرہ پر چار بلبلوں کو اس وقت تک پھیلائیں جب تک کہ وہ ایک دوسرے سے ٹکرانا شروع نہ کر دیں، اور پھر اس وقت تک پھولتے رہیں جب تک کہ وہ مجموعی طور پر پوری سطح کو نہ بھر دیں۔ ہم چار بلبلوں کے ایک متوازی جھرمٹ کے ساتھ ختم ہوتے ہیں جو کرہ کو ایک پف آؤٹ ٹیٹراہیڈرن کی طرح دکھاتا ہے۔
اس کے بعد، ہم اس کرہ کو ایک لامحدود فلیٹ جہاز کے اوپر رکھتے ہیں، گویا یہ کرہ ایک گیند ہے جو ایک لامتناہی فرش پر ٹکی ہوئی ہے۔ تصور کریں کہ گیند شفاف ہے اور قطب شمالی پر ایک لالٹین ہے۔ چار بلبلوں کی دیواریں فرش پر سائے بنائے گی، وہاں ایک بلبلے کے جھرمٹ کی دیواریں بنائیں گی۔ کرہ پر موجود چار بلبلوں میں سے، تین فرش پر سایہ دار بلبلوں کی طرف گامزن ہوں گے۔ چوتھا بلبلہ (جو قطب شمالی پر مشتمل ہے) تین سائے کے بلبلوں کے جھرمٹ سے باہر فرش کے لامحدود پھیلاؤ تک پہنچ جائے گا۔
ہمیں جو خاص تین بلبلوں کا جھرمٹ ملتا ہے اس کا انحصار اس بات پر ہوتا ہے کہ جب ہم کرہ کو فرش پر رکھتے ہیں تو ہم اس کی پوزیشن کیسے رکھتے ہیں۔ اگر ہم کرہ کو گھماتے ہیں تو قطب شمالی پر ایک مختلف نقطہ لالٹین کی طرف جاتا ہے، تو ہمیں عام طور پر ایک مختلف سایہ ملے گا، اور فرش پر موجود تین بلبلوں کے علاقے مختلف ہوں گے۔ ریاضی دانوں کے پاس ہے۔ ثابت ہوا کہ کسی بھی تین نمبروں کے لیے جو آپ علاقوں کے لیے منتخب کرتے ہیں، بنیادی طور پر کرہ کو پوزیشن میں رکھنے کا ایک واحد طریقہ ہوتا ہے تاکہ تین سائے کے بلبلوں میں بالکل وہی علاقے ہوں گے۔
ہم اس عمل کو کسی بھی جہت میں انجام دینے کے لیے آزاد ہیں (حالانکہ اعلیٰ جہتی سائے کا تصور کرنا مشکل ہے)۔ لیکن اس کی ایک حد ہے کہ ہم اپنے شیڈو کلسٹر میں کتنے بلبلے رکھ سکتے ہیں۔ اوپر دی گئی مثال میں، ہم ہوائی جہاز میں چار بلبلوں کا کلسٹر نہیں بنا سکتے تھے۔ اس کے لیے کرہ پر پانچ پوائنٹس سے شروع ہونے کی ضرورت ہوگی جو ایک دوسرے سے ایک جیسے فاصلے پر ہیں — لیکن ایک کرہ پر اتنے مساوی پوائنٹس رکھنا ناممکن ہے (حالانکہ آپ اسے اعلیٰ جہتی دائروں کے ساتھ کر سکتے ہیں)۔ سلیوان کا طریقہ کار صرف دو جہتی جگہ میں تین بلبلوں تک، تین جہتی جگہ میں چار بلبلے، چار جہتی جگہ میں پانچ بلبلوں، وغیرہ کے جھرمٹ بنانے کے لیے کام کرتا ہے۔ ان پیرامیٹر کی حدود سے باہر، سلیوان طرز کے ببل کلسٹرز موجود نہیں ہیں۔
لیکن ان پیرامیٹرز کے اندر، سلیوان کا طریقہ کار ہمیں سیٹنگز میں ببل کلسٹرز فراہم کرتا ہے جو ہماری جسمانی وجدان کی سمجھ سے باہر ہے۔ میگی نے کہا، "یہ تصور کرنا ناممکن ہے کہ [15 جہتی جگہ] میں 23 کا بلبلہ کیا ہے۔" "تم ایسی چیز کو بیان کرنے کا خواب بھی کیسے دیکھتے ہو؟"
اس کے باوجود سلیوان کے بلبلے امیدواروں کو اپنے کروی پروجینٹرز سے وراثت میں خصوصیات کا ایک انوکھا مجموعہ ملتا ہے جو ہمیں فطرت میں نظر آنے والے بلبلوں کی یاد دلاتا ہے۔ ان کی دیواریں تمام کروی یا چپٹی ہیں، اور جہاں بھی تین دیواریں ملتی ہیں، وہ 120 ڈگری کے زاویے بناتی ہیں، جیسا کہ ایک ہم آہنگ Y شکل میں ہوتا ہے۔ آپ جس جلد کو بند کرنے کی کوشش کر رہے ہیں ان میں سے ہر ایک ایک سے زیادہ خطوں میں تقسیم ہونے کے بجائے ایک ہی علاقے میں ہے۔ اور ہر بلبلہ ہر دوسرے (اور بیرونی) کو چھوتا ہے، ایک تنگ کلسٹر بناتا ہے۔ ریاضی دانوں نے دکھایا ہے کہ سلیوان کے بلبلے ہی واحد جھرمٹ ہیں جو ان تمام خصوصیات کو پورا کرتے ہیں۔
جب سلیوان نے یہ قیاس کیا کہ یہ وہ جھرمٹ ہونا چاہئے جو سطح کے رقبے کو کم سے کم کرتے ہیں، تو وہ بنیادی طور پر کہہ رہا تھا، "آئیے خوبصورتی کا اندازہ لگائیں،" میگی نے کہا۔
لیکن ببل محققین کے پاس یہ ماننے سے محتاط رہنے کی اچھی وجہ ہے کہ صرف اس لیے کہ ایک تجویز کردہ حل خوبصورت ہے، یہ درست ہے۔ "بہت مشہور مسائل ہیں … جہاں آپ مائنسائزرز کے لیے ہم آہنگی کی توقع کریں گے، اور ہم آہنگی شاندار طور پر ناکام ہو جاتی ہے،" میگی نے کہا۔
مثال کے طور پر، مساوی حجم کے بلبلوں کے ساتھ لامحدود جگہ کو اس طرح بھرنے کا قریب سے متعلقہ مسئلہ ہے جو سطح کے رقبے کو کم سے کم کرتا ہے۔ 1887 میں، برطانوی ریاضی دان اور ماہر طبیعیات لارڈ کیلون نے تجویز کیا کہ حل ایک خوبصورت شہد کے چھتے کی طرح کا ڈھانچہ ہو سکتا ہے۔ ایک صدی سے زیادہ عرصے تک، بہت سے ریاضی دانوں کا خیال تھا کہ یہ ممکنہ جواب ہے - 1993 تک، جب طبیعیات دانوں کا ایک جوڑا ایک بہتر کی نشاندہی کیاگرچہ کم ہم آہنگی والا اختیار ہے۔ میگی نے کہا، "ریاضی ایسی مثالوں سے بھری ہوئی ہے جہاں اس طرح کی عجیب و غریب چیز ہوتی ہے۔"
ایک سیاہ فن
جب سلیوان نے 1995 میں اپنے قیاس کا اعلان کیا تو اس کا ڈبل بلبل والا حصہ ایک صدی سے پہلے ہی تیرتا رہا تھا۔ ریاضی دانوں نے حل کیا تھا۔ 2D ڈبل بلبل کا مسئلہ دو سال پہلے، اور اس کے بعد کی دہائی میں، انہوں نے اسے حل کیا۔ سہ جہتی جگہ اور پھر میں اعلی طول و عرض. لیکن جب سلیوان کے قیاس کے اگلے معاملے کی بات ہوئی - ٹرپل بلبلز - وہ کر سکتے ہیں۔ قیاس کو ثابت کریں صرف دو جہتی جہاز میں، جہاں بلبلوں کے درمیان انٹرفیس خاص طور پر سادہ ہوتے ہیں۔
پھر 2018 میں، ملمین اور نیمن نے سلیوان کے قیاس کا ایک مماثل ورژن ثابت کیا جس کو گاوسی ببل مسئلہ کہا جاتا ہے۔ اس ترتیب میں، آپ خلا کے ہر نقطہ کے بارے میں سوچ سکتے ہیں کہ اس کی مالی قدر ہے: اصل سب سے مہنگی جگہ ہے، اور آپ اصل سے جتنا دور جائیں گے، سستی زمین بن جاتی ہے، جو گھنٹی کا منحنی خطوط بناتی ہے۔ مقصد یہ ہے کہ پہلے سے منتخب شدہ قیمتوں (پہلے سے منتخب شدہ جلدوں کی بجائے) کے ساتھ ملفوظات تخلیق کیے جائیں، اس طریقے سے جو انکلوژرز کی حدود کی لاگت کو کم سے کم کرے (حدود کی سطح کے رقبے کی بجائے)۔ گاوسی بلبلے کے اس مسئلے میں کمپیوٹر سائنس میں راؤنڈنگ اسکیموں اور شور کی حساسیت کے سوالات کے لیے درخواستیں ہیں۔
ملمن اور نیمن نے اپنا عرض کیا۔ ثبوت کرنے کے لئے ریاضی کی تاریخیںریاضی کا سب سے باوقار جریدہ (جہاں اسے بعد میں قبول کیا گیا)۔ لیکن اس جوڑی کا اسے ایک دن کہنے کا کوئی ارادہ نہیں تھا۔ ان کے طریقے کلاسک ببل کے مسئلے کے لیے بھی امید افزا لگ رہے تھے۔
انہوں نے کئی سالوں تک خیالات کو آگے پیچھے کیا۔ ملمن نے کہا، "ہمارے پاس 200 صفحات پر مشتمل نوٹوں کی دستاویز تھی۔ پہلے تو ایسا لگا جیسے وہ ترقی کر رہے ہیں۔ "لیکن پھر تیزی سے یہ بدل گیا، 'ہم نے اس سمت کی کوشش کی - نہیں۔ ہم نے [اس] سمت کی کوشش کی — نہیں۔'
پھر آخری موسم خزاں میں، ملمین نے چھٹی کے لیے آیا اور نیمان سے ملنے کا فیصلہ کیا تاکہ یہ جوڑا بلبلے کے مسئلے پر توجہ مرکوز کر سکے۔ ملمن نے کہا کہ "سباط کے دوران یہ ایک اچھا وقت ہے کہ زیادہ خطرہ والی، زیادہ فائدہ حاصل کرنے والی چیزوں کو آزمائیں"۔
پہلے چند مہینوں تک وہ کہیں نہیں ملے۔ آخر کار، انہوں نے سلیوان کے مکمل قیاس کے مقابلے میں خود کو ایک قدرے آسان کام دینے کا فیصلہ کیا۔ اگر آپ اپنے بلبلوں کو سانس لینے کے کمرے کی ایک اضافی جہت دیتے ہیں، تو آپ کو ایک بونس ملتا ہے: بہترین ببل کلسٹر میں ایک مرکزی ہوائی جہاز میں آئینے کی ہم آہنگی ہوگی۔
سلیوان کا قیاس دو اور اس سے اوپر کے طول و عرض میں ٹرپل بلبلوں، تین اور اوپر کے طول و عرض میں چوگنی بلبلوں، وغیرہ کے بارے میں ہے۔ بونس کی ہم آہنگی حاصل کرنے کے لیے، Milman اور Neeman نے اپنی توجہ تین اور اس سے اوپر کے طول و عرض میں تین گنا، چار اور اوپر کے طول و عرض میں چوگنی بلبلوں، وغیرہ تک محدود کر دی۔ نیمن نے کہا کہ "یہ واقعی صرف اس وقت تھا جب ہم نے اسے مکمل پیرامیٹرز کے لیے حاصل کرنا چھوڑ دیا تھا کہ ہم نے واقعی ترقی کی۔"
ان کے اختیار میں اس آئینے کی ہم آہنگی کے ساتھ، ملمین اور نیمن نے ایک ہنگامہ خیز دلیل پیش کی جس میں بلبلے کے جھرمٹ کے نصف حصے کو تھوڑا سا فلانا شامل ہے جو آئینے کے اوپر واقع ہے اور اس کے نیچے موجود نصف کو ڈیفلیٹ کرنا شامل ہے۔ یہ ہنگامہ بلبلوں کے حجم کو تبدیل نہیں کرے گا، لیکن یہ ان کی سطح کے رقبے کو تبدیل کر سکتا ہے۔ ملمین اور نیمن نے دکھایا کہ اگر بہترین ببل کلسٹر میں کوئی ایسی دیواریں ہیں جو کروی یا چپٹی نہیں ہیں، تو اس گڑبڑ کو منتخب کرنے کا ایک طریقہ ہوگا تاکہ یہ جھرمٹ کے سطحی رقبے کو کم کردے - ایک تضاد، کیونکہ بہترین کلسٹر کی پہلے سے ہی کم سے کم سطح ہوتی ہے۔ ممکنہ علاقہ.
بلبلوں کا مطالعہ کرنے کے لیے ہنگامہ آرائی کا استعمال ایک نئے خیال سے بہت دور ہے، لیکن یہ معلوم کرنا کہ کون سی ہنگامہ آرائی سے بلبلے کے جھرمٹ کی اہم خصوصیات کا پتہ چل جائے گا، "تھوڑا سا تاریک فن ہے،" نیمن نے کہا۔
دور اندیشی کے ساتھ، "ایک بار جب آپ [ملمین اور نیمن کی پریشانیوں] کو دیکھتے ہیں، تو وہ بالکل فطری نظر آتے ہیں،" کہا جوئل ہاس یونیورسٹی آف کیلیفورنیا، ڈیوس۔
لیکن ہنگامہ آرائی کو قدرتی طور پر پہچاننا ان کے ساتھ پہلی جگہ آنے سے کہیں زیادہ آسان ہے، میگی نے کہا۔ "یہ اب تک ایسی چیز نہیں ہے جس کے بارے میں آپ کہہ سکتے ہیں، 'بالآخر لوگوں کو یہ مل گیا ہوگا،'" انہوں نے کہا۔ "یہ واقعی ایک بہت ہی قابل ذکر سطح پر باصلاحیت ہے۔"
ملمن اور نیمن اپنی پریشانیوں کو یہ ظاہر کرنے کے لیے استعمال کرنے کے قابل تھے کہ بہترین ببل کلسٹر کو سلیوان کے جھرمٹ کے تمام بنیادی خصائص کو پورا کرنا چاہیے، سوائے شاید ایک کے: یہ شرط کہ ہر بلبلے کو ہر دوسرے کو چھونا چاہیے۔ اس آخری ضرورت نے ملمین اور نیمن کو ان تمام طریقوں سے لڑنے پر مجبور کیا جن سے بلبلے ایک کلسٹر میں جڑ سکتے ہیں۔ جب بات صرف تین یا چار بلبلوں کی ہو تو غور کرنے کے اتنے زیادہ امکانات نہیں ہوتے۔ لیکن جیسے جیسے آپ بلبلوں کی تعداد میں اضافہ کرتے ہیں، مختلف ممکنہ کنیکٹیویٹی پیٹرن کی تعداد بڑھتی ہے، یہاں تک کہ تیزی سے بھی۔
ملمن اور نیمن نے پہلے تو امید ظاہر کی کہ وہ ایک بہت بڑا اصول تلاش کریں گے جو ان تمام معاملات کا احاطہ کرے گا۔ لیکن چند مہینے گزارنے کے بعد "ہمارے سر توڑتے ہوئے"، ملمن نے کہا، انہوں نے ابھی مزید ایڈہاک اپروچ کے ساتھ خود کو مطمئن کرنے کا فیصلہ کیا جس کی وجہ سے وہ تین گنا اور چوگنی بلبلوں کو سنبھال سکیں۔ انہوں نے ایک غیر مطبوعہ ثبوت کا بھی اعلان کیا ہے کہ سلیوان کا کوئنٹپل ببل بہترین ہے، حالانکہ انہوں نے ابھی تک یہ ثابت نہیں کیا ہے کہ یہ واحد بہترین کلسٹر ہے۔
مورگن نے ایک ای میل میں لکھا، مل مین اور نیمن کا کام "پچھلے طریقوں کی توسیع کے بجائے ایک بالکل نیا طریقہ ہے۔" ممکن ہے، میگی نے پیشین گوئی کی، کہ اس نقطہ نظر کو مزید آگے بڑھایا جا سکتا ہے - شاید پانچ سے زیادہ بلبلوں کے جھرمٹ تک، یا سلیوان کے قیاس کے معاملات میں جن میں آئینے کی ہم آہنگی نہیں ہے۔
کوئی بھی توقع نہیں کرتا کہ مزید ترقی آسانی سے ہو جائے گی۔ لیکن اس نے ملمین اور نیمن کو کبھی نہیں روکا۔ "میرے تجربے سے،" ملمن نے کہا، "وہ تمام اہم چیزیں جو میں خوش قسمتی سے کرنے کے قابل تھا، صرف ہار ماننے کی ضرورت نہیں تھی۔"
