Giới thiệu
Giống như nhiều người sẽ trở thành nhà toán học, Ngụy Hồ lớn lên cạnh tranh trong các cuộc thi toán học. Năm lớp tám, cô ấy đã giành chiến thắng trong cuộc thi Mathcounts cấp bang ở Wisconsin, và đội của cô ấy đã giành vị trí thứ ba tại các giải quốc gia.
Không giống như nhiều nhà toán học trong tương lai, cô không chắc mình có bao giờ muốn trở thành một nhà toán học như vậy không.
“Tôi muốn làm mọi thứ, mọi lúc,” Ho nói. “Tôi học múa ba lê rất nghiêm túc cho đến khi học trung học. Tôi biên tập tạp chí văn học. Tôi đã tranh luận và pháp y. Tôi chơi quần vợt, bóng đá, piano và violon.” Ngược lại, nhiều nhà toán học thành công dường như bị ám ảnh bởi toán học đến mức loại trừ mọi thứ khác. Làm thế nào cô ấy, một người có nhiều đam mê, có thể cạnh tranh với mức độ tập trung đó?
Cuối cùng, Ho bị thu hút bởi sự nghiêm ngặt của toán học. Cô ấy vẫn thích múa ba lê, đọc tiểu thuyết và giải các câu đố ô chữ khó hiểu, ngay cả khi cô ấy giúp phát minh lại bộ máy toán học làm nền tảng cho các đối tượng toán học cơ bản, chẳng hạn như phương trình đa thức, vốn có những câu hỏi mở lâu đời và khó hiểu liên quan đến chúng.
Ho nghiên cứu các đối tượng hình học quen thuộc, nhưng cô ấy đặt lại các câu hỏi để đặt chúng vào lĩnh vực của các số hữu tỉ — những số có thể được viết dưới dạng phân số. “Sau đó, lý thuyết số bắt đầu bị trộn lẫn vào tất cả những điều này,” cô nói.
Cô ấy đặc biệt quan tâm đến các đường cong elip, được xác định bởi một loại phương trình đa thức cụ thể có ứng dụng trong các ngành toán học khác nhau. Các đường cong elip xuất hiện trong giải tích — nói rộng ra là nghiên cứu về những thứ liên tục, như số thực — và trong đại số, đó là tìm và xác định các cấu trúc toán học chính xác. (Mặc dù trọng tâm của chúng là khác nhau, giải tích và đại số được phân chia theo tính nhạy cảm hơn là theo ranh giới nghiêm ngặt, vì có nhiều điểm trùng lặp giữa chúng.)
Giới thiệu
Trong bản in trước phá vỡ rào cản được phát hành vào năm 2018, Ho và cộng tác viên của cô ấy Levent Alpöge của đại học Harvard phát hiện ra một giới hạn trên mới cho số nghiệm nguyên của đa thức xác định đường cong elliptic. Kỹ thuật của họ dựa trên công trình đã tồn tại hàng chục năm của Louis Mordell, một nhà toán học người Mỹ di cư sang Anh năm 1906. Trong bài báo của mình, Ho và Alpöge đã có thể thu thập thông tin mới về sự phân bố của các nghiệm nguyên này mà các nhóm nghiên cứu tương tự đã trốn tránh. các vấn đề.
Ho sẽ dành một năm (nghỉ phép tại vị trí giảng viên của cô tại Đại học Michigan) với tư cách là giáo sư thỉnh giảng tại Viện Nghiên cứu Cao cấp, nơi cô gần đây được bổ nhiệm làm giám đốc đầu tiên của chương trình Phụ nữ và Toán học của IAS. Cô cũng là thành viên năm 2023 của Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ và là học giả nghiên cứu tại Đại học Princeton.
Cô ấy hy vọng rằng việc chỉ đạo chương trình Phụ nữ và Toán học sẽ “ít nhất giúp ích cho cộng đồng nhiều hơn, giúp đỡ nhiều người hơn, thay vì chỉ có tôi ở trong văn phòng của mình và nghiên cứu toán học một mình hoặc với các cộng tác viên,” cô ấy nói. “Tôi có thể chứng minh các định lý, và có thể một ngày nào đó tôi có thể chứng minh một định lý mà sau 100 năm nữa sẽ có giá trị. Co le không. Nhưng tôi cảm thấy mình chưa tạo ra đủ tác động đến thế giới hoặc những người xung quanh.”
Quanta đã nói chuyện với Ho trong một loạt hội nghị truyền hình. Các cuộc phỏng vấn đã được cô đọng và chỉnh sửa cho rõ ràng.
Làm thế nào bạn sẽ mô tả cách bạn làm toán học?
Đôi khi các nhà toán học chia chúng ta thành những người đại số và giải tích. Tôi làm toán liên quan đến cả hai mặt, nhưng về bản chất, tôi là một nhà đại số học, mặc dù tôi là hình học theo cách tôi nghĩ. Tôi thường có xu hướng xem đại số và hình học về cơ bản là giống nhau.
Điều đó không hoàn toàn chính xác, nhưng về cơ bản kể từ tác phẩm của Descartes và đặc biệt là trong thế kỷ trước, hai chủ đề đã trở nên thực sự gần gũi. Có một từ điển khá chính xác, trong một số trường hợp, có thể giúp dịch một bức tranh hình học sang các hệ quả đại số.
Trong trường hợp của riêng tôi, bức tranh hình học thường giúp hình thành các tuyên bố và phỏng đoán cũng như đưa ra trực giác, nhưng sau đó chúng tôi chuyển chúng sang đại số khi viết. Việc phát hiện lỗi sẽ dễ dàng hơn vì đại số thường nghiêm ngặt hơn. Việc sử dụng đại số cũng có thể dễ dàng hơn khi hình học trở nên quá khó để hình dung.
Bạn đã tập trung vào những ý tưởng nào trong công việc gần đây của mình?
Khá nhiều công việc của tôi liên quan đến các đường cong elip, vốn là những đối tượng rất tự nhiên trong lý thuyết số và hình học số học.
Khó có nghiệm nguyên của những phương trình như thế này. Về cơ bản, chúng tôi hy vọng rằng hầu hết các đường cong sẽ không có nghiệm nguyên. Nhưng rất khó để chứng minh điều đó.
Levent và tôi đã nghiên cứu sự phân bố này của số điểm tích phân. Chúng tôi sử dụng một cấu trúc cổ điển từ cuốn sách năm 1969 của Mordell Phương trình Diophantine. Chúng ta có thể đưa ra giới hạn trên của số điểm tích phân trên một đường cong elip. Những người khác đã đưa ra giới hạn trên. Chúng tôi đã tìm thấy một giới hạn khác rất đơn giản để nêu.
Công việc trước đó của Mordell đóng vai trò gì trong kết quả gần đây của bạn?
Câu hỏi của chúng tôi liên quan đến các điểm tích phân trên các đường cong elip. Mordell có cách liên hệ nó với một thứ khác mà chúng ta có thể nghiên cứu.
Đó là điều mà chúng ta luôn làm trong toán học: Chúng ta muốn hiểu một đối tượng, nhưng chúng ta phải tìm một đại diện để hiểu nó. Đôi khi proxy đó rất chính xác. Đôi khi nó mất thông tin. Nhưng nó thực sự là thứ chúng ta có thể truy cập.
Khi nào bạn quyết định tập trung vào toán học?
Tôi không nghĩ rằng có một điểm bùng phát cho tôi. Tôi hài lòng với cuộc sống và sự nghiệp của mình bây giờ, nhưng tôi cảm thấy rằng nếu mọi thứ khác đi một chút, tôi có thể đã hạnh phúc trong nhiều nghề nghiệp hoặc lĩnh vực khác. Có lẽ đó là điều mà hầu hết các nhà toán học sẽ không nói, bởi vì họ thích nói về việc họ đam mê toán học đến mức nào và họ không bao giờ có thể nghĩ về bất cứ điều gì khác. Đối với tôi, tôi không nghĩ đó là sự thật.
Tôi tò mò về rất nhiều thứ khác nhau. Có lẽ cuối cùng tôi trở thành một nhà toán học vì tôi thất vọng với sự thiếu nghiêm ngặt trong các lĩnh vực khác. Khi còn nhỏ, tôi đã được huấn luyện để suy nghĩ như một nhà toán học theo một số cách, bởi vì đó là cách chúng tôi làm mọi việc ở nhà. Bố tôi chơi các trò chơi toán học với tôi, điều đó có nghĩa là tôi đã học cách suy luận logic từ khi còn nhỏ. Tôi muốn mọi thứ được chứng minh.
Nhưng tôi không chắc rằng mình sẽ trở thành một nhà toán học giỏi.
Tại sao?
Khi tôi còn trẻ, tôi không biết rằng có nhiều người học toán giống tôi theo nhiều cách khác nhau. Chúng tôi ném những từ này xung quanh về các mô hình vai trò. Không phải là tôi không gặp đủ phụ nữ hay phụ nữ Mỹ gốc Á.
Điều tôi muốn nói là tôi không thấy nhiều người đam mê những thứ khác ngoài toán học. Điều đó khiến tôi nghi ngờ bản thân rất nhiều. Làm sao tôi có thể thành công trong toán học nếu tôi không dành 100% thời gian để suy nghĩ về toán học? Đó là những gì tôi thấy xung quanh mình. Tôi có ấn tượng rằng những người khác tiếp cận toán học khác với tôi, những người cùng trang lứa và những người lớn tuổi hơn tôi. Tôi nghĩ thật khó để theo đuổi một sự nghiệp mà tôi sẽ không như vậy. Tôi sẽ có những sở thích khác.
Khía cạnh con người là điều mà tôi không thấy người khác quan tâm nhiều. Tôi sợ rằng một phần trong tôi sẽ khiến tôi không thể trở thành một nhà toán học.
Giới thiệu
Bạn vừa được bổ nhiệm làm giám đốc chương trình Phụ nữ và Toán học của IAS. Chương trình đó cung cấp gì cho các nhà toán học nữ?
Đây là hội thảo kéo dài một tuần dành cho phụ nữ ở các giai đoạn nghề nghiệp khác nhau, bao gồm cả phụ nữ chưa tốt nghiệp, nghiên cứu sinh, nghiên cứu sinh sau tiến sĩ và một số giảng viên cấp cơ sở và cấp cao. Đó là học toán trong một môi trường hỗ trợ.
Những sinh viên chưa tốt nghiệp có thể không biết rằng họ muốn theo đuổi môn toán đang gặp gỡ các nhà toán học có thâm niên và được cố vấn trong suốt chặng đường phát triển. Họ có thể nhìn thấy nhiều người khác nhau ở các giai đoạn nghề nghiệp khác nhau và nói chuyện với mọi người về kinh nghiệm của họ. Tôi không nghĩ rằng có nhiều chương trình khác có toàn bộ phạm vi đó và được tập trung vào một trường con cụ thể.
Chương trình năm 2023 có tên là “Các mẫu trong số nguyên.” Nó sẽ có rất nhiều người trong tổ hợp phụ gia và lý thuyết số giải tích. Chúng tôi đưa những người từ các con đường sự nghiệp khác nhau đến để họ gặp gỡ.
Đối với những sinh viên tốt nghiệp lớn tuổi đã làm việc trong lĩnh vực này, họ sẽ gặp gỡ các postdoc, giảng viên cấp cơ sở và cấp cao trong lĩnh vực của họ và có cơ hội làm việc cùng họ trong một tuần.
Bạn cũng tham gia vào dự án ngăn xếp, đó là một nguồn tài nguyên trực tuyến phong phú. Có gì độc đáo về nó?
Khối lượng tuyệt đối và khả năng tiếp cận của nó. Đây là một dự án hợp tác trực tuyến khổng lồ — hơn 7,500 trang nếu bạn in ra. Nhưng thực tế, [nhà toán học của Đại học Columbia] Aise Johan de Jong viết gần như tất cả. Đó là một nguồn tài nguyên nghiêm ngặt, được viết cẩn thận cho hình học đại số. Đó là một điều tuyệt vời anh ấy đã làm cho cộng đồng.
Cứ sau một hoặc hai tuần, nó phát triển. Đó là một tài liệu tham khảo đáng tin cậy cho hầu hết mọi thứ. Nó bao gồm một lượng lớn hình học đại số mà bạn sẽ cần phải xem như 20 cuốn sách giáo khoa.
Nó sống theo nghĩa là mọi thứ có thể được thêm vào và chỉnh sửa. Nếu có sai lầm, họ sẽ bị bắt.
Một điều thú vị khác về nó là hệ thống thẻ. Mặc dù tài liệu này không ngừng phát triển, nhưng bạn vẫn có thể tham khảo vĩnh viễn một thẻ cụ thể. Có hơn 21,000 thẻ cố định cho các kết quả cụ thể mà bạn có thể muốn trích dẫn. Pieter Belmans đã xây dựng toàn bộ phần phụ trợ, phần này cũng đã được sử dụng trong các dự án khác. Những người khác đã điều chỉnh công nghệ của nó.
Vấn đề là — và Johan biết điều này — cuối cùng anh ấy sẽ không thể tiếp tục viết những dòng này. Một ngày nào đó, nếu chúng ta muốn điều này tiếp tục, nó cần những người khác tham gia nhiều hơn.
Hội thảo của bạn đóng vai trò gì trong dự án Stacks?
Vấn đề là bắt đầu thu hút những người trẻ tuổi tham gia. Chúng tôi đang yêu cầu họ viết các mẩu và mẩu mà cuối cùng có thể được tích hợp vào nó. Có một số căng thẳng ở đây, bởi vì để trang web luôn chính xác và có chất lượng cao như một nguồn tài nguyên, nó cần phải được kiểm duyệt cẩn thận. Vì vậy, Johan vẫn cần phải làm rất nhiều việc để đưa mọi thứ vào đó. Nó không thể giống như Wikipedia nơi mà bất cứ ai cũng có thể chạm vào nó. Điều đó hơi đáng tiếc nhưng phải xảy ra nếu bạn muốn điều này hoạt động.
Chúng tôi đang cố gắng tìm ra các cách để từ từ thu hút thêm nhiều người tham gia vào dự án Stacks. Chúng tôi đang đưa những người cố vấn đến làm việc trong các dự án với các sinh viên đã tốt nghiệp và các nghiên cứu sinh sau tiến sĩ. Họ học một số hình học đại số. Sau đó, họ viết một cái gì đó lên.
We vừa xuất bản một tập với một loạt các bài báo giải thích mà chúng tôi hy vọng cuối cùng sẽ được đưa vào dự án Stacks.
Dự án Stacks có thể tiếp tục có tác động cực kỳ lớn trong hàng trăm năm nếu có đủ người tham gia và tiếp tục duy trì dự án.
