Một phỏng đoán cũ sụp đổ, khiến các quả cầu trở nên phức tạp hơn rất nhiều | Tạp chí lượng tử

Đầu tháng XNUMX, dư luận xôn xao khi các nhà toán học hạ cánh xuống sân bay Heathrow ở London. Điểm đến của họ là Đại học Oxford và một hội nghị để vinh danh sinh nhật lần thứ 65 của Micheal Hopkins, một nhà toán học tại Đại học Harvard, người đã từng là cố vấn cho nhiều người tham dự.

Hopkins đã tạo nên tên tuổi của mình vào cuối những năm 1980 nhờ công trình nghiên cứu về bảy giả thuyết Doug Ravenel của Đại học Rochester đã xây dựng một thập kỷ trước đó. Họ phải làm với các kỹ thuật để xác định khi nào thì hai hình dạng hoặc không gian trông có vẻ khác nhau lại thực sự giống nhau. Hopkins và các cộng sự đã chứng minh tất cả các phỏng đoán của Ravenel đều cứu được một bài toán có cái tên gợi mở nhưng bí ẩn gọi là phỏng đoán kính viễn vọng.

Vào thời điểm đó, Hopkins đã tạm dừng công việc của mình dựa trên những phỏng đoán của Ravenel. Trong nhiều thập kỷ sau đó, phỏng đoán về kính viễn vọng dường như không thể giải quyết được.

“Bạn không thể chạm tới một định lý như thế,” Hopkins nói.

Nhưng khi các nhà toán học đặt chân đến London, có tin đồn rằng nó đã được thực hiện - bởi một nhóm bốn nhà toán học có quan hệ với Viện Công nghệ Massachusetts, ba người trong số họ đã được Hopkins cố vấn ở trường cao học. Người trẻ nhất trong bốn người, một sinh viên mới tốt nghiệp tên là Ishan Levy, dự kiến ​​sẽ có bài nói chuyện vào thứ Ba, ngày thứ hai của hội nghị, có vẻ như đó là lúc một bằng chứng có thể được công bố.

“Tôi đã nghe tin đồn rằng điều này sắp xảy ra và tôi không biết chính xác điều gì sẽ xảy ra,” nói. Vesna Stojanoska, một nhà toán học tại Đại học Illinois, Urbana-Champaign, người đã tham dự hội nghị.

Rõ ràng là những tin đồn là sự thật. Bắt đầu từ thứ Ba và trong ba ngày tiếp theo, Levy và các đồng tác giả — Robert Burklund, Jeremy Hahn và Tomer Schlank - giải thích cho đám đông khoảng 200 nhà toán học về cách họ đã chứng minh rằng giả thuyết về kính thiên văn là sai, khiến nó trở thành giả thuyết duy nhất trong số những giả thuyết ban đầu của Ravenel là không đúng.

Việc bác bỏ giả thuyết của kính thiên văn có những hàm ý trên phạm vi rộng, nhưng một trong những điều đơn giản và sâu sắc nhất là: Nó có nghĩa là ở những chiều rất cao (hãy nghĩ đến một quả cầu 100 chiều), vũ trụ với những hình dạng khác nhau phức tạp hơn nhiều so với các nhà toán học dự đoán.

Lập bản đồ bản đồ

Để phân loại các hình dạng hoặc không gian tô pô, các nhà toán học phân biệt giữa những điểm khác biệt quan trọng và những điểm không quan trọng. Lý thuyết đồng âm là một quan điểm để từ đó tạo ra những sự khác biệt đó. Nó coi một quả bóng và một quả trứng về cơ bản là cùng một không gian tôpô, bởi vì bạn có thể uốn cong và kéo dãn cái này sang cái kia mà không bị rách. Theo cách tương tự, lý thuyết đồng luân coi một quả bóng và một ống bên trong về cơ bản là khác nhau vì bạn phải xé một lỗ trên quả bóng để làm biến dạng nó thành ống bên trong.

Homotopy rất hữu ích cho việc phân loại các không gian tôpô - tạo ra một biểu đồ gồm tất cả các loại hình dạng có thể có. Điều quan trọng nữa là phải hiểu một điều khác mà các nhà toán học quan tâm: bản đồ giữa các không gian. Nếu bạn có hai không gian tô pô, một cách để thăm dò các thuộc tính của chúng là tìm kiếm các hàm chuyển đổi hoặc ánh xạ, điểm trên một thành điểm trên điểm kia — nhập một điểm trên không gian A, lấy một điểm trên không gian B làm đầu ra của bạn, và làm điều đó cho tất cả các điểm trên A.

Để xem các bản đồ này hoạt động như thế nào và tại sao chúng chiếu sáng các thuộc tính của không gian liên quan, hãy bắt đầu bằng một vòng tròn. Bây giờ ánh xạ nó lên hình cầu hai chiều, là bề mặt của một quả bóng. Có vô số cách để làm điều này. Ví dụ, nếu bạn tưởng tượng hình cầu là bề mặt Trái đất, thì bạn có thể đặt vòng tròn của mình ở bất kỳ vĩ tuyến nào. Từ quan điểm của lý thuyết đồng luân, chúng đều tương đương, hay đồng âm, bởi vì chúng đều có thể co lại thành một điểm ở cực bắc hoặc cực nam.

Tiếp theo, ánh xạ vòng tròn lên bề mặt hai chiều của ống bên trong (hình xuyến một lỗ). Một lần nữa, có vô số cách để làm điều này và hầu hết đều là đồng âm. Nhưng không phải tất cả trong số họ. Bạn có thể đặt một vòng tròn theo chiều ngang hoặc chiều dọc xung quanh hình xuyến và không thể biến dạng một cách trơn tru thành vòng tròn kia. Đây là hai (trong số nhiều) cách để ánh xạ một vòng tròn lên hình xuyến, trong khi chỉ có một cách để ánh xạ nó lên một hình cầu, phản ánh sự khác biệt cơ bản giữa hai không gian: Hình xuyến có một lỗ trong khi hình cầu không có lỗ nào.

Thật dễ dàng để đếm những cách chúng ta có thể ánh xạ từ hình tròn đến hình cầu hoặc hình xuyến hai chiều. Đó là những không gian quen thuộc và dễ hình dung. Nhưng việc đếm bản đồ khó hơn nhiều khi có liên quan đến không gian nhiều chiều hơn.

Sự khác biệt về chiều

Nếu hai hình cầu có cùng chiều thì luôn có vô số bản đồ giữa chúng. Và nếu không gian mà bạn đang ánh xạ từ đó có chiều thấp hơn không gian mà bạn đang ánh xạ tới (như trong ví dụ của chúng tôi về hình tròn một chiều được ánh xạ lên một hình cầu hai chiều), thì luôn chỉ có một bản đồ.

Một phần vì lý do đó, việc đếm bản đồ thú vị nhất khi không gian mà bạn đang ánh xạ từ đó có chiều cao hơn không gian mà bạn đang ánh xạ tới, chẳng hạn như khi bạn ánh xạ một hình cầu bảy chiều lên một hình cầu ba chiều. Trong những trường hợp như vậy, số lượng bản đồ luôn hữu hạn.

Hahn nói: “Các bản đồ giữa các quả cầu nói chung có xu hướng thú vị hơn khi nguồn có kích thước lớn hơn”.

Hơn nữa, số lượng bản đồ chỉ phụ thuộc vào sự khác biệt về số lượng kích thước (một khi kích thước đủ lớn so với sự khác biệt). Nghĩa là, số bản đồ từ hình cầu 73 chiều đến hình cầu 53 chiều bằng với số bản đồ từ hình cầu 225 chiều sang hình cầu 205 chiều, bởi vì trong cả hai trường hợp, sự khác biệt về kích thước là 20.

Các nhà toán học muốn biết số lượng bản đồ giữa các không gian có bất kỳ sự khác biệt nào về kích thước. Họ đã tính toán được số lượng bản đồ cho hầu hết các khác biệt về kích thước lên tới 100: Có 24 bản đồ giữa các quả cầu khi chênh lệch là 20 và 3,144,960 khi chênh lệch là 23.

Nhưng việc tính toán số lượng bản đồ cho bất kỳ chênh lệch nào lớn hơn 100 sẽ làm cạn kiệt năng lực tính toán hiện đại. Đồng thời, các nhà toán học đã không phát hiện đủ các mẫu trong số lượng bản đồ để ngoại suy thêm. Mục tiêu của họ là điền vào một bảng chỉ định số lượng bản đồ cho bất kỳ sự khác biệt nào về kích thước, nhưng mục tiêu đó có vẻ rất xa vời.

Ravenel, 76 tuổi, cho biết: “Đây không phải là câu hỏi mà tôi mong đợi một giải pháp hoàn chỉnh trong cuộc đời của các cháu tôi.

Phỏng đoán của kính thiên văn đưa ra dự đoán về số lượng bản đồ tăng lên như thế nào khi sự khác biệt về kích thước tăng lên. Trên thực tế, nó dự đoán rằng con số này sẽ tăng chậm. Nếu điều đó là sự thật thì vấn đề điền vào bảng đó sẽ dễ dàng hơn một chút.

Nghi ngờ thành hoài nghi

Phỏng đoán về kính thiên văn được đặt tên theo một cách không thể tin được.

Nó bắt đầu từ thực tế là ở những chiều rất cao, trực giác hình học được hình thành ở những chiều thấp hơn thường bị hỏng và rất khó để đếm bản đồ giữa các hình cầu. Nhưng khi hình thành phỏng đoán của mình, Ravenel hiểu rằng bạn không cần phải làm vậy. Thay vì đếm bản đồ giữa các hình cầu, bạn có thể tạo số lượng bản đồ proxy dễ dàng hơn giữa các hình cầu và vật thể được gọi là kính thiên văn.

Kính thiên văn bao gồm một loạt bản sao của một đường cong có chiều cao khép kín, mỗi bản sao là một phiên bản thu nhỏ của đường cong trước nó. Chuỗi đường cong này giống như các ống lồng vào nhau của một chiếc kính thiên văn có thể thu gọn thực sự. Ravenel nói: “Kính thiên văn này nghe có vẻ kỳ lạ khi bạn mô tả nó, nhưng nó thực sự là một vật thể dễ xử lý hơn chính quả cầu”.

Tuy nhiên, các quả cầu vẫn có thể ánh xạ lên kính viễn vọng theo nhiều cách khác nhau và thách thức là biết khi nào những bản đồ đó thực sự khác biệt.

Để xác định xem hai không gian có đồng âm hay không đòi hỏi một bài kiểm tra toán học được gọi là bất biến, đó là phép tính dựa trên các thuộc tính của không gian. Nếu phép tính mang lại một giá trị khác nhau cho mỗi khoảng trắng, thì bạn biết chúng là duy nhất theo quan điểm của homotopy.

Có nhiều loại bất biến và một số có thể nhận ra sự khác biệt mà những bất biến khác không nhận ra. Phỏng đoán của kính thiên văn dự đoán rằng một vật chất bất biến tên là Morava E-lý thuyết (và các đối xứng của nó) có thể phân biệt hoàn hảo tất cả các bản đồ giữa hình cầu và kính thiên văn cho đến homotopy - nghĩa là, nếu Morava E-lý thuyết nói rằng các bản đồ là khác biệt, chúng khác biệt và nếu nó nói chúng giống nhau thì chúng giống nhau.

Nhưng đến năm 1989, Ravenel bắt đầu nghi ngờ điều đó là sự thật. Sự hoài nghi của ông xuất hiện từ những tính toán mà ông thực hiện dường như không phù hợp với phỏng đoán. Nhưng phải đến tháng XNUMX năm đó, khi một trận động đất lớn xảy ra ở Vùng Vịnh khi ông đang ở Berkeley, những nghi ngờ đó mới được hệ thống hóa thành sự hoài nghi thực sự.

“Tôi đi đến kết luận này trong vòng một hoặc hai ngày sau trận động đất, vì vậy tôi muốn nghĩ rằng đã có điều gì đó xảy ra khiến tôi nghĩ rằng điều đó không đúng,” Ravenel nói.

Việc bác bỏ giả thuyết về kính thiên văn sẽ đòi hỏi phải tìm ra một bất biến mạnh hơn có thể nhìn thấy mọi thứ Morava E-lý thuyết không thể. Trong nhiều thập kỷ dường như không có bất biến nào như vậy, khiến cho giả thuyết chắc chắn nằm ngoài tầm với. Nhưng sự tiến bộ trong những năm gần đây đã thay đổi điều đó - và Burklund, Hahn, Levy và Schlank đã tận dụng điều đó.

Sự bùng nổ kỳ lạ

Chứng minh của họ dựa trên một bộ công cụ gọi là đại số K-lý thuyết được Alexander Grothendieck đưa ra vào những năm 1950 và đã phát triển nhanh chóng trong thập kỷ qua. Nó có các ứng dụng trong toán học, bao gồm cả hình học, nơi nó có khả năng tăng cường bất biến.

Bốn tác giả sử dụng đại số K-lý thuyết như một tiện ích: Họ nhập Morava E-lý thuyết, và đầu ra của họ là một bất biến mới mà họ gọi là đại số K-lý thuyết về các điểm cố định của Morava E-lý thuyết. Sau đó, họ áp dụng bất biến mới này cho các bản đồ từ hình cầu đến kính thiên văn và chứng minh rằng nó có thể nhìn thấy những bản đồ mà Morava E-lý thuyết không thể.

Và không chỉ có điều bất biến mới này còn nhìn thấy thêm một vài bản đồ. Nó thấy nhiều hơn nữa, thậm chí nhiều hơn vô hạn. Còn nhiều nữa đến mức công bằng mà nói Morava E-lý thuyết hầu như không có gì nổi bật khi xác định các bản đồ từ hình cầu đến kính thiên văn.

Vô số bản đồ từ hình cầu đến kính thiên văn có nghĩa là có thêm vô số bản đồ giữa các hình cầu. Số lượng các bản đồ như vậy là hữu hạn đối với bất kỳ sự khác biệt nào về kích thước, nhưng bằng chứng mới cho thấy con số này tăng lên nhanh chóng và không thể tránh khỏi.

Việc có quá nhiều bản đồ chỉ ra một thực tế hình học đáng lo ngại: Có quá nhiều hình cầu.

Năm 1956 John Milnor đã xác định được những ví dụ đầu tiên về cái được gọi là những quả cầu “kỳ lạ”. Đây là những không gian có thể bị biến dạng thành hình cầu thực tế từ góc độ đồng luân nhưng khác với hình cầu theo một nghĩa chính xác nhất định. Các quả cầu kỳ lạ hoàn toàn không tồn tại ở các chiều một, hai hoặc ba và không ai phát hiện ra ví dụ nào về chúng dưới chiều bảy - chiều mà Milnor lần đầu tiên tìm thấy chúng. Nhưng khi chiều không gian tăng lên, số lượng quả cầu kỳ lạ sẽ bùng nổ. Có 16,256 ở chiều 15 và 523,264 ở chiều 19.

Tuy nhiên, dù những con số đó rất lớn, việc bác bỏ giả thuyết của kính viễn vọng có nghĩa là còn rất nhiều, rất nhiều nữa. Việc bác bỏ có nghĩa là có nhiều bản đồ giữa các quả cầu hơn dự đoán khi Ravenel đưa ra phỏng đoán và cách duy nhất để bạn có được nhiều bản đồ hơn là có nhiều quả cầu hơn để lập bản đồ.

Có nhiều loại tiến bộ khác nhau trong toán học và khoa học. Một loại mang lại trật tự cho sự hỗn loạn. Nhưng một người khác lại làm tăng thêm sự hỗn loạn bằng cách xua tan những giả định đầy hy vọng không đúng sự thật. Việc bác bỏ giả thuyết của kính thiên văn là như vậy. Nó làm sâu sắc thêm tính phức tạp của hình học và làm tăng khả năng rằng nhiều thế hệ con cháu sẽ đến và đi trước khi có ai hiểu đầy đủ về bản đồ giữa các hình cầu.

Ravenel nói: “Mọi tiến bộ lớn trong chủ đề này dường như đều cho chúng ta biết câu trả lời phức tạp hơn rất nhiều so với những gì chúng ta nghĩ trước đây”.