جب ڈینیل لارسن مڈل اسکول میں تھا، اس نے کراس ورڈ پہیلیاں ڈیزائن کرنا شروع کیں۔ اسے اپنی دیگر دلچسپیوں کے اوپر شوق کو رکھنا تھا: شطرنج، پروگرامنگ، پیانو، وائلن۔ اس نے اپنا علاقائی مقابلہ جیتنے کے بعد واشنگٹن ڈی سی کے قریب اسکرپس نیشنل اسپیلنگ بی کے لیے دو بار کوالیفائی کیا۔ لارسن کی والدہ، ایلیٹ لنڈنسٹراس نے کہا، "وہ کسی چیز پر توجہ مرکوز کرتا ہے، اور یہ صرف بینگ، بینگ، بینگ ہے، جب تک کہ وہ کامیاب نہ ہو جائے۔" اس کی پہلی کراس ورڈ پزل کو بڑے اخبارات نے مسترد کر دیا تھا، لیکن وہ اس پر قائم رہا اور بالآخر اس میں ٹوٹ گیا۔ آج تک، وہ ریکارڈ رکھتا ہے۔ کراس ورڈ شائع کرنے والے سب سے کم عمر شخص کے لیے نیو یارک ٹائمز13 سال کی عمر میں۔ "وہ بہت مستقل مزاج ہے،" لنڈنسٹراس نے کہا۔
پھر بھی، لارسن کا سب سے حالیہ جنون مختلف محسوس ہوا، "اس کے دوسرے پروجیکٹس سے زیادہ طویل اور زیادہ شدید،" اس نے کہا۔ ڈیڑھ سال سے زیادہ عرصے تک، لارسن ریاضی کے کسی خاص مسئلے کے بارے میں سوچنا نہیں روک سکا۔
اس کی جڑیں ایک وسیع تر سوال میں تھیں، ایک جسے ریاضی دان کارل فریڈرک گاس نے ریاضی میں سب سے اہم سمجھا: ایک بنیادی نمبر (ایک عدد جو صرف 1 اور خود سے تقسیم ہوتا ہے) کو مرکب نمبر سے کیسے الگ کیا جائے۔ سینکڑوں سالوں سے، ریاضی دانوں نے ایسا کرنے کا ایک موثر طریقہ تلاش کیا ہے۔ یہ مسئلہ جدید کرپٹوگرافی کے تناظر میں بھی متعلقہ ہو گیا ہے، کیونکہ آج کے سب سے زیادہ استعمال ہونے والے کرپٹو سسٹمز میں بہت زیادہ پرائمز کے ساتھ ریاضی کرنا شامل ہے۔
ایک صدی قبل، تیز رفتار، طاقتور پرائملٹی ٹیسٹ کی اس جستجو میں، ریاضی دانوں نے مشکلات پیدا کرنے والوں کے ایک گروپ سے ٹھوکر کھائی — ایسے نمبر جو یہ سوچنے میں بیوقوف بناتے ہیں کہ وہ پرائمری ہیں، حالانکہ وہ نہیں ہیں۔ یہ سیوڈو پرائمز، جنہیں کارمائیکل نمبرز کے نام سے جانا جاتا ہے، کو سمجھنا خاص طور پر مشکل رہا ہے۔ یہ صرف 1990 کی دہائی کے وسط میں تھا، مثال کے طور پر، ریاضی دانوں نے ثابت کیا کہ ان میں سے بے شمار ہیں۔ نمبر لائن کے ساتھ ان کو کس طرح تقسیم کیا جاتا ہے اس کے بارے میں مزید کچھ کہنے کے قابل ہونا ایک اور بھی بڑا چیلنج ہے۔
پھر لارسن بھی ساتھ آیا ایک نیا ثبوت صرف اس کے بارے میں، جو کہ نمبر تھیوری کے ایک مختلف شعبے میں حالیہ عہد کے کام سے متاثر ہے۔ اس وقت، وہ صرف 17 تھا.
چنگاری
بلومنگٹن، انڈیانا میں پلے بڑھے، لارسن کو ہمیشہ ریاضی کی طرف راغب کیا گیا۔ اس کے والدین، دونوں ریاضی دان، جب وہ چھوٹے تھے تو اس کو اور اس کی بڑی بہن کو اس موضوع سے متعارف کرایا۔ (وہ اب ریاضی میں ڈاکٹریٹ کر رہی ہے۔) جب لارسن 3 سال کا تھا، لنڈنسٹراس یاد کرتے ہیں، اس نے اس سے لامحدودیت کی نوعیت کے بارے میں فلسفیانہ سوالات پوچھنا شروع کر دیے۔ "میں نے سوچا، اس بچے کا ریاضیاتی دماغ ہے،" کہا Lindenstraussانڈیانا یونیورسٹی میں پروفیسر۔
پھر کچھ سال پہلے - اس وقت کے آس پاس جب وہ اپنے ہجے اور کراس ورڈ پروجیکٹس میں ڈوبا ہوا تھا - اس کا سامنا کرنا پڑا۔ دستاویزی فلم کے بارے میں Yitang Zhang، ایک نامعلوم ریاضی دان جو 2013 کے بعد مبہمیت سے اٹھا ایک تاریخی نتیجہ ثابت کرنا جو لگاتار پرائم نمبرز کے درمیان خلا پر اوپری باؤنڈ لگاتا ہے۔ لارسن میں کچھ کلک کیا گیا۔ وہ نمبر تھیوری کے بارے میں سوچنا بند نہیں کر سکا، اور اس متعلقہ مسئلے کے بارے میں جسے ژانگ اور دوسرے ریاضی دانوں نے ابھی بھی حل کرنے کی امید کی تھی: جڑواں پرائمز کا قیاس، جو کہتا ہے کہ پرائمز کے لامحدود بہت سے جوڑے ہیں جو صرف 2 سے مختلف ہیں۔
ژانگ کے کام کے بعد، جس نے ظاہر کیا کہ پرائمز کے لامحدود بہت سے جوڑے ہیں جن میں 70 ملین سے کم فرق ہے، دوسروں نے چھلانگ لگا دی اس حد کو مزید کم کرنے کے لیے۔ مہینوں کے اندر، ریاضی دانوں جیمز مینارڈ اور Terence تاؤ آزادانہ طور پر پرائمز کے درمیان فرق کے بارے میں ایک اور بھی مضبوط بیان ثابت کیا۔ اس کے بعد یہ فرق کم ہو کر 246 رہ گیا ہے۔
لارسن مینارڈ اور تاؤ کے کام میں شامل کچھ ریاضی کو سمجھنا چاہتا تھا، "لیکن یہ میرے لیے بہت زیادہ ناممکن تھا،" اس نے کہا۔ ان کے پیپرز بہت پیچیدہ تھے۔ لارسن نے متعلقہ کام کو پڑھنے کی کوشش کی، صرف اسے ناقابل تسخیر تلاش کرنے کے لیے۔ وہ اس پر قائم رہا، ایک نتیجہ سے دوسرے نتیجہ تک چھلانگ لگاتا رہا، آخر کار، فروری 2021 میں، اسے ایک کاغذ ملا جو اسے خوبصورت اور قابل فہم پایا۔ اس کا موضوع: کارمائیکل نمبرز، وہ عجیب جامع نمبر جو کبھی کبھی خود کو پرائم کے طور پر چھوڑ سکتے ہیں۔
پرائم کے علاوہ سب
17 ویں صدی کے وسط میں، فرانسیسی ریاضی دان پیئر ڈی فرمیٹ نے اپنے دوست اور بااعتماد فرینیکل ڈی بیسی کو ایک خط لکھا، جس میں اس نے بتایا کہ جسے بعد میں اس کا "چھوٹا نظریہ" کہا جائے گا۔ اگر N ایک بنیادی نمبر ہے، پھر bN - b ہمیشہ کی ایک کثیر ہے N، کوئی بات نہیں۔ b ہے مثال کے طور پر، 7 ایک بنیادی نمبر ہے، اور اس کے نتیجے میں، 27 – 2 (جو 126 کے برابر ہے) 7 کا ضرب ہے۔ اسی طرح، 37 -3 7 کا ضرب ہے، وغیرہ۔
ریاضی دانوں نے ایک کامل ٹیسٹ کے امکانات کو دیکھا کہ آیا کوئی دیا ہوا نمبر بنیادی ہے یا جامع ہے۔ وہ جانتے تھے کہ اگر N اعظم ہے، bN - b ہمیشہ کی ایک کثیر ہے N. کیا ہوا اگر الٹا بھی سچ تھا؟ یعنی اگر bN - b کا ایک کثیر ہے N کی تمام اقدار کے لیے b، لازمی ہے N پرائم ہو؟
افسوس، یہ پتہ چلا کہ بہت کم معاملات میں، N اس شرط کو پورا کر سکتا ہے اور پھر بھی جامع ہو سکتا ہے۔ اس طرح کی سب سے چھوٹی تعداد 561 ہے: کسی بھی عدد کے لیے b, b561 - b ہمیشہ 561 کا ضرب ہوتا ہے، حالانکہ 561 پرائم نہیں ہے۔ ان جیسے نمبروں کا نام ریاضی دان رابرٹ کارمائیکل کے نام پر رکھا گیا تھا، جسے اکثر 1910 میں پہلی مثال شائع کرنے کا سہرا دیا جاتا ہے (حالانکہ چیک ریاضی دان Václav Šimerka نے 1885 میں آزادانہ طور پر مثالیں دریافت کیں)۔
ریاضی دان ان اعداد کو بہتر طور پر سمجھنا چاہتے تھے جو کہ نمبر تھیوری میں سب سے بنیادی اشیاء یعنی پرائمز سے اتنی قریب سے مشابہت رکھتے ہیں۔ یہ پتہ چلا کہ 1899 میں - کارمائیکل کے نتائج سے ایک دہائی پہلے - ایک اور ریاضی دان، ایلون کورسلٹ، ایک مساوی تعریف کے ساتھ آئے تھے۔ وہ صرف یہ نہیں جانتا تھا کہ آیا کوئی نمبر ہے جو بل کے مطابق ہے۔
کورسلٹ کے معیار کے مطابق، ایک عدد N کارمائیکل نمبر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ تین خصوصیات کو پورا کرے۔ سب سے پہلے، اس میں ایک سے زیادہ اہم عنصر ہونا ضروری ہے۔ دوسرا، کوئی بنیادی عنصر دہرایا نہیں جا سکتا۔ اور تیسرا، ہر پرائم کے لیے p جو تقسیم کرتا ہے N, p - 1 بھی تقسیم کرتا ہے۔ N - 1. نمبر 561 پر دوبارہ غور کریں۔ یہ 3 × 11 × 17 کے برابر ہے، لہذا یہ کورسلٹ کی فہرست میں پہلی دو خصوصیات کو واضح طور پر مطمئن کرتا ہے۔ آخری خاصیت کو دکھانے کے لیے، 1، 2 اور 10 حاصل کرنے کے لیے ہر بنیادی عنصر سے 16 کو گھٹائیں۔ اس کے علاوہ، 1 سے 561 کو گھٹائیں۔ تینوں چھوٹے اعداد 560 کے تقسیم ہیں۔ اس لیے نمبر 561 ایک کارمائیکل نمبر ہے۔
اگرچہ ریاضی دانوں کو شبہ تھا کہ کارمائیکل کی تعداد لامحدود ہے، لیکن پرائمز کے مقابلے نسبتاً کم ہیں، جس کی وجہ سے ان کو پن کرنا مشکل ہو گیا۔ پھر 1994 میں ریڈ الفورڈ، اینڈریو گرانویل اور کارل پومرنس ایک پیش رفت شائع کی کاغذ جس میں انہوں نے آخر کار ثابت کیا کہ واقعی ان میں سے بہت سے سیوڈو پرائمز موجود ہیں۔
بدقسمتی سے، ان کی تیار کردہ تکنیکوں نے انہیں اس بارے میں کچھ کہنے کی اجازت نہیں دی کہ وہ کارمائیکل نمبر کس طرح کے لگ رہے تھے۔ کیا وہ نمبر لائن کے ساتھ جھرمٹ میں نمودار ہوئے، درمیان میں بڑے فرق کے ساتھ؟ یا کیا آپ ہمیشہ ایک مختصر وقفہ میں کارمائیکل نمبر تلاش کرسکتے ہیں؟ "آپ سوچیں گے کہ اگر آپ یہ ثابت کر سکتے ہیں کہ ان میں سے بہت سے ہیں،" گرانویل نے کہا، "یقینی طور پر آپ کو یہ ثابت کرنے کے قابل ہونا چاہیے کہ ان کے درمیان کوئی بڑا فاصلہ نہیں ہے، کہ انہیں نسبتاً اچھی طرح سے دور کیا جانا چاہیے۔"
خاص طور پر، اس نے اور اس کے شریک مصنفین نے ایک ایسے بیان کو ثابت کرنے کی امید کی جو اس خیال کی عکاسی کرتا ہے - جس نے کافی بڑی تعداد دی Xکے درمیان ہمیشہ کارمائیکل نمبر ہوگا۔ X اور 2X. "یہ ظاہر کرنے کا ایک اور طریقہ ہے کہ وہ کتنے عام ہیں،" جان گرانتھم نے کہا، انسٹی ٹیوٹ فار ڈیفنس اینالائزز کے ایک ریاضی دان جنہوں نے متعلقہ کام کیا ہے۔
لیکن کئی دہائیوں تک کوئی بھی اسے ثابت نہیں کر سکا۔ Alford، Granville اور Pomerance کی تیار کردہ تکنیکوں نے "ہمیں یہ ظاہر کرنے کی اجازت دی کہ کارمائیکل کے بہت سے نمبر ہونے والے ہیں،" Pomerance نے کہا، "لیکن واقعی ہمیں اس بات کی اجازت نہیں دی کہ وہ کہاں ہوں گے اس کے بارے میں مکمل کنٹرول حاصل کریں۔ "
پھر، نومبر 2021 میں، Granville نے لارسن کی طرف سے ایک ای میل کھولی، جو اس وقت 17 سال کی تھی اور ہائی اسکول کے اپنے سینئر سال میں تھی۔ اے کاغذ منسلک کیا گیا تھا - اور گرین ویل کی حیرت میں، یہ درست لگ رہا تھا. "یہ اب تک کا سب سے آسان پڑھا نہیں تھا،" انہوں نے کہا۔ لیکن جب میں نے اسے پڑھا تو یہ بالکل واضح تھا کہ وہ کوئی گڑبڑ نہیں کر رہا تھا۔ اس کے پاس شاندار خیالات تھے۔"
Pomerance، جس نے کام کے بعد کے ورژن کو پڑھا، اس سے اتفاق کیا۔ "اس کا ثبوت واقعی کافی ترقی یافتہ ہے،" انہوں نے کہا۔ "یہ ایک ایسا کاغذ ہوگا جسے لکھنے پر کوئی بھی ریاضی دان واقعی فخر محسوس کرے گا۔ اور یہاں ایک ہائی اسکول کا بچہ اسے لکھ رہا ہے۔
لارسن کے ثبوت کی کلید وہ کام تھا جس نے اسے پہلی جگہ کارمائیکل نمبروں کی طرف راغب کیا تھا: مینارڈ اور تاؤ کے نتائج پرائم گیپس۔
ناممکن - ناممکن نہیں۔
جب لارسن پہلی بار یہ ظاہر کرنے کے لیے نکلا کہ آپ ہمیشہ ایک مختصر وقفے میں کارمائیکل نمبر تلاش کر سکتے ہیں، "ایسا لگتا تھا کہ یہ اتنا واضح طور پر سچ تھا، اسے ثابت کرنا کتنا مشکل ہو سکتا ہے؟" انہوں نے کہا. اسے جلدی سے احساس ہوا کہ یہ واقعی بہت مشکل ہو سکتا ہے۔ انہوں نے کہا کہ "یہ ایک ایسا مسئلہ ہے جو ہمارے دور کی ٹیکنالوجی کو آزماتا ہے۔
ان کے 1994 کے مقالے میں، الفورڈ، گرانویل اور پومیرنس نے دکھایا تھا کہ کارمائیکل کے لامحدود نمبر کیسے بنائے جاتے ہیں۔ لیکن وہ پرائمز کے سائز کو کنٹرول کرنے کے قابل نہیں تھے جو وہ ان کی تعمیر کے لیے استعمال کرتے تھے۔ کارمائیکل نمبر بنانے کے لیے لارسن کو یہی کرنا پڑے گا جو نسبتاً سائز میں قریب تھے۔ مسئلے کی مشکل نے ان کے والد مائیکل لارسن کو پریشان کر دیا۔ "مجھے نہیں لگتا تھا کہ یہ ناممکن ہے، لیکن میں نے سوچا کہ اس کے کامیاب ہونے کا امکان نہیں ہے،" انہوں نے کہا۔ "میں نے دیکھا کہ وہ اس پر کتنا وقت صرف کر رہا ہے … اور میں نے محسوس کیا کہ اس کے لیے یہ تباہ کن ہو گا کہ وہ اس کے لیے اپنا اتنا کچھ دے اور اسے حاصل نہ کرے۔"
پھر بھی، وہ اپنے بیٹے کو منانے کی کوشش کرنے سے بہتر جانتا تھا۔ "جب ڈینیل کسی ایسی چیز کا ارتکاب کرتا ہے جس میں واقعی اس کی دلچسپی ہوتی ہے، تو وہ اس کے ساتھ گاڑھا اور پتلا رہتا ہے،" اس نے کہا۔
لہٰذا لارسن مینارڈ کے کاغذات پر واپس آیا - خاص طور پر، یہ ظاہر کرنے کے لیے کہ اگر آپ کافی نمبروں کے کچھ سلسلے لیتے ہیں، تو ان نمبروں کا کچھ ذیلی سیٹ پرائم ہونا چاہیے۔ لارسن نے مینارڈ کی تکنیکوں کو الفورڈ، گران ویل اور پومیرنس کے استعمال کردہ طریقوں کے ساتھ جوڑنے کے لیے ترمیم کی۔ اس نے اسے اس بات کو یقینی بنانے کی اجازت دی کہ جس پرائمز کے ساتھ اس نے ختم کیا ہے وہ سائز میں مختلف ہوں گے - کارمائیکل نمبر تیار کرنے کے لئے کافی ہے جو اس کے مطلوبہ وقفوں میں آتے ہیں۔
گرانویل نے کہا کہ "اس کے پاس چیزوں پر اس سے زیادہ کنٹرول ہے جتنا ہمارے پاس تھا۔ اور اس نے مینارڈ کے کام کے خاص طور پر ہوشیار استعمال کے ذریعے یہ حاصل کیا۔ "یہ آسان نہیں ہے … اس پیش رفت کو پرائمز کے درمیان مختصر وقفوں پر استعمال کرنا،" کہا Kaisa Matomäkiفن لینڈ کی یونیورسٹی آف ٹورکو میں ریاضی دان۔ "یہ بہت اچھا ہے کہ وہ اسے کارمائیکل نمبروں کے بارے میں اس سوال کے ساتھ جوڑنے کے قابل ہے۔"
درحقیقت، لارسن کی دلیل نے اسے صرف یہ ظاہر کرنے کی اجازت نہیں دی کہ کارمائیکل نمبر ہمیشہ اس کے درمیان ظاہر ہونا چاہیے۔ X اور 2X. اس کا ثبوت بہت چھوٹے وقفوں کے لیے بھی کام کرتا ہے۔ ریاضی دان اب امید کرتے ہیں کہ اس سے ان عجیب اعداد کے رویے کے دیگر پہلوؤں کو بھی ظاہر کرنے میں مدد ملے گی۔ "یہ ایک مختلف خیال ہے،" کہا تھامس رائٹ، جنوبی کیرولائنا کے ووفورڈ کالج میں ایک ریاضی دان جو pseudoprimes پر کام کرتا ہے۔ "اس سے بہت سی چیزیں بدل جاتی ہیں کہ ہم کارمائیکل نمبروں کے بارے میں چیزوں کو کیسے ثابت کر سکتے ہیں۔"
گرانتھم نے اتفاق کیا۔ "اب آپ وہ کام کر سکتے ہیں جن کے بارے میں آپ نے کبھی سوچا بھی نہیں تھا،" انہوں نے کہا۔
اسی دوران لارسن نے میساچوسٹس انسٹی ٹیوٹ آف ٹیکنالوجی میں اپنے نئے سال کا آغاز کیا۔ اسے اس بات کا یقین نہیں ہے کہ وہ کس مسئلے پر کام کر سکتا ہے، لیکن وہ یہ جاننے کے لیے بے چین ہے کہ وہاں کیا ہے۔ "میں صرف کورس کر رہا ہوں … اور کھلے ذہن بننے کی کوشش کر رہا ہوں،" اس نے کہا۔
"اس نے یہ سب کچھ انڈرگریجویٹ تعلیم کے بغیر کیا،" گرانتھم نے کہا۔ "میں صرف تصور کر سکتا ہوں کہ وہ گریجویٹ اسکول میں کیا کرنے جا رہا ہے۔"
