خفیہ کوڈز اور خلائی مواصلات کے پیچھے بنیادی الجبرا

خلائی تحقیق کے لیے انتہائی درستگی کی ضرورت ہوتی ہے۔ جب آپ قریب ترین سروس اسٹیشن سے 70 ملین میل دور مریخ پر روور اتار رہے ہیں، تو آپ کو زیادہ سے زیادہ کارکردگی اور غیر متوقع کے لیے تیاری کرنے کی ضرورت ہے۔ یہ خلائی جہاز کے ڈیزائن سے لے کر ڈیٹا ٹرانسمیشن تک ہر چیز پر لاگو ہوتا ہے: وہ پیغامات جو 0s اور 1s کے مستقل دھارے کے طور پر زمین پر واپس آتے ہیں ان میں کچھ خامیاں ہوتی ہیں، لہذا آپ کو قیمتی وقت اور توانائی ضائع کیے بغیر ان کی شناخت اور درست کرنے کے قابل ہونے کی ضرورت ہے۔

یہیں سے ریاضی آتا ہے۔ ریاضی دانوں نے معلومات کی ترسیل اور ذخیرہ کرنے کے ہوشیار طریقے ایجاد کیے ہیں۔ ایک حیرت انگیز طور پر موثر طریقہ استعمال کرتا ہے۔ ریڈ سلیمان کوڈز، جو اسی بنیادی الجبرا پر بنائے گئے ہیں جو طلباء اسکول میں سیکھتے ہیں۔ آئیے یہ دیکھنے کے لیے ریاضی کی کلاس میں آتے ہیں کہ کیسے Reed-Solomon کوڈز معلومات کو منتقل کرنے اور محفوظ کرنے میں مدد کرتے ہیں جبکہ پاپ اپ ہونے والی کسی بھی مہنگی غلطی کو درست کرتے ہیں۔

دو طالب علم، آرٹ اور زیکے، محترمہ الجبر کی ریاضی کی کلاس میں خفیہ پیغامات کا تبادلہ کر رہے ہیں۔ آرٹ 57 اور 99 نمبروں کو ظاہر کرنے کے لیے Zeke کے تازہ ترین نوٹ کو کھولتا ہے۔ وہ جانتا ہے کہ اسے فراہم کرنا ہے۔ x- پوائنٹس (3، 6) اور (3، 57) بنانے کے لیے 6 اور 99 کوآرڈینیٹ کرتا ہے۔ آرٹ ہر نقطہ کو لکیری مساوات میں پلگ کرتا ہے۔ y = Ax + B اور مساوات کا درج ذیل نظام تیار کرتا ہے:

57 3 =A + B

99 6 =A + B

پیغام کو ڈی کوڈ کرنے کے لیے، آرٹ کو حل کرنا ہوگا۔ A اور B. وہ پہلی مساوات کو دوسری سے گھٹا کر شروع کرتا ہے:

اس کا خاتمہ ہوتا ہے B. اس نئی مساوات کے دونوں اطراف کو 3 سے تقسیم کرنا آرٹ کو بتاتا ہے۔ A = 14، اور پھر اسے پہلی مساوات میں تبدیل کرتے ہوئے، 57 = 3 × 14 + B، دیتا ہے B = 15.

آرٹ اب جانتا ہے کہ (3، 57) اور (6، 99) سے گزرنے والی لائن کو مساوات کے ذریعہ بیان کیا گیا ہے۔ y 14 =x + 15. لیکن وہ یہ بھی جانتا ہے کہ Reed-Solomon Code میں، خفیہ پیغام کوفیشینٹس میں چھپا ہوا ہے۔ وہ Zeke کے پیغام کو ان کے سادہ متفقہ حروف تہجی کے سائفر کا استعمال کرتے ہوئے ڈی کوڈ کرتا ہے: 14 "N" ہے اور 15 "O" ہے، جو آرٹ کو بتاتا ہے کہ نہیں، Zeke آج اسکول کے بعد ویڈیو گیمز نہیں کھیل سکتا۔

اس سادہ ریڈ سلیمان کوڈ کا راز جیومیٹری کے دو بنیادی حقائق سے شروع ہوتا ہے۔ سب سے پہلے، کسی بھی دو پوائنٹس کے ذریعے ایک منفرد لائن ہے. دوسرا، گتانک کے لیے A اور B، ہر (غیر عمودی) لائن کو فارم میں لکھا جاسکتا ہے۔ y = Ax + B. ایک ساتھ، یہ دونوں حقائق اس بات کی ضمانت دیتے ہیں کہ اگر آپ کو ایک لائن پر دو نکات معلوم ہوں تو آپ تلاش کر سکتے ہیں۔ A اور B، اور اگر آپ جانتے ہیں۔ A اور B، آپ کو لائن کے تمام نکات معلوم ہیں۔ مختصر یہ کہ معلومات کے کسی بھی سیٹ کا ہونا لائن کو جاننے کے مترادف ہے۔

Reed-Solomon کوڈز معلومات کے ان مساوی سیٹوں کا فائدہ اٹھاتے ہیں۔ خفیہ پیغام کو گتانک کے طور پر انکوڈ کیا جاتا ہے۔ A اور B، اور لائن کے پوائنٹس کو ٹکڑوں میں تقسیم کیا گیا ہے، جن میں سے کچھ کو عوامی طور پر منتقل کیا جاتا ہے، اور جن میں سے کچھ کو نجی رکھا جاتا ہے۔ پیغام کو ڈی کوڈ کرنے کے لیے، آپ صرف ٹکڑوں کو اکٹھا کریں اور انہیں دوبارہ ایک ساتھ رکھیں۔ اور اس کے لیے صرف ایک سادہ الجبرا کی ضرورت ہے۔

زیکے کے ٹکڑے نمبر 57 اور 99 تھے، جو اس نے آرٹ کو بھیجے۔ یہ نمبرز پیغام کا عوامی حصہ ہیں۔ آرٹ نے پوائنٹس (3، 6) اور (3، 57) کو دوبارہ تشکیل دینے کے لیے ان کو اپنے اپنے ٹکڑوں، 6 اور 99 کے ساتھ ملایا۔ یہاں، 3 اور 6 پیغام کے نجی حصے کو تشکیل دیتے ہیں، جس پر آرٹ اور زیکے نے پہلے ہی اتفاق کیا تھا۔

دو پوائنٹس ایک لائن پر پڑے ہیں، اور پیغام کو ڈی کوڈ کرنے کے لیے، آپ کو صرف اس لائن کی مساوات کو تلاش کرنے کی ضرورت ہے۔ ہر ایک پوائنٹ میں پلگ ان کرنا y = Ax + B آپ کو لائن کے بارے میں دو مساوات کا ایک نظام فراہم کرتا ہے جو دونوں کو درست ہونا چاہیے۔ اب حکمت عملی سیدھی ہے: سسٹم کو حل کریں، لائن کا تعین کریں اور پیغام کو ڈی کوڈ کریں۔

الجبرا کلاس میں آپ نے شاید مساوات کے نظام کو حل کرنے کے بہت سے طریقے سیکھے ہیں، جیسے گرافنگ، اندازہ لگانا اور جانچنا، اور متبادل۔ آرٹ نے ایلیمینیشن کا استعمال کیا، ایک ایسا طریقہ جہاں آپ ایک وقت میں ایک متغیر کو ختم کرنے کے لیے الجبری طور پر مساوات کو جوڑتے ہیں۔ ہر بار جب آپ کسی متغیر کو ختم کرتے ہیں، نظام کو حل کرنا تھوڑا آسان ہو جاتا ہے۔

دیگر خفیہ کاری اسکیموں کی طرح، یہ عوامی اور نجی معلومات کا ہوشیار امتزاج ہے جو پیغامات کو محفوظ رکھتا ہے۔ Zeke کلاس روم میں اپنے نمبر 57 اور 99 کو چلا سکتا تھا اور اس سے آرٹ کے لیے اس کے پیغام کی سلامتی کو خطرہ نہیں ہوگا (حالانکہ اس سے وہ محترمہ الجبر کے ساتھ پریشانی میں پڑ سکتی ہے)۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ متعلقہ نجی معلومات کے بغیر xکوآرڈینیٹ 3 اور 6 — لائن کی مساوات کی شناخت کرنا ناممکن ہے۔ جب تک وہ ان اقدار کو اپنے پاس رکھتے ہیں، وہ محفوظ طریقے سے اپنے خفیہ پیغامات عوام میں پہنچا سکتے ہیں۔

لکیر y 14 =x دو حرفی لفظ "نہیں" کو منتقل کرنے کے لیے + 15 ٹھیک ہے، لیکن اگر طالب علم ایک طویل راز بتانا چاہتے ہیں تو کیا ہوگا؟ یہ وہ جگہ ہے جہاں الجبرا، جیومیٹری، اور لکیری مساوات کے نظام کی پوری طاقت کام میں آتی ہے۔

فرض کریں کہ Zeke جاننا چاہتا ہے کہ آرٹ کے خیال میں وہ کل کے انگریزی ٹیسٹ میں کیا کرے گا۔ آرٹ اپنے تین حرفی جواب کو نمبر 14، 59 اور 82 میں تبدیل کرتا ہے اور انہیں زیکے تک پہنچاتا ہے۔ طلباء نے پہلے ہی اس بات پر اتفاق کیا کہ جب 3 لمبائی کے Reed-Solomon کوڈز استعمال کرتے ہیں، تو ان کے پرائیویٹ نمبرز 2، 5 اور 6 ہوتے ہیں، لہذا Zeke پوائنٹس (2, 14), (5, 59) اور (6, 82)۔

اب، کوئی لکیری فنکشن نہیں ہے جو ان تین پوائنٹس سے گزرتا ہو۔ لیکن ایک منفرد چوکور فنکشن ہے جو کرتا ہے۔ اور چونکہ ہر چوکور فنکشن فارم میں لکھا جا سکتا ہے۔ y = Ax² + Bx + C، ایک ہی عام طریقہ لاگو کیا جا سکتا ہے. فرق صرف نظام کے سائز کا ہے۔

ہر ایک پوائنٹ میں پلگ ان کرنا y = Ax² + Bx + C ایک مساوات حاصل کرتا ہے، لہذا تین پوائنٹس تین مساوات کا درج ذیل نظام پیدا کرتے ہیں:

(2، 14): 14 = 4A + 2B + C

(5، 59): 59 = 25A + 5B + C

(6، 82): 82 = 36A + 6B + C

تین نامعلوموں کے ساتھ تین مساوات کے نظام کو دو نامعلوموں والی دو مساواتوں کے نظام کے مقابلے میں حل کرنے کے لیے تھوڑا زیادہ کام کی ضرورت ہوتی ہے، لیکن مقصد ایک ہی ہے: متغیرات کو ختم کرنے کے لیے چالاکی سے مساوات کے جوڑے جوڑیں۔

مثال کے طور پر، اگر آپ پہلی مساوات کو دوسری سے گھٹاتے ہیں، تو آپ کو نئی مساوات 45 = 21 ملتی ہےA + 3B. اسی طرح، اگر آپ تیسری سے دوسری مساوات کو گھٹاتے ہیں، تو آپ کو 23 = 11 ملے گا۔A + B. یہ الجبری ہیرا پھیری ایک نیا نظام تیار کرتی ہے:

45 21 =A + 3B

23 11 =A + B

اب آپ کے پاس ایک "دو بہ دو" نظام ہے: دو نامعلوم کے ساتھ دو مساوات۔ اسے حل کرنے کے لیے، آپ دوسری مساوات کو −3 سے ضرب دے سکتے ہیں اور اسے پہلی مساوات میں شامل کر سکتے ہیں:

غور کریں کہ کس طرح بار بار خاتمے نے تین مساواتوں کے اصل نظام کو ایک ہی مساوات میں بدل دیا ہے جسے آسانی سے حل کیا جا سکتا ہے: A = 2. پسماندہ کام کرتے ہوئے، آپ پلگ کر سکتے ہیں A تلاش کرنے کے لیے دو بہ دو نظام میں مساوات میں سے ایک میں = 2 B = 1، اور پھر حاصل کرنے کے لیے دونوں قدروں کو اصل مساوات میں سے ایک میں لگائیں۔ C = 4. 2، 1 اور 4 پر سادہ حروف تہجی کا سائفر استعمال کرنے کے بعد، Zeke جانتا ہے کہ آرٹ کل کے انگریزی ٹیسٹ میں "BAD" کرنے جا رہا ہے۔ کم از کم وہ الجبرا کی بہت مشق کر رہا ہے۔

کثیر الثانی افعال کے بارے میں ایک خاص حقیقت کی بدولت، آپ Reed-Solomon کوڈز کا استعمال کرتے ہوئے کسی بھی لمبائی کا پیغام منتقل کر سکتے ہیں۔ کلید یہ ہے: کوئی بھی n مختلف کے ساتھ ہوائی جہاز میں پوائنٹس x-کوآرڈینیٹ، "ڈگری" کا ایک منفرد کثیر الجہتی ہے n − 1 جو ان میں سے گزرتا ہے۔ ایک کثیر الثانی کی ڈگری اظہار میں متغیر کی سب سے زیادہ طاقت ہے، لہذا ایک چوکور فعل جیسے Ax² + Bx + C کی سب سے زیادہ طاقت کے بعد ڈگری 2 ہے x 2 ہے۔ اور ایک لکیری فنکشن کی ڈگری 1 ہوتی ہے، چونکہ مساوات میں y = Ax + Bکی سب سے زیادہ طاقت x 1 ہے.

پہلی مثال میں ہم نے اس حقیقت کا استعمال کیا کہ دو پوائنٹس ایک منفرد لکیری، یا ڈگری-1، کثیر الثانی کا تعین کرتے ہیں۔ دوسرے میں، ہم نے اس حقیقت پر انحصار کیا کہ تین پوائنٹس ایک منفرد ڈگری-2، یا چوکور، کثیر الثانی کا تعین کرتے ہیں۔ اور اگر آپ 10 کی لمبائی کا پیغام بھیجنا چاہتے ہیں، تو صرف ڈگری-10 کثیر الثانی فنکشن کے 9 کوفیشینٹس کے طور پر پیغام کو انکوڈ کریں۔ ایک بار جب آپ کا فنکشن ہو جائے تو 10 پبلک کا حساب لگائیں۔ y-پہلے متفقہ 10 پرائیویٹ پر فنکشن کا جائزہ لے کر اقدار x-اقدار ایک بار جب آپ یہ کر لیتے ہیں، تو آپ انہیں محفوظ طریقے سے پاس کر سکتے ہیں۔ y-آپ کے وصول کنندہ کو ڈی کوڈ کرنے کے لیے عوام میں کوآرڈینیٹ۔ عملی طور پر، Reed-Solomon کوڈز اس سے کچھ زیادہ پیچیدہ ہیں، زیادہ نفیس قسم کے گتانک اور ترجمے کی اسکیموں کا استعمال کرتے ہیں، لیکن بنیادی خیال ایک ہی ہے۔

آپ کے پیغام کو محفوظ رکھنے کے علاوہ، Reed-Solomon کوڈز غلطیوں کو پکڑنے اور یہاں تک کہ درست کرنے کے آسان اور موثر طریقے بھی پیش کرتے ہیں۔ یہ کسی بھی وقت ضروری ہے جب ڈیٹا منتقل یا ذخیرہ کیا جاتا ہے، کیونکہ ہمیشہ یہ امکان رہتا ہے کہ کچھ معلومات ضائع ہو جائیں یا خراب ہو جائیں۔

اس مسئلے کا ایک حل صرف ڈیٹا کی اضافی کاپیاں بھیجنا ہے۔ مثال کے طور پر، Zeke پیغام [14، 14] کے بجائے [14، 15، 15، 15، 14، 15] بھیج سکتا ہے۔ جب تک آرٹ جانتا ہے کہ پیغام کا ہر حصہ سہ رخی میں بھیجا گیا ہے، وہ پیغام کو ڈی کوڈ کر سکتا ہے اور غلطیوں کی جانچ کر سکتا ہے۔ درحقیقت، اگر اسے کوئی غلطی نظر آتی ہے، تو اس کے پاس ان کو درست کرنے کا ایک اچھا موقع ہے۔ اگر آرٹ کو [14، 14، 24، 15، 15، 15] موصول ہوتا ہے، تو یہ حقیقت کہ پہلے تین نمبر مختلف ہیں اسے ایک غلطی سے آگاہ کرتے ہیں، اور چونکہ ان میں سے دو 14 ہیں، اس لیے وہ اندازہ لگا سکتا ہے کہ 24 شاید ایک ہونا چاہیے۔ 14 بھی۔ پیغام کو ناراض کرنے کے لئے کہنے کے بجائے، آرٹ اپنی ضابطہ کشائی کو جاری رکھ سکتا ہے۔ یہ ایک مؤثر لیکن مہنگی حکمت عملی ہے۔ بھیجنے کے لیے جتنا بھی وقت، توانائی اور محنت درکار ہو۔ n معلومات کے ٹکڑے، اس کے لیے تین گنا زیادہ کی ضرورت ہے۔

لیکن Reed-Solomon کوڈز کے پیچھے کی ریاضی ایک موثر متبادل پیش کرتی ہے۔ ڈیٹا کے ہر ٹکڑے کی متعدد کاپیاں بھیجنے کے بجائے، آپ صرف ایک اضافی پوائنٹ بھیج سکتے ہیں! اگر وہ اضافی نقطہ آپ کے کثیر الثانی میں فٹ بیٹھتا ہے، تو معلومات درست ہے۔ اگر ایسا نہیں ہوتا ہے تو ایک خرابی ہوئی ہے۔

یہ دیکھنے کے لیے کہ یہ کیسے کام کرتا ہے، فرض کریں کہ آپ پہلی مثال میں "NO" پیغام کو چیک کرنا چاہتے ہیں۔ Zeke صرف اضافی بھیج سکتا ہے۔ yکوآرڈینیٹ 155۔ یہ فرض کرتے ہوئے کہ وہ اور آرٹ نے تیسرے نجی پر اتفاق کیا۔ x- پہلے سے ہم آہنگی کریں، کہیں۔ x = 10، آرٹ اس تیسرے نکتے کو اس لائن کے خلاف چیک کرسکتا ہے جسے اس نے ڈی کوڈ کیا تھا۔ جب وہ پلگ کرتا ہے۔ x = 10 میں y 14 =x +15 اور دیکھتا ہے کہ نتیجہ 155 ہے، وہ جانتا ہے کہ ٹرانسمیشن میں کوئی خرابی نہیں تھی۔

یہ صرف لائنوں کے لیے کام نہیں کرتا۔ Zeke کو دوسری مثال میں "BAD" چیک کرنے کے لیے، آرٹ بھیج سکتا ہے۔ y = 25۔ اگر انہوں نے اتفاق کیا ہے کہ 3 اضافی نجی ہے۔ xکوآرڈینیٹ، زیکے پلگ کر سکتا ہے۔ x = 3 اس کے چوکور فعل میں y 2 =x² + x + 4 اور تصدیق کریں کہ پوائنٹ (3، 25) فٹ بیٹھتا ہے، پھر صرف ایک اور پوائنٹ کے ساتھ غلطی سے پاک ٹرانسمیشن کی تصدیق کرتا ہے۔

اور وہ اضافی نقطہ ممکنہ طور پر غلطیوں کو بھی درست کر سکتا ہے۔ اگر کسی خامی کا پتہ چل جاتا ہے اور وصول کنندہ اس کثیر الثانی فنکشن کو نہیں بنا سکتا جس میں پیغام ہوتا ہے، تو وہ اس کے بجائے رجعت کی تکنیک کا استعمال کرتے ہوئے "بہترین فٹ" کثیر الثانی تشکیل دے سکتا ہے۔ شماریات کی کلاس میں بہترین فٹ ہونے والی لائن کی طرح، یہ وہ کثیر الثانی فعل ہے جو ریاضیاتی طور پر دیے گئے پوائنٹس کو قریب سے فٹ کرنے کے لیے پرعزم ہے، چاہے وہ ان سب سے گزر نہ ہو۔ پیغام کی ساخت اور آپ کتنی اضافی معلومات بھیجتے ہیں اس پر منحصر ہے، یہ سب سے موزوں کثیر الجہتی آپ کو درست کثیر الثانی کو دوبارہ تشکیل دینے میں مدد کر سکتا ہے — اور اس طرح درست پیغام — یہاں تک کہ خراب معلومات سے بھی۔

مواصلات کو منتقل کرنے اور درست کرنے میں یہ کارکردگی بتاتی ہے کہ NASA نے چاند اور مریخ پر اپنے مشنوں پر ریڈ-سلیمون کوڈز کیوں استعمال کیے ہیں۔ اور یہ آپ کو سوچنے کے لیے کچھ دیتا ہے جب آپ مساوات کے اپنے اگلے نظام کو حل کرتے ہیں۔ جیسا کہ آپ اندازہ لگاتے ہیں، حل کے لیے اپنا راستہ چیک کریں یا ختم کریں، Reed-Solomon کوڈز کی طاقت اور خوبصورتی کے بارے میں سوچیں اور وہ تمام راز جو آپ کا سسٹم ظاہر کر سکتا ہے۔

مشقیں

1. اسی اسکیم کا استعمال کرتے ہوئے جو انہوں نے کلاس میں استعمال کیا تھا، آرٹ عوامی نمبر 33 اور 57 Zeke کو ڈی کوڈ کرنے کے لیے پوسٹ کرتا ہے۔ کیا پیغام ہے؟

2. آرٹ اور زیکے کس طرح اس بات کا یقین کر سکتے ہیں کہ مساوات کا نظام جو ان کے نجی نمبروں کے نتیجے میں ہوتا ہے x = 3 اور x = 6 ہمیشہ ایک حل ہوگا؟

3. انگریزی ٹیسٹ کے بارے میں آرٹ کے "BAD" کے پیغام کے جواب میں، Zeke واپس بھیجتا ہے [90, 387, 534]۔ فرض کریں کہ وہ وہی اسکیم استعمال کرتے ہیں جو وہ کلاس میں استعمال کرتے تھے، اس کا پیغام کیا ہے؟

4. لولا آپ کو ایک دو حرفی پیغام کے علاوہ ایک غلطی کی جانچ کرنے والا نمبر بھیجتا ہے جس میں Reed-Solomon کوڈ اور وہی سادہ حروف تہجی کا سائفر آرٹ اور Zeke استعمال کرتے ہیں۔ آپ نے خفیہ طور پر اس پر اتفاق کیا ہے۔ x-کوآرڈینیٹ 1، 3 اور 10 پہلے سے کرتے ہیں، اور لولا عوامی نمبروں کو منتقل کرتا ہے [27، 43، 90]۔ کیا پیغام میں غلطی ہے؟