Chứng minh dòng chảy giúp các nhà toán học tìm thấy sự ổn định trong hỗn loạn | Tạp chí lượng tử

Như với rất nhiều thứ trong toán học, bằng chứng bắt đầu với cà phê. Vào tháng 2019 năm XNUMX, Kathryn Mann của Đại học Cornell đã đến thăm Kingston, Ontario, để thuyết trình với khách mời tại Đại học Queen. Sau đó, cô ngồi xuống với chủ nhà, Thomas Barthelme, cho những gì được cho là một tách cà phê nhanh. Anh ấy muốn hỏi ý kiến ​​của cô ấy về một vấn đề mà anh ấy đang giải quyết liên quan đến các mô hình toán học được gọi là hệ thống động lực, mô tả cách các hiện tượng đơn giản như chuyển động tới lui của con lắc hoặc phức tạp như thời tiết thay đổi theo thời gian.

Trước khi họ biết điều đó, hàng giờ đã trôi qua. Mann nói: “Chúng tôi chỉ ngồi trong quán cà phê này, vẽ tranh, mỗi người cố gắng hiểu người kia muốn nói gì. “Lúc đầu, tôi đã nghĩ, anh chàng này thật vô nghĩa.” Nhưng khi họ học cách nói ngôn ngữ toán học của nhau, cả hai trở nên lạc quan hơn về cơ hội tìm ra lời giải.

Mann không phải lúc nào cũng thích toán học - khi còn nhỏ, cô ấy không giỏi số học - nhưng chính kiểu trò chuyện này cuối cùng đã khiến cô ấy nghiên cứu về nó. Mặc dù ban đầu quan tâm đến việc theo đuổi sự nghiệp triết học, nhưng cô ấy nhận ra rằng đó không phải là công việc phù hợp. Đối với các nhà triết học, “một cuộc thảo luận hiệu quả có nghĩa là kiểm tra vị trí của bạn so với người khác,” cô nói. “Toán thì ngược lại. Bạn nói chuyện với ai đó và cả hai bạn đều ở cùng một đội ngay từ đầu. Nếu ai đó nói, 'Điều đó không hiệu quả theo cách đó', bạn sẽ nói, 'Ồ, hãy cho tôi biết thêm.' Tôi thấy cách diễn đạt đó hay hơn nhiều.”

Barthelmé quan tâm đến các hệ động lực cụ thể được gọi là dòng chảy Anosov, hệ thống này tự nhiên xuất hiện trong nhiều lĩnh vực toán học và đóng vai trò như các mô hình đồ chơi quan trọng. Các hệ thống này thể hiện tất cả các thuộc tính dường như nghịch lý ở một nơi: hỗn loạn và ổn định; độ cứng và tính linh hoạt; sự hiện diện của cấu trúc hình học nội tại giữa một vùng hoang dã tô pô bên dưới.

Mỗi tính chất đó phát sinh trong các hệ thống động lực học mà các nhà toán học đã muốn tìm hiểu trong nhiều thế kỷ, từ chuyển động của các hành tinh quanh mặt trời đến sự lây lan của bệnh tật trong quần thể. Nhưng trong các hệ thống như vậy, việc gỡ rối các tính năng khác nhau này trở nên vô cùng phức tạp. Dòng chảy Anosov được định nghĩa là đối tượng nghiên cứu của riêng chúng vào những năm 1960 vì chúng thể hiện những hành vi quan trọng này ở mức độ cực đoan, khiến chúng dễ dàng phân tích hơn. Mann nói: “Bạn hy vọng rằng một khi bạn có một bức tranh hoàn hảo về trường hợp này, bạn có thể quay trở lại thế giới thực hỗn độn và tiếp cận nó với con mắt mới mẻ.

“Vào thời kỳ đầu của lý thuyết về các hệ thống động lực học, dòng chảy Anosov giống như ngọn hải đăng cho bạn biết hướng bạn nên đi,” ông nói Étienne Ghys của École Normale Supérieure ở Lyon, Pháp.

Tuy nhiên, chúng cực kỳ khó nắm bắt. Mặc dù các nhà toán học đã đạt được nhiều tiến bộ trong 60 năm qua, nhưng họ vẫn còn lâu mới đạt được bức tranh hoàn hảo mà Mann đã đề cập: một sự phân loại tất cả các loại dòng chảy Anosov khác nhau.

Bây giờ, trong một loạt các giấy tờ gần đây, Barthelmé và Mann, cùng với Steven Frankel của Đại học Washington ở St. Louis, đã thực hiện một bước ấn tượng hướng tới mục tiêu khó nắm bắt đó. Bằng cách dịch các câu hỏi về chuyển động và hình dạng sang ngôn ngữ đại số, họ đã chỉ ra rằng cần có tương đối ít dữ liệu để xác định hoàn toàn và duy nhất một luồng Anosov nhất định. (Kết quả của họ cũng đúng đối với các hệ động lực có liên quan nhưng tổng quát hơn được gọi là dòng giả Anosov.) Ẩn trong tất cả sự hỗn loạn đó, họ tìm thấy cấu trúc.

Các nhà toán học đã áp dụng kết quả của họ để giải quyết các câu hỏi chính về dòng chảy Anosov - cụ thể là cách xây dựng chúng và có thể có bao nhiêu dòng chảy trong số đó. “Đôi khi các kết quả rất quan trọng vì chúng thực sự cung cấp một quan điểm mới về chủ đề này,” ông nói Rafael Potrie, một nhà toán học tại Đại học Cộng hòa ở Uruguay. “Đó là những gì xảy ra ở đây.”

Phối cảnh hình học

Từ cuối thế kỷ 19, khi công trình nghiên cứu về cơ học thiên thể của Henri Poincaré khởi đầu cho lý thuyết hiện đại về các hệ thống động lực học, các nhà toán học đã nghĩ về động lực học qua lăng kính hình học.

Hãy xem xét một con lắc. Còn lại một mình, nó treo thẳng đứng, bất động. Nhưng nếu bạn nhấc nó lên rồi thả ra, nó sẽ đung đưa qua lại. Tại một thời điểm nhất định, trạng thái của con lắc có thể được ghi lại bằng hai thông tin: góc của nó so với vị trí treo thẳng đứng và vận tốc của nó. Kết quả là, bạn có thể biểu diễn tất cả các trạng thái có thể có của con lắc dưới dạng các điểm trên một mặt phẳng, được gọi là không gian trạng thái.

Nếu bạn bắt đầu tại một trong những điểm đó, một phương trình vi phân (dựa trên định luật chuyển động của Newton) sẽ cho bạn biết góc và vận tốc của con lắc sẽ thay đổi như thế nào theo thời gian. Chuyển động này được ghi lại bởi một đường cong, hay còn gọi là “quỹ đạo”, uốn lượn trong không gian trạng thái. Nếu bạn thay đổi góc bắt đầu và vận tốc của con lắc, bạn sẽ có một quỹ đạo khác trong không gian trạng thái.

Bạn muốn nghiên cứu tất cả các quỹ đạo như vậy như một đối tượng toán học duy nhất. Cách mã hóa hình học này cho hệ thống động của bạn được gọi là “dòng chảy”. Thay vì nghĩ về việc con lắc tạo ra các vòng cung trong không khí, bạn có thể nghiên cứu hành vi của nó bằng cách phân tích dòng chảy. Trong trường hợp này, dòng chảy bao gồm các hình elip lồng vào nhau (với mỗi hình elip biểu thị cách con lắc có thể dao động qua lại), cũng như các đường cong bên trên và bên dưới các hình elip đó (biểu thị các tình huống trong đó con lắc quay nhanh như chong chóng).

Nhưng các luồng có thể trở nên phức tạp hơn nhiều, liên quan đến các không gian trạng thái có chiều cao hơn, phức tạp hơn. Lấy 100 hạt chuyển động và tương tác trong không gian. Luồng nắm bắt hành vi của chúng là một tập hợp gồm vô số quỹ đạo thông qua không gian trạng thái 600 chiều. (Để chỉ mô tả trạng thái của một hạt, bạn cần sáu mẩu thông tin: ba số cho vị trí của nó và ba cho vận tốc. Vì vậy, một mô tả của tất cả 100 hạt cùng một lúc cần 600 số.)

Để phát triển các công cụ nghiên cứu các hệ thống phức tạp hơn này, các nhà toán học cần có cơ sở thử nghiệm phù hợp - các hệ thống đủ đơn giản để hiểu nhưng đủ phức tạp để phản ánh các thuộc tính mà họ thực sự quan tâm.

Đó là nơi dòng chảy Anosov phát huy tác dụng.

Ổn định toàn cầu, hỗn loạn cục bộ

Ngay cả trước khi công trình thế kỷ 19 của Poincaré thay đổi cách nghiên cứu các hệ thống động lực học, các nhà toán học đã quan tâm đến các hệ thống trong đó một hạt đi theo con đường ngắn nhất có sẵn: cái gọi là trắc địa. Trên một mặt phẳng, các hạt đi theo một loạt các đường thẳng; trên bề mặt của một quả cầu, chúng di chuyển dọc theo những vòng tròn lớn. Cấu trúc liên kết hoặc hình dạng toàn cầu của bề mặt ảnh hưởng đến hình dạng của các đường dẫn này.

Dòng trắc địa mô tả tất cả các cách có thể mà một hạt có thể di chuyển khi không chịu bất kỳ lực bên ngoài nào. Nói chung, không gian trạng thái có bốn chiều: Hai trong số các chiều này tương ứng với vị trí vật lý của hạt, trong khi hai chiều còn lại tương ứng với tốc độ chuyển động của hạt. Nhưng nếu bạn sẵn sàng loại bỏ một số thông tin — ví dụ, nếu bạn không quan tâm hạt đang chuyển động nhanh như thế nào mà chỉ quan tâm đến hướng nó quay về bất kỳ thời điểm nào — thì bạn có thể mô tả chuyển động của nó bằng cách sử dụng biểu đồ ba chiều. không gian trạng thái. Hai chiều mô tả vị trí của nó và chiều thứ ba biểu thị hướng mà nó đang đối mặt. Đó là cách các nhà toán học thường nghĩ về dòng chảy trắc địa: như một tập hợp các quỹ đạo trong không gian trạng thái ba chiều.

Những dòng chảy này đã thu hút sự quan tâm của các nhà toán học vì một số lý do. Kể từ cuối những năm 1800, chúng đã cho phép các nhà hình học và nhà tô pô hiểu rõ hơn cấu trúc của những bề mặt rất phức tạp — những bề mặt quá khó để nghiên cứu trực tiếp, nhưng sẽ trở nên dễ xử lý hơn khi bạn quan sát cách các hạt di chuyển trên chúng. Và chúng cũng rất quan trọng đối với các nhà động lực học, bởi vì nhiều hệ thống cơ học trong vật lý có thể được biểu diễn dưới dạng dòng chảy trắc địa.

Vào đầu thế kỷ 20, nhà toán học người Pháp Jacques Hadamard đã bắt đầu nghiên cứu các dòng chảy trắc địa trên các bề mặt “cong âm” - nghĩa là các bề mặt trông giống như yên ngựa tại bất kỳ điểm nào. (Điều này có lẽ không thể hình dung được, nhưng hữu ích về mặt toán học.) Ông phát hiện ra rằng các loại dòng chảy trắc địa này luôn hỗn loạn: Nếu bạn thay đổi vị trí ban đầu của một hạt một lượng rất nhỏ, nó sẽ kết thúc trên một quỹ đạo rất khác, nghĩa là bạn không thể dự đoán hành vi lâu dài của hệ thống. (Mặt khác, dòng trắc địa trên bề mặt của một quả cầu không có tính chất này.)

“Theo một cách nào đó, những hệ thống này… hỗn loạn đến mức tối đa,” ông nói Andy Hammerlindl của Đại học Monash ở Úc.

Vào những năm 1960, dựa trên công trình của Hadamard, nhà toán học người Nga Dmitri Anosov đã quan sát thấy rằng nếu bạn điều chỉnh một chút phương trình xác định dòng chảy trắc địa, tất cả các quỹ đạo sẽ dịch chuyển chỉ một chút: Bạn có thể chuyển dòng chảy ban đầu của mình sang một dòng chảy mới mà không làm thay đổi tổng thể của nó kết cấu. Trong các trường hợp điển hình, sự ổn định cấu trúc như vậy không được đảm bảo - nhưng nó dành cho các loại dòng chảy trắc địa này. “Khẩu hiệu là 'ổn định toàn cầu, hỗn loạn cục bộ',” Mann nói. “Trong động lực học, bạn thực sự quan tâm đến sự hợp lưu của sự ổn định và hỗn loạn.” Cả hai cùng tồn tại trong nhiều hệ động lực, tạo ra một sự cân bằng tinh tế và quan trọng mà các nhà toán học đã cố gắng tháo gỡ kể từ khi Poincaré nghiên cứu về hệ mặt trời của chúng ta.

Anosov đã phát hiện ra rằng cả hỗn loạn và ổn định đều tự động phát sinh trong một dòng chảy trắc địa vì quỹ đạo của nó hội tụ và phân kỳ giống như những đường vẽ trên một miếng kẹo dẻo khi nó bị ép lại với nhau và kéo dài ra.

Anosov đã khái quát hóa khái niệm về dòng chảy trắc địa trên bề mặt cong âm bằng cách viết ra các điều kiện toán học cụ thể cho hành vi giống như kẹo dẻo như vậy. Những dòng chảy tổng quát này hiện mang tên ông. Bất kỳ dòng chảy trắc địa nào trên một bề mặt cong âm là một. Nhưng Anosov nghĩ rằng có thể có cả một loạt các hệ thống động lực hoạt động theo cách này.

Mặc dù định nghĩa này có vẻ cụ thể một cách kỳ lạ, nhưng sự kéo dài và nén như vậy có thể được tìm thấy trong nhiều hệ thống động lực học. Nhưng nó không rõ ràng hoặc phổ biến trong những bối cảnh đó. Trong một luồng Anosov, hành vi giống như kẹo dẻo xuất hiện ở khắp mọi nơi — khiến nó trở thành một trường hợp cực đoan và do đó trở thành một hệ thống mô hình đặc biệt tốt để phát triển các công cụ và thông tin chi tiết mới.

Giống như các nhà khoa học có thể cố gắng tìm hiểu về biểu hiện gen ở ruồi giấm trước khi chuyển sang con người, các nhà toán học đã chứng minh kết quả về các thuộc tính tô pô, thống kê và các thuộc tính khác trong dòng chảy Anosov và sau đó mở rộng hoạt động đó sang các hệ động lực khác. Ví dụ, vào những năm 1970, các nhà toán học đã sử dụng những gì họ biết về dòng chảy Anosov (và các hệ thống liên quan) để hình thành một phỏng đoán về loại dòng chảy nào có thể thể hiện sự ổn định cấu trúc. Vào những năm 1990, Shuhei Hayashi của Đại học Tokyo đã chứng minh rằng đó là sự thật.

Phím tắt để nhận dạng

Anosov chỉ có thể đưa ra một họ hệ thống khác phù hợp với tiêu chí của mình. Nhưng kể từ đó, các nhà toán học đã phát hiện ra một vườn thú rộng lớn các ví dụ. (Hầu hết trong số này là các luồng trong không gian trạng thái ba chiều. Các luồng Anosov chiều cao hơn vẫn chưa được hiểu rõ.)

Các nhà toán học muốn hiểu đầy đủ về dòng chảy Anosov: tìm tất cả các ví dụ về chúng, phân tích cấu trúc của chúng, đánh giá không gian nào có thể hỗ trợ chúng và không gian nào không, và để xác định có bao nhiêu dòng chảy khác nhau có thể tồn tại trong một không gian nhất định.

Nhưng để làm được bất kỳ điều gì trong số đó, trước tiên họ cần nắm được những điều cơ bản — bao gồm việc tìm ra một cách tốt để mô tả đặc điểm của một luồng Anosov nhất định.

Đó là điều mà Barthelmé, Frankel và Mann đã làm được.

Hãy tưởng tượng một dòng chảy Anosov như một mớ phức tạp gồm vô số quỹ đạo, cùng nhau lấp đầy một không gian trạng thái ba chiều giống như sợi chỉ. Không gian trạng thái này được gọi là đa tạp. Nếu bạn phóng to bất kỳ phần nào của nó, nó sẽ trông giống như không gian ba chiều thông thường, nhưng trên toàn cầu, nó có thể có cấu trúc rất phức tạp, đầy lỗ hổng và các đặc điểm kỳ lạ khác.

Một số quỹ đạo trong đa tạp tự lặp lại, biểu thị cách một hạt cuối cùng có thể trở lại trạng thái ban đầu (chiếm cùng một vị trí trên một bề mặt và chỉ theo cùng một hướng). Tuy nhiên, hầu hết các quỹ đạo không bao giờ trở lại cùng một điểm: Thay vì tạo thành một quỹ đạo khép kín, chúng uốn khúc vô tận, một sợi chỉ mãi mãi không thể tháo rời.

Ba nhà toán học đã chứng minh rằng đối với hầu hết các luồng Anosov (cũng như các luồng giả Anosov), chỉ cần biết các quỹ đạo đóng hoặc “tuần hoàn” cho phép bạn xác định hoàn toàn toàn bộ hệ thống. Frankel nói: “Bạn sẽ không mất nhiều khi làm điều đơn giản hơn này. "Nó thực sự nắm bắt tất cả các thông tin." Có một số trường hợp ngoại lệ, nhưng trong những trường hợp đó, bộ ba cho thấy rằng bạn chỉ cần một thông tin bổ sung để mô tả dòng chảy.

Công trình cung cấp một cách để biết liệu hai luồng khác nhau có tương đương hay không — nghĩa là, liệu có một cách toán học cụ thể để chuyển đổi từng quỹ đạo trong luồng này thành quỹ đạo trong luồng kia hay không. Bạn không thể kiểm tra điều này theo cách thủ công, theo quỹ đạo; bạn cần một lối tắt, một cách để xác định dòng chảy với ít thông tin hơn.

Để có được lối tắt này, Barthelmé, Frankel và Mann đã chuyển sang một công cụ chính từ đại số mà các nhà tô pô thường sử dụng: nhóm cơ bản.

Một bản dịch sang đại số

Nhóm cơ bản thực sự là một danh sách các vòng trên đa tạp (và tất cả các kết hợp của chúng) mã hóa thông tin về hình dạng của đa tạp. Hãy xem xét bề mặt của một chiếc bánh rán, hoặc hình xuyến - một đa tạp hai chiều. Bạn có thể tạo một vòng lặp bằng cách bắt đầu tại một điểm trên hình xuyến, đi qua lỗ và quay lại nơi bạn bắt đầu. Nếu thay vì chui qua cái lỗ, bạn lại đi vòng qua nó, bạn đã hình thành một vòng lặp thứ hai. Nhóm cơ bản của hình xuyến là tập hợp của hai vòng này và tất cả các kết hợp của chúng (ví dụ: bạn có thể tưởng tượng đi vòng quanh lỗ hai lần hoặc đi qua lỗ một lần rồi đi vòng qua lỗ, v.v.). Nhóm cơ bản của đa tạp 3D trở nên phức tạp hơn.

Mỗi quỹ đạo định kỳ trong một dòng Anosov nhất định tương ứng với một lớp các vòng lặp được biểu diễn trong nhóm cơ bản. Theo Barthelmé, Frankel và Mann, đối với hầu hết các luồng Anosov (và giả Anosov), việc biết tập hợp con này là đủ để cho phép bạn tái tạo lại toàn bộ luồng. Bạn thậm chí không cần biết liệu các quỹ đạo nhất định có đan xen vào nhau hay có bao nhiêu bản sao của một quỹ đạo định kỳ nhất định. Chỉ từ dữ liệu định kỳ, bạn có thể xây dựng luồng của mình — trước tiên để có được các đối tượng một và hai chiều mã hóa các khía cạnh khác nhau của luồng và cuối cùng để có được chính luồng ba chiều.

“Đây là một bất ngờ đối với tôi,” Barthelmé nói. “Tôi nghĩ mọi người sẽ đoán rằng điều đó không đúng, bởi vì đó là thông tin khá yếu.”

Đó là những gì làm cho công việc rất hấp dẫn. “Nếu bạn chọn một quỹ đạo ngẫu nhiên, nó sẽ lấp đầy khoảng trống. Và quỹ đạo định kỳ không làm điều đó. Họ quay trở lại nơi họ bắt đầu và không nhìn thấy hầu hết không gian,” nói Amie Wilkinson của Đại học Chicago. Tuy nhiên, nếu bạn kết hợp các quỹ đạo định kỳ đó lại với nhau, bạn có thể hiểu cấu trúc đầy đủ của dòng chảy. “Đó là vẻ đẹp của kết quả.”

Vẫn còn vô số quỹ đạo định kỳ trong dòng chảy Anosov. Nhưng con số vô hạn đó là “có thể đếm được” — một số vô hạn nhỏ hơn tổng số quỹ đạo “không thể đếm được”. Nó tương tự như cách có vô số phân số giữa các số 1 và 2, nhưng nhiều số vô tỉ hơn như $latex sqrt{2}$ trong khoảng đó. Kết quả là, việc giảm một dòng chảy thành các quỹ đạo định kỳ của nó có thể hữu ích để đánh giá xem hai hệ thống có tương đương nhau hay không.

Barthelmé, Frankel và Mann cũng tìm thấy những ngoại lệ đối với quy tắc của họ: Trong một số trường hợp, có thể xảy ra trường hợp hai dòng chảy khác nhau trong khi có cùng quỹ đạo tuần hoàn. Nhưng những trường hợp ngoại lệ này hóa ra lại có cấu trúc rất đặc biệt và các nhà toán học có thể xác định rằng chỉ cần thêm một thông tin nữa để mô tả chúng.

Kể từ khi hoàn thành bằng chứng của họ vào cuối năm ngoái, Barthelmé và Mann đã hợp tác với Sergio Fenley, một nhà toán học tại Đại học bang Florida, người đã thực hiện nhiều nghiên cứu về dòng chảy Anosov, để mô tả đầy đủ các đặc điểm ngoại lệ này. Trong một bài báo mới mà họ chưa đăng trực tuyến, họ đã liệt kê các tình huống dẫn đến những dòng chảy phức tạp hơn này. Khi làm như vậy, họ không chỉ dựa vào kết quả trước đó, mà cuối cùng còn xây dựng các luồng mới có chung một thuộc tính hấp dẫn này: đó là chúng không thể được mô tả đầy đủ bằng dữ liệu định kỳ của chúng. “Điều này thật tuyệt vời,” Potrie nói. “Giống như với thiên văn học: Đôi khi bạn đang nghiên cứu quỹ đạo của các hành tinh, và khi hiểu rõ hơn về chúng, bạn phát hiện ra rằng phải có một số hành tinh ở đó mà bạn chưa biết. Và điều đó cho bạn biết hướng kính viễn vọng của bạn để bạn nhìn thấy nó. Tôi nghĩ rằng điều này đã xảy ra trong công việc này.

“Nó thực sự mang lại một cách rất rõ ràng để kết thúc chủ đề này,” Fenley nói. “Có loại đối tượng xấu có thể xảy ra, nhưng đối tượng xấu, hóa ra, không quá tệ.”

Đếm và phân loại

Một số nhà toán học, bao gồm cả Potrie và Fenley, đã sử dụng kết quả của Barthelmé, Frankel và Mann để hoàn thiện các chứng minh khác về các hệ động lực liên quan.

Barthelmé và Mann cũng đã sử dụng công trình của họ để giải quyết một trong những câu hỏi mở lớn nhất về dòng Anosov: Liệu một đa tạp 3D nhất định có thể hỗ trợ vô số dòng Anosov khác nhau không?

Giống như các đường viền của bờ sông ảnh hưởng đến các cách có thể có của nước trong sông, cấu trúc của một ống góp ảnh hưởng đến các loại dòng chảy động lực nào có thể. (Ghềnh Whitewater không xuất hiện trong các mặt phẳng rộng, bằng phẳng.)

Người ta đã biết rằng nhiều đa tạp 3D hoàn toàn không thể đóng vai trò là không gian trạng thái cho bất kỳ luồng Anosov nào. Và một vài năm trước, Mann và Jonathan Bowden, một nhà toán học tại Đại học Regensburg ở Đức, đã chứng minh rằng với bất kỳ số lượng hữu hạn nào bạn chọn — 15,000 luồng khác nhau, hoặc 15 triệu hoặc 15 tỷ — bạn có thể tìm thấy một đa tạp 3D có ít nhất nhiều luồng khác nhau. (Nhóm khác cho thấy điều này một cách độc lập.)

Nhưng vẫn chưa biết liệu bạn có thể tìm thấy một đa tạp với vô số dòng Anosov khác nhau hay không. Barthelmé và Mann đã chứng minh một trường hợp đặc biệt bằng cách kết hợp công trình mới của họ với những kết quả khác gần đây trong một lĩnh vực gọi là hình học tiếp xúc. “Chắc chắn có những thứ đang phát triển ở giao diện này,” nói Boris Hasselblatt của Đại học Tufts. “Thật mới mẻ và thú vị.”

Tất cả điều này hy vọng sẽ giúp ích cho mục tiêu dài hạn là phân loại các luồng Anosov (bao gồm cả các luồng có chiều cao hơn). Nhưng nó cũng cung cấp những hướng nghiên cứu mới và giúp các nhà toán học hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa cấu trúc liên kết và động lực học. Theo Potrie, sẽ rất hấp dẫn khi nghiên cứu dữ liệu định kỳ này, với cấu trúc nhóm tương ứng của nó, theo đúng nghĩa của nó. Ông nói: “Có rất nhiều câu hỏi mở ra, chỉ vì họ đã xác định đối tượng này, sự khai thác này. “Bây giờ chúng ta cần phải hiểu nó.”