Tháp Suy Đoán Dựa Trên Cây Kim | Tạp chí Quanta

Trong toán học, một vấn đề đơn giản thường không như vẻ ngoài của nó. Đầu mùa hè này, Quanta đã báo cáo về một vấn đề như vậy: Diện tích nhỏ nhất mà bạn có thể quét ra trong khi xoay một chiếc kim vô cùng mỏng theo mọi hướng có thể là bao nhiêu? Xoay nó quanh tâm giống như một mặt số và bạn sẽ có được một vòng tròn. Nhưng hãy xoay nó một cách khéo léo hơn và bạn có thể bao phủ một phần không gian nhỏ tùy ý. Nếu bạn không yêu cầu kim di chuyển theo một chuyển động liên tục mà thay vào đó chỉ cần đặt kim xuống theo mọi hướng, bạn có thể tạo ra một sự sắp xếp các kim không bao phủ bất kỳ khu vực nào.

Các nhà toán học gọi những sắp xếp này là tập Kakeya. Mặc dù họ biết rằng những bộ như vậy có thể nhỏ về mặt diện tích (hoặc thể tích, nếu bạn sắp xếp những chiếc kim của mình theo ba chiều trở lên), nhưng họ tin rằng những bộ đó phải luôn lớn nếu kích thước của chúng được đo bằng thước đo gọi là Hausdorff kích thước.

Các nhà toán học vẫn chưa chứng minh được tuyên bố này, được gọi là giả thuyết Kakeya. Nhưng mặc dù bề ngoài đây là một câu hỏi đơn giản về kim, “hình học của các bộ Kakeya này củng cố rất nhiều câu hỏi trong phương trình vi phân từng phần, phân tích điều hòa và các lĩnh vực khác,” cho biết. jonathan hickman của Đại học Edinburgh.

Giả thuyết Kakeya nằm ở cơ sở của hệ thống phân cấp của ba vấn đề trọng tâm trong giải tích điều hòa - một nhánh của toán học nghiên cứu cách các hàm có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các hàm tuần hoàn như sóng hình sin dao động đều.

Bước tiếp theo trong hệ thống phân cấp đó là phỏng đoán “hạn chế”. Nếu nó đúng thì phỏng đoán Kakeya cũng vậy. (Điều này cũng có nghĩa là nếu giả thuyết Kakeya sai thì phỏng đoán hạn chế không thể đúng.) Ngược lại, giả thuyết hạn chế được ngụ ý bởi cái gọi là giả thuyết Bochner-Riesz. Và ở trên cùng là giả thuyết làm mịn cục bộ.

Hai giả thuyết đầu tiên đề cập đến hành vi của biến đổi Fourier, một kỹ thuật phân tích điều hòa, trên thực tế, tính toán cách biểu diễn hầu hết mọi hàm số dưới dạng tổng của các sóng hình sin. Nó là một trong những công cụ toán học mạnh mẽ nhất dành cho các nhà vật lý và kỹ sư. Phép biến đổi Fourier đã đóng một vai trò cơ bản trong việc giải các phương trình vi phân, thể hiện các ý tưởng cơ học lượng tử như nguyên lý bất định Heisenberg cũng như phân tích và xử lý tín hiệu - biến những thứ như điện thoại di động hiện đại trở nên khả thi.

Vì mỗi phát biểu trong hệ thống phân cấp bao hàm phát biểu ở dưới nó, nên nếu phỏng đoán Kakeya sai thì không có phỏng đoán nào khác là đúng. Toàn bộ tòa tháp sẽ sụp đổ. Hickman nói: “Bạn có thể tạo ra một phản ví dụ siêu quái vật có thể phá vỡ rất nhiều phỏng đoán.

Mặt khác, việc chứng minh giả thuyết Kakeya đúng sẽ không tự động bao hàm sự đúng đắn của những giả thuyết khác - nhưng nó sẽ mang lại cho các nhà toán học những hiểu biết quan trọng về cách tiến hành.

Và vì vậy, “gần một nửa cộng đồng phân tích hài hòa mà tôi biết đang nghiên cứu vấn đề này và các vấn đề liên quan, hoặc đã làm việc với chúng vào một thời điểm nào đó,” cho biết Quách Thiệu Minh của Đại học Wisconsin, Madison.

Gần đây hơn, các nhà toán học đã ngạc nhiên phát hiện ra rằng các kỹ thuật mà họ đã phát triển để giải quyết những vấn đề này cũng có thể được sử dụng để chứng minh những kết quả quan trọng trong lĩnh vực dường như không liên quan đến lý thuyết số. “Đó là một hiện tượng tổng quát hơn nhiều so với những gì mọi người nghĩ,” Guo nói.

Bánh bông lan có kem chia từng lớp

Câu chuyện bắt đầu với phép biến đổi Fourier. “Bạn muốn phân tách [chức năng] thành từng phần nhỏ, phân tích sự tương tác của chúng và cộng chúng lại với nhau,” cho biết Ngọc Mộng Âu của Đại học Pennsylvania. Đối với các hàm một chiều - những đường cong mà bạn có thể vẽ trên một tờ giấy - các nhà toán học hiểu rõ cách thực hiện điều này, ngay cả khi họ cần đảo ngược phép biến đổi Fourier chỉ bằng một số phần.

Nhưng ở hai chiều trở lên, mọi thứ có thể trở nên lộn xộn.

Trong 1971, Charlie Fefferman, một nhà toán học tại Đại học Princeton, đã tìm ra cách sử dụng các bộ Kakeya để chứng minh rằng việc đảo ngược phép biến đổi Fourier có thể dẫn đến những kết quả kỳ lạ và đáng ngạc nhiên trong nhiều chiều.

Các nhà toán học đã tìm ra cách khắc phục dưới dạng phỏng đoán Bochner-Riesz, về cơ bản nói rằng có nhiều cách phức tạp hơn để khôi phục hàm ban đầu mà không bị hỏng như ví dụ của Fefferman. Nhưng cách giải quyết đó còn phụ thuộc vào tính xác thực của phỏng đoán Kakeya.

Nếu điều đó là sự thật thì “việc cắt tần số sẽ chỉ dẫn đến những sai sót nhỏ”, ông nói. Betsy Stovall của Đại học Wisconsin, Madison. “Điều đó có nghĩa là những lỗi nhỏ sẽ không xảy ra.”

Vì vậy, bắt đầu hệ thống phân cấp. Sau này, các nhà toán học phát hiện ra một mối liên hệ quan trọng khác: Nếu đúng thì giả thuyết Bochner-Riesz còn bao hàm một phát biểu gọi là giả thuyết hạn chế. Phỏng đoán này cho biết rằng nếu bạn bắt đầu với một phiên bản giới hạn của biến đổi Fourier - “hạn chế” các giá trị mà bạn xem xét chỉ ở những giá trị tồn tại trên các bề mặt cụ thể - thì điều này vẫn có thể cung cấp cho bạn thông tin quan trọng về hàm ban đầu. Và hóa ra nếu giả thuyết hạn chế là đúng thì giả thuyết Kakeya cũng đúng. (Điều này đặt ra phỏng đoán hạn chế giữa Kakeya và Bochner-Riesz trong tòa tháp.)

Vấn đề quan trọng nhất trong hệ thống phân cấp, được gọi là giả thuyết làm mịn cục bộ, không giải quyết trực tiếp phép biến đổi Fourier mà đặt giới hạn về kích thước của nghiệm đối với các phương trình mô tả hành vi của sóng.

Bạn cũng có thể nghĩ về điều này dưới dạng hình học của các đường trong bộ Kakeya. Bạn có thể chia nghiệm tổng quát của phương trình sóng thành nhiều phần chuyển động theo các hướng khác nhau và tương tác với nhau theo những cách khác nhau theo thời gian. Mỗi mảnh đó về mặt toán học giống như một chiếc kim trong bộ Kakeya. Giả thuyết Kakeya khẳng định rằng cấu hình như vậy không thể có quá nhiều sự chồng chéo. Trong bối cảnh vật lý này, sự chồng chéo sẽ tương ứng với sự tồn tại của các hành vi bất thường và bất ngờ trong giải pháp. Ví dụ, sóng âm thanh có thể khuếch đại ở nhiều vùng vào nhiều thời điểm khác nhau.

Giả thuyết làm mịn cục bộ phát biểu rằng những bất thường như vậy sẽ được tính trung bình. “Nó giống như lấy mức trung bình của thị trường tài chính,” nói Demeter Ciprian của Đại học Indiana Bloomington. “Có thể có những sự cố ở chỗ này chỗ kia, nhưng nếu bạn đầu tư tiền của mình và nghỉ hưu sau 40 năm, rất có thể bạn sẽ có được một số khoản đầu tư tốt.”

Nhưng cũng như tất cả các phỏng đoán trong hệ thống phân cấp, điều đó phụ thuộc vào tính đúng đắn của giả thuyết Kakeya. Stovall nói: “Ý tưởng là nếu bạn loại trừ nhiều giao điểm trong các bộ Kakeya, điều đó có nghĩa là bạn có thể loại trừ những tình huống trong đó các phần trong giải pháp của bạn kết hợp với nhau để tạo ra một số loại bùng nổ”.

Giả thuyết này là khó nhất trong nhóm: Trong khi các trường hợp hai chiều của các bài toán Kakeya, hạn chế và Bochner-Riesz đã được giải quyết cách đây nhiều thập kỷ, thì giả thuyết làm mịn cục bộ hai chiều chỉ được chứng minh cách đây vài năm. (Ở các chiều cao hơn, tất cả những vấn đề này vẫn còn bỏ ngỏ.)

Nhưng bất chấp tiến độ chậm chạp trong việc chứng minh giả thuyết làm mịn cục bộ, công việc nghiên cứu nó đã dẫn đến những tiến bộ to lớn ở những nơi khác. Năm 1999, trong khi cố gắng giải quyết giả thuyết này, nhà toán học Thomas Wolff đã giới thiệu một phương pháp được gọi là tách rời. Kể từ đó, kỹ thuật đó đã có một cuộc sống riêng: Nó được sử dụng để tạo ra những bước đột phá lớn không chỉ trong giải tích hài hòa mà còn trong lý thuyết số, hình học và các lĩnh vực khác. “Sử dụng các kết quả tách rời, giờ đây bạn đã có được kỷ lục thế giới về những bài toán quan trọng, rất nổi tiếng,” nói. Christopher Sogge của Đại học Johns Hopkins, người đầu tiên xây dựng giả thuyết làm mịn cục bộ vào những năm 1990. Ví dụ, việc tách rời đã được sử dụng để giúp đếm xem một số nguyên có thể được biểu diễn theo bao nhiêu cách dưới dạng tổng bình phương, lập phương hoặc một số lũy thừa khác.

Như Demeter đã nói, những kết quả này có thể xảy ra bởi vì “chúng ta có thể xem các con số như những làn sóng”. Ông nói thêm rằng tất cả những vấn đề này đều liên quan đến bộ kim tiêm Kakeya “thật hấp dẫn”. “Bạn không nghĩ rằng có quá nhiều vẻ đẹp, độ khó và tầm quan trọng có thể ẩn giấu trong một thứ có thể được hình thành bằng cách sử dụng các đoạn đường.”