Cuối bom tấn Marvel Avengers: Kết thúc, một bức ảnh ba chiều được ghi sẵn của Tony Stark gửi lời chào tạm biệt đến cô con gái nhỏ của mình bằng cách nói: “Anh yêu em 3,000”. Khoảnh khắc cảm động lặp lại cảnh trước đó, trong đó cả hai đang tham gia vào nghi lễ trước khi đi ngủ vui nhộn để định lượng tình yêu của họ dành cho nhau. Theo Robert Downey Jr., nam diễn viên đóng vai Stark, câu thoại này được truyền cảm hứng từ những cuộc trao đổi tương tự với con cái của anh.
Trò chơi có thể là một cách thú vị để khám phá số lượng lớn:
"Tôi yêu bạn 10."
"Nhưng tôi yêu bạn 100."
"Chà, tôi yêu bạn 101!"
Đây chính là cách “googolplex” trở thành một từ phổ biến trong nhà tôi. Nhưng tất cả chúng ta đều biết lý lẽ này cuối cùng dẫn đến đâu:
"Tôi yêu bạn vô cùng!"
“Ồ, vậy à? I love you infinity plus 1! ”
Cho dù đó là trên sân chơi hay trước khi đi ngủ, trẻ em bắt gặp khái niệm vô cực từ rất lâu trước khi đến lớp học toán, và chúng phát triển một cách dễ hiểu sự say mê với khái niệm bí ẩn, phức tạp và quan trọng này. Một số trẻ em trong số đó lớn lên trở thành những nhà toán học say mê với vô cực, và một số nhà toán học đó đang khám phá ra những điều mới mẻ và đáng ngạc nhiên về vô cực.
Bạn có thể biết rằng một số tập hợp số lớn vô hạn, nhưng bạn có biết rằng một số số vô hạn lớn hơn những số vô hạn khác không? Và chúng ta không chắc liệu có vô hạn nào khác kẹp giữa hai thứ mà chúng ta biết rõ nhất hay không? Các nhà toán học đã cân nhắc câu hỏi thứ hai này trong ít nhất một thế kỷ, và một số công trình gần đây đã thay đổi cách mọi người nghĩ về vấn đề này.
Để giải quyết các câu hỏi về kích thước của các tập hợp vô hạn, hãy bắt đầu với các tập hợp dễ đếm hơn. Một tập hợp là một tập hợp các đối tượng hoặc các phần tử, và một tập hợp hữu hạn chỉ là một tập hợp chứa vô số đối tượng.
Xác định kích thước của một tập hợp hữu hạn rất dễ dàng: Chỉ cần đếm số phần tử mà nó chứa. Vì tập hợp là hữu hạn, bạn biết rằng cuối cùng bạn sẽ ngừng đếm và khi hoàn thành, bạn biết kích thước của tập hợp của mình.
Chiến lược này không hoạt động với các tập hợp vô hạn. Đây là tập hợp các số tự nhiên, được ký hiệu là ℕ. (Một số người có thể tranh luận rằng số XNUMX không phải là số tự nhiên, nhưng cuộc tranh luận đó không ảnh hưởng đến các nghiên cứu của chúng tôi về vô hạn.)
$ latexmathbb {N} = {0,1,2,3,4,5,…} $
Kích thước của bộ này là bao nhiêu? Vì không có số tự nhiên lớn nhất, nên cố gắng đếm số phần tử sẽ không hiệu quả. Một giải pháp là chỉ cần khai báo kích thước của tập hợp vô hạn này là “vô hạn”, điều này không sai, nhưng khi bạn bắt đầu khám phá các tập hợp vô hạn khác, bạn nhận ra nó cũng không đúng.
Hãy xem xét tập hợp các số thực, là tất cả các số có thể biểu diễn được dưới dạng khai triển thập phân, như 7, 3.2, −8.015 hoặc mở rộng vô hạn như $ latexsqrt {2} = 1.414213… $. Vì mọi số tự nhiên cũng là một số thực, tập hợp các số thực ít nhất cũng lớn bằng tập hợp các số tự nhiên và do đó cũng phải là vô hạn.
Nhưng có điều gì đó không hài lòng về việc tuyên bố kích thước của tập hợp các số thực là giống như "vô cực" được sử dụng để mô tả kích thước của các số tự nhiên. Để biết lý do tại sao, hãy chọn hai số bất kỳ, chẳng hạn như 3 và 7. Giữa hai số đó sẽ luôn có vô số số tự nhiên: Đây là các số 4, 5 và 6. Nhưng sẽ luôn có vô số số thực giữa chúng, các số như 3.001, 3.01, π, 4.01023, 5.666…, v.v.
Đáng chú ý là, cho dù hai số thực phân biệt có gần nhau đến đâu, thì sẽ luôn có vô hạn số thực ở giữa. Bản thân điều này không có nghĩa là các tập hợp số thực và số tự nhiên có kích thước khác nhau, nhưng nó gợi ý rằng có điều gì đó khác biệt cơ bản về hai tập hợp vô hạn này cần được nghiên cứu thêm.
Nhà toán học Georg Cantor đã nghiên cứu điều này vào cuối thế kỷ 19. Ông đã chỉ ra rằng hai tập hợp vô hạn này thực sự có kích thước khác nhau. Để hiểu và đánh giá cao cách ông đã làm điều đó, trước tiên chúng ta phải hiểu cách so sánh các tập hợp vô hạn. Bí mật là yếu tố cơ bản của các lớp toán ở khắp mọi nơi: các hàm.
Có rất nhiều cách khác nhau để suy nghĩ về hàm - ký hiệu hàm như $ latex f (x) = x ^ 2 + 1 $, đồ thị của parabol trong mặt phẳng Descartes, các quy tắc như "lấy đầu vào và thêm 3 vào nó" - nhưng ở đây chúng ta sẽ nghĩ về một hàm như một cách để so khớp các phần tử của một tập hợp này với các phần tử của tập hợp khác.
Hãy coi một trong những tập hợp đó là ℕ, tập hợp các số tự nhiên. Đối với tập hợp khác, chúng tôi sẽ gọi S, chúng tôi sẽ lấy tất cả các số tự nhiên chẵn. Đây là hai bộ của chúng tôi:
$ latexmathbb {N} = {0,1,2,3,4,…} $ $ latex S = {0,2,4,6,8,…} $
Có một hàm đơn giản biến các phần tử của ℕ thành các phần tử của S: $ latex f (x) = 2x $. Hàm này chỉ đơn giản là tăng gấp đôi đầu vào của nó, vì vậy nếu chúng ta coi các phần tử của ℕ là đầu vào của $ latex f (x) $ (chúng tôi gọi tập hợp các đầu vào của một hàm là “miền”), thì đầu ra sẽ luôn là phần tử của S. Ví dụ, $ latex f (0) = 0 $, $ latex f (1) = 2 $, $ latex f (2) = 4 $, $ latex f (3) = 6 $, v.v.
Bạn có thể hình dung điều này bằng cách xếp các phần tử của hai tập hợp cạnh nhau và sử dụng các mũi tên để chỉ ra cách hàm $ latex f $ biến đầu vào từ ℕ thành đầu ra trong S.
Lưu ý cách $ latex f (x) $ chỉ định chính xác một phần tử của S cho mỗi phần tử của ℕ. Đó là những gì các hàm làm, nhưng $ latex f (x) $ thực hiện nó theo một cách đặc biệt. Đầu tiên, $ latex f $ chỉ định mọi thứ trong S đến một cái gì đó trong ℕ. Sử dụng thuật ngữ hàm, chúng tôi nói rằng mọi phần tử của S là “hình ảnh” của một phần tử của ℕ trong hàm $ latex f $. Ví dụ: số chẵn 3,472 ở Svà chúng tôi có thể tìm thấy một x trong ℕ sao cho $ latex f (x) = 3,472 $ (cụ thể là 1,736). Trong tình huống này, chúng ta nói rằng hàm $ latex f (x) $ ánh xạ ℕ lên S. Một cách nói lạ lùng hơn là hàm $ latex f (x) $ là "hàm phụ." Tuy nhiên bạn mô tả nó, điều quan trọng là đây: Vì hàm $ latex f (x) $ biến đầu vào từ ℕ thành đầu ra trong S, không có gì trong S bị bỏ sót trong quá trình này.
Điều đặc biệt thứ hai về cách $ latex f (x) $ chỉ định đầu ra cho đầu vào là không có hai phần tử nào trong ℕ được chuyển đổi thành cùng một phần tử trong S. Nếu hai số khác nhau, thì nhân đôi của chúng khác nhau; 5 và 11 là các số tự nhiên khác nhau trong ℕ, và kết quả đầu ra của chúng bằng S cũng khác nhau: 10 và 22. Trong trường hợp này, chúng tôi nói rằng $ latex f (x) $ là "1-1" (còn được viết là "1-1") và chúng tôi mô tả $ latex f (x) $ là "Bị thương." Chìa khóa ở đây là không có gì trong S được sử dụng hai lần: Mọi phần tử trong S chỉ được ghép nối với một phần tử trong ℕ.
Hai đặc điểm này của $ latex f (x) $ kết hợp với nhau một cách mạnh mẽ. Hàm $ latex f (x) $ tạo ra sự kết hợp hoàn hảo giữa các phần tử của ℕ và các phần tử của S. Thực tế là $ latex f (x) $ là "vào" có nghĩa là mọi thứ trong S có một đối tác trong ℕ và thực tế là $ latex f (x) $ là 1-1 có nghĩa là không có gì trong S có hai đối tác trong ℕ. Tóm lại, hàm $ latex f (x) $ ghép mọi phần tử của ℕ với đúng một phần tử của S.
Một chức năng vừa có tính chất bổ sung vừa là phép bổ trợ được gọi là phép đối chiếu, và phép đối chiếu tạo ra sự tương ứng 1-1 giữa hai tập hợp. Điều này có nghĩa là mọi phần tử trong một tập hợp có đúng một đối tác trong tập hợp kia và đây là một cách để chứng minh rằng hai tập hợp vô hạn có cùng kích thước.
Vì hàm $ latex f (x) $ của chúng ta là một nhị phân, điều này cho thấy rằng hai tập vô hạn ℕ và S có cùng kích thước. Điều này có vẻ đáng ngạc nhiên: Xét cho cùng, mọi số tự nhiên chẵn đều là một số tự nhiên, vì vậy ℕ chứa mọi thứ trong S và nhiều hơn nữa. Điều đó không nên làm cho ℕ lớn hơn S? Nếu chúng ta đang xử lý các tập hợp hữu hạn, câu trả lời sẽ là có. Nhưng một tập hợp vô hạn này hoàn toàn có thể chứa tập hợp khác và chúng vẫn có thể có cùng kích thước, kiểu "vô cực cộng 1" thực ra không phải là một lượng lớn tình yêu hơn so với "vô cực" cũ thông thường. Đây chỉ là một trong nhiều tính chất đáng ngạc nhiên của tập hợp vô hạn.
Một điều ngạc nhiên thậm chí còn lớn hơn có thể là có vô số tập hợp các kích thước khác nhau. Trước đó, chúng ta đã khám phá các bản chất khác nhau của các tập hợp vô hạn số thực và số tự nhiên, và Cantor đã chứng minh rằng hai tập hợp vô hạn này có kích thước khác nhau. Ông đã làm như vậy với lập luận đường chéo tuyệt vời và nổi tiếng của mình.
Vì có vô hạn số thực nằm giữa hai số thực phân biệt bất kỳ, chúng ta hãy chỉ tập trung vào vô số số thực từ 1 đến XNUMX. Mỗi số này có thể được coi là một khai triển thập phân (có thể là vô hạn), như thế này.
Ở đây $ latex a_1, a_2, a_3 $, v.v. chỉ là các chữ số của số, nhưng chúng tôi sẽ yêu cầu rằng không phải tất cả các chữ số đều bằng XNUMX nên chúng tôi không bao gồm chính số XNUMX trong tập hợp của mình.
Đối số đường chéo về cơ bản bắt đầu với câu hỏi: Điều gì sẽ xảy ra nếu tồn tại một phép nhị phân giữa các số tự nhiên và các số thực này? Nếu một hàm như vậy tồn tại, hai tập hợp sẽ có cùng kích thước và bạn có thể sử dụng hàm để đối sánh từng số thực từ 1 đến XNUMX với một số tự nhiên. Bạn có thể tưởng tượng một danh sách có thứ tự các kết hợp, như thế này.
Điểm đặc biệt của đối số đường chéo là bạn có thể sử dụng danh sách này để tạo một số thực không thể có trong danh sách. Bắt đầu tạo chữ số thực theo từng chữ số theo cách sau: Tạo chữ số đầu tiên sau dấu thập phân khác với $ latex a_1 $, tạo chữ số thứ hai khác với $ latex b_2 $, tạo chữ số thứ ba khác với $ latex c_3 $, v.v.
Số thực này được xác định bởi mối quan hệ của nó với đường chéo của danh sách. Nó có trong danh sách không? Nó không thể là số đầu tiên trong danh sách, vì nó có một chữ số đầu tiên khác. Nó cũng không thể là số thứ hai trong danh sách, vì nó có một chữ số thứ hai khác. Trên thực tế, nó không thể là nsố thứ trong danh sách này, bởi vì nó có một nchữ số thứ. Và điều này đúng cho tất cả n, vì vậy, số mới này, từ 1 đến XNUMX, không thể có trong danh sách.
Nhưng tất cả các số thực từ 1 đến 1 đều có trong danh sách! Mâu thuẫn này nảy sinh từ giả định rằng tồn tại một phép phủ định giữa các số tự nhiên và các số thực giữa số 1 và số XNUMX, và do đó không thể tồn tại một phép phủ định như vậy. Điều này có nghĩa là các tập hợp vô hạn này có kích thước khác nhau. Làm thêm một chút với các hàm (xem bài tập) có thể cho thấy rằng tập hợp tất cả các số thực có cùng kích thước với tập hợp tất cả các số thực từ XNUMX đến XNUMX, và do đó, các số thực, chứa các số tự nhiên, phải là tập vô hạn lớn hơn.
Thuật ngữ kỹ thuật để chỉ kích thước của một tập hợp vô hạn là "số lượng" của nó. Đối số đường chéo cho thấy rằng bản số của các số thực lớn hơn bản số của các số tự nhiên. Số tự nhiên của các số tự nhiên được viết $ latex aleph_0 $, phát âm là “aleph naught”. Trong một cái nhìn tiêu chuẩn của toán học, đây là thẻ bài vô hạn nhỏ nhất.
Hồng y vô hạn tiếp theo là $ latex aleph_1 $ (“aleph một”) và một câu hỏi được nêu đơn giản đã khiến các nhà toán học bối rối trong hơn một thế kỷ: $ latex aleph_1 $ có phải là tổng số của các số thực không? Nói cách khác, có vô hạn nào khác giữa số tự nhiên và số thực không? Cantor nghĩ câu trả lời là không - một khẳng định được gọi là giả thuyết liên tục - nhưng anh ấy không thể chứng minh điều đó. Vào đầu những năm 1900, câu hỏi này được coi là quan trọng đến mức khi David Hilbert tập hợp danh sách 23 bài toán mở quan trọng nổi tiếng trong toán học của mình, giả thuyết liên tục là số một.
Một trăm năm sau, nhiều tiến bộ đã đạt được, nhưng sự tiến bộ đó đã dẫn đến những bí ẩn mới. Năm 1940, nhà logic học nổi tiếng Kurt Gödel đã chứng minh rằng, theo các quy tắc được chấp nhận phổ biến của lý thuyết tập hợp, không thể chứng minh rằng tồn tại vô hạn giữa giá trị của các số tự nhiên và số thực. Điều đó có vẻ như là một bước tiến lớn trong việc chứng minh rằng giả thuyết liên tục là đúng, nhưng hai thập kỷ sau, nhà toán học Paul Cohen chứng minh rằng không thể chứng minh rằng một sự vô hạn như vậy không tồn tại! Hóa ra giả thuyết liên tục không thể được chứng minh theo cách này hay cách khác.
Các kết quả này cùng nhau thiết lập “tính độc lập” của giả thuyết liên tục. Điều này có nghĩa là các quy tắc thường được chấp nhận của tập hợp không đủ để cho chúng ta biết liệu có tồn tại vô cực giữa số tự nhiên và số thực hay không. Nhưng thay vì làm nản lòng các nhà toán học trong việc theo đuổi sự hiểu biết về tính vô hạn, nó đã dẫn họ đến những hướng đi mới. Các nhà toán học hiện đang tìm kiếm các quy tắc cơ bản mới cho tập hợp vô hạn có thể giải thích những gì đã biết về vô hạn và giúp lấp đầy những khoảng trống.
Nói “Tình yêu của anh dành cho em không phụ thuộc vào tiên đề” có thể không vui bằng nói “Anh yêu em vô cùng cộng 1”, nhưng có lẽ nó sẽ giúp thế hệ tiếp theo của những nhà toán học yêu vô cùng có một giấc ngủ ngon.
Các bài tập
1. Cho $ latex T = {1,3,5,7,…} $, tập các số tự nhiên lẻ dương. Là T lớn hơn, nhỏ hơn hoặc cùng kích thước với ℕ, tập hợp các số tự nhiên?
2. Tìm sự tương ứng 1-1 giữa tập hợp các số tự nhiên, ℕ và tập hợp các số nguyên $ latexmathbb {Z} = {…, -3, -2, -1,0,1,2,3, …} $.
3. Tìm một hàm $ latex f (x) $ là một song ánh giữa tập hợp các số thực từ 1 đến XNUMX và tập hợp các số thực lớn hơn XNUMX.
4. Tìm một hàm số là một song ánh giữa tập hợp các số thực từ 1 đến XNUMX và tập hợp tất cả các số thực.
Bấm để trả lời 1:
Bấm để trả lời 2:
Bạn cũng có thể cố gắng xác định một hàm phù hợp với các phần tử. Chức năng này,
$ latexf (n) = begin {trường hợp}
frac {n + 1} {2} & text {nếu $ n $ là số lẻ}
-frac {n} {2} & text {nếu $ n $ là số chẵn}
kết thúc {trường hợp} $
ánh xạ ℕ lên $ latexmathbb {Z} $ và là 1-1. Vì vậy, có bao nhiêu số nguyên như số tự nhiên, một kỳ tích kỳ lạ khác của vô hạn.
Bấm để trả lời 3:
Có nhiều khả năng, nhưng một khả năng đơn giản là $ latex f (x) = frac {x} {1-x} $. Mọi số thực dương là hình ảnh dưới $ latex f (x) $ của một số thực từ 1 đến 102. Ví dụ: để tìm số nào được ghép nối với, chẳng hạn, 102, chỉ cần đặt $ latex 1 = frac {x} { XNUMX-x} $ và giải cho x:
$ latex 102 = frac {x} {1-x} $
$ latex 102 (1-x) = x $
$ latex 102 = 103x $
$ latex x = frac {102} {103} $
Lưu ý rằng x mà chúng tôi tìm thấy nằm trong khoảng từ 1 đến 102, theo yêu cầu. Vì vậy, đối với bất kỳ số nào, chẳng hạn như 1, chúng ta có thể tìm thấy một đầu vào được ánh xạ vào nó, điều này gợi ý rằng $ latex f (x) $ là hàm phụ. Một cách để thấy rằng $ latex f (x) $ cũng không bị ảnh hưởng (1-XNUMX) là vẽ đồ thị cho nó và quan sát rằng nó vượt qua thử nghiệm đường ngang: mọi đường nằm ngang trong mặt phẳng Descartes đều đi qua đồ thị của $ latex f ( x) $ nhiều nhất một lần, có nghĩa là không có đầu ra nào được sử dụng hai lần.
Bấm để trả lời 4:
Như với bài tập 3, có nhiều hàm có thể hoạt động, nhưng cách tiếp cận tiêu chuẩn là sử dụng một phép biến đổi của hàm tiếp tuyến. Đối với miền $ latex -frac {π} {2}
Bạn có thể thay đổi miền của hàm này bằng một phép biến đổi. Ví dụ: chúng ta có thể thu nhỏ miền từ $ latex -frac {π} {2} <x
