پوشیدہ کنکشن جس نے نمبر تھیوری کو تبدیل کر دیا | کوانٹا میگزین

بنیادی نمبروں کی تین قسمیں ہیں۔ پہلا اکیلا آؤٹ لیئر ہے: 2، واحد یکساں پرائم۔ اس کے بعد، نصف پرائمز 1 کا بقیہ چھوڑتے ہیں جب 4 سے تقسیم کیا جاتا ہے۔ باقی نصف 3 کا بقیہ چھوڑ دیتے ہیں۔ (5 اور 13 پہلے کیمپ میں آتے ہیں، 7 اور 11 دوسرے میں۔) اس کی کوئی واضح وجہ نہیں ہے۔ -1 پرائمز اور بقیہ 3 پرائمز کو بنیادی طور پر مختلف طریقوں سے برتاؤ کرنا چاہیے۔ لیکن وہ کرتے ہیں۔

ایک کلیدی فرق ایک خاصیت سے پیدا ہوتا ہے جسے quadratic reciprocity کہا جاتا ہے، جو سب سے پہلے کارل گاس نے ثابت کیا، جو 19ویں صدی کے سب سے بااثر ریاضی دان تھے۔ "یہ کافی آسان بیان ہے جس میں ہر جگہ اطلاق ہوتا ہے، ہر طرح کی ریاضی میں، نہ صرف نمبر تھیوری،" نے کہا۔ جیمز ریکارڈز، کولوراڈو یونیورسٹی، بولڈر میں ایک ریاضی دان۔ "لیکن یہ واقعی دلچسپ ہونے کے لئے کافی غیر واضح بھی ہے۔"

نمبر تھیوری ریاضی کی ایک شاخ ہے جو پورے اعداد سے متعلق ہے (جیسا کہ، کہو، شکلیں یا مسلسل مقداروں کے برعکس)۔ بنیادی اعداد - جو صرف 1 اور خود سے تقسیم ہوتے ہیں - اس کے مرکز میں ہیں، جیسا کہ ڈی این اے حیاتیات کا مرکز ہے۔ Quadratic reprocity نے ریاضی دانوں کے اس تصور کو بدل دیا ہے کہ ان کے بارے میں ثابت کرنا کتنا ممکن ہے۔ اگر آپ بنیادی اعداد کے بارے میں ایک پہاڑی سلسلے کے طور پر سوچتے ہیں، تو باہمی تعلق ایک تنگ راستے کی طرح ہے جو ریاضی دانوں کو پہلے ناقابل رسائی چوٹیوں پر چڑھنے دیتا ہے اور، ان چوٹیوں سے، چھپی ہوئی سچائیوں کو دیکھنے دیتا ہے۔

اگرچہ یہ ایک پرانا نظریہ ہے، اس کے نئے اطلاقات جاری ہیں۔ اس موسم گرما میں، Rickards اور اس کے ساتھی کیتھرین سٹینجدو طالب علموں کے ساتھ، ایک وسیع پیمانے پر قبول شدہ قیاس کو غلط ثابت کیا۔ اس بارے میں کہ کس طرح چھوٹے حلقوں کو ایک بڑے کے اندر پیک کیا جا سکتا ہے۔ نتیجہ نے ریاضی دانوں کو چونکا دیا۔ پیٹر سارنکانسٹی ٹیوٹ فار ایڈوانسڈ اسٹڈی اور پرنسٹن یونیورسٹی کے ایک نمبر تھیوریسٹ نے اسٹینج کے ساتھ اپنی ٹیم کے فوراً بعد ایک کانفرنس میں بات کی۔ پوسٹ کیا گیا ان کا کاغذ. "اس نے مجھے بتایا کہ اس کے پاس ایک جوابی مثال ہے،" سارنک نے یاد کیا۔ "میں نے فوراً اس سے پوچھا، 'کیا تم کہیں باہمی رویہ استعمال کر رہی ہو؟' اور یہ وہی تھا جو وہ استعمال کر رہی تھی۔

پرائمز کے جوڑے میں پیٹرن

باہمی ربط کو سمجھنے کے لیے، آپ کو پہلے ماڈیولر ریاضی کو سمجھنا ہوگا۔ جب آپ ماڈیولس نامی ایک عدد سے تقسیم کر رہے ہوتے ہیں تو ماڈیولر آپریشنز بقایا کا حساب لگانے پر انحصار کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، 9 ماڈیولو 7 2 ہے، کیونکہ اگر آپ 9 کو 7 سے تقسیم کرتے ہیں، تو آپ کے پاس 2 کا باقی رہ جاتا ہے۔ ماڈیولو 7 نمبر سسٹم میں، 7 نمبر ہوتے ہیں: {0, 1, 2, 3, 4, 5 ، 6}۔ آپ ان نمبروں کو شامل، گھٹا، ضرب اور تقسیم کر سکتے ہیں۔

بالکل اسی طرح جیسے انٹیجرز کے ساتھ، ان نمبر سسٹمز میں کامل اسکوائر ہو سکتے ہیں — ایسے نمبر جو خود دوسرے نمبر کے اوقات کی پیداوار ہیں۔ مثال کے طور پر، 0، 1، 2 اور 4 کامل مربع ہیں ماڈیولو 7 (0 × 0 = 0، 1 × 1 = 1، 2 × 2 = 4، اور 3 × 3 = 2 موڈ 7)۔ ہر عام مربع یا تو 0، 1، 2 یا 4 ماڈیولو 7 کے برابر ہوگا۔ (مثال کے طور پر، 6 × 6 = 36 = 1 موڈ 7۔) چونکہ ماڈیولر نمبر سسٹم محدود ہیں، کامل مربع زیادہ عام ہیں۔

Quadratic reprocity ایک نسبتاً سیدھے سوال سے پیدا ہوتی ہے۔ دو پرائمز دیے گئے۔ p اور q، اگر آپ یہ جانتے ہیں۔ p ایک کامل مربع ماڈیولو ہے۔ q، کیا آپ کہہ سکتے ہیں یا نہیں۔ q ایک کامل مربع ماڈیولو ہے۔ p?

یہ پتہ چلتا ہے کہ جب تک یا تو p or q 1 سے تقسیم ہونے پر 4 کا بقیہ چھوڑتا ہے، اگر p ایک کامل مربع ماڈیولو ہے۔ q، تو q ایک کامل مربع ماڈیولو بھی ہے۔ p. کہا جاتا ہے کہ دونوں پرائمز آپس میں ہیں۔

دوسری طرف، اگر وہ دونوں باقی 3 چھوڑ دیتے ہیں (جیسے کہو، 7 اور 11) تو وہ بدلہ نہیں دیتے: اگر p ایک مربع ماڈیولو ہے۔ q، اس کا مطلب ہے کہ q مربع ماڈیولو نہیں ہوگا۔ p. اس مثال میں، 11 ایک مربع ماڈیولو 7 ہے، چونکہ 11 = 4 mod 7 اور ہم پہلے ہی جانتے ہیں کہ 4 کامل اسکوائر ماڈیولو 7 میں سے ایک ہے۔ یہ مندرجہ ذیل ہے کہ 7 مربع ماڈیولو 11 نہیں ہے۔ اگر آپ عام کی فہرست لیں مربع (4، 9، 16، 25، 36، 49، 64، …) اور ان کے باقی ماندہ ماڈیول 11 کو دیکھیں، تو 7 کبھی ظاہر نہیں ہوں گے۔

یہ، ایک تکنیکی اصطلاح استعمال کرنے کے لیے، واقعی عجیب ہے!

جنرلائزیشن کی طاقت

بہت سے ریاضی کے خیالات کی طرح، باہمی اثر و رسوخ کا حامل رہا ہے کیونکہ اسے عام کیا جا سکتا ہے۔

1801 میں گاؤس کی طرف سے چوکور تبادلے کا پہلا ثبوت شائع کرنے کے فوراً بعد، ریاضی دانوں نے اس خیال کو مربعوں سے آگے بڑھانے کی کوشش کی۔ تیسری طاقت یا چوتھی طاقت کیوں نہیں؟ انہوں نے تصور کیا کہ شاید ایک کیوبک ریپروسیٹی قانون یا کوارٹک ریپروسیٹی قانون ہے، "کہا کیتھ کونراڈ، کنیکٹیکٹ یونیورسٹی میں ایک نمبر تھیوریسٹ۔

لیکن وہ پھنس گئے، کونراڈ نے کہا، "کیونکہ کوئی آسان نمونہ نہیں ہے۔" یہ اس وقت بدل گیا جب گاؤس نے پیچیدہ اعداد کے دائرے میں باہمی تعلق لایا، جو مائنس 1 کا مربع جڑ جوڑتا ہے، جس کی نمائندگی کی جاتی ہے۔ i، عام نمبروں تک۔ اس نے یہ نظریہ پیش کیا کہ نمبر تھیوریسٹ نہ صرف عام انٹیجرز بلکہ دوسرے انٹیجر جیسے ریاضی کے نظاموں کا بھی تجزیہ کر سکتے ہیں، جیسے کہ نام نہاد گاوسی انٹیجرز، جو پیچیدہ اعداد ہیں جن کے حقیقی اور خیالی حصے دونوں انٹیجر ہیں۔

گاوسی انٹیجرز کے ساتھ، پرائم کے طور پر شمار ہونے والا پورا تصور بدل گیا۔ مثال کے طور پر، 5 اب پرائم نہیں ہے، کیونکہ 5 = (2 + i) × (2 - i)۔ کانراڈ نے کہا، "آپ کو دوبارہ سے اس طرح شروع کرنا ہوگا جیسے آپ دوبارہ ابتدائی اسکول میں ہیں۔ 1832 میں، گاؤس نے اپنے نام والے پیچیدہ عدد کے لیے کوارٹک ریپروسیٹی قانون ثابت کیا۔

اچانک، ریاضی دانوں نے ان نئے نمبر سسٹمز پر ماڈیولر ریاضی اور فیکٹرائزیشن جیسے ٹولز کا اطلاق کرنا سیکھ لیا۔ کونراڈ کے مطابق، چوکور باہمی الہام تھا۔

وہ نمونے جو پیچیدہ نمبروں کے بغیر مضحکہ خیز تھے اب ابھرنا شروع ہو گئے ہیں۔ 1840 کی دہائی کے وسط تک گوتھولڈ آئزن اسٹائن اور کارل جیکوبی نے پہلے کیوبک ریپروسیٹی قوانین کو ثابت کیا تھا۔

پھر، 1920 کی دہائی میں، ایمل آرٹین، جو جدید الجبرا کے بانیوں میں سے ایک تھے، نے دریافت کیا کہ کونراڈ "حتمی باہمی قانون" کہتا ہے۔ دیگر تمام باہمی قوانین کو آرٹین کے باہمی قانون کے خصوصی مقدمات کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔

ایک صدی بعد، ریاضی دان اب بھی گاؤس کے پہلے چوکور باہمی قانون کے نئے ثبوت وضع کر رہے ہیں اور اسے نئے ریاضیاتی سیاق و سباق میں عام کر رہے ہیں۔ بہت سے واضح ثبوتوں کا ہونا مفید ہو سکتا ہے۔ "اگر آپ نتیجہ کو ایک نئی ترتیب تک بڑھانا چاہتے ہیں، تو ہو سکتا ہے کہ ایک دلیل آسانی سے ختم ہو جائے، جبکہ دوسرے نہیں،" کونراڈ نے کہا۔

باہمی تعاون اتنا مفید کیوں ہے۔

Quadratic reciprocity کا استعمال تحقیق کے مختلف شعبوں میں ہوتا ہے جیسا کہ گراف تھیوری، الجبری ٹوپولوجی اور کرپٹوگرافی۔ مؤخر الذکر میں، 1982 میں ایک بااثر عوامی کلیدی خفیہ کاری الگورتھم تیار کیا گیا شفیع گولڈ واسر اور سلویو میکالی دو بڑے پرائمز کو ضرب کرنے پر منحصر ہے۔ p اور q ایک ساتھ اور نتیجہ نکالنا، Nایک نمبر کے ساتھ، x، جو مربع ماڈیولو نہیں ہے۔ N. الگورتھم استعمال کرتا ہے۔ N اور x ڈیجیٹل پیغامات کو بڑی تعداد کے تاروں میں خفیہ کرنے کے لیے۔ اس سٹرنگ کو ڈکرپٹ کرنے کا واحد طریقہ یہ ہے کہ یہ فیصلہ کیا جائے کہ انکرپٹڈ سٹرنگ میں ہر ایک نمبر مربع ماڈیولو ہے یا نہیں N - پرائمز کی اقدار کو جانے بغیر عملی طور پر ناممکن p اور q.

اور ظاہر ہے، عددی نظریہ کے اندر چوکور تبادلے بار بار پیدا ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، یہ ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ 1 ماڈیولو 4 کے برابر کوئی بھی بنیادی نمبر دو مربعوں کے مجموعے کے طور پر لکھا جا سکتا ہے (مثال کے طور پر، 13 برابر ہے 1 ماڈیولو 4، اور 13 = 4 + 9 = 2² + 3²)۔ اس کے برعکس، 3 ماڈیولو 4 کے برابر پرائمز کو کبھی بھی دو مربعوں کے مجموعے کے طور پر نہیں لکھا جا سکتا۔

سارنک نے نوٹ کیا کہ کھلے سوالات کو حل کرنے کے لیے باہمی تعاون کا استعمال کیا جا سکتا ہے، جیسے یہ معلوم کرنا کہ کن نمبروں کو تین کیوبز کے مجموعہ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ یہ معلوم ہے کہ نمبر جو 4 یا 5 ماڈیولو 9 کے برابر ہیں تین کیوبز کے مجموعے کے برابر نہیں ہیں، لیکن دیگر ایک معمہ بنی ہوئی ہیں۔ (2019 میں، اینڈریو بکر پیدا کردہ سرخیاں جب اس نے دریافت کیا کہ (8,866,128,975,287,528)³ + (−8,778,405,442,862,239)³ + (−2,736,111,468,807,040)³ = 33.)

اسٹینج نے کہا کہ اس کی تمام درخواستوں اور بہت سے مختلف ثبوتوں کے لئے، باہمی تعاون کے بارے میں کچھ ہے جو ایک معمہ بنی ہوئی ہے۔

"ریاضی کے ثبوت کے ساتھ جو اکثر ہوتا ہے وہ یہ ہے کہ آپ ہر قدم پر عمل کر سکتے ہیں۔ آپ یقین کر سکتے ہیں کہ یہ سچ ہے،" اس نے کہا۔ "اور آپ اب بھی دوسرے سرے سے باہر آ سکتے ہیں جیسے، 'لیکن کیوں؟'"

بصیرت کی سطح پر، سمجھنا کہ 7 اور 11 کو 5 اور 13 سے کیا فرق ہے وہ ہمیشہ کے لیے پہنچ سے باہر ہو سکتا ہے۔ انہوں نے کہا کہ "ہم تجرید کی بہت سی سطحوں کو صرف کر سکتے ہیں۔ "یہ نمبر تھیوری میں ہر جگہ ظاہر ہوتا ہے … اور پھر بھی یہ اس سے ایک قدم آگے ہے جو محسوس ہوتا ہے کہ آپ واقعی جان سکتے ہیں۔"

Quanta ہمارے سامعین کی بہتر خدمت کے لیے سروے کا ایک سلسلہ کر رہا ہے۔ ہماری لے لو ریاضی کے ریڈر سروے اور آپ کو مفت جیتنے کے لیے داخل کیا جائے گا۔ Quanta مرچ۔