امکان اور نمبر تھیوری کا تصادم - ایک لمحے میں

ان کے عزائم ہمیشہ بلند تھے۔ جب ول ساون اور میلانیا میچیٹ ووڈ نے پہلی بار 2020 کے موسم گرما میں ایک ساتھ کام کرنا شروع کیا، تو وہ نمبر تھیوری کے کچھ انتہائی طلسماتی قیاس آرائیوں کے کلیدی اجزا پر دوبارہ غور کرنے کے لیے نکلے۔ ان کی توجہ کے مضامین، کلاس گروپس، ان بنیادی سوالات سے گہرے تعلق رکھتے ہیں کہ جب اعداد کو عدد سے آگے بڑھایا جاتا ہے تو ریاضی کیسے کام کرتا ہے۔ ساونکولمبیا یونیورسٹی میں، اور لکڑیہارورڈ میں، ان ڈھانچے کے بارے میں پیشین گوئیاں کرنا چاہتے تھے جو کلاس گروپ سے بھی زیادہ عام اور ریاضی کے لحاظ سے خوفزدہ ہیں۔

یہاں تک کہ اس سے پہلے کہ وہ اپنی پیشین گوئیاں تیار کر لیں، اکتوبر میں انہوں نے ایک ثابت کر دیا۔ نیا نتیجہ جو کہ ریاضی دانوں کو امکانی تھیوری کے سب سے مفید ٹولز میں سے ایک کو نہ صرف طبقاتی گروہوں پر لاگو کرنے دیتا ہے، بلکہ اعداد، نیٹ ورکس اور بہت سی دوسری ریاضیاتی اشیاء کے مجموعے پر بھی لاگو کرتا ہے۔

"یہ صرف ایک بنیادی کاغذ بننے جا رہا ہے جس کی طرف ہر کوئی اس وقت رجوع کرتا ہے جب وہ ان مسائل کے بارے میں سوچنا شروع کرتے ہیں،" کہا ڈیوڈ زیورک براؤنایموری یونیورسٹی میں ریاضی دان۔ "ایسا نہیں لگتا کہ اب آپ کو سکریچ سے چیزیں ایجاد کرنی ہوں گی۔"

ایک کلاس ایکٹ

کلاس گروپ ایک منظم ریاضیاتی سیٹ کی ایک مثال ہے جسے گروپ کہتے ہیں۔ گروپس میں بہت سے مانوس سیٹ شامل ہوتے ہیں، جیسے انٹیجرز۔ جو چیز عدد کو صرف اعداد کے ایک سیٹ کے بجائے ایک گروپ بناتی ہے، وہ یہ ہے کہ آپ اس کے عناصر کو ایک ساتھ جوڑ کر دوسرا عدد حاصل کر سکتے ہیں۔ عام طور پر، ایک سیٹ ایک گروپ ہوتا ہے اگر یہ کچھ آپریشن کے ساتھ آتا ہے جو، اضافے کی طرح، دو عناصر کو ایک تیسرے عنصر میں اس طرح سے جوڑتا ہے جو کچھ بنیادی ضروریات کو پورا کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، صفر کا ایک ورژن ہونا چاہئے، ایک ایسا عنصر جو دوسرے میں سے کسی کو تبدیل نہیں کرتا ہے۔

عدد، جنہیں ریاضی دان عام طور پر $latex mathbb{Z}$ کہتے ہیں، لامحدود ہیں۔ لیکن بہت سے گروپوں میں عناصر کی ایک محدود تعداد ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، ایک گروپ بنانے کے لیے جس میں چار عناصر ہوں، سیٹ {0, 1, 2, 3} پر غور کریں۔ باقاعدہ اضافہ کرنے کے بجائے، کسی بھی دو نمبروں کے مجموعہ کو 4 سے تقسیم کریں اور بقیہ کو لیں۔ (ان قواعد کے تحت، 2 + 2 = 0، اور 2 + 3 = 1.) اس گروپ کو $latex mathbb{Z}/4mathbb{Z}$ کہا جاتا ہے۔

عام طور پر، اگر آپ $latex n$ عناصر کے ساتھ ایک گروپ بنانا چاہتے ہیں، تو آپ صفر کے نمبر کو لے سکتے ہیں n - 1 اور بقیہ پر غور کریں جب تقسیم کریں۔ n. نتیجے میں آنے والے گروپ کو $latex mathbb{Z}/nmathbb{Z}$ کہا جاتا ہے، حالانکہ یہ ہمیشہ واحد گروپ نہیں ہوتا ہے n عناصر.

کلاس گروپ اس وقت ظاہر ہوتا ہے جب نمبر تھیوریسٹ انٹیجرز سے آگے اعداد کی ساخت کی تحقیق کرتے ہیں۔ ایسا کرنے کے لیے، وہ عدد میں نئے نمبر شامل کرتے ہیں، جیسے i (−1 کا مربع جڑ)، $latex sqrt{5}$، یا یہاں تک کہ $latex sqrt{–5}$۔

"جو چیزیں ہم اعداد کے بارے میں استعمال کرتے ہیں وہ اب اس تناظر میں درست نہیں ہیں۔ یا کم از کم، وہ ضروری نہیں کہ سچ ہوں،‘‘ کہا اردن ایلنبرگ، یونیورسٹی آف وسکونسن، میڈیسن میں ایک ریاضی دان۔

خاص طور پر، فیکٹرنگ انٹیجرز کی توسیع میں مختلف طریقے سے کام کرتی ہے۔ اگر آپ صرف انٹیجرز پر قائم رہتے ہیں، تو اعداد کو پرائمز میں فیکٹر کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، 1 6 × 2 ہے، اور اسے دوسرے بنیادی نمبروں میں فیکٹر نہیں کیا جا سکتا۔ اس پراپرٹی کو منفرد فیکٹرائزیشن کہا جاتا ہے۔

لیکن اگر آپ اپنے نمبر سسٹم میں $latex sqrt{–5}$ شامل کرتے ہیں، تو اب آپ کے پاس منفرد فیکٹرائزیشن نہیں ہے۔ آپ 6 کو پرائمز میں دو مختلف طریقوں سے فیکٹر کر سکتے ہیں۔ یہ اب بھی 2 × 3 ہے، لیکن یہ $latex (1 + sqrt{–5})$ × $latex (1 – sqrt{–5})$ بھی ہے۔

کلاس گروپس ایسے ایکسٹینشن سے انٹیجرز تک بنائے جاتے ہیں۔ "کلاس گروپس ناقابل یقین حد تک اہم ہیں،" ووڈ نے کہا۔ "اور اس لیے یہ سوچنا فطری ہے: وہ عام طور پر کیسا ہوتے ہیں؟"

انٹیجرز کے کسی بھی ایکسٹینشن کے ساتھ منسلک کلاس گروپ کا سائز ایک بیرومیٹر ہے کہ کتنی منفرد فیکٹرائزیشن ٹوٹ جاتی ہے۔ اگرچہ ریاضی دانوں نے ثابت کیا ہے کہ طبقاتی گروہ ہمیشہ محدود ہوتے ہیں، لیکن ان کی ساخت اور سائز کا اندازہ لگانا پیچیدہ ہے۔ اسی لیے 1984 میں ہنری کوہن اور ہینڈرک لینسٹرا ۔ کچھ اندازے لگائے. ان کے قیاس آرائیاں، جنہیں اب Cohen-Lenstra heuristics کہا جاتا ہے، ان تمام طبقاتی گروپوں سے متعلق ہے جو جب آپ عدد میں نئے مربع جڑیں شامل کرتے ہیں تو پاپ اپ ہوتے ہیں۔ اگر ان تمام طبقاتی گروپس کو اکٹھا کیا جائے تو، کوہن اور لینسٹرا نے سوالات کے جوابات تجویز کیے جیسے: ان میں سے کیا تناسب $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$ پر مشتمل ہے؟ یا $latex mathbb{Z}/7mathbb{Z}$؟ یا محدود گروپ کی کوئی اور معروف قسم؟

کوہن اور لینسٹرا نے نمبر تھیوریسٹوں کو نہ صرف طبقاتی گروپوں کی الگ تھلگ مثالوں پر غور کرنے کی ترغیب دی بلکہ ان اعدادوشمار پر بھی غور کیا جو مجموعی طور پر طبقاتی گروپوں کو زیر کرتے ہیں۔ ان کی پیشین گوئیوں نے ریاضی کے ایک وژن کو ایک کائنات کے طور پر استعمال کیا جس کے نمونوں کو ہر سطح پر بے نقاب کیا جائے گا۔

تقریباً 40 سال بعد، Cohen-Lenstra heuristics کو بڑے پیمانے پر سچ مانا جاتا ہے، حالانکہ کوئی بھی انہیں ثابت کرنے کے قریب نہیں پہنچا ہے۔ یونیورسٹی آف وسکونسن، میڈیسن کے پروفیسر ایمریٹس نائجل بوسٹن نے کہا کہ ریاضی پر ان کا اثر واضح ہے۔ "جو دریافت ہوا ہے وہ یہ حیرت انگیز ویب ہے،" انہوں نے کہا۔ "ہمارے خیال میں دنیا کو ایک ساتھ رکھنے کے طریقے کا یہ بہت بڑا انفراسٹرکچر ہے۔"

ٹاؤن میں واحد کھیل

heuristics سے براہ راست نمٹنے میں ناکام، ریاضی دانوں نے مزید پیچیدہ مسائل کا سامنا کیا جس کی انہیں امید تھی کہ وہ صورتحال کو روشن کر دیں گے۔ اس کام سے، مقداروں کا ایک مفید مجموعہ سامنے آیا جسے ریاضی دانوں نے امکانی نظریہ میں استعمال ہونے والی اصطلاح کے بعد لمحات کو پکارنا شروع کیا۔

امکان میں، لمحات آپ کو بے ترتیب نمبروں کے پیچھے تقسیم کرنے میں مدد کر سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، نیویارک شہر میں یکم جنوری کو یومیہ اعلی درجہ حرارت کی تقسیم پر غور کریں - امکان ہے کہ اگلے سال یکم جنوری کو یہ 1 ڈگری فارن ہائیٹ، یا 1 ڈگری، یا 10 یا 40 ہو گا۔ آپ کو صرف کام کرنا ہے۔ ماضی کے اعداد و شمار کے ساتھ: ریکارڈ شدہ تاریخ کے آغاز کے بعد سے ہر سال 70 جنوری کو روزانہ کی اونچائی کی تاریخ۔

اگر آپ ان درجہ حرارت کی اوسط کا حساب لگاتے ہیں، تو آپ تھوڑا سیکھیں گے، لیکن سب کچھ نہیں۔ 40 ڈگری کا اوسط درجہ حرارت آپ کو اس بات کے امکانات نہیں بتاتا کہ درجہ حرارت 50 ڈگری سے اوپر یا 20 سے کم ہوگا۔

لیکن اگر آپ کو مزید معلومات دی جائیں تو یہ بدل جاتا ہے۔ خاص طور پر، آپ درجہ حرارت کے مربع کی اوسط سیکھ سکتے ہیں، ایک مقدار جسے تقسیم کا دوسرا لمحہ کہا جاتا ہے۔ (اوسط پہلا لمحہ ہے۔) یا آپ کیوبز کی اوسط سیکھ سکتے ہیں، جسے تیسرے لمحے کے نام سے جانا جاتا ہے، یا چوتھی طاقت کی اوسط — چوتھا لمحہ۔

1920 کی دہائی تک، ریاضی دانوں نے اندازہ لگا لیا تھا کہ اگر اس سلسلے میں لمحات کافی آہستہ آہستہ بڑھتے ہیں، تو تمام لمحات کو جاننے سے آپ یہ اندازہ لگا سکتے ہیں کہ صرف ایک ممکنہ تقسیم میں وہ لمحات ہیں۔ (اگرچہ یہ ضروری نہیں کہ آپ براہ راست اس تقسیم کا حساب لگا سکیں۔)

ووڈ نے کہا ، "یہ واقعی ناقابل فہم ہے۔ "اگر آپ مسلسل تقسیم کے بارے میں سوچتے ہیں، تو اس کی کچھ شکل ہوتی ہے۔ اس طرح محسوس ہوتا ہے کہ اس میں اس سے کہیں زیادہ ہے جس کو نمبروں کی ترتیب میں پکڑا جاسکتا ہے۔

Cohen-Lenstra heuristics میں دلچسپی رکھنے والے ریاضی دانوں نے اندازہ لگایا کہ جس طرح امکانی تھیوری میں لمحات کو امکانی تقسیم کو حاصل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، اسی طرح طبقاتی گروہوں کے لیے مخصوص انداز میں بیان کیے گئے لمحات ایک عینک ہو سکتے ہیں جس کے ذریعے ہم ان کے سائز اور ساخت کو دیکھ سکتے ہیں۔ . ٹورنٹو یونیورسٹی کے ایک ریاضی دان جیکب سمرمین نے کہا کہ وہ تصور نہیں کر سکتے کہ کلاس گروپ سائز کی تقسیم کا براہ راست حساب کیسے لگایا جا سکتا ہے۔ لمحات کا استعمال کرتے ہوئے، انہوں نے کہا، "آسان سے زیادہ ہے. یہ شہر میں واحد کھیل ہے۔

یہ جادو کا لمحہ

جبکہ امکان میں ہر لمحہ ایک عدد کے ساتھ منسلک ہوتا ہے — تیسری قوت، چوتھی طاقت، اور اسی طرح — نمبر تھیوریسٹ کے ذریعہ متعارف کرائی گئی نئی مقداریں ہر ایک گروپ سے مطابقت رکھتی ہیں۔ یہ نئے لمحات اس حقیقت پر منحصر ہیں کہ آپ اکثر مختلف عناصر کو ایک ساتھ سمیٹ کر کسی گروپ کو چھوٹے گروپ میں تبدیل کر سکتے ہیں۔

کسی گروپ سے وابستہ لمحے کا حساب لگانے کے لیے G، تمام ممکنہ کلاس گروپس لیں — ہر نئے مربع جڑ کے لیے ایک جسے آپ عدد میں شامل کرتے ہیں۔ ہر کلاس گروپ کے لیے، ان مختلف طریقوں کی تعداد گنیں جن سے آپ اسے سمیٹ سکتے ہیں۔ G. پھر، ان نمبروں کی اوسط لیں. یہ عمل پیچیدہ معلوم ہو سکتا ہے، لیکن کوہن اور لینسٹرا کی پیشین گوئیوں کے پیچھے اصل تقسیم سے کہیں زیادہ آسان ہے۔ اگرچہ Cohen-Lenstra heuristics خود بیان کرنے کے لیے پیچیدہ ہیں، لیکن تقسیم کے وہ لمحات جن کی وہ پیش گوئی کرتے ہیں وہ سب 1 ہیں۔

"یہ آپ کو سوچنے پر مجبور کرتا ہے، واہ، شاید لمحات اس تک پہنچنے کا قدرتی طریقہ ہیں،" ایلنبرگ نے کہا۔ "یہ ثابت کرنے کے قابل ہونا زیادہ قابل اعتماد لگتا ہے کہ کوئی چیز 1 کے برابر ہے اس سے یہ ثابت کرنے کے کہ یہ کسی پاگل لامحدود مصنوع کے برابر ہے۔"

جب ریاضی دان گروپوں پر تقسیم کا مطالعہ کرتے ہیں، (کلاس گروپس یا دوسری صورت میں) وہ ہر گروپ کے لیے ایک مساوات کے ساتھ ختم ہوتے ہیں۔ G، امکانات کے ساتھ اب نمائندگی کر رہے ہیں، کلاس گروپس کا تناسب جو $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$ کی طرح نظر آتا ہے۔ لامحدود بہت سی مساواتوں، اور لامحدود طور پر بہت سے ممکنہ طبقاتی گروہوں کے ساتھ، امکانات کو حل کرنا مشکل ہے۔ یہ واضح نہیں ہے کہ ایسا کرنا بھی معنی خیز ہے۔

"جب آپ کے پاس لامحدود رقم ہوتی ہے تو چیزیں غلط ہو سکتی ہیں،" ووڈ نے کہا۔

پھر بھی ریاضی دان، ابھی تک تقسیم کا مطالعہ کرنے کے لیے دوسرے راستے تلاش کرنے سے قاصر ہیں، لمحہ فکریہ کی طرف لوٹتے رہے۔ میں شائع کام میں ریاضی کی تاریخیں 2016 میں، ایلنبرگ، اکشے وینکٹیش اور کریگ ویسٹرلینڈ کے ساتھ، استعمال شدہ لمحات کوہن اور لینسٹرا کے خیال سے قدرے مختلف ترتیب میں طبقاتی گروپوں کے اعدادوشمار کا مطالعہ کرنا۔ یہ خیال تھا۔ دوبارہ استعمال کئی اوقات. لیکن جب بھی محققین لمحات کا استعمال کرتے، وہ اپنے مخصوص مسئلے کی نرالی باتوں پر ٹیک لگاتے تاکہ یہ ثابت کر سکیں کہ مساوات کے لامحدود سیٹ کا حل ہے۔ اس کا مطلب یہ تھا کہ ان کی تکنیک قابل منتقلی نہیں تھی۔ اگلا ریاضی دان جس کو لمحات کو استعمال کرنے کی ضرورت تھی اسے لمحے کا مسئلہ دوبارہ حل کرنا پڑے گا۔

اپنے تعاون کے آغاز میں، ساون اور ووڈ نے بھی اس راستے پر جانے کا منصوبہ بنایا۔ وہ اس بارے میں پیشین گوئی کرنے کے لیے لمحات کا استعمال کریں گے کہ کلاس گروپس کے مزید پیچیدہ ورژن کیسے تقسیم کیے گئے تھے۔ لیکن اپنے پروجیکٹ میں تقریباً ایک سال، انہوں نے اپنی توجہ اس لمحے کے مسئلے کی طرف موڑ دی۔

Sidetracked ہو رہی ہے

ساتھی ساون اور ووڈ کو اپنے کام کے بارے میں غیر معمولی طور پر پرجوش قرار دیتے ہیں۔ "وہ دونوں بہت ہوشیار ہیں۔ لیکن بہت سارے ہوشیار لوگ ہیں، "زوریک براؤن نے کہا۔ "وہ صرف ریاضی کرنے کی طرف یہ مثبت رویہ رکھتے ہیں۔"

ابتدائی طور پر، Sawin اور Wood Cohen-Lenstra کی پیشین گوئیوں کو نئی ترتیبات تک وسیع کرنے کے لیے لمحات کا استعمال کرنا چاہتے تھے۔ لیکن وہ جلد ہی اپنے لمحے کے مسئلے کی دلیل سے غیر مطمئن ہو گئے۔ "ہمیں بار بار اسی طرح کے دلائل لکھنے کی ضرورت تھی،" ساون نے یاد کیا۔ اس کے علاوہ، انہوں نے مزید کہا کہ، وہ جو ریاضیاتی زبان استعمال کر رہے تھے، "ایسا نہیں لگتا تھا کہ دلیل کیا کر رہی تھی... خیالات موجود تھے، لیکن ہمیں ان کے اظہار کا صحیح طریقہ نہیں ملا۔"

ساون اور ووڈ نے اپنے ثبوت کی گہرائی میں کھود کر یہ جاننے کی کوشش کی کہ اس سب کے نیچے واقعی کیا ہے۔ ان کا اختتام ایک ایسے ثبوت کے ساتھ ہوا جس نے اس لمحے کے مسئلے کو نہ صرف ان کے مخصوص اطلاق کے لیے، بلکہ گروپوں کی کسی بھی تقسیم کے لیے اور ہر طرح کے دیگر ریاضیاتی ڈھانچے کے لیے حل کیا۔

انہوں نے مسئلے کو چھوٹے، قابل انتظام اقدامات میں تقسیم کیا۔ ایک ہی بار میں تمام امکانات کی تقسیم کو حل کرنے کی کوشش کرنے کے بجائے، انہوں نے لمحات کے صرف ایک چھوٹے سے ٹکڑے پر توجہ مرکوز کی۔

مثال کے طور پر، گروپوں پر امکانی تقسیم کے لیے لمحے کے مسئلے کو حل کرنے کے لیے، ہر لمحہ ایک گروپ کے ساتھ منسلک ہوگا۔ G. سب سے پہلے، ساون اور ووڈ مساوات کے نظام کو دیکھیں گے جس میں گروپوں کی محدود فہرست کے لیے صرف لمحات شامل تھے۔. اس کے بعد وہ ہر بار زیادہ سے زیادہ لمحات کو دیکھتے ہوئے، فہرست میں آہستہ آہستہ گروپس کو شامل کریں گے۔ بتدریج مسئلہ کو مزید پیچیدہ بنا کر، انہوں نے ہر قدم کو قابل حل مسئلہ بنا دیا۔ تھوڑا سا، انہوں نے لمحہ بہ لمحہ مسئلہ کا مکمل حل تیار کیا۔

ووڈ نے وضاحت کرتے ہوئے کہا کہ "یہ طے شدہ فہرست اس طرح کی ہے جیسے آپ جو شیشے لگاتے ہیں، اور آپ جتنے زیادہ گروپس پر غور کرنا چاہتے ہیں، آپ کے شیشے اتنے ہی بہتر ہوں گے۔"

جب آخر کار انہوں نے آخری خارجی تفصیلات کو خاک میں ملایا، تو انہوں نے خود کو ایک ایسی دلیل کے ساتھ پایا جس کے ٹینڈریل ریاضی تک پہنچ گئے۔ ان کے نتائج نے کلاس گروپس کے لیے، ہندسی شکلوں سے وابستہ گروپوں کے لیے، نقطوں اور لائنوں کے نیٹ ورکس کے ساتھ ساتھ زیادہ ریاضیاتی پیچیدگی کے ساتھ دوسرے سیٹوں کے لیے کام کیا۔ ان تمام حالات میں، ساون اور ووڈ نے ایک ایسا فارمولہ تلاش کیا جو لمحات کے ایک مجموعے میں لے جاتا ہے اور ان لمحات کی تقسیم کو ختم کرتا ہے (جب تک کہ لمحات دیگر ضروریات کے ساتھ ساتھ بہت تیزی سے بڑھ نہیں جاتے ہیں)۔

"یہ میلانیا کے انداز میں بہت زیادہ ہے،" ایلنبرگ نے کہا۔ "اس طرح بننے کے لیے، 'آئیے ایک بہت ہی عام تھیوریم کو ثابت کریں جو بہت سے مختلف کیسز کو یکساں اور خوبصورتی سے ہینڈل کرتا ہے۔'"

ساون اور ووڈ اب اپنے اصل مقصد کی طرف واپس جا رہے ہیں۔ جنوری کے شروع میں، انہوں نے اشتراک کیا ایک نئی کاغذ یہ درست کرتا ہے کوہن-لینسٹرا کی غلط پیش گوئیاں کوہن اور ان کے ساتھی جیک مارٹنیٹ نے 1980 کی دہائی کے آخر میں بنایا تھا۔ اس کے علاوہ، ان کے پاس اپنی قطار میں ابھی بھی زیادہ نتائج ہیں، جس میں مزید نئے حالات میں ہیورسٹکس کو وسعت دینے کے منصوبے ہیں۔ "مجھے نہیں معلوم کہ یہ پروجیکٹ کبھی ختم ہوگا،" ساون نے کہا۔

سمرمین نے کہا کہ ساون اور ووڈ نے جس لمحے کا مسئلہ حل کیا وہ "بہت سے مختلف سوالات کے لیے آپ کے سر کے پچھلے حصے میں ایک کانٹے کی طرح رہا ہے۔" "مجھے لگتا ہے کہ بہت سارے ریاضی دان راحت کی سانس لینے والے ہیں۔"