Vào đầu những năm 1950, một nhóm các nhà nghiên cứu tại Viện Nghiên cứu Cao cấp đã bắt tay vào một dự án công nghệ cao. Tại lệnh của John von Neumann và Herman Goldstine, nhà vật lý Hedvig Selberg đã lập trình máy tính ống chân không 1,700 của IAS để tính toán các tổng toán học kỳ lạ có nguồn gốc từ thế kỷ 18.
Các tổng liên quan đến tổng Gauss bậc hai, được đặt tên cho nhà toán học nổi tiếng Carl Friedrich Gauss. Gauss sẽ chọn một số nguyên tố p, sau đó tính tổng các số có dạng $ latex e ^ {frac {2iπn ^ 2} {p}} $. Kể từ khi ra đời, các tổng Gauss bậc hai đã tỏ ra vô giá đối với các nhiệm vụ như đếm các nghiệm cho một số loại phương trình nhất định. "Hóa ra các khoản tiền Gauss là kỳ diệu, rằng họ chỉ làm những điều tuyệt vời cho Chúa biết lý do gì," Jeffrey Hoffstein, một nhà toán học tại Đại học Brown.
Vào giữa thế kỷ 19, nhà toán học người Đức Ernst Eduard Kummer đang đùa giỡn với một người họ hàng gần với các tổng Gauss bậc hai này, trong đó n2 trong số mũ được thay thế bằng một n3. Kummer nhận thấy rằng họ có xu hướng thu thập gần các giá trị cụ thể ở một mức độ đáng ngạc nhiên - một quan sát nhạy bén sẽ dẫn đến hàng thế kỷ nghiên cứu về lý thuyết số.
Nếu tổng Gauss khối không được làm lại thành một công thức đơn giản hơn, thì khó có thể suy ra giá trị của chúng. Thiếu một công thức như vậy, Kummer đặt ra cách tính tổng Gauss khối - và tính toán và tính toán. “Hồi đó họ rất thường làm những phép tính anh hùng này bằng tay,” nói Matthew Young, một nhà toán học tại Đại học Texas A&M. Sau khi cày hết 45 tổng, tương ứng với 45 số nguyên tố không tầm thường đầu tiên, Kummer cuối cùng đã bỏ cuộc.
Khảo sát kết quả của mình, Kummer nhận thấy một điều thú vị. Về lý thuyết, các tổng có thể là bất kỳ giá trị nào trong khoảng từ −1 đến 1 (sau khi được "chuẩn hóa" - chia cho một hằng số thích hợp). Nhưng khi ông thực hiện các phép tính, ông phát hiện ra rằng chúng được phân phối theo một cách kỳ lạ. Một nửa kết quả nằm trong khoảng từ ½ đến 1, và chỉ một phần sáu trong số đó là từ −1 đến −½. Chúng dường như tập hợp xung quanh 1.
Kummer đưa ra những quan sát của mình, cùng với một phỏng đoán: Nếu bằng cách nào đó bạn có thể vẽ được tất cả các tổng Gauss khối vô hạn, bạn sẽ thấy hầu hết chúng nằm trong khoảng từ ½ đến 1; ít hơn từ −½ đến ½; và vẫn ít hơn trong khoảng từ −1 đến −½.
Selberg, von Neumann và Goldstine bắt đầu thử nghiệm điều này trên máy tính đời đầu của họ. Selberg đã lập trình nó để tính tổng Gauss khối cho tất cả các số nguyên tố không tầm thường nhỏ hơn 10,000 - tổng cộng là khoảng 600. (Goldstine và von Neumann sẽ tiếp tục là tác giả của bài báo; những đóng góp của cô ấy cuối cùng sẽ được xếp hạng thành một dòng ghi nhận.) Họ phát hiện ra rằng khi các số nguyên tố lớn hơn, các tổng chuẩn hóa trở nên ít có xu hướng tụ lại gần 1. Với bằng chứng thuyết phục rằng phỏng đoán của Kummer là sai, các nhà toán học bắt đầu cố gắng hiểu các tổng Gauss bậc ba một cách sâu sắc hơn, vượt ra ngoài tính toán đơn thuần.
Quá trình đó đã hoàn tất. Năm 1978, nhà toán học Samuel Patterson đã mạo hiểm đưa ra lời giải cho bí ẩn toán học của Kummer, nhưng không thể chứng minh được. Sau đó vào mùa thu năm ngoái, hai nhà toán học từ Viện Công nghệ California đã chứng minh phỏng đoán của Patterson, cuối cùng đưa ra kết luận của Kummer từ năm 1846.
Patterson lần đầu tiên bắt đầu tìm hiểu vấn đề này khi còn là sinh viên tốt nghiệp tại Đại học Cambridge vào những năm 1970. Phỏng đoán của anh ấy được thúc đẩy bởi điều gì sẽ xảy ra khi các số được đặt ngẫu nhiên ở bất kỳ đâu giữa −1 và 1. Nếu bạn cộng lại N của những số ngẫu nhiên này, kích thước điển hình của tổng sẽ là $ latexsqrt {N} $ (nó có thể là số dương hoặc số âm). Tương tự như vậy, nếu các tổng Gauss khối nằm rải rác đều từ −1 đến 1, bạn sẽ mong đợi N trong số đó để thêm vào khoảng $ latexsqrt {N} $.
Với suy nghĩ này, Patterson đã thêm N Tổng Gauss khối, bỏ qua (hiện tại) yêu cầu bám vào các số nguyên tố. Anh ấy nhận thấy rằng tổng tiền là khoảng N5/6 - lớn hơn $ latexsqrt {N} $ (có thể viết là N1/2), nhưng ít hơn N. Giá trị này ngụ ý rằng các tổng hoạt động giống như các số ngẫu nhiên nhưng với một lực yếu gây áp lực cho chúng về các giá trị dương, được gọi là độ chệch. Như N ngày càng lớn hơn, tính ngẫu nhiên sẽ bắt đầu lấn át sự thiên vị, và vì vậy nếu bằng cách nào đó bạn nhìn vào tất cả các tổng Gauss khối vô hạn cùng một lúc, chúng sẽ xuất hiện phân bố đồng đều.
Điều này dường như đã giải thích tất cả mọi thứ: các phép tính của Kummer cho thấy một sự sai lệch, cũng như các phép tính của IAS bác bỏ một sự sai lệch.
Nhưng Patterson không thể thực hiện các phép tính tương tự cho các số nguyên tố, vì vậy vào năm 1978, ông chính thức viết nó ra dưới dạng phỏng đoán: Nếu bạn cộng tổng Gauss bậc ba cho các số nguyên tố, bạn sẽ nhận được N5/6 hành vi.
Ngay sau khi nói chuyện về công việc của mình trong vấn đề Kummer, Patterson đã được một sinh viên tốt nghiệp tên là Roger Heath-Brown liên hệ, người đã đề xuất kết hợp các kỹ thuật từ lý thuyết số nguyên tố. Cả hai đã hợp tác và sớm công bố một tiến bộ về vấn đề, nhưng họ vẫn không thể cho thấy rằng Patterson đã dự đoán N5/6 thiên vị là chính xác cho các số nguyên tố.
Trong những thập kỷ tiếp theo, có rất ít tiến bộ. Cuối cùng, vào đầu thiên niên kỷ, Heath-Brown đã tạo ra một bước đột phá, trong đó một công cụ mà ông đã phát triển được gọi là sàng khối lớn đóng một vai trò thiết yếu.
Để sử dụng sàng khối lớn, Heath-Brown đã sử dụng một loạt các phép tính để liên hệ tổng các tổng Gauss khối với một tổng khác. Với công cụ này, Heath-Brown đã có thể chỉ ra rằng nếu bạn cộng các tổng Gauss lập phương cho các số nguyên tố nhỏ hơn N, kết quả không thể lớn hơn nhiều N5/6. Nhưng anh ấy nghĩ rằng anh ấy có thể làm tốt hơn - rằng bản thân cái sàng có thể được cải thiện. Nếu có thể, nó sẽ giảm giới hạn xuống N5/6 chính xác, do đó chứng minh phỏng đoán của Patterson. Trong một dòng văn bản ngắn, ông đã phác thảo những gì ông nghĩ rằng công thức tốt nhất có thể cho cái sàng sẽ là.
Ngay cả khi có công cụ mới này trong tay, các nhà toán học vẫn không thể tiến xa hơn. Sau đó hai thập kỷ, một cuộc gặp gỡ may mắn giữa người postdoc Caltech Alexander Dunn và người giám sát của anh ấy Maksym Radziwiłł đánh dấu sự bắt đầu của sự kết thúc. Trước khi Dunn bắt đầu vị trí của mình vào tháng 2020 năm 19, Radziwiłł đề xuất họ cùng nhau nghiên cứu phỏng đoán của Patterson. Nhưng với đại dịch Covid-2021 vẫn hoành hành, việc nghiên cứu và giảng dạy vẫn tiếp tục từ xa. Cuối cùng, vào tháng XNUMX năm XNUMX, cơ hội - hay số phận - đã can thiệp khi hai nhà toán học bất ngờ va vào nhau trong một bãi đậu xe ở Pasadena. Dunn viết trong một email: “Chúng tôi trò chuyện thân mật và đồng ý rằng chúng tôi nên bắt đầu gặp gỡ và nói chuyện về toán học. Đến tháng XNUMX, họ đang làm việc siêng năng trên một bằng chứng về phỏng đoán của Patterson.
Dunn nói: “Thật là thú vị khi làm việc nhưng rủi ro cực kỳ cao. “Ý tôi là, tôi nhớ mình đã đến văn phòng của mình vào lúc 5 giờ sáng hàng ngày liên tục trong bốn hoặc năm tháng.”
Dunn và Radziwiłł, giống như Heath-Brown trước họ, nhận thấy rằng cái sàng khối lớn không thể thiếu cho việc chứng minh của họ. Nhưng khi họ sử dụng công thức mà Heath-Brown đã viết ra trong bài báo năm 2000 của anh ấy - công thức mà anh ấy tin là sàng lọc tốt nhất có thể, một phỏng đoán mà cộng đồng lý thuyết số đã tin là đúng - họ nhận ra có điều gì đó không đúng. . Radziwiłł cho biết: “Chúng tôi đã có thể chứng minh rằng 1 = 2, sau một công việc rất phức tạp.
Vào thời điểm đó, Radziwiłł chắc chắn rằng lỗi là của họ. “Tôi tin chắc rằng về cơ bản chúng tôi có lỗi trong bằng chứng của mình”. Dunn đã thuyết phục anh ta theo cách khác. Không thể cải tiến cái sàng lớn khối lớn.
Được trang bị tính đúng đắn của chiếc sàng khối lớn, Dunn và Radziwiłł đã hiệu chỉnh lại cách tiếp cận của họ để đưa ra phỏng đoán của Patterson. Lần này, họ đã thành công.
“Tôi nghĩ đó là lý do chính tại sao không ai làm điều này, bởi vì phỏng đoán này của [Heath-Brown] đã gây hiểu lầm cho tất cả mọi người,” Radziwiłł nói. “Tôi nghĩ nếu tôi nói với Heath-Brown rằng phỏng đoán của anh ấy là sai, thì anh ấy có thể sẽ tìm ra cách làm điều đó.”
Dunn và Radziwiłł đã đăng bài báo của họ vào ngày 15 tháng 2021 năm XNUMX. Cuối cùng, chứng minh của họ dựa trên giả thuyết Riemann tổng quát, một giả thuyết không được chứng minh nổi tiếng trong toán học. Nhưng các nhà toán học khác xem đây chỉ là một nhược điểm nhỏ. “Chúng tôi muốn loại bỏ giả thuyết. Nhưng dù sao chúng tôi cũng rất vui khi có một kết quả có điều kiện, " Heath-Nâu, người hiện là giáo sư danh dự tại Đại học Oxford.
Đối với Heath-Brown, công trình của Dunn và Radziwiłł không chỉ là bằng chứng cho sự phỏng đoán của Patterson. Với cái nhìn sâu sắc bất ngờ về chiếc sàng lớn khối, bài báo của họ đã mang đến một cái kết bất ngờ cho câu chuyện mà anh ấy đã tham gia trong nhiều thập kỷ. “Tôi rất vui vì tôi đã không thực sự viết trong bài báo của mình,“ Tôi chắc chắn rằng ai đó có thể loại bỏ điều này, ”anh nói, đề cập đến một chút về cái sàng mà Dunn và Radziwiłł đã phát hiện ra là điều cần thiết. “Tôi chỉ nói, 'Sẽ rất tốt nếu một người có thể loại bỏ điều này. Có vẻ như bạn sẽ có thể làm được. ' Và tôi đã sai - không phải lần đầu tiên ”.
