'Bánh mì tròn entropy' và các cấu trúc phức tạp khác xuất hiện từ những quy tắc đơn giản | Tạp chí Quanta

Sự lặp lại không phải lúc nào cũng nhàm chán. Trong toán học, nó là một lực mạnh mẽ, có khả năng tạo ra sự phức tạp đến khó hiểu.

Ngay cả sau nhiều thập kỷ nghiên cứu, các nhà toán học vẫn thấy mình không thể trả lời các câu hỏi về việc thực hiện lặp đi lặp lại các quy tắc rất đơn giản - “hệ động lực” cơ bản nhất. Nhưng khi cố gắng làm như vậy, họ đã phát hiện ra mối liên hệ sâu sắc giữa những quy tắc đó và các lĩnh vực toán học tưởng chừng như xa vời khác.

Ví dụ, tập hợp Mandelbrot mà tôi đã viết về tháng trước, là bản đồ về cách thức một nhóm hàm - được mô tả bằng phương trình f(x) = x² + c - ứng xử như giá trị của c nằm trên cái gọi là mặt phẳng phức. (Không giống như số thực, có thể viết trên một dòng, số phức có hai thành phần, có thể được vẽ trên x- và y-trục của mặt phẳng hai chiều.)

Cho dù bạn có phóng to bộ Mandelbrot đến mức nào, các mẫu mới vẫn luôn xuất hiện mà không có giới hạn. “Ngay cả bây giờ, tôi hoàn toàn choáng váng khi cấu trúc rất phức tạp này lại xuất hiện từ những quy tắc đơn giản như vậy,” nói. Matthew Baker của Viện Công nghệ Georgia. “Đó là một trong những khám phá thực sự đáng ngạc nhiên của thế kỷ 20.”

Sự phức tạp của tập hợp Mandelbrot xuất hiện một phần bởi vì nó được định nghĩa dưới dạng các số mà bản thân chúng rất phức tạp. Nhưng có lẽ đáng ngạc nhiên là đó không phải là toàn bộ câu chuyện. Ngay cả khi c là một số thực đơn giản như -3/2, tất cả các loại hiện tượng kỳ lạ đều có thể xảy ra. Không ai biết điều gì sẽ xảy ra khi bạn liên tục áp dụng phương trình f(x) = x² – 3/2, sử dụng mỗi đầu ra làm đầu vào tiếp theo trong một quá trình được gọi là lặp. Nếu bạn bắt đầu lặp lại từ x = 0 (“điểm tới hạn” của phương trình bậc hai), không rõ liệu bạn sẽ tạo ra một chuỗi mà cuối cùng hội tụ về một chu kỳ giá trị lặp lại hay một chuỗi tiếp tục nảy lên không ngừng theo một mô hình hỗn loạn.

Đối với các giá trị của c nhỏ hơn –2 hoặc lớn hơn 1/4, vòng lặp nhanh chóng đạt đến vô cùng. Nhưng trong khoảng đó có vô số giá trị của c được biết là tạo ra hành vi hỗn loạn và vô số trường hợp như –3/2, trong đó “chúng tôi không biết chuyện gì sẽ xảy ra, mặc dù nó siêu cụ thể,” cho biết Giulio Tiozzo của Đại học Toronto.

Nhưng vào những năm 1990, nhà toán học của Đại học Stony Brook Misha Lyubich, người đã thể hiện nổi bật trong báo cáo của tôi về tập hợp Mandelbrot, chứng minh rằng trong khoảng từ –2 đến 1/4, phần lớn các giá trị của c tạo ra hành vi “hypebol” tốt đẹp. (Các nhà toán học Jacek Graczyk và Grzegorz Swiatek chứng minh độc lập kết quả trong cùng một khoảng thời gian.) Điều này có nghĩa là các phương trình tương ứng, khi được lặp lại, sẽ hội tụ về một giá trị duy nhất hoặc về một chu kỳ lặp lại của các số.

Một thập kỷ sau, ba nhà toán học đã chỉ ra rằng hầu hết các giá trị của c là hyperbol không chỉ cho phương trình bậc hai mà còn cho bất kỳ họ đa thức thực nào (các hàm tổng quát hơn kết hợp các biến được nâng lên lũy thừa, như x⁷ + 3x⁴ + 5x² + 1). Và bây giờ một trong số họ, Sebastian van Strien của Imperial College London, tin rằng ông có bằng chứng về tính chất này cho một lớp phương trình thậm chí còn rộng hơn gọi là hàm giải tích thực, bao gồm hàm sin, cos và hàm mũ. Van Strien hy vọng sẽ công bố kết quả vào tháng 5. Nếu nó được giữ vững sau khi xem xét ngang hàng, nó sẽ đánh dấu một bước tiến lớn trong việc mô tả đặc tính hoạt động của các hệ thống một chiều thực sự.

Các giao lộ không chắc chắn và bánh mì tròn Entropy

Có vô số phương trình bậc hai thực mà khi lặp lại từ số 0, người ta biết rằng cuối cùng sẽ tạo ra một chu kỳ lặp lại của các số. Nhưng nếu bạn hạn chế c đối với các giá trị hữu tỉ - những giá trị có thể được viết dưới dạng phân số - cuối cùng chỉ có ba giá trị tạo ra các chuỗi tuần hoàn: 0, –1 và –2. “Những hệ thống động lực này rất, rất đặc biệt,” nói Clayton Petsche của Đại học bang Oregon.

In một tờ giấy xuất bản năm ngoái, Petsche và Chatchai Noytaptim của Đại học Waterloo đã chứng minh rằng chúng thậm chí còn đặc biệt hơn những gì chúng xuất hiện ngay từ cái nhìn đầu tiên. Các nhà toán học đã xem xét những con số “hoàn toàn thực”, chúng có nhiều hạn chế hơn số thực nhưng ít hạn chế hơn số hữu tỷ.

Nếu bạn thế một số vào một đa thức và nhận được kết quả bằng 2 thì số đó là nghiệm của đa thức. Ví dụ: XNUMX là nghiệm của f(x) = x² - 4, f(x) = x³ - 10x² + 31x – 30, và vô số phương trình khác. Những đa thức như vậy có thể có nghiệm thực hoặc nghiệm phức. (Ví dụ, rễ của x² + 1 là căn bậc hai của –1, viết là i, và -i - cả hai số phức.)

Một số hoàn toàn thực nếu nó thỏa mãn phương trình đa thức với các hệ số nguyên chỉ có nghiệm thực. Tất cả các số hữu tỉ đều là số thực, nhưng một số số vô tỉ cũng vậy. Ví dụ: $latex sqrt{2}$ là hoàn toàn có thật, bởi vì đó là giải pháp cho f(x) = x² – 2, chỉ có gốc thực ($latex sqrt{2}$ và gốc "chị em" của nó $latex -sqrt{2}$). Nhưng căn bậc ba của 2, $latex sqrt[3]{2}$, không hoàn toàn có thật. Đó là một giải pháp để f(x) = x³ – 2, có thêm hai nghiệm chị em, còn được gọi là liên hợp Galois, rất phức tạp.

Petsche và Noytaptim đã chứng minh rằng không có con số thực vô tỷ nào cuối cùng tạo ra các chu kỳ tuần hoàn. Đúng hơn, 0, –1 và –2 là những số thực duy nhất thực hiện được điều này. Chúng thể hiện sự giao thoa khó có thể xảy ra giữa các thuộc tính từ hai thế giới dường như khác nhau - lý thuyết số (nghiên cứu về số nguyên) và các hệ động lực. Petsche và Noytaptim đã sử dụng các kết quả quan trọng từ lý thuyết số trong chứng minh của họ, làm nổi bật mối liên hệ giữa hai lĩnh vực.

Các nhà toán học Xavier Buff và Sarah Koch tìm thấy một giao lộ không ngờ tới khác. Họ chỉ ra rằng chỉ có bốn giá trị thực hoàn toàn của c — 1/4, –3/4, –5/4 và –7/4 — tạo ra các chuỗi thuộc một loại cụ thể, được hiểu rõ gọi là chu trình parabol.

Liên hợp Galois cũng mở đường cho việc phát hiện ra một vật thể bí ẩn được mệnh danh là “entropy bagel”, một vòng fractal phát sáng trong mặt phẳng phức. Entropy là thước đo tính ngẫu nhiên; trong bối cảnh này, nó đo lường mức độ khó dự đoán chuỗi số được tạo ra bằng cách lặp lại x² + c. Trong bài báo cuối cùng anh ấy viết Trước khi qua đời vào năm 2012, nhà tôpô học nổi tiếng William Thurston đã vẽ đồ thị tập hợp các giá trị entropy tương ứng với gần một tỷ giá trị thực khác nhau của c — cùng với liên hợp Galois của các giá trị entropy đó, có thể phức tạp. Tiozzo nói: Khái niệm entropy “chỉ nằm trên đường thực tế, nhưng bằng cách nào đó bạn vẫn có thể nhìn thấy cái bóng này của thế giới phức tạp”.

Koch nói: “Bạn thấy rằng nó đang tự tổ chức thành cấu trúc fractal ren đáng kinh ngạc này”. “Thật tuyệt vời.” Bánh mì tròn entropy chỉ là một mẫu rất phức tạp xuất hiện từ việc lặp lại các phương trình bậc hai thực. Cô nói thêm: “Chúng tôi vẫn đang học tất cả những câu phát biểu kỳ diệu này - những viên ngọc nhỏ - về các đa thức bậc hai thực sự”. “Bạn luôn có thể quay lại và ngạc nhiên bởi điều mà bạn tưởng mình đã biết rất rõ.”