Chế độ xem cận cảnh cho thấy điểm 'nóng chảy' của đồ thị vô hạn | Tạp chí Quanta

Năm 2008, nhà toán học Oded Schramm qua đời trong một vụ tai nạn khi đi bộ đường dài ở vùng núi Cascade cách Seattle khoảng 50 dặm về phía đông. Dù mới 46 tuổi nhưng ông đã xây dựng được những lĩnh vực toán học hoàn toàn mới.

“Ông ấy là một nhà toán học tuyệt vời,” nói Itai Benjamini, một nhà toán học tại Viện Khoa học Weizmann và là bạn và cộng tác viên của Schramm. “Cực kỳ sáng tạo, cực kỳ thanh lịch, cực kỳ độc đáo.”

Những câu hỏi ông đặt ra vẫn đang vượt xa ranh giới của lý thuyết xác suất và vật lý thống kê. Nhiều câu hỏi trong số này liên quan đến các cấu trúc toán học có sự chuyển pha - một sự thay đổi vĩ mô đột ngột, giống như băng tan thành nước. Giống như các vật liệu khác nhau có điểm nóng chảy khác nhau, sự chuyển pha của các cấu trúc toán học cũng khác nhau.

Schramm phỏng đoán rằng sự chuyển pha trong một quá trình gọi là sự thẩm thấu có thể được ước tính bằng cách chỉ sử dụng một cái nhìn cận cảnh về hệ thống – được gọi là phối cảnh cục bộ – đối với nhiều cấu trúc toán học quan trọng. Việc phóng to hết cỡ và nhìn vào toàn bộ nội dung sẽ không làm thay đổi đáng kể phép tính. Trong 15 năm qua, các nhà toán học đã sứt mẻ đi từng phần nhỏ của giả thuyết nhưng cho đến nay họ vẫn chưa thể giải quyết được hoàn toàn.

Trong một bản in sẵn được đăng vào tháng XNUMX, Tom Hutchcroft của Viện Công nghệ California và nghiên cứu sinh tiến sĩ của ông Philip Easo đã chứng minh được giả thuyết địa phương của Schramm. Bằng chứng của họ dựa trên những ý tưởng chính từ lý thuyết xác suất và các lĩnh vực toán học khác mà họ đã kết hợp một cách thông minh.

“Đó là một bài báo đáng chú ý. Đó là sự tích lũy của quá trình làm việc lâu dài,” Benjamini nói.

Cụm vô hạn

Từ “thẩm thấu” ban đầu dùng để chỉ sự chuyển động của chất lỏng qua môi trường xốp, chẳng hạn như nước chảy qua bã cà phê hoặc dầu thấm qua các vết nứt trên đá.

Năm 1957, các nhà toán học Simon Ralph Broadbent và John Michael Hammersley đã phát triển một mô hình toán học của quá trình vật lý này. Trong nhiều thập kỷ kể từ đó, mô hình này đã trở thành đối tượng nghiên cứu theo đúng nghĩa của nó. Các nhà toán học nghiên cứu sự thẩm thấu vì nó đạt được một sự cân bằng quan trọng: Việc thiết lập rất đơn giản nhưng nó thể hiện những đặc điểm phức tạp và khó hiểu.

“Nó giống như một mô hình kinh điển dành cho các nhà toán học,” Hutchcroft nói. “Bạn có thể nghĩ về mọi thứ một cách trực quan. Điều đó khiến tôi thực sự thích thú khi được làm việc cùng.”

Quá trình phân chia bắt đầu bằng một biểu đồ, là tập hợp các đỉnh (điểm) có thể được kết nối bằng các cạnh (đường). Một trong những ví dụ đơn giản nhất là lưới hình vuông, với các đỉnh được xếp thành hàng để tạo thành các góc của hình vuông và các cạnh nối một số trong số chúng.

Không lâu trước khi qua đời, Schramm đã phỏng đoán rằng định lý Grimmett và Marstrand có thể được khái quát hóa. Ông cho rằng ngưỡng thẩm thấu được xác định hoàn toàn bằng góc nhìn cận cảnh hay “vi mô” đối với một lớp lớn đồ thị được gọi là đồ thị bắc cầu.

Năm 2009, Benjamini, Asaf Nachmias và Yuval Peres chứng minh Phỏng đoán địa phương của Schramm, như ngày nay người ta đã biết, đối với một loại đồ thị bắc cầu cụ thể giống như một cái cây. Tuy nhiên, Schramm đã công nhận rằng nó đúng với mọi đồ thị bắc cầu (ngoại trừ đồ thị một chiều).

Trong đồ thị bắc cầu, tất cả các đỉnh trông giống nhau. Lưới hai chiều là một ví dụ. Nếu bạn chọn bất kỳ hai đỉnh nào, bạn luôn có thể tìm thấy một đối xứng di chuyển đỉnh này sang đỉnh kia.

Mối quan hệ này đúng cho bất kỳ đồ thị bắc cầu nào. Do những sự đối xứng này, nếu bạn phóng to và nhìn vào bất kỳ hai mảng có kích thước bằng nhau nào của biểu đồ bắc cầu, chúng sẽ trông giống nhau. Vì lý do này, Schramm tin rằng phối cảnh cận cảnh là đủ để cho phép các nhà toán học tính toán ngưỡng thẩm thấu cho tất cả các đồ thị bắc cầu.

Đồ thị bắc cầu có thể có nhiều hình dạng và hình thức. Chúng có thể là một lưới đơn giản, được tạo thành từ các hình vuông, hình tam giác, hình lục giác hoặc một số hình dạng khác. Hoặc chúng có thể tạo thành một đối tượng phức tạp hơn, chẳng hạn như “cây 3 thông thường”, trong đó một điểm trung tâm kết nối với ba đỉnh và mỗi đỉnh sau đó phân nhánh để tạo ra hai đỉnh mới đến vô cùng, một vài bước đầu tiên được thấy ở đây:

Sự đa dạng của đồ thị bắc cầu đã góp phần gây khó khăn cho việc chứng minh giả thuyết địa phương của Schramm. Trong 15 năm kể từ khi giả thuyết Schramm đến chứng minh của Easo và Hutchcroft, nhiều nhóm nhà toán học khác nhau đã chứng minh giả thuyết cho các loại đồ thị cụ thể, nhưng ý tưởng của họ chưa bao giờ mở rộng sang trường hợp tổng quát.

Hutchcroft nói: “Không gian của tất cả các dạng hình học có thể có đều rất rộng lớn và luôn có những thứ kỳ lạ ẩn nấp.

Mở rộng ống kính

Ban đầu, Easo và Hutchcroft không tìm kiếm giải pháp cho giả thuyết địa phương Schramm, áp dụng cho đồ thị vô hạn. Thay vào đó họ đang nghiên cứu sự thẩm thấu trên đồ thị hữu hạn. Nhưng họ có một ý tưởng bất ngờ chuyển sự chú ý của họ sang phỏng đoán.

Easo nói: “Chúng tôi đã nghĩ ra công cụ mới này và chúng tôi nghĩ, ồ, đây có vẻ là một thứ có thể hữu ích để tấn công địa phương”.

Để chứng minh phỏng đoán, họ cần chỉ ra rằng góc nhìn vi mô mang lại một bức ảnh chụp nhanh chính xác về ngưỡng thẩm thấu. Khi bạn chỉ xem một phần của biểu đồ và quan sát một cụm lớn được kết nối, bạn có thể cho rằng biểu đồ có một cụm vô hạn và do đó nằm trên ngưỡng thẩm thấu. Easo và Hutchcroft bắt đầu chứng minh điều đó.

Họ dựa vào một kỹ thuật có thể được coi là “mở rộng ống kính”. Bắt đầu ở một đỉnh duy nhất. Sau đó thu nhỏ để xem tất cả các đỉnh chỉ cách một cạnh trên biểu đồ gốc. Trên lưới hình vuông, bây giờ bạn sẽ có thể nhìn thấy tổng cộng năm đỉnh. Mở rộng ống kính một lần nữa để nhìn thấy tất cả các đỉnh trong khoảng cách hai cạnh, sau đó là khoảng cách ba cạnh, bốn cạnh, v.v.

Easo và Hutchcroft đặt vòng quay xác định có bao nhiêu liên kết ở gần nơi họ nhìn thấy một cụm lớn. Sau đó, họ mở rộng ống kính, quan sát ngày càng nhiều cạnh tập hợp lại trong cụm lớn của chúng. Khi làm như vậy, họ phải tăng xác suất xuất hiện các liên kết, điều này giúp dễ dàng chỉ ra rằng biểu đồ có thành phần liên thông lớn. Đây là một hành động cân bằng tinh tế. Họ cần mở rộng trường nhìn đủ nhanh và thêm các liên kết đủ chậm để hiển thị toàn bộ biểu đồ vô hạn mà không làm thay đổi đáng kể vị trí của mặt số.

Họ đã có thể chỉ ra rằng các cụm lớn phát triển nhanh hơn các cụm nhỏ hơn, do đó, như Easo đã nói, “cụm của bạn phát triển ngày càng nhanh hơn khi nó ngày càng lớn hơn, giống như khi bạn đang lăn một quả cầu tuyết”.

Đối với lưới vuông, số đỉnh tăng tương đối chậm. Nó gần bằng bình phương chiều rộng của ống kính của bạn. Sau 10 bước, bạn sẽ tìm thấy khoảng 100 đỉnh. Nhưng một cây thông thường 3 phát triển nhanh hơn theo cấp số nhân - khoảng 2 cây tăng theo lũy thừa chiều rộng ống kính của bạn. Sau 10 bước, bạn sẽ thấy khoảng 1,024 đỉnh. Hình minh họa dưới đây cho thấy cây 3 thường lớn hơn nhiều chỉ sau bảy bước, mặc dù ban đầu lưới vuông có nhiều đỉnh hơn. Nói chung, đồ thị có thể có tốc độ tăng trưởng khác nhau ở các tỷ lệ khác nhau — chúng có thể bắt đầu nhanh và sau đó chậm lại.

Trở lại năm 2018, Hutchcroft đã sử dụng một ý tưởng tương tự để chứng minh giả thuyết địa phương cho đồ thị tăng trưởng nhanh như cây 3 chính quy. Nhưng nó không hoạt động đối với các biểu đồ tăng trưởng chậm như lưới vuông hoặc đối với các biểu đồ tăng trưởng ở tốc độ trung bình, không đáp ứng các tiêu chí toán học về tốc độ tăng trưởng nhanh cũng như các tiêu chí toán học về tốc độ tăng trưởng chậm.

Hutchcroft nói: “Đây là lúc mọi thứ trở nên thực sự khó chịu trong khoảng ba năm.

Cấu trúc so với mở rộng

Đối với các biểu đồ kết hợp tốc độ tăng trưởng ở các tỷ lệ khác nhau, bạn phải sử dụng nhiều kỹ thuật khác nhau.

Một thực tế rất hữu ích là, như Easo đã giải thích, “nếu một biểu đồ có vẻ tăng trưởng chậm ở một quy mô nào đó thì nó sẽ bị kẹt”. Nó sẽ tiếp tục phát triển chậm ở quy mô lớn hơn. Bởi vì các đồ thị tăng trưởng chậm có cấu trúc bổ sung được xác định bởi một nhánh toán học gọi là lý thuyết nhóm, nên người ta cũng biết rằng nếu bạn thu nhỏ đủ xa, các đồ thị tăng trưởng chậm sẽ hiển thị hình học thuần hóa về mặt toán học.

Năm 2021, Sébastien Martineau thuộc Đại học Sorbonne ở Paris, làm việc với Daniel Contreras và Vincent Tasion của ETH Zurich, đã có thể sử dụng thuộc tính này để chứng minh giả thuyết địa phương Schramm cho các đồ thị cuối cùng phát triển chậm.

Tại thời điểm này, hai nhóm nhà toán học đã giải quyết thành công giả thuyết từ các hướng khác nhau: tăng trưởng nhanh và tăng trưởng chậm. Nhưng điều này đã để lại những khoảng trống lớn. Thứ nhất, có một phạm trù tăng trưởng trung gian không được kỹ thuật của Easo và Hutchcroft hoặc bằng chứng của Contreras, Martineau và Tassion đề cập đến. Một vấn đề khác là các lập luận vẫn không áp dụng được cho các biểu đồ có tốc độ tăng trưởng thay đổi - chỉ những biểu đồ nhanh hoặc chậm. Để áp dụng đối số Contreras, Martineau và Tassion cho các biểu đồ tùy ý, việc hình học cuối cùng trông có vẻ thuần hóa khi bạn thu nhỏ là chưa đủ, Easo giải thích: “Chúng tôi cần nó trông thuần hóa ngay bây giờ, gần tỷ lệ hiện tại”.

Giữa hư không

Đồ thị bắc cầu của tăng trưởng trung gian rất bí ẩn. Các nhà toán học chưa bao giờ tìm thấy một ví dụ nào về đồ thị bắc cầu có độ lớn nằm trong phạm vi này. Có thể là chúng thậm chí không tồn tại. Nhưng các nhà toán học vẫn chưa chứng minh được chúng không tồn tại, vì vậy bất kỳ bằng chứng đầy đủ nào về giả thuyết địa phương của Schramm đều phải giải quyết được chúng. Thêm vào thách thức, Easo và Hutchcroft cần giải quyết các biểu đồ có thể chỉ tăng trưởng trung gian trong thời gian ngắn ở một thang độ dài cụ thể, ngay cả khi chúng tăng nhanh hơn hoặc chậm hơn khi bạn phóng to hoặc thu nhỏ.

Easo và Hutchcroft đã dành phần lớn thời gian trong năm qua để mở rộng kết quả của họ nhằm áp dụng cho các biểu đồ chưa được xử lý bằng bất kỳ phương pháp nào trước đó.

Đầu tiên, họ sửa đổi kỹ thuật năm 2018 mà Hutchcroft đã áp dụng cho các biểu đồ tăng trưởng nhanh để hoạt động trên các biểu đồ thay đổi mức tăng trưởng ở các quy mô khác nhau. Sau đó, họ giải quyết trường hợp tăng trưởng chậm, trong một bài báo dài 27 trang họ đã chia sẻ vào tháng XNUMX để mở rộng công việc về Contreras, Martineau và Tassion. Cuối cùng, trong bản in trước vào tháng XNUMX, họ đã nghĩ ra một lập luận khác bằng cách sử dụng lý thuyết bước đi ngẫu nhiên — các đường ngọ nguậy ngẫu nhiên trong không gian — để xử lý trường hợp tăng trưởng trung gian. Với việc phân tích tam giác đã hoàn tất, họ đã chứng minh được phỏng đoán địa phương của Schramm.

Hutchcroft nói: “Chúng tôi phải ném mọi thứ chúng tôi biết vào vấn đề.

Giải pháp này giúp các nhà toán học hiểu rõ hơn về những gì xảy ra trên ngưỡng thẩm thấu, trong đó cơ hội hình thành một cụm vô hạn là 100% và ở dưới ngưỡng đó, cơ hội là 0%. Nhưng các nhà toán học vẫn còn bối rối trước những gì xảy ra chính xác ở ngưỡng đối với hầu hết các đồ thị, bao gồm cả lưới ba chiều. “Đó có lẽ là câu hỏi mở cơ bản nhất, nổi tiếng nhất trong lý thuyết thẩm thấu,” nói. Russell Lyons của Đại học Indiana.

Lưới hai chiều là một trong số ít trường hợp mà các nhà toán học đã chứng minh được điều gì xảy ra chính xác ở ngưỡng: các cụm vô hạn không hình thành. Và sau khi Grimmett và Marstrand chứng minh một phiên bản của phỏng đoán địa phương cho các tấm lớn, Grimmett và các cộng tác viên đã chỉ ra rằng nếu bạn cắt một nửa lưới 3D theo chiều ngang, tạo ra một tầng và điều chỉnh mặt số chính xác đến ngưỡng thẩm thấu, sẽ không có cụm vô hạn nào xuất hiện. Kết quả của họ gợi ý rằng lưới ba chiều đầy đủ, giống như lưới hai chiều của nó, có thể không có cụm vô hạn ở ngưỡng thẩm thấu.

Năm 1996, Benjamini và Schramm phỏng đoán rằng cơ hội tìm thấy một cụm vô hạn ngay tại ngưỡng là bằng 2 đối với tất cả các biểu đồ bắc cầu — giống như đối với lưới 3D hoặc lưới XNUMXD được cắt làm đôi. Bây giờ phỏng đoán địa phương đã được giải quyết, sự hiểu biết về những gì xảy ra ngay tại thời điểm chuyển đổi có thể gần hơn một chút.

Điều chỉnh: 18 Tháng mười hai, 2023
Số lượng nút trong n liên kết của nút bắt đầu trên biểu đồ 3 đều tăng lên khoảng 2ⁿ, không phải 3ⁿ như bài viết này đã nêu ban đầu. Bài viết đã được sửa chữa.

Quanta đang tiến hành một loạt cuộc khảo sát để phục vụ khán giả của chúng tôi tốt hơn. Lấy của chúng tôi khảo sát độc giả môn toán và bạn sẽ được tham gia để giành chiến thắng miễn phí Quanta buôn