تعارف
ناٹ تھیوری کا آغاز کائنات کے بنیادی میک اپ کو سمجھنے کی کوشش کے طور پر ہوا۔ 1867 میں، جب سائنس دان بے تابی سے یہ جاننے کی کوشش کر رہے تھے کہ ممکنہ طور پر تمام مختلف قسم کے مادے کا کیا حساب ہو سکتا ہے، سکاٹ لینڈ کے ریاضی دان اور ماہر طبیعیات پیٹر گوتھری ٹیٹ نے اپنے دوست اور ہم وطن سر ولیم تھامسن کو دھوئیں کے حلقے بنانے کے لیے اپنا آلہ دکھایا۔ تھامسن - بعد میں لارڈ کیلون بن گیا (درجہ حرارت کے پیمانے کا نام) - انگوٹھیوں کی مضحکہ خیز شکلوں، ان کے استحکام اور ان کے تعامل سے متاثر ہوا۔ اس کے الہام نے اسے ایک حیرت انگیز سمت میں لے جایا: شاید، اس نے سوچا، جس طرح دھوئیں کے حلقے ہوا میں بھنور ہوتے ہیں، اسی طرح ایٹم برائٹ ایتھر میں بنور کے حلقے بنتے ہیں، ایک غیر مرئی ذریعہ جس کے ذریعے، طبیعیات دانوں کا خیال تھا، روشنی پھیلتی ہے۔
اگرچہ وکٹورین دور کا یہ خیال اب مضحکہ خیز لگ سکتا ہے، لیکن یہ کوئی فضول تفتیش نہیں تھی۔ اس بھنور کے نظریہ میں اس کی سفارش کرنے کے لیے بہت کچھ تھا: گرہوں کا سراسر تنوع، ہر ایک قدرے مختلف، بہت سے کیمیائی عناصر کی مختلف خصوصیات کی عکاسی کرتا ہے۔ بھنور کے حلقوں کا استحکام ایٹموں کو مطلوبہ استحکام بھی فراہم کر سکتا ہے۔
وورٹیکس تھیوری نے سائنسی کمیونٹی میں کرشن حاصل کیا اور ٹیٹ کو تمام گرہوں کی ٹیبلٹنگ شروع کرنے کی ترغیب دی، جس کی اسے امید تھی کہ وہ عناصر کی میز کے برابر ہوگا۔ یقینا، ایٹم گرہیں نہیں ہیں، اور کوئی آسمان نہیں ہے۔ 1880 کی دہائی کے آخر تک تھامسن بتدریج اپنے بھنور کے نظریے کو ترک کر رہا تھا، لیکن تب تک ٹیٹ اپنی گرہوں کی ریاضیاتی خوبصورتی سے متاثر ہو گیا تھا، اور اس نے اپنے ٹیبلیشن کے منصوبے کو جاری رکھا۔ اس عمل میں، اس نے ناٹ تھیوری کا ریاضیاتی میدان قائم کیا۔
ہم سب گرہوں سے واقف ہیں - وہ ہمارے پیروں میں جوتے رکھتے ہیں، کشتیوں کو گودیوں تک محفوظ رکھتے ہیں، اور پہاڑی کوہ پیماؤں کو نیچے کی چٹانوں سے دور رکھتے ہیں۔ لیکن وہ گرہیں بالکل وہی نہیں ہیں جنہیں ریاضی دان (بشمول ٹائٹ) گرہ کہتے ہیں۔ اگرچہ ایک الجھی ہوئی ایکسٹینشن کی ہڈی میں گانٹھ دکھائی دے سکتی ہے، لیکن اسے الگ کرنا ہمیشہ ممکن ہے۔ ریاضی کی گرہ حاصل کرنے کے لیے، آپ کو بند لوپ بنانے کے لیے ہڈی کے آزاد سروں کو جوڑنا چاہیے۔
چونکہ گرہ کے تار تار کی طرح لچکدار ہوتے ہیں، اس لیے ریاضی دان گرہ کے نظریہ کو ایک ذیلی فیلڈ کے طور پر دیکھتے ہیں۔ ٹاپولوجی، خراب شکلوں کا مطالعہ۔ بعض اوقات کسی گرہ کو کھولنا ممکن ہوتا ہے تو یہ ایک سادہ دائرہ بن جاتا ہے، جسے ہم "unnot" کہتے ہیں۔ لیکن زیادہ کثرت سے، ایک گرہ کھولنا ناممکن ہے.
گرہیں مل کر نئی گرہیں بھی بن سکتی ہیں۔ مثال کے طور پر، ایک سادہ گرہ جسے ٹریفوائل کہا جاتا ہے اس کے عکس کے ساتھ ملانے سے ایک مربع گرہ بنتی ہے۔ (اور اگر آپ دو ایک جیسی ٹریفوئل ناٹ کو جوڑتے ہیں تو آپ نانی گرہ بناتے ہیں۔)
اعداد کی دنیا سے اصطلاحات کا استعمال کرتے ہوئے، ریاضی دانوں کا کہنا ہے کہ ٹریفوائل ایک بنیادی گرہ ہے، مربع گرہ جامع ہے اور، نمبر 1 کی طرح، ناٹ کوئی بھی نہیں ہے۔ اس تشبیہ کی مزید تائید 1949 میں ہوئی جب ہورسٹ شوبرٹ نے ثابت کیا کہ ہر گرہ یا تو پرائم ہے یا اسے منفرد طور پر پرائم ناٹس میں گلایا جا سکتا ہے۔
نئی گرہیں بنانے کا ایک اور طریقہ یہ ہے کہ دو یا دو سے زیادہ گرہوں کو آپس میں جوڑ کر ایک لنک بنائیں۔ بورومین کی انگوٹھیوں کا نام اس لیے رکھا گیا ہے کہ وہ اطالوی ہاؤس آف بورومیو کے لیے کوٹ آف آرمز پر ظاہر ہوتے ہیں، ایک سادہ سی مثال ہے۔
تھامسن اور ٹیٹ وہ پہلے نہیں تھے جنہوں نے گرہوں کو ریاضی کے انداز میں دیکھا۔ 1794 کے اوائل میں، کارل فریڈرک گاس نے اپنی ذاتی نوٹ بک میں گرہوں کے بارے میں لکھا اور مثالیں کھینچیں۔ اور گاس کے طالب علم جوہن لسٹنگ نے اپنے 1847 کے مونوگراف میں گرہوں کے بارے میں لکھا Vorstudien Zur Topologie ("ٹپوولوجی کا ابتدائی مطالعہ") - جو ٹوپولوجی کی اصطلاح کی اصل بھی ہے۔
لیکن ٹیٹ پہلا اسکالر تھا جس نے اس بات پر کام کیا کہ ناٹ تھیوری میں بنیادی مسئلہ کیا بن گیا: تمام ممکنہ گرہوں کی درجہ بندی اور ٹیبلیشن۔ صرف اپنے ہندسی وجدان کا استعمال کرتے ہوئے برسوں کی محنت کے بعد، اس نے تمام بنیادی گرہیں تلاش کیں اور ان کی درجہ بندی کی، جو ہوائی جہاز پر پیش کیے جانے پر، زیادہ سے زیادہ سات کراسنگ ہوتے ہیں۔
19ویں صدی کے آخر میں، ٹیٹ کو معلوم ہوا کہ دو اور لوگ - ریورنڈ تھامس کرک مین اور امریکی ریاضی دان چارلس لٹل - بھی اس مسئلے کا مطالعہ کر رہے تھے۔ اپنی مشترکہ کوششوں سے، انہوں نے تمام پرائم ناٹس کو 10 کراسنگ تک اور ان میں سے بہت سے 11 کراسنگ کے ساتھ درجہ بندی کی۔ حیرت انگیز طور پر، ان کی میزیں 10 تک مکمل تھیں: انہوں نے کوئی گرہ نہیں چھوڑی۔
یہ قابل ذکر ہے کہ ٹائٹ، کرک مین اور لٹل نے بغیر نظریات اور تکنیکوں کے بہت کچھ حاصل کیا جو آنے والے سالوں میں دریافت کیا جائے گا۔ لیکن ایک چیز جس نے ان کے حق میں کام کیا وہ حقیقت یہ تھی کہ زیادہ تر چھوٹی گرہیں "باری باری" ہوتی ہیں، یعنی ان کا ایک پروجیکشن ہوتا ہے جس میں کراسنگز ایک مستقل اوور-انڈر-اوور-انڈر پیٹرن کی نمائش کرتی ہیں۔
متبادل گرہوں میں ایسی خصوصیات ہوتی ہیں جو انہیں غیر متبادل گرہوں کے مقابلے میں درجہ بندی کرنا آسان بناتی ہیں۔ مثال کے طور پر، گرہ کے کسی بھی پروجیکشن کے لیے کراسنگ کی کم از کم تعداد تلاش کرنا مشکل ہے۔ لیکن ٹائٹ، جس نے کئی سالوں سے غلطی سے تمام گرہیں بدل رہی ہیں، یہ بتانے کا ایک طریقہ قیاس کیا کہ آیا آپ کو وہ کم از کم تعداد مل گئی ہے: اگر ایک متبادل پروجیکشن میں کوئی کراسنگ نہیں ہے جسے گرہ کے کچھ حصے پر پلٹ کر ہٹایا جا سکتا ہے، تو یہ ہونا چاہیے۔ کراسنگ کی کم از کم تعداد کے ساتھ پروجیکشن۔
متبادل گرہوں کے بارے میں یہ اور ٹیٹ کے مزید دو قیاس درست ثابت ہوئے۔ اس کے باوجود یہ مشہور قیاس آرائیاں 1980 کی دہائی کے آخر اور 90 کی دہائی کے اوائل تک وان جونز کے ذریعہ تیار کردہ ایک ریاضی کے آلے کا استعمال کرتے ہوئے ثابت نہیں ہوئیں، جس نے ناٹ تھیوری میں اپنے کام کے لیے فیلڈز میڈل جیتا تھا۔
بدقسمتی سے، متبادل گرہیں آپ کو اب تک لے جاتی ہیں۔ ایک بار جب ہم آٹھ یا اس سے زیادہ کراسنگ کے ساتھ گرہوں میں داخل ہو جاتے ہیں، غیر متبادل گرہوں کی تعداد تیزی سے بڑھتی ہے، جس سے ٹیٹ کی تکنیک کم کارآمد ہو جاتی ہے۔
تمام 10 کراسنگ ناٹس کا اصل ٹیبل مکمل تھا، لیکن ٹیٹ، کرک مین اور لٹل ڈبل گنتی۔ یہ 1970 کی دہائی تک نہیں تھا کہ کینتھ پرکو، ایک وکیل جس نے پرنسٹن میں ناٹ تھیوری کا مطالعہ کیا تھا، نے دیکھا کہ دو گرہیں ایک دوسرے کی آئینہ دار تصاویر ہیں۔ وہ اب ان کے اعزاز میں پرکو جوڑی کے نام سے جانے جاتے ہیں۔
پچھلی صدی کے دوران، ریاضی دانوں نے یہ تعین کرنے کے بہت سے ہوشیار طریقے تلاش کیے ہیں کہ آیا گرہیں واقعی مختلف ہیں۔ بنیادی طور پر، خیال ہے ایک متغیر کی شناخت کریں - ایک خاصیت، مقدار یا الجبری ہستی جو گرہ سے وابستہ ہے اور اکثر اس کا حساب آسانی سے کیا جا سکتا ہے۔ (ان خصوصیات کے نام ہیں جیسے رنگین قابلیت، برج نمبر یا رائٹ۔) ان لیبلز سے لیس، ریاضی دان اب آسانی سے دو گرہوں کا موازنہ کر سکتے ہیں: اگر وہ کسی بھی خاصیت میں مختلف ہیں، تو وہ ایک ہی گرہ نہیں ہیں۔ تاہم ان خصوصیات میں سے کوئی بھی وہ نہیں ہے جسے ریاضی دان مکمل انویرینٹ کہتے ہیں، یعنی دو مختلف گرہوں میں ایک ہی خاصیت ہو سکتی ہے۔
اس تمام پیچیدگی کی وجہ سے، یہ کوئی تعجب کی بات نہیں ہے کہ گرہوں کی ٹیبلیشن ابھی بھی جاری ہے۔ حال ہی میں، 2020 میں، بینجمن برٹن تمام بنیادی گرہوں کی درجہ بندی کی۔ 19 کراسنگ تک (جن میں سے تقریباً 300 ملین ہیں)۔
روایتی گرہ کا نظریہ صرف تین جہتوں میں معنی رکھتا ہے: دو جہتوں میں صرف ان گرہ ممکن ہے، اور چار جہتوں میں اضافی کمرہ گرہوں کو اپنے آپ کو کھولنے کی اجازت دیتا ہے، اس لیے ہر گرہ ان ناٹ جیسی ہی ہے۔
تاہم، چار جہتی خلا میں ہم کرہوں کو گرہ لگا سکتے ہیں۔ اس کا کیا مطلب ہے اس کا احساس حاصل کرنے کے لیے، معمول کے وقفوں پر ایک عام دائرے کو کاٹنا تصور کریں۔ ایسا کرنے سے دائرے نکلتے ہیں، جیسے عرض البلد کی لکیریں۔ تاہم، اگر ہمارے پاس ایک اضافی جہت ہوتی، تو ہم کرہ کو گرہ لگا سکتے تھے تاکہ سلائسیں، جو اب دو کے بجائے تین جہتی ہیں، گرہیں بن سکتی ہیں۔
یہ خیال ناٹ تھیوری کے سب سے بڑے حالیہ نتائج میں سے ایک کے پیچھے تھا۔ 2018 میں، اس وقت کی گریجویٹ طالبہ لیزا پِکیریلو 50 سال پرانا سوال طے کیا۔ ایک 11 کراسنگ گرہ کے بارے میں پہلی بار جان کونوے نے دریافت کیا۔ سوال کا تعلق سلائسنس نامی پراپرٹی سے تھا۔ جیسا کہ ہم نے دیکھا ہے، جب ہم ایک گرہ دار دائرے کو چار جہتوں میں کاٹتے ہیں، تو ہم تین جہتوں میں ایک گرہ یا ربط حاصل کرتے ہیں۔ بعض اوقات ہم ایک دی گئی گرہ کو ایک اچھی طرح سے بنی ہوئی گولہ سے حاصل کر سکتے ہیں، لیکن دیگر گرہوں کے لیے اس دائرے کو گرہ لگا کر کچرے کے کاغذ کے ٹکڑے کی طرح سکڑنا پڑتا ہے۔ Piccirillo نے ثابت کیا، جوہر میں، کہ کونوے کی گرہ بعد کی قسم کی تھی۔ تکنیکی زبان میں، اس نے ثابت کیا کہ یہ "آسانی سے ٹکڑا" نہیں ہے۔
ناٹ تھیوری نے صدیوں کے دوران ریاضیاتی منظر نامے کو عبور کیا ہے۔ اس کا آغاز ریاضی کے ایک اطلاقی علاقے کے طور پر ہوا، تھامسن نے مادے کے میک اپ کو سمجھنے کے لیے گرہیں استعمال کرنے کی کوشش کی۔ جیسے جیسے یہ خیال ختم ہوتا گیا، یہ خالص ریاضی کا ایک شعبہ بن گیا، جو ٹوپولوجی کے دلچسپ اور اب بھی غیر عملی ڈومین کی ایک شاخ ہے۔ لیکن حالیہ برسوں میں ناٹ تھیوری ایک بار پھر ریاضی کا ایک اطلاقی شعبہ بن گیا ہے، کیونکہ سائنس دان تحقیق کے لیے ناٹ تھیوری سے آئیڈیاز استعمال کرتے ہیں۔ سیال حرکیات, برقی حرکیات, گرہ دار مالیکیول جیسے ڈی این اے اور اسی طرح. خوش قسمتی سے، جب سائنس دان دوسری چیزوں کا مطالعہ کرنے میں مصروف تھے، ریاضی دان گرہوں کے کیٹلاگ اور ان کے رازوں کو کھولنے کے لیے اوزار بنا رہے تھے۔
