Một thế kỷ sau, toán học mới làm phẳng thuyết tương đối rộng | Tạp chí Quanta

Lý thuyết tương đối rộng của Albert Einstein đã cực kỳ thành công trong việc mô tả cách hoạt động của lực hấp dẫn và cách nó định hình cấu trúc quy mô lớn của vũ trụ. Nó được tóm tắt trong một câu nói của nhà vật lý John Wheeler: “Không-thời gian cho biết vật chất chuyển động như thế nào; vật chất cho không-thời gian biết đường cong như thế nào.” Tuy nhiên, toán học của thuyết tương đối rộng cũng hết sức phản trực giác.

Bởi vì các phương trình cơ bản của nó rất phức tạp nên ngay cả những phát biểu nghe có vẻ đơn giản nhất cũng khó chứng minh được. Ví dụ, phải đến khoảng năm 1980, các nhà toán học mới chứng minh được, như một phần của định lý chính trong thuyết tương đối rộng, rằng một hệ vật lý hay không gian biệt lập, không có bất kỳ khối lượng nào trong đó phải phẳng.

Điều này vẫn chưa giải quyết được câu hỏi không gian trông như thế nào nếu nó gần như chân không, chỉ có một khối lượng rất nhỏ. Có nhất thiết phải gần như bằng phẳng không?

Mặc dù có vẻ hiển nhiên là khối lượng nhỏ hơn sẽ dẫn đến độ cong nhỏ hơn, nhưng mọi thứ lại không quá rõ ràng và khô khan khi xét đến thuyết tương đối rộng. Theo lý thuyết, sự tập trung dày đặc của vật chất có thể “bẻ cong” một phần không gian, khiến nó có độ cong cao. Trong một số trường hợp, độ cong này có thể cực kỳ lớn, có thể dẫn đến sự hình thành các lỗ đen. Điều này có thể xảy ra ngay cả trong một không gian có lượng vật chất nhỏ nếu nó tập trung đủ mạnh.

Trong 1 gần đây giấy, Công Hàn Đông, một sinh viên tốt nghiệp tại Đại học Stony Brook, và Bài hát của Antoine, một giáo sư trợ lý tại Viện Công nghệ California, đã chứng minh rằng một chuỗi không gian cong với khối lượng ngày càng nhỏ hơn cuối cùng sẽ hội tụ thành một không gian phẳng có độ cong bằng không.

Kết quả này là một tiến bộ đáng chú ý trong việc khám phá toán học về thuyết tương đối rộng – một mục tiêu tiếp tục mang lại lợi ích hơn một thế kỷ sau khi Einstein nghĩ ra lý thuyết của mình. Đan Lee, một nhà toán học tại Đại học Queens, người nghiên cứu toán học của thuyết tương đối rộng nhưng không tham gia vào nghiên cứu này, cho biết bằng chứng của Dong và Song phản ánh sự hiểu biết sâu sắc về cách độ cong và khối lượng tương tác với nhau.

Những gì họ đã chứng minh

Chứng minh của Dong và Song liên quan đến không gian ba chiều, nhưng trước tiên hãy xem xét ví dụ hai chiều để minh họa. Hãy tưởng tượng một không gian phẳng không có khối lượng như một tờ giấy nhẵn, bình thường. Trong trường hợp này, một không gian có khối lượng nhỏ có thể trông giống nhau khi nhìn từ xa - nghĩa là hầu hết đều bằng phẳng. Tuy nhiên, kiểm tra kỹ hơn có thể phát hiện ra một số gai nhọn hoặc bong bóng xuất hiện đây đó – hậu quả của sự tập trung của vật chất. Những phần nhô ra ngẫu nhiên này sẽ làm cho tờ giấy giống như một bãi cỏ được chăm sóc cẩn thận với những cây nấm hoặc thân cây thỉnh thoảng nhô ra khỏi bề mặt.

Dong và Song đã chứng minh một phỏng đoán được các nhà toán học đưa ra vào năm 2001 Gerhard Huisken và Tom Ilmanen. Giả thuyết phát biểu rằng khi khối lượng của một không gian tiến tới XNUMX thì độ cong của nó cũng phải như vậy. Tuy nhiên, Huisken và Ilmanen nhận ra rằng kịch bản này rất phức tạp do sự hiện diện của các bong bóng và gai nhọn (khác biệt về mặt toán học với nhau). Họ đưa ra giả thuyết rằng các bong bóng và gai có thể được cắt bỏ theo cách sao cho diện tích ranh giới để lại trên bề mặt không gian sau mỗi lần cắt bỏ là nhỏ. Họ gợi ý, nhưng không thể chứng minh, rằng không gian còn lại sau khi những phần phụ rắc rối này bị loại bỏ sẽ gần như bằng phẳng. Họ cũng không chắc chắn nên thực hiện việc cắt giảm như thế nào.

Lee nói: “Những câu hỏi này rất khó và tôi không mong đợi sẽ thấy được lời giải cho giả thuyết Huisken-Ilmanen”.

Trọng tâm của phỏng đoán là phép đo độ cong. Không gian có thể uốn cong theo nhiều cách khác nhau, lượng khác nhau và hướng khác nhau - giống như một chiếc yên ngựa (theo hai chiều) cong lên về phía trước và phía sau nhưng lại cong xuống sang trái và phải. Dong và Song bỏ qua những chi tiết đó. Họ sử dụng một khái niệm gọi là độ cong vô hướng, biểu diễn độ cong dưới dạng một số duy nhất tóm tắt toàn bộ độ cong theo mọi hướng.

Tác phẩm mới của Dong và Song, cho biết Daniel Stern của Đại học Cornell, là “một trong những kết quả mạnh mẽ nhất mà chúng tôi có được cho đến nay cho chúng ta thấy độ cong vô hướng điều khiển [hình] hình học” của toàn bộ không gian như thế nào. Bài báo của họ minh họa rằng “nếu chúng ta có độ cong vô hướng không âm và khối lượng nhỏ, thì chúng ta hiểu rất rõ cấu trúc của không gian”.

Các Proof

Giả thuyết Huisken-Ilmanen liên quan đến hình học của không gian với khối lượng giảm dần. Nó quy định một phương pháp cụ thể để nói khoảng cách giữa một không gian có khối lượng nhỏ với không gian phẳng là bao nhiêu. Thước đo đó được gọi là khoảng cách Gromov-Hausdorff, được đặt theo tên của các nhà toán học Michael Gromov và Felix Hausdorff. Tính khoảng cách Gromov-Hausdorff là một quá trình gồm hai bước.

Bước đầu tiên là tìm khoảng cách Hausdorff. Giả sử bạn có hai đường tròn, A và B. Bắt đầu với bất kỳ điểm nào trên A và tính xem nó cách điểm gần nhất trên B bao xa.

Lặp lại điều này cho mọi điểm trên A. Khoảng cách lớn nhất bạn tìm được là khoảng cách Hausdorff giữa các đường tròn.

Khi bạn có khoảng cách Hausdorff, bạn có thể tính khoảng cách Gromov-Hausdorff. Để làm điều đó, hãy đặt các vật thể của bạn vào một không gian rộng hơn để giảm thiểu khoảng cách Hausdorff giữa chúng. Trong trường hợp hai đường tròn giống hệt nhau, vì bạn có thể đặt chúng chồng lên nhau theo đúng nghĩa đen, nên khoảng cách Gromov-Hausdorff giữa chúng bằng không. Những vật thể giống hệt nhau về mặt hình học như thế này được gọi là “đẳng cự”.

Tất nhiên, việc đo khoảng cách khó khăn hơn khi các vật thể hoặc không gian được so sánh giống nhau nhưng không giống nhau. Khoảng cách Gromov-Hausdorff cung cấp thước đo chính xác về sự tương đồng (hoặc khác biệt) giữa hình dạng của hai vật thể ban đầu nằm ở các không gian khác nhau. “Khoảng cách Gromov-Hausdorff là một trong những cách tốt nhất mà chúng ta có để nói rằng hai không gian gần như đẳng cự, và nó đưa ra một con số cho cái 'gần như' đó," Stern nói.

Trước khi Dong và Song có thể đưa ra sự so sánh giữa một không gian có khối lượng nhỏ và một không gian hoàn toàn bằng phẳng, họ phải loại bỏ những phần nhô ra khó chịu – những gai hẹp nơi vật chất bị nén chặt và thậm chí cả những bong bóng dày đặc hơn có thể chứa những lỗ đen nhỏ. “Chúng tôi cắt chúng sao cho diện tích ranh giới [nơi lát cắt được tạo ra] nhỏ,” Song nói, “và chúng tôi đã chứng minh rằng diện tích sẽ nhỏ hơn khi khối lượng giảm xuống”.

Mặc dù chiến thuật đó nghe có vẻ giống như một trò gian lận, nhưng Stern cho biết có thể chấp nhận được khi chứng minh giả thuyết thực hiện một loại tiền xử lý bằng cách cắt bỏ các bong bóng và các gai có diện tích co lại về XNUMX khi khối lượng giảm.

Ông gợi ý, để đại diện cho một không gian có khối lượng nhỏ, chúng ta có thể tưởng tượng một tờ giấy nhàu nát, sau khi được vuốt phẳng lại, vẫn có những nếp gấp và nếp gấp sắc nét. Bạn có thể sử dụng dụng cụ bấm lỗ để loại bỏ những điểm bất thường nổi bật nhất, để lại một mảnh giấy hơi không bằng phẳng có một số lỗ trên đó. Khi kích thước của những lỗ đó co lại, địa hình của tờ giấy cũng không bằng phẳng. Ở giới hạn, bạn có thể nói, các lỗ sẽ co lại về XNUMX, các gò và đường gờ sẽ biến mất, và bạn sẽ chỉ còn lại một mảnh giấy nhẵn mịn - một vật thay thế thực sự cho không gian phẳng.

Đó là điều mà Dong và Song tìm cách chứng minh. Bước tiếp theo là xem làm thế nào những không gian trần trụi này - đã loại bỏ những đặc điểm thô ráp của chúng - xếp chồng lên nhau theo tiêu chuẩn phẳng hoàn toàn. Chiến lược mà họ theo đuổi đã sử dụng một loại bản đồ đặc biệt, đó là cách so sánh hai không gian bằng cách liên kết các điểm trong không gian này với các điểm ở không gian khác. Bản đồ họ sử dụng được phát triển theo hướng giấy được viết bởi Stern và ba đồng nghiệp - Hubert Bray, Demet Kazaras và Marcus Khuri. Quy trình này có thể cho biết chính xác mức độ gần nhau của hai khoảng trắng.

Để đơn giản hóa nhiệm vụ của mình, Dong và Song đã áp dụng một thủ thuật toán học khác từ Stern và các đồng tác giả của ông, cho thấy rằng không gian ba chiều có thể được chia thành vô số lát cắt hai chiều được gọi là tập mức, giống như một quả trứng luộc chín có thể làm được. được cắt thành các tấm hẹp bằng dây căng của máy thái trứng.

Các tập mức kế thừa độ cong của không gian ba chiều mà chúng bao gồm. Bằng cách tập trung sự chú ý của họ vào các tập mức thay vì vào không gian ba chiều lớn hơn, Dong và Song đã có thể giảm số chiều của bài toán từ ba xuống còn hai. Điều đó rất có lợi, Song nói, bởi vì “chúng tôi biết rất nhiều về các vật thể hai chiều… và chúng tôi có rất nhiều công cụ để nghiên cứu chúng”.

Song cho biết, nếu họ có thể chứng minh thành công rằng mỗi cấp độ được đặt là “loại phẳng”, thì điều này sẽ cho phép họ đạt được mục tiêu tổng thể là chứng minh rằng một không gian ba chiều với khối lượng nhỏ là gần phẳng. May mắn thay, chiến lược này đã thành công.

Bước tiếp theo

Nhìn về phía trước, Song cho biết một trong những thách thức tiếp theo của lĩnh vực này là làm cho bằng chứng rõ ràng hơn bằng cách đưa ra một quy trình chính xác để loại bỏ các bong bóng và gai và mô tả tốt hơn các khu vực đã bị cắt bỏ. Nhưng hiện tại, ông thừa nhận, “chúng tôi không có chiến lược rõ ràng để đạt được điều đó”.

 Song cho biết, một con đường đầy hứa hẹn khác là khám phá một suy đoán riêng biệt được xây dựng vào năm 2011 bởi Lee và Christina Sormani, một nhà toán học tại Đại học Thành phố New York. Giả thuyết Lee-Sormani đặt ra một câu hỏi tương tự như câu hỏi do Huisken và Ilmanen đặt ra, nhưng nó dựa vào một cách khác để đo lường sự khác biệt giữa các hình dạng. Thay vì xem xét khoảng cách tối đa giữa hai hình dạng, như khoảng cách Gromov-Hausdorff, phương pháp Lee-Sormani hỏi về khối lượng của không gian giữa họ. Khối lượng đó càng nhỏ thì chúng càng gần nhau.

Trong khi đó, Song hy vọng có thể xem xét những câu hỏi cơ bản về độ cong vô hướng không được thúc đẩy bởi vật lý. “Trong thuyết tương đối rộng,” ông nói, “chúng ta xử lý những không gian rất đặc biệt gần như phẳng ở vô cực, nhưng trong hình học, chúng ta quan tâm đến mọi loại không gian.”

“Người ta hy vọng rằng những kỹ thuật này có thể có giá trị trong những bối cảnh khác” không liên quan đến thuyết tương đối rộng, Stern nói. “Có rất nhiều vấn đề liên quan,” ông nói, đang chờ được khám phá.

Quanta đang tiến hành một loạt cuộc khảo sát để phục vụ khán giả của chúng tôi tốt hơn. Lấy của chúng tôi khảo sát độc giả môn toán và bạn sẽ được tham gia để giành chiến thắng miễn phí Quanta buôn