تھیوریسٹ جو فن، موسیقی اور تحریر میں ریاضی کو دیکھتا ہے | کوانٹا میگزین

سارہ ہارٹ کی ہمیشہ اس بات پر نظر رہی ہے کہ ریاضی کے دوسرے شعبوں میں کیسے چھپے ہوئے ہیں۔ بچپن میں، وہ اپنی پریوں کی کہانیوں میں نمبر 3 کی ہر جگہ سے متاثر ہوئی تھی۔ ہارٹ کی والدہ، ایک ریاضی کی استاد، نے اس کے پیٹرن کی تلاش کی حوصلہ افزائی کی، اور اسے وقت گزرنے کے لیے ریاضی کی پہیلیاں دیں۔

ہارٹ نے 2000 میں گروپ تھیوری میں ڈاکٹریٹ حاصل کی اور بعد میں برک بیک، لندن یونیورسٹی میں پروفیسر بن گئے۔ ہارٹ کی تحقیق نے Coxeter گروپوں کی ساخت کی جانچ کی، ڈھانچے کے زیادہ عام ورژن جو کثیر الاضلاع اور پرزم کی ہم آہنگی کی فہرست بناتے ہیں۔ 2023 میں، اس نے شائع کیا۔ ونس اپون اے پرائم، افسانے اور شاعری میں ریاضی کے ظاہر ہونے کے طریقوں کے بارے میں ایک کتاب۔ ہارٹ نے لکھا، "چونکہ ہم انسان کائنات کا حصہ ہیں، یہ فطری ہے کہ ہمارے تخلیقی اظہار کی شکلیں، ان کے درمیان ادب، پیٹرن اور ساخت کے لیے بھی جھکاؤ ظاہر کرے گا،" ہارٹ نے لکھا۔ "اس کے بعد، ریاضی ادب پر ​​ایک بالکل مختلف نقطہ نظر کی کلید ہے۔"

2020 سے ہارٹ لندن کے گریشم کالج میں جیومیٹری کے پروفیسر ہیں۔ گریشم کے پاس کوئی روایتی کورس نہیں ہے۔ اس کے بجائے، اس کے پروفیسر ہر سال کئی عوامی لیکچر دیتے ہیں۔ ہارٹ 428 سالہ پرانے عہدے پر فائز ہونے والی پہلی خاتون ہیں، جس پر 17ویں صدی میں آئزک بیرو نے قبضہ کیا تھا، جو ایک اور آئزک (نیوٹن) کو پڑھانے کے لیے مشہور تھا۔ ابھی حال ہی میں، اس کا انعقاد ایک ریاضی دان راجر پینروز کے پاس تھا جس نے طبیعیات کا 2020 کا نوبل انعام جیتا تھا۔ ہارٹ سے بات ہوئی۔ Quanta اس بارے میں کہ ریاضی اور آرٹ ایک دوسرے کو کیسے متاثر کرتے ہیں۔ انٹرویو کو کم کیا گیا ہے اور وضاحت کے لیے اس میں ترمیم کی گئی ہے۔

آپ نے ریاضی اور ادب کے درمیان روابط کے بارے میں اپنی کتاب لکھنے کا انتخاب کیوں کیا؟

یہ روابط ریاضی اور موسیقی کے درمیان کی نسبت کم دریافت اور کم معلوم ہیں۔ ریاضی اور موسیقی کے درمیان تعلق کم از کم پیتھاگورینس کے دور سے ہی منایا جاتا رہا ہے۔ تاہم، اگرچہ مخصوص کتابوں، مصنفین یا انواع کے بارے میں تحریری اور علمی تحقیق ہوئی ہے، لیکن میں نے عام سامعین کے لیے ریاضی اور ادب کے درمیان وسیع تر روابط کے بارے میں کوئی کتاب نہیں دیکھی۔

آرٹس میں لوگوں کو ریاضی کے بارے میں کیسے سوچنا چاہئے؟

ریاضی اور، کیا میں کہوں، دوسرے فنون کے درمیان بہت سی مشترک بنیادیں ہیں۔ ادب کے ساتھ ساتھ موسیقی اور فن میں، آپ کبھی بھی کسی چیز سے شروع نہیں کرتے۔ اگر آپ شاعر ہیں، تو آپ یہ انتخاب کر رہے ہیں: کیا میرے پاس ایک ہائیکو ہوگا جس میں اس کی عددی پابندیاں ہوں گی، یا میں ایسا سانیٹ لکھوں گا جس میں لائنوں کی ایک خاص تعداد، ایک مخصوص شاعری کی ترتیب، ایک مخصوص میٹر ہو؟ یہاں تک کہ ایسی چیز جس میں شاعری کی اسکیم نہیں ہے اس میں لائن بریک ہوگی، ایک تال۔ ایسی رکاوٹیں ہوں گی جو تخلیقی صلاحیتوں کو متاثر کرتی ہیں، جو آپ کو توجہ مرکوز کرنے میں مدد کرتی ہیں۔

ریاضی میں، ہمارے پاس ایک ہی چیز ہے۔ ہمارے کچھ بنیادی اصول ہیں۔ اس کے اندر، ہم دریافت کر سکتے ہیں، ہم کھیل سکتے ہیں، اور ہم نظریات کو ثابت کر سکتے ہیں۔ ریاضی آرٹس کے لیے کیا کر سکتی ہے نئی ڈھانچے تلاش کرنے میں مدد کرتی ہے، یہ ظاہر کرتی ہے کہ امکانات کیا ہیں۔ موسیقی کا ایک ٹکڑا کیسا نظر آئے گا جس میں کلیدی دستخط نہ ہو؟ ہم 12 ٹونز کے بارے میں سوچ سکتے ہیں اور انہیں مختلف طریقے سے ترتیب دے سکتے ہیں، اور یہاں وہ تمام طریقے ہیں جو آپ ایسا کر سکتے ہیں۔ یہاں مختلف رنگ سکیمیں ہیں جو آپ وضع کر سکتے ہیں، یہاں شاعرانہ میٹر کی مختلف شکلیں ہیں۔

ادب سے ریاضی کیسے متاثر ہوئی ہے اس کی ایک مثال کیا ہے؟

ہندوستان میں ہزاروں سال پہلے شاعر ممکنہ میٹر کے بارے میں سوچنے کی کوشش کر رہے تھے۔ سنسکرت شاعری میں آپ کی لمبی اور مختصر عبارتیں ہیں۔ لمبا مختصر سے دگنا ہوتا ہے۔ اگر آپ یہ معلوم کرنا چاہتے ہیں کہ تین میں سے کتنے وقت لگتے ہیں، تو آپ مختصر، مختصر، مختصر، یا لمبا، چھوٹا، یا مختصر، طویل ہو سکتے ہیں۔ تین بنانے کے تین طریقے ہیں۔ طوالت-چار جملہ بنانے کے پانچ طریقے ہیں۔ اور طوالت سے پانچ جملہ بنانے کے آٹھ طریقے ہیں۔ یہ ترتیب جو آپ حاصل کر رہے ہیں وہ ایک ہے جہاں ہر اصطلاح پچھلے دو کا مجموعہ ہے۔ آپ بالکل وہی دوبارہ پیش کرتے ہیں جسے آج کل ہم فبونیکی ترتیب کہتے ہیں۔ لیکن یہ فبونیکی سے صدیوں پہلے کی بات تھی۔

ادب پر ​​ریاضی کے اثرات کے بارے میں کیا خیال ہے؟

ایک بہت آسان ترتیب، لیکن یہ بہت، بہت طاقتور طریقے سے کام کرتا ہے، ایلینور کیٹن کی کتاب ہے۔ برائیاں، جو 2013 میں سامنے آیا۔ اس نے اس ترتیب کا استعمال کیا جو 1,1/2, 1/4, 1/8, 1/16 جاتا ہے۔ اس کتاب کا ہر باب پہلے والے باب سے آدھا ہے۔ یہ واقعی یہ دلچسپ اثر پیدا کرتا ہے، کیونکہ رفتار بڑھ رہی ہے، اور کرداروں کے انتخاب زیادہ محدود ہو رہے ہیں۔ ہر چیز اپنے انجام کی طرف بڑھ رہی ہے۔ آخر تک، ابواب انتہائی مختصر ہیں۔

قدرے زیادہ پیچیدہ ریاضیاتی ڈھانچے کی ایک اور مثال وہ ہے جسے آرتھوگونل لاطینی مربع کہتے ہیں۔ ایک لاطینی مربع سوڈوکو گرڈ کی طرح ہے۔ اس صورت میں، یہ 10 بائی 10 گرڈ ہوگا۔ ہر نمبر ہر قطار اور ہر کالم میں بالکل ایک بار ظاہر ہوتا ہے۔ آرتھوگونل لاطینی چوکور دو لاطینی مربعوں کو چڑھا کر تشکیل پاتے ہیں لہذا ہر اسپیس میں اعداد کا ایک جوڑا ہوتا ہے۔ ہر جوڑے میں پہلے نمبر سے بننے والا گرڈ ایک لاطینی مربع ہے، اور اسی طرح ہر جوڑے میں دوسرے نمبر سے بننے والا گرڈ ہے۔ مزید برآں، جوڑوں کے گرڈ میں، کوئی جوڑا ایک سے زیادہ ظاہر نہیں ہوتا ہے۔

یہ تمام طریقوں سے بہت مفید ہیں۔ آپ ان میں سے غلطی کو درست کرنے والے کوڈ بنا سکتے ہیں، جو کہ شور مچانے والے چینلز کے ساتھ پیغامات بھیجنے کے لیے مفید ہیں۔ لیکن ان مخصوص چیزوں کے بارے میں ایک عظیم چیز، سائز 10، یہ ہے کہ اب تک کے سب سے بڑے ریاضی دانوں میں سے ایک، لیون ہارڈ اولر نے سوچا تھا کہ ان کا کوئی وجود نہیں ہے۔ یہ بہت کم وقتوں میں سے ایک تھا جب اس نے غلطی کی تھی۔ یہی وجہ ہے کہ یہ بہت دلچسپ تھا. ایک طویل عرصے کے بعد جب اس نے یہ قیاس کیا کہ یہ چیزیں مخصوص سائز کے لیے موجود نہیں ہو سکتیں، اس کی تردید کی گئی اور اس سائز کے مربع 1959 میں پائے گئے۔ احاطہ of سائنسی امریکی اس سال.

اس کے برسوں بعد، ایک فرانسیسی مصنف، جارجز پیریک، اپنی کتاب کے لیے استعمال کرنے کے لیے ایک ڈھانچہ تلاش کر رہا تھا۔ زندگی: ایک صارف کا دستی. اس نے ان آرتھوگونل لاطینی چوکوں میں سے ایک کا انتخاب کیا۔ اس نے اپنی کتاب پیرس کے ایک اپارٹمنٹ بلاک میں رکھی جس میں 100 کمرے تھے، 10 بائی 10 مربع۔ ہر باب ایک الگ کمرے میں تھا، اور ہر باب کا اپنا منفرد ذائقہ تھا۔ اس کے پاس 10 چیزوں کی فہرست تھی - مختلف کپڑے، رنگ، اس قسم کی چیزیں۔ ہر باب ایک منفرد مجموعہ استعمال کرے گا. کتاب کی تشکیل کا یہ واقعی ایک دلچسپ طریقہ ہے۔

آپ واضح طور پر اچھی تحریر کی قدر کرتے ہیں۔ آپ ریاضی کے تحقیقی مقالوں میں لکھنے کے معیار کے بارے میں کیا سوچتے ہیں؟

یہ بہت متغیر ہے! میں جانتا ہوں کہ ہم اختصار کو انعام دیتے ہیں، لیکن مجھے لگتا ہے کہ کبھی کبھی اسے بہت دور لے جایا جاتا ہے۔ بہت سارے کاغذات ہیں جن کی کوئی مفید مثال نہیں ہے۔

جس چیز کو ہم اصل میں انعام دیتے ہیں وہ ایک ذہین دلیل ہے، کیونکہ یہ ایک ہی وقت میں تمام معاملات کو اتنی چالاکی کے ساتھ احاطہ کرتا ہے، یہ بھی مختصر اور خوبصورت ہے۔ یہ آپ کے طویل استدلال کو اس کی ضرورت سے چھوٹی جگہ میں اسکواش کرنے کے مترادف نہیں ہے جس کو آپ نے اشارے کو مختصر کرنے کے لیے تخلیق کیا ہے، لیکن جس کو نہ صرف قاری بلکہ شاید آپ کو خود بھی محنت سے کھولنا پڑے گا۔ کیا ہو رہا ہے اس کا کوئی احساس دلانے کے لیے دوبارہ۔

ہم مددگار اشارے پر کافی غور نہیں کرتے ہیں جو قاری کو یاد دلاتا ہے کہ کیا مطلب ہے۔ صحیح اشارے بالکل ریاضی کے ایک ٹکڑے کو تبدیل کر سکتا ہے، اور عام کرنے کے لیے بھی جگہ بنا سکتا ہے۔ منتقلی کے بارے میں سوچیں، تاریخی طور پر، نامعلوم لکھنے سے، اس کے مربع اور اس کے مکعب کو تین مختلف حروف کے ساتھ، اور کتنا زیادہ امکان اور حتیٰ کہ ممکن ہے، یہ سوچنا شروع کرنا ہے کہ آپ نے کب لکھنا شروع کیا ہے، اور اس کے بجائے۔

کیا آپ ریاضی اور آرٹ کے درمیان روابط میں ارتقاء کو دیکھتے ہیں؟

ہر وقت نئی چیزیں ہوتی ہیں۔ فریکٹلز 1990 کی دہائی میں ہر جگہ تھے۔ ہر طالب علم کے چھاترالی کمرے کی دیوار پر مینڈل بروٹ سیٹ یا اس طرح کی کوئی تصویر تھی۔ ہر کوئی ایسا ہی تھا، "اوہ، یہ دلچسپ ہے، فریکٹلز۔" آپ کو، مثال کے طور پر، موسیقاروں، موسیقاروں کو ملتا ہے، جو اپنی کمپوزیشن میں فریکٹل سیکوینس استعمال کر رہے ہیں۔

جب میں 16 سال کا تھا تو گرافکس کیلکولیٹر کہلانے والی یہ نئی چیزیں تھیں۔ بہت ہی دلچسپ اور میری والدہ کے ایک دوست نے مجھے یہ پروگرام دیا جو ان چھوٹے گرافکس کیلکولیٹروں میں سے ایک پر مینڈیل بروٹ سیٹ بنا سکتا ہے۔ اس میں تقریباً، مجھے نہیں معلوم، 200 پکسلز تھے۔ آپ نے اس چیز کو پروگرام کیا، اور پھر مجھے اسے 12 گھنٹے کے لیے چھوڑنا پڑا۔ یہ اس کے آخر میں ان 200 پوائنٹس کو پلاٹ کرے گا۔ اس لیے یہاں تک کہ محض اسکول کے بچے بھی 80 کی دہائی کے آخر اور 90 کی دہائی کے اوائل میں اس کے ساتھ مشغول ہو سکتے ہیں اور اپنے لیے یہ تصویریں تیار کر سکتے ہیں۔

یہاں تک کہ جب آپ اسکول میں تھے، آپ کو پہلے سے ہی کٹر ریاضی میں بہت دلچسپی تھی، ایسا لگتا ہے۔

 مجھے لگتا ہے کہ میں اس وقت سے دلچسپی رکھتا ہوں جب سے میں جانتا تھا کہ میں ریاضی میں تھا۔ جیسے، میں ہمیشہ سے ہی پیٹرن بنا رہا تھا جب میں ایک چھوٹا، چھوٹا بچہ تھا۔

جب میں بہت چھوٹا تھا، میرا پسندیدہ کھلونا کچھ بہت ہی سادہ لکڑی کی پینٹ ٹائلیں تھیں۔ وہ تمام مختلف رنگوں میں آئے۔ میں ان کو نمونوں میں بناؤں گا، اور پھر میں اسے ایک دن تک فخر سے دیکھوں گا، اور پھر میں ایک اور بناؤں گا۔

جب میں تھوڑا بڑا ہو گیا، میں نمبروں کے ساتھ کھیلوں گا اور پیٹرن کو دیکھوں گا۔ ماں وہی ہوگی جس کے پاس میں جاؤں گا اور کہوں گا، "میں بور ہو گیا ہوں۔" اور پھر وہ کہے گی، "ٹھیک ہے، کیا آپ اندازہ لگا سکتے ہیں کہ آپ کو مثلث بنانے کے لیے جتنے پوائنٹس کی ضرورت ہے اس کا پیٹرن کیا ہے؟" یا جو کچھ بھی تھا. وہ مجھ سے مثلث نمبر یا کوئی چیز دوبارہ دریافت کرنے کے لیے کہے گی، اور میں بہت پرجوش ہوں گا۔

میری غریب ماں، حیرت انگیز ایجادات کی تعداد جس کے ساتھ میں اپنی ماں کے پاس جاؤں گا۔ "میں نے کچھ کرنے کا ایک بالکل نیا طریقہ تیار کیا ہے!" اور وہ کہے گی، "ٹھیک ہے، یہ بہت اچھا ہے۔ لیکن، آپ جانتے ہیں، ڈیکارٹس نے صدیوں پہلے اس کے بارے میں سوچا تھا۔ اور پھر میں چلا جاؤں گا؛ میں کچھ دنوں بعد ایک اور حیرت انگیز آئیڈیا لے کر آؤں گا۔ "یہ پیارا ہے، عزیز. لیکن قدیم یونانیوں کے پاس یہ تھا۔

کیا آپ کو اپنے ریاضی کے تحقیقی کیریئر سے کوئی خاص طور پر اطمینان بخش لمحات یاد ہیں؟

وہ لمحات جب آپ آخر کار سمجھتے ہیں کہ وہ کیا نمونہ ہے جو آپ دیکھ رہے ہیں ہمیشہ اطمینان بخش ہوتا ہے، اور ساتھ ہی جب آپ یہ کام کرتے ہیں کہ کسی ایسے ثبوت کو کیسے مکمل کیا جائے جس کے ساتھ آپ کشتی کر رہے ہیں۔ خوشی کے ان احساسات کی میری سب سے مضبوط یادیں، شاید اس لیے کہ وہ پہلی بار تھیں جب میں نے انھیں محسوس کیا تھا، میرے تحقیقی کیریئر کے آغاز سے ہی ہیں۔ لیکن یہ "آہ" حاصل کرنا اب بھی ایک خوبصورت احساس ہے جب آپ آخر کار سمجھتے ہیں کہ کیا ہو رہا ہے۔

بہت جلد میں لامحدود Coxeter گروپوں کے بارے میں کچھ ثابت کرنے کی کوشش کر رہا تھا۔ میں نے کچھ معاملات کو حل کیا تھا، اور باقی کو دیکھتے ہوئے میں ایک ایسی تکنیک لے کر آیا ہوں جو کسی مخصوص معیار پر پورا اترنے پر کام کرے گی۔ آپ ان رشتوں کو ایک گراف میں لکھ سکتے ہیں، اس لیے میں نے گرافوں کا ایک مجموعہ جمع کرنا شروع کر دیا جس کے لیے میری تکنیک کا اطلاق کیا جا سکتا ہے۔ یہ کرسمس کو ایک سال گزر چکا تھا۔

تھوڑی دیر کے بعد، میری تصویروں کا سیٹ گرافوں کے ایک مخصوص سیٹ کی طرح نظر آنے لگا جو میرے دفتر میں موجود Coxeter گروپس کے بارے میں ایک کتاب میں درج تھا، اور میں امید کرنے لگا کہ یہ گرافوں کا بالکل ٹھیک سیٹ ہے۔ اگر یہ تھا، تو یہ میرے ثبوت میں سوراخ کو بھر دے گا، اور میرا نظریہ ختم ہو جائے گا. لیکن میں اس وقت تک یقینی طور پر جانچ نہیں کر سکا جب تک کہ میں کرسمس کے بعد یونیورسٹی میں واپس نہیں آ گیا — یہ اس سے پہلے تھا کہ آپ ہر چیز کو گوگل کر سکتے تھے۔ میرے خیال میں میرے خیال کی تصدیق کے لیے انتظار کرنے کی توقع نے اسے اور بھی بہتر بنا دیا جب میں کتاب پر پہنچا اور اپنے ہاتھ سے لکھے ہوئے خاکوں کا کتاب میں موجود خاکوں سے موازنہ کیا، اور وہ واقعی ایک میچ تھے۔

آپ اس سوال کے بارے میں کیا سوچتے ہیں کہ آیا ریاضی تخلیق ہوئی یا دریافت ہوئی؟ تقریباً کوئی بھی اس بات پر بحث نہیں کرے گا کہ جن ناول نگاروں کے بارے میں آپ اپنی کتاب میں لکھتے ہیں ان میں سے کسی نے بھی اپنے ناولوں کو "دریافت" کیا ہے۔ کیا یہ ریاضی اور ادب میں بنیادی فرق ہے یا نہیں؟

یہ شاید ہے، اگرچہ اب بھی کچھ گونج موجود ہیں.

ریاضی کرنا دریافت کی طرح محسوس ہوتا ہے۔ اگر ہم ریاضی ایجاد کر رہے ہوتے تو یقیناً چیزوں کو ثابت کرنا اتنا مشکل نہیں ہوتا! بعض اوقات ہم شدت سے چاہتے ہیں کہ کچھ سچ ہو، اور ایسا نہیں ہے۔ مجھے لگتا ہے کہ ہم منطق کے نتائج سے بچ نہیں سکتے۔

جب آپ یہ کر رہے ہوتے ہیں تو یہ سب دریافت کی طرح محسوس ہوتا ہے۔ کچھ انتخاب اس چیز کی عکاسی کرتے ہیں جو ہم حقیقی دنیا میں تجربہ کرتے ہیں، جیسے جیومیٹری کے محور جن کے ساتھ ہم کام کرتے ہیں، جن کا انتخاب اس لیے کیا جاتا ہے کہ ایسا لگتا ہے کہ حقیقت کیسی ہے — حالانکہ وہاں بھی، "نقطہ" یا "ایک" جیسی کوئی چیز نہیں ہے۔ لائن" (کیونکہ ہم کوئی ایسی چیز نہیں کھینچ سکتے جو کوئی جگہ نہیں لیتی ہے، اور جیومیٹری میں ایک لکیر کی کوئی چوڑائی نہیں ہے اور وہ لامحدود دور تک پھیلی ہوئی ہے)۔

کسی حد تک، ادب میں اس تسلسل کے متوازی ہیں۔ ایک بار جب آپ سانٹ کے اصولوں کی وضاحت کر لیتے ہیں، تو آپ کو ایسا لکھنے کے لیے سخت دباؤ ڈالا جائے گا جس کی پہلی سطر "نارنج" یا "چمنی" پر ختم ہوتی ہے۔

لیکن میں J.R.R. کچھ شئیر کرنے کی مخالفت نہیں کر سکتا۔ ٹولکین نے لکھنے کے بارے میں کہا Hobbit: "یہ سب اس وقت شروع ہوا جب میں تھوڑا سا اضافی پیسہ کمانے کے لیے امتحانی پرچے پڑھ رہا تھا۔ … ٹھیک ہے، ایک دن میں امتحان کی کتاب کے ایک خالی صفحے پر آیا اور میں نے اس پر لکھا۔ 'زمین کے ایک سوراخ میں ایک ہوبٹ رہتا تھا۔' میں اس مخلوق کے بارے میں اس سے زیادہ کچھ نہیں جانتا تھا، اور اس کی کہانی کو بڑھنے سے کئی سال گزر چکے تھے۔ میں نہیں جانتا کہ یہ لفظ کہاں سے آیا ہے۔"

Hobbits - کیا اس نے انہیں بنایا یا دریافت کیا؟