دیریچلیٹ پروسیس چائنیز ریسٹورنٹ پروسیس اور دیگر نمائندگی

• 20 فرمائے، 2014
• Vasilis Vryniotis
• . کوئی تبصرہ نہیں

یہ مضمون ڈیریچلیٹ پروسیس مکسچر ماڈلز کے ساتھ کلسٹرنگ پر سیریز کا تیسرا حصہ ہے۔ پچھلی بار ہم نے ڈیریچلیٹ ڈسٹری بیوشن کی بنیاد پر فائنائٹ مکسچر ماڈل کی تعریف کی تھی اور ہم نے اس پر سوالات اٹھائے تھے کہ ہم اس مخصوص ماڈل کو لامحدود کیسے بنا سکتے ہیں۔ ہم نے ماڈل کی حد کو لینے کے خیال پر مختصراً بحث کی جب کلسٹرز کی k تعداد لامحدودیت کی طرف مائل ہوتی ہے لیکن جیسا کہ ہم نے زور دیا کہ ایسی چیز کا وجود معمولی نہیں ہے (دوسرے لفظوں میں، ہم اصل میں "ماڈل کی حد کو کیسے لے سکتے ہیں؟ "؟) ایک یاد دہانی کے طور پر، جس وجہ سے ہم make k infinite لینا چاہتے ہیں وہ یہ ہے کہ اس طرح ہمارے پاس ایک نان پیرامیٹرک ماڈل ہوگا جس کے لیے ہمیں ڈیٹا کے اندر کلسٹرز کی کل تعداد کی پہلے سے وضاحت کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔

اپ ڈیٹ: ڈیٹام باکس مشین لرننگ فریم ورک اب اوپن سورس اور مفت ہے۔ ڈاؤن لوڈ، اتارنا. جاوا میں Dirichlet Process Mixture Models کے نفاذ کو دیکھنے کے لیے com.datumbox.framework.machinelearning.clustering پیکیج دیکھیں۔

اگرچہ ہمارا ہدف ایک ایسا ماڈل بنانا ہے جو ڈیٹا سیٹس پر کلسٹرنگ کرنے کے قابل ہو، اس سے پہلے ہمیں ڈیریچلیٹ پروسیس کے بارے میں بات کرنی چاہیے۔ ہم ریاضی کی سخت تعریفیں اور DP کی زیادہ بدیہی وضاحتیں فراہم کریں گے اور ہم اس عمل کو بنانے کے طریقوں پر تبادلہ خیال کریں گے۔ ان تعمیرات / نمائندگیوں کو "حقیقی زندگی" میں ڈیریچلیٹ پروسیس کے واقعات کو تلاش کرنے کے طریقے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔

اس حقیقت کے باوجود کہ میں نے اپنی تحقیقی رپورٹ کو اس طرح ڈھالنے کی کوشش کی ہے تاکہ ان بلاگ پوسٹس کی پیروی کرنا آسان ہو، اس سے پہلے کہ ہم ماڈلز کو استعمال کرنے میں کودیں، ضروری ریاضیاتی ٹولز اور تقسیم کی وضاحت کرنا اب بھی ضروری ہے۔ ڈیریچلیٹ پروسیس ماڈلز ایک فعال تحقیق کا موضوع ہیں، لیکن ان کو استعمال کرنے سے پہلے شماریات اور سٹاکسٹک پراسیسز کی اچھی تفہیم کی ضرورت ہوتی ہے۔ ایک اور مسئلہ یہ ہے کہ جیسا کہ ہم اس مضمون میں دیکھیں گے، Dirichlet Processes کو متعدد طریقوں سے پیش کیا جا سکتا ہے۔ نتیجتاً کئی تعلیمی مقالے بالکل مختلف اشارے/کنونشن استعمال کرتے ہیں اور مختلف نقطہ نظر سے مسئلہ کا جائزہ لیتے ہیں۔ اس پوسٹ میں میں ان کو ہر ممکن حد تک آسان سمجھانے کی کوشش کرتا ہوں اور وہی اشارے استعمال کرتا ہوں۔ امید ہے کہ آنے والے دو مضامین کے ساتھ چیزیں مزید واضح ہو جائیں گی جو ڈیریچلیٹ پروسیس مکسچر ماڈلز کی تعریف اور کلسٹر تجزیہ کرنے کے لیے ان کا اصل میں استعمال کرنے کے طریقوں پر توجہ مرکوز کرتے ہیں۔

1. ڈیریچلیٹ عمل کی تعریف

ایک Θ اسپیس پر ڈیریچلیٹ عمل ایک اسٹاکسٹک عمل ہے۔ یہ "Θ اسپیس پر امکانی تقسیم" پر ایک امکانی تقسیم ہے اور a اس سے نکالنا ایک مجرد تقسیم ہے۔. زیادہ باضابطہ طور پر ڈیریچلیٹ ڈسٹری بیوشن امکانی اقدامات پر تقسیم ہے۔ اے امکانی پیمائش خلا Θ سے [0,1] کے ذیلی سیٹوں کا ایک فنکشن ہے۔ G ایک DP تقسیم شدہ بے ترتیب امکانی پیمائش ہے، جس کی نشاندہی کی جاتی ہے۔ اگر کسی تقسیم کے لیے (A₁،…اے_n) کی جگہ Θ ہمارے پاس ہے۔ .

شکل 1: محدود پارٹیشنز پر مارجنل ڈیریچلیٹ تقسیم کیے گئے ہیں۔

ڈی پی کے دو پیرامیٹرز ہیں: پہلا بنیادی تقسیم G ہے۔₀ جو ایک مطلب کی طرح کام کرتا ہے۔ . دوسرا طاقت کا پیرامیٹر α ہے جو سختی سے مثبت ہے اور الٹا تغیر کی طرح کام کرتا ہے۔ . یہ آؤٹ پٹ ڈسٹری بیوشن کی اقدار کی تکرار کی حد کا تعین کرتا ہے۔ a کی قدر جتنی زیادہ ہوگی، تکرار اتنی ہی کم ہوگی۔ قدر جتنی چھوٹی ہوگی، آؤٹ پٹ ڈسٹری بیوشن کی قدروں کی تکرار اتنی ہی زیادہ ہوگی۔ آخر میں Θ اسپیس پیرامیٹر اسپیس ہے جس پر ہم ڈی پی کی وضاحت کرتے ہیں۔ مزید برآں اسپیس Θ G کی تعریف کی جگہ بھی ہے۔₀ جو کہ جی کی طرح ہے۔

ایک آسان اور زیادہ بدیہی طریقہ Dirichlet کے عمل کی وضاحت کرنے کے لیے درج ذیل ہے۔ فرض کریں کہ ہمارے پاس ایک جگہ ہے Θ جسے کسی بھی محدود طریقے سے تقسیم کیا جا سکتا ہے (A₁،…،اے_n) اور ایک امکانی تقسیم G جو ان کو امکانات تفویض کرتا ہے۔ G Θ پر ایک مخصوص امکانی تقسیم ہے لیکن بہت سے دوسرے بھی ہیں۔ Θ ماڈلز پر ڈیریچلیٹ کا عمل بالکل ایسا ہی ہے۔ یہ اسپیس Θ پر تمام ممکنہ امکانات کی تقسیم پر تقسیم ہے۔ ڈیریچلیٹ کے عمل کو جی کے ساتھ پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے۔₀ بنیادی فنکشن اور α حراستی پیرامیٹر۔ ہم کہہ سکتے ہیں کہ G کو DP کے مطابق α اور G پیرامیٹرز کے ساتھ تقسیم کیا گیا ہے۔₀ اگر ان امکانات کی مشترکہ تقسیم جو G Θ کے پارٹیشنز کو تفویض کرتا ہے Dirichlet ڈسٹری بیوشن کی پیروی کرتا ہے۔ متبادل کے طور پر ہم کہہ سکتے ہیں کہ وہ امکانات جو G Θ کی کسی بھی محدود تقسیم کو تفویض کرتا ہے Dirichlet Distribution کی پیروی کرتا ہے۔

شکل 2: ڈیریچلیٹ عمل کا گرافیکل ماڈل

آخر میں اوپر ہم دیکھ سکتے ہیں ڈی پی کا گرافیکل ماڈل. ہمیں نوٹ کرنا چاہئے کہ α ایک اسکیلر ہائپر پیرامیٹر ہے، جی₀ DP کی بنیادی تقسیم ہے، G Θ پیرامیٹر اسپیس پر بے ترتیب تقسیم ہے جو ڈی پی سے نمونے میں لی گئی ہے جو پیرامیٹر اور θ کو احتمالات تفویض کرتی ہے۔_i ایک پیرامیٹر ویکٹر ہے جو G ڈسٹری بیوشن سے اخذ کیا گیا ہے اور یہ Θ اسپیس کا عنصر ہے۔

2. پوسٹرئیر ڈیریچلیٹ پروسیسز

The Posterior Dirichlet Processes کی طرف سے تبادلہ خیال کیا گیا۔ فرگوسن. ہم ڈیریچلیٹ پروسیس سے ایک بے ترتیب امکانی پیمائش G کو ڈرا کر شروع کرتے ہیں، . چونکہ G Θ پر ایک امکانی تقسیم ہے ہم اس تقسیم سے نمونہ بھی لے سکتے ہیں اور آزادانہ طور پر تقسیم شدہ نمونے θ تیار کر سکتے ہیں۔₁،…، θ_n ~ G. چونکہ ڈیریچلیٹ پروسیس سے قرعہ اندازی مجرد تقسیم ہوتی ہے، اس لیے ہم نمائندگی کر سکتے ہیں۔ کہاں کے لیے ایک مختصر اشارہ ہے۔ جو ایک ڈیلٹا فنکشن ہے جو 1 if لیتا ہے۔ اور 0 دوسری جگہوں پر۔ اس کا ایک دلچسپ اثر یہ ہے کہ چونکہ G کی تعریف اس طرح کی گئی ہے، اس لیے مختلف نمونوں کے ایک ہی قدر ہونے کا مثبت امکان ہے۔ . جیسا کہ ہم بعد میں دیکھیں گے، یہ ایک کلسٹرنگ اثر پیدا کرتا ہے جسے ڈیٹا سیٹس پر کلسٹر تجزیہ کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔

مندرجہ بالا تعریفوں اور مشاہدات کو استعمال کرتے ہوئے ہم نمونے θ دیکر ڈیریچلیٹ عمل کے پچھلے حصے کا اندازہ لگانا چاہتے ہیں۔ اس کے باوجود جب سے ہم جانتے ہیں۔ اور Bayes Rules اور Dirichlet اور Multinomial کے درمیان Conjugacy کا استعمال کرتے ہوئے ہمارے پاس یہ ہے۔ اور .

مساوات 1: پوسٹرئیر ڈیریچلیٹ پروسیس

یہ پراپرٹی بہت اہم ہے اور اس کا استعمال مختلف ڈی پی کی نمائندگی کرتے ہیں۔

3. Dirichlet عمل کی نمائندگی

پچھلے حصوں میں ہم نے Dirichlet Process کی تعریف کی اور اس کا نظریاتی ماڈل پیش کیا۔ ایک اہم سوال جس کا ہمیں جواب دینا چاہیے وہ یہ ہے کہ ہم کیسے جانتے ہیں کہ ایسی چیز موجود ہے اور ہم کیسے کر سکتے ہیں۔ تعمیر اور نمائندگی ایک Dirichlet عمل.

وجود کے پہلے اشارے فراہم کیے گئے تھے۔ فرگوسن جس نے Kolmogorov Consistency Theorem استعمال کیا، Dirichlet Process کی تعریف دی اور Posterior Dirichlet Process کو بیان کیا۔ اپنی تحقیق کو جاری رکھتے ہوئے، بلیک ویل اور میک کیوین اس طرح کے بے ترتیب امکانی پیمائش کے وجود کو ثابت کرنے کے لیے ڈی فائنیٹی کے تھیوریم کا استعمال کیا اور بلیک ویل-میک کوئین urn اسکیم متعارف کرائی جو ڈیریچلیٹ پروسیس کی خصوصیات کو پورا کرتی ہے۔ 1994 میں سیتھورامن اسٹک بریکنگ کنسٹرکشن کو متعارف کروا کر ڈی پی بنانے کا ایک اضافی آسان اور سیدھا طریقہ فراہم کیا۔ آخر میں ایک اور نمائندگی کی طرف سے فراہم کی گئی تھی Aldous جس نے چینی ریستوراں کے عمل کو ڈیریچلیٹ پروسیس کی تعمیر کے ایک مؤثر طریقہ کے طور پر متعارف کرایا۔

Dirichlet عمل کی مختلف نمائندگییں ریاضی کے لحاظ سے مساوی ہیں لیکن ان کی تشکیل مختلف ہے کیونکہ وہ مختلف نقطہ نظر سے مسئلے کا جائزہ لیتے ہیں۔ ذیل میں ہم لٹریچر میں پائی جانے والی سب سے عام نمائندگی پیش کرتے ہیں اور ہم چینی ریستوراں کے عمل پر توجہ مرکوز کرتے ہیں جو Dirichlet Process کے لیے inference algorithms بنانے کا ایک سادہ اور کمپیوٹیشنل طور پر موثر طریقہ فراہم کرتا ہے۔

3.1 بلیک ویل-میک کوئین کلش اسکیم

Blackwell-MacQueen urn اسکیم کو Dirichlet Process کی نمائندگی کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے اور اسے متعارف کرایا گیا تھا۔ بلیک ویل اور میک کیوین. یہ پولیا urn اسکیم پر مبنی ہے جسے متبادل کے بغیر نمونے لینے کے مخالف ماڈل کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ پولیا کلش اسکیم میں ہم فرض کرتے ہیں کہ ہمارے پاس ایک غیر شفاف کلش ہے جس میں رنگین گیندیں ہوتی ہیں اور ہم گیندوں کو تصادفی طور پر کھینچتے ہیں۔ جب ہم ایک گیند کو کھینچتے ہیں، ہم اس کے رنگ کا مشاہدہ کرتے ہیں، ہم اسے واپس کلش میں ڈالتے ہیں اور اسی رنگ کی ایک اضافی گیند ڈالتے ہیں۔ اسی طرح کی اسکیم بلیک ویل اور میک کیوین نے ڈیریچلیٹ پروسیس کی تعمیر کے لیے استعمال کی ہے۔

یہ اسکیم θ کی ترتیب پیدا کرتی ہے۔₁,θ₂،… کے ساتھ مشروط امکانات . اس اسکیم میں ہم فرض کرتے ہیں کہ جی₀ رنگوں اور ہر θ پر تقسیم ہے۔_n گیند کے رنگ کی نمائندگی کرتا ہے جو کلش میں رکھی گئی ہے۔ دی یلگورتم درج ذیل کی طرح:

· ہم ایک خالی کلش کے ساتھ شروع کرتے ہیں.

· امکان کے تناسب کے ساتھ α ہم کھینچتے ہیں اور ہم کلش میں اس رنگ کی ایک گیند ڈالتے ہیں۔

· n-1 کے متناسب امکان کے ساتھ ہم کلش سے ایک بے ترتیب گیند کھینچتے ہیں، ہم اس کے رنگ کا مشاہدہ کرتے ہیں، ہم اسے کلش پر واپس رکھتے ہیں اور ہم کلش میں اسی رنگ کی ایک اضافی گیند شامل کرتے ہیں۔

اس سے پہلے ہم نے ڈیریچلیٹ پراسیس کے ساتھ شروعات کی تھی اور بلیک ویل-میک کوئین اسکیم حاصل کی تھی۔ اب آئیے بلیک ویل-میک کیوین اسکیم سے الٹا شروع کریں اور ڈی پی اخذ کریں۔ چونکہ θ_i جی کی طرف سے ایک iid طریقے سے تیار کیا گیا تھا، ان کی مشترکہ تقسیم کسی بھی محدود ترتیب سے متغیر ہوگی اور اس طرح وہ قابل تبادلہ ہیں۔ نتیجتاً ڈی فائنیٹی کے تھیوریم کو استعمال کرتے ہوئے، ہمارے پاس یہ ہے کہ انہیں iid بنانے کے لیے اقدامات پر ایک تقسیم ہونا ضروری ہے اور یہ تقسیم ڈیریچلیٹ عمل ہے۔ نتیجے کے طور پر ہم ثابت کرتے ہیں کہ Blackwell-MacQueen urn اسکیم DP کی نمائندگی کرتی ہے اور یہ ہمیں اس کی تعمیر کا ایک ٹھوس طریقہ فراہم کرتی ہے۔ جیسا کہ ہم بعد میں دیکھیں گے، یہ اسکیم ریاضی کے لحاظ سے چینی ریستوراں کے عمل کے مساوی ہے۔

3.2 چھڑی کو توڑنے والی تعمیر

اسٹک بریکنگ کنسٹرکشن ڈیریچلیٹ پروسیس کی نمائندگی کرنے کا ایک متبادل طریقہ ہے جسے متعارف کرایا گیا تھا۔ سیتھورامن. یہ تشکیل دینے کا ایک تعمیری طریقہ ہے۔ تقسیم اور استعمال کرتا ہے۔ مندرجہ ذیل مشابہت: ہم فرض کرتے ہیں کہ ہمارے پاس لمبائی 1 کی چھڑی ہے، ہم اسے β پر توڑ دیتے ہیں۔₁ اور ہم π تفویض کرتے ہیں۔₁ چھڑی کے اس حصے کی لمبائی کے برابر جو ہم نے توڑا تھا۔ ہم π حاصل کرنے کے لیے اسی عمل کو دہراتے ہیں۔₂، π₃،… وغیرہ؛ جس طرح سے اس اسکیم کی وضاحت کی گئی ہے اس کی وجہ سے ہم اسے لامحدود وقت تک جاری رکھ سکتے ہیں۔

اوپر کی بنیاد پر π_k کے طور پر ماڈل کیا جا سکتا ہے ، جہاں جبکہ پچھلی سکیموں کی طرح θ کو براہ راست بیس ڈسٹری بیوشن کے ذریعے نمونہ کیا جاتا ہے۔ . نتیجتاً G کی تقسیم کو π کے ساتھ وزن والے ڈیلٹا افعال کے مجموعہ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔_k امکانات جو برابر ہیں۔ . اس طرح اسٹک توڑنے والی تعمیر ہمیں ڈیریچلیٹ پروسیس کی تعمیر کا ایک آسان اور بدیہی طریقہ فراہم کرتی ہے۔

3.3 چینی ریستوراں کا عمل

چائنیز ریسٹورنٹ پروسیس جو کہ متعارف کرایا گیا تھا۔ Aldous، ڈیریچلیٹ پروسیس کی نمائندگی کرنے کا ایک اور مؤثر طریقہ ہے اور اسے بلیک ویل-میک کیوین urn اسکیم سے براہ راست منسلک کیا جاسکتا ہے۔ یہ اسکیم استعمال کرتی ہے۔ مندرجہ ذیل مشابہت: ہم فرض کرتے ہیں کہ ایک چینی ریستوراں ہے جس میں لامحدود میزیں ہیں۔ جیسے ہی گاہک ریستوراں میں داخل ہوتے ہیں وہ تصادفی طور پر کسی بھی زیر قبضہ میز پر بیٹھ جاتے ہیں یا وہ پہلی دستیاب خالی میز پر بیٹھنے کا انتخاب کرتے ہیں۔

CRP مثبت عدد کی تقسیم کی جگہ پر تقسیم کی وضاحت کرتا ہے۔ ہم θ ڈرائنگ سے شروع کرتے ہیں۔₁,…θ_n بلیک ویل میک کیوین کلش اسکیم سے۔ جیسا کہ ہم نے پچھلے حصوں میں تبادلہ خیال کیا ہے، ہم توقع کرتے ہیں کہ کلسٹرنگ اثر نظر آئے گا اور اس طرح منفرد θ اقدار k کی کل تعداد n سے نمایاں طور پر کم ہوگی۔ اس طرح یہ k کلسٹرز میں سیٹ {1,2,…,n} کی تقسیم کی وضاحت کرتا ہے۔ نتیجتاً Blackwell-MacQueen urn اسکیم سے ڈرائنگ {1,2,…,n} سیٹ کی بے ترتیب تقسیم کو آمادہ کرتی ہے۔ چینی ریستوراں کا عمل اس کی حوصلہ افزائی کرتا ہے۔ تقسیم پر تقسیم. الگورتھم مندرجہ ذیل ہے:

· ہم ایک خالی ریستوراں سے شروع کرتے ہیں۔

· 1^st گاہک ہمیشہ 1 پر بیٹھتا ہے۔^st ٹیبل

· n+1^th کسٹمر کے پاس 2 اختیارات ہیں:

o امکان کے ساتھ پہلی خالی میز پر بیٹھیں۔

o امکان کے ساتھ kth پر قبضہ شدہ میزوں میں سے کسی پر بیٹھیں۔
کہاں اس میز پر بیٹھے لوگوں کی تعداد ہے۔

جہاں α DP کی بازی ویلیو ہے اور n ایک مقررہ وقت میں ریستوراں میں صارفین کی کل تعداد ہے۔ اویکت متغیر z_i i کا ٹیبل نمبر محفوظ کرتا ہے۔^th گاہک اور 1 سے k تک اقدار لیتا ہے۔_n جہاں k_n جب n گاہک ریستوراں میں ہوں تو مقبوضہ میزوں کی کل تعداد ہے۔ ہمیں نوٹ کرنا چاہئے کہ k_n ہمیشہ n سے کم یا برابر ہو گا اور اوسطاً یہ تقریباً ہے۔ . آخر میں ہمیں نوٹ کرنا چاہئے کہ میز کے انتظام کا امکان تغیرات کے لیے متغیر ہے۔ اس طرح زیڈ_i قابل تبادلہ ہے جس کا مطلب یہ ہے کہ گاہک کے ایک ہی سائز کے ساتھ میزیں ایک ہی امکان رکھتی ہیں۔

چائنیز ریسٹورنٹ کا عمل پولیا urn اسکیم اور Dirichlet Process سے مضبوطی سے جڑا ہوا ہے۔ CRP وضاحت کرنے کا ایک طریقہ ہے۔ تقسیم پر تقسیم n پوائنٹس کے (ٹیبل اسائنمنٹس) اور لیٹنٹ متغیر z کی جگہ پر پہلے کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے_i جس کلسٹر اسائنمنٹس کا تعین کرتا ہے۔. سی آر پی پولیا کی کلش اسکیم کے برابر ہے صرف اس فرق کے ساتھ کہ یہ ہر ٹیبل/کلسٹر کو پیرامیٹرز تفویض نہیں کرتا ہے۔ جانے کے لئے سی آر پی سے پولیا کی کلش اسکیم تک ہم کھینچتے ہیں تمام جدولوں کے لیے k=1,2… اور پھر ہر ایکس کے لیے_i جس کو ٹیبل z میں گروپ کیا گیا ہے۔_i تفویض a . دوسرے الفاظ میں نئے ایکس کو تفویض کریں۔_i ٹیبل کا پیرامیٹر θ۔ آخر کار جب سے ہم تفویض نہیں کر سکتے شروع سے θ سے لامحدود جدولوں تک، جب بھی کوئی نئی میز پر بیٹھتا ہے تو ہم صرف ایک نیا θ تفویض کر سکتے ہیں۔ مندرجہ بالا تمام چیزوں کی وجہ سے، CRP ڈیٹا سیٹس پر کلسٹر تجزیہ کرنے کے لیے کمپیوٹیشنل طور پر موثر الگورتھم بنانے میں ہماری مدد کر سکتا ہے۔

اس پوسٹ میں، ہم نے ڈیریچلیٹ کے عمل اور اسے بنانے کے کئی طریقوں پر تبادلہ خیال کیا۔ ہم مندرجہ بالا خیالات کو اگلے مضمون میں استعمال کریں گے۔ ہم ڈیریچلیٹ پروسیس مکسچر ماڈل متعارف کرائیں گے اور ہم چینی ریستوراں کی نمائندگی کا استعمال کریں گے تاکہ ڈیریچلیٹ پراسیس کی تعمیر اور کلسٹر تجزیہ کو پیش کیا جاسکے۔ اگر آپ نے کچھ پوائنٹس چھوڑے ہیں تو پریشان نہ ہوں کیونکہ اگلے دو مضامین سے چیزیں واضح ہونا شروع ہو جائیں گی۔

مجھے امید ہے کہ آپ کو یہ پوسٹ دلچسپ لگی۔ اگر آپ نے ایسا کیا ہے تو اسے فیس بک اور ٹویٹر پر شیئر کرنے کے لیے ایک لمحہ نکالیں۔ 🙂