Làm sao người ta có thể nói một cách chắc chắn về sự vô tận? Chúng ta thực sự có thể biết gì về các số nguyên tố bí ẩn nếu không biết tất cả chúng? Giống như các nhà khoa học cần dữ liệu để đánh giá các giả thuyết của họ, các nhà toán học cần bằng chứng để chứng minh hoặc bác bỏ các phỏng đoán. Nhưng điều gì được coi là bằng chứng trong lĩnh vực phi vật thể của lý thuyết số? Trong tập này, Steven Strogatz nói chuyện với Melanie Matchett Gỗ, một giáo sư toán học tại Đại học Harvard, để tìm hiểu làm thế nào xác suất và tính ngẫu nhiên có thể giúp thiết lập bằng chứng cho những lập luận chặt chẽ mà các nhà toán học yêu cầu.
Lắng nghe về Podcast của Apple, Spotify, Google Podcasts, người may quần áo, TuneIn hoặc ứng dụng podcasting yêu thích của bạn, hoặc bạn có thể truyền nó từ Quanta.
Bảng điểm
Steven Strogatz (00:02): Tôi là Steve Strogatz, và đây là Niềm vui của tại sao, một podcast từ Tạp chí Quanta đưa bạn đến với một số câu hỏi lớn nhất chưa có đáp án về toán học và khoa học ngày nay. Trong tập này, chúng ta sẽ nói về bằng chứng trong toán học. Những loại bằng chứng nào các nhà toán học sử dụng? Điều gì khiến họ nghi ngờ rằng điều gì đó có thể là sự thật, trước khi họ có bằng chứng chắc chắn?
(00:26) Nghe có vẻ nghịch lý, nhưng hóa ra lập luận dựa trên lý thuyết xác suất, nghiên cứu về cơ hội và tính ngẫu nhiên, đôi khi có thể dẫn đến điều mà các nhà toán học thực sự theo đuổi, đó là sự chắc chắn, không chỉ là xác suất. Ví dụ, trong nhánh toán học được gọi là lý thuyết số, có một lịch sử lâu đời về việc sử dụng tính ngẫu nhiên để giúp các nhà toán học đoán điều gì là đúng. Bây giờ, xác suất đang được sử dụng để giúp họ chứng minh điều gì là đúng.
(00:53) Ở đây chúng ta sẽ tập trung vào các số nguyên tố. Bạn có thể nhớ số nguyên tố, phải không? Bạn đã học về chúng ở trường. Số nguyên tố là số nguyên lớn hơn 1 chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Ví dụ, 7 hoặc 11. Đó là các số nguyên tố, nhưng 15 thì không phải vì 15 có thể chia hết cho 3 hoặc 5. Bạn có thể nghĩ về các số nguyên tố giống như các nguyên tố trong bảng tuần hoàn hóa học, theo nghĩa rằng chúng là những nguyên tử không thể phân chia tạo nên tất cả các số khác.
(01:27) Số nguyên tố tưởng chừng như đơn giản, nhưng một số bí ẩn lớn nhất trong toán học là các câu hỏi về số nguyên tố. Trong một số trường hợp, những câu hỏi đã tồn tại hàng trăm năm. Thực sự có điều gì đó rất tinh tế về số nguyên tố. Họ dường như sống trong một vùng biên giới giữa trật tự và ngẫu nhiên. Vị khách mời của tôi hôm nay sẽ giúp chúng ta hiểu thêm về bản chất của bằng chứng trong toán học, đặc biệt là cách thức và lý do tại sao tính ngẫu nhiên có thể cho chúng ta biết nhiều điều về các số nguyên tố và tại sao các mô hình dựa trên xác suất lại có thể hữu ích đến vậy trong lĩnh vực lý thuyết số. Tham gia cùng tôi để thảo luận về tất cả những điều này là Melanie Matchett Wood, giáo sư toán học tại Đại học Harvard. Chào mừng Melanie!
Melanie Matchett Gỗ (02:09): Hi, rất vui được nói chuyện với bạn.
Strogatz (02:11): Nói chuyện với bạn rất tốt, tôi là một fan hâm mộ lớn. Hãy nói về toán học và khoa học trong mối quan hệ với nhau bởi vì các từ thường được sử dụng cùng nhau, tuy nhiên các kỹ thuật mà chúng ta sử dụng để chứng minh và xác định trong toán học hơi khác so với những gì chúng ta cố gắng làm trong khoa học. Ví dụ, khi chúng ta nói về việc thu thập bằng chứng trong toán học, nó giống và khác như thế nào so với việc thu thập bằng chứng bằng phương pháp khoa học trong khoa học?
Gỗ (02:38): Một bằng chứng toán học là một lập luận logic hoàn chỉnh, hoàn toàn kín kẽ rằng một số khẳng định toán học phải theo cách đó và không thể theo bất kỳ cách nào khác. Vì vậy, không giống như một lý thuyết khoa học — có thể là lý thuyết tốt nhất chúng ta có dựa trên bằng chứng chúng ta có ngày nay, nhưng chúng ta sẽ có thêm bằng chứng, bạn biết đấy, trong 10 năm tới và có thể sẽ có một lý thuyết mới — một bằng chứng toán học nói rằng một số tuyên bố phải như vậy, chúng ta không thể phát hiện ra rằng nó sẽ sai trong 10 năm hay 20 năm nữa.
Strogatz (03:17): Chà, những thứ gì được coi là bằng chứng trong toán học?
Gỗ (03:19): Vì vậy, bạn có thể thấy điều gì đó đúng trong rất nhiều ví dụ. Và dựa trên sự thật trong rất nhiều ví dụ, mà bạn có thể nói sẽ là bằng chứng cho sự thật đó, bạn có thể đưa ra một phỏng đoán, cái mà các nhà toán học gọi là phỏng đoán, phỏng đoán rằng điều gì đó là đúng. Nhưng sau đó, điều mà các nhà toán học muốn sẽ là một bằng chứng rằng thứ mà bạn đã thấy hoạt động trong rất nhiều ví dụ sẽ luôn hoạt động theo cách mà bạn đã tuyên bố.
Strogatz (03:49): Đúng, rất khác so với trọng lượng của bằng chứng. Đây là một tuyên bố rằng có một lý do tại sao một cái gì đó sẽ đúng mãi mãi, mọi lúc, trong mọi trường hợp.
Gỗ (03:58): Và không chỉ là “Ồ, tôi đã xem xét hàng triệu trường hợp và điều đó đúng với từng trường hợp.” Đó là một lý do để đoán hoặc phỏng đoán rằng nó luôn đúng. Nhưng trong toán học, chúng tôi phân biệt giữa một phỏng đoán như vậy có thể dựa trên nhiều trường hợp hoặc bằng chứng và việc có một định lý hoặc bằng chứng, một lập luận cho bạn biết rằng nó sẽ đúng trong mọi trường hợp, kể cả những trường hợp bạn không biết. chưa thử.
Strogatz (04:25): Phải chăng bản chất các nhà toán học khó tính, hay có trường hợp điều gì đó tưởng chừng như đúng, cho đến một số khả năng rất lớn, cuối cùng lại không đúng ngoài một số lớn khác ?
Gỗ (04:39): Ồ, đó là một câu hỏi hay. Vâng, đây là một ví dụ tôi thích, bởi vì tôi thích các số nguyên tố. Vì vậy, khi bạn xem xét các số nguyên tố — 2, 3, 5, 7 — một trong những điều bạn có thể làm, bạn có thể nhìn và nói, "này, chúng có chia hết cho 2 không?" Và điều đó hóa ra không thú vị lắm. Sau 2, không cái nào chia hết cho 2. Chúng đều, chúng đều lẻ.
(05:10) Và sau đó bạn có thể nghĩ, "à, chúng có chia hết cho 3 không?" Và tất nhiên, sau 3, chúng cũng không thể chia hết cho 3, vì chúng là số nguyên tố. Tuy nhiên, bạn có thể nhận thấy rằng một số trong số chúng, khi bạn chia chúng cho 3, bạn sẽ có số dư là 1, nghĩa là chúng lớn hơn 1 so với bội số của 3. Vì vậy, những thứ như 7, tức là 1 lớn hơn 6 hoặc 13 , tức là 1 nhiều hơn 12. Và một số số nguyên tố đó, chẳng hạn như 11 hoặc 17, tức là 2 lớn hơn 15, chúng sẽ có số dư là 2 khi bạn chia chúng cho 3, vì chúng lớn hơn 2 so với a bội số của 3.
(05:47) Và vì vậy bạn có thể nghĩ về những số nguyên tố này theo nhóm. Đội 1 là tất cả các số lớn hơn 1 so với bội số của 3 và Đội 2 là tất cả các số lớn hơn 2 so với bội số của 3. Và khi bạn xem qua các số nguyên tố và liệt kê các số nguyên tố, bạn có thể liệt kê tất cả số nguyên tố và bạn có thể kiểm đếm, và xem có bao nhiêu số ở Đội 1 và bao nhiêu số ở Đội 2. Và nếu bạn kiểm đếm đến 600 tỷ, tại mọi điểm, mọi số lên đến 600 tỷ, bạn sẽ thấy rằng có nhiều số nguyên tố Đội 2 hơn số nguyên tố Đội 1. Vì vậy, bạn có thể phỏng đoán một cách tự nhiên, dựa trên bằng chứng đó, rằng sẽ luôn có nhiều số nguyên tố của Nhóm 2 hơn các số nguyên tố của Nhóm 1.
Strogatz (06:33): Chắc chắn rồi. Hoàn toàn nghe có vẻ như nó.
Gỗ: Hóa ra, ở con số khoảng 608 tỷ gì đó, tôi quên con số chính xác, nó thay đổi.
Strogatz (06:46): Thôi nào.
Gỗ: Yep, nó thực sự thay đổi. Và bây giờ thật bất ngờ, Đội 1 đang dẫn trước. Vì vậy, đó là một -
Strogatz (06:53): Chờ chút. Đợi đã, nhưng điều này thật tuyệt vời. Gì - bây giờ, họ có tiếp tục thay đổi không? Chúng tôi có biết điều gì sẽ xảy ra khi bạn tiếp tục không? Họ có tiếp tục thay đổi không?
Gỗ (07:01): Vâng, câu hỏi rất hay. Vì vậy, thực sự, đó là một định lý rằng họ sẽ thay đổi khách hàng tiềm năng vô cùng thường xuyên.
Strogatz (07:07): Thật sao?
Gỗ: Vì vậy, họ sẽ tiếp tục giao dịch khách hàng tiềm năng. Nhưng đó là một ví dụ thực sự tuyệt vời để ghi nhớ khi bạn đang nghiên cứu các số nguyên tố, rằng chỉ vì một điều gì đó đúng trong 600 tỷ trường hợp đầu tiên không có nghĩa là nó sẽ luôn đúng.
Strogatz (07:25): Ôi chao. Đẹp. Được rồi. Vì vậy, nói chung, làm thế nào để bạn đi từ một phỏng đoán đến một bằng chứng?
Gỗ (07:31): Tùy trường hợp nhiều. Ý tôi là, có nhiều trường hợp trong toán học mà chúng ta có những phỏng đoán và chúng ta không có bằng chứng. Vì vậy, không có công thức đơn giản nào để chuyển từ phỏng đoán thành chứng minh, hoặc chúng ta sẽ không có nhiều bài toán mở nổi tiếng như vậy, bạn biết đấy, có một số — một số phỏng đoán mà mọi người nghĩ rằng thứ gì đó hoạt động theo một cách nhất định, nhưng chúng ta thì không' t biết nó chắc chắn. Nhưng, bạn biết đấy, đôi khi phỏng đoán có thể gợi ý những lý do cho thấy điều gì đó là đúng. Đôi khi đó chỉ là lý thuyết toán học, được xây dựng dựa trên ngày càng nhiều lý thuyết toán học mà con người đã phát triển hàng trăm năm, cho chúng ta đủ công cụ và cấu trúc để làm việc cùng để hiểu những điều đó, để chúng ta đưa ra bằng chứng. Nhưng không phải phỏng đoán nhất thiết phải dẫn đến bằng chứng. Phỏng đoán có thể truyền cảm hứng cho mọi người cố gắng tìm ra bằng chứng, nhưng cách chứng minh xuất hiện có thể hoàn toàn tách biệt với bản thân phỏng đoán.
Strogatz (08:31): Vâng, tôi quan tâm đến kiểu liệt kê, hoặc liệt kê các loại bằng chứng không bằng chứng, khiến mọi người tin rằng đáng để cố gắng tìm kiếm bằng chứng.
Gỗ (08:41): Vâng, một thứ khác mà chúng ta có thể gọi là bằng chứng không chỉ là ví dụ sẽ là kinh nghiệm. Một heuristic có thể giống như một lập luận, ngoại trừ ở một tiêu chuẩn nghiêm ngặt thấp hơn nhiều. Nó giống như, điều đó có vẻ ổn chứ? Không phải “tôi đã hoàn toàn chắc chắn chứng minh sự thật này mà không có chút nghi ngờ nào chưa?” nhưng "làm điều đó - vâng, nó có vẻ khá hợp lý." Vì vậy, heuristic có thể là một dòng lập luận có vẻ khá hợp lý, bạn biết đấy, nhưng thực ra không phải là một lập luận chặt chẽ. Vì vậy, đó là một loại bằng chứng.
(09:12) Đôi khi, người ta có thể có một mô hình mà chúng tôi cho rằng nắm bắt được các yếu tố thiết yếu của hệ thống toán học mà chúng tôi đang cố gắng hiểu, và do đó, bạn sẽ phỏng đoán rằng hệ thống của bạn có hành vi giống như mô hình của bạn.
Strogatz (09:30): Được. Tại một số thời điểm, tôi muốn nghe một số ví dụ về các mô hình và phỏng đoán, và bạn biết đấy, chúng hoạt động hoặc không hoạt động ở mức độ nào đối với một số câu hỏi hoặc không đối với những câu hỏi khác, nhưng, nếu bạn không phiền, tôi sẽ muốn quay trở lại một vài điều nhỏ mang tính cá nhân, đại loại như vậy, bởi vì chúng ta đang nói ở đây về những con số, và bạn là một nhà lý thuyết số. Mọi người có thể không biết nhiều nhà lý thuyết số trong cuộc sống hàng ngày của họ. Vì vậy, tôi tự hỏi nếu bạn có thể cho chúng tôi biết lý thuyết số là gì, và còn nữa, tại sao bạn thấy nó thú vị? Tại sao bạn đến để nghiên cứu nó?
Gỗ (10:02) Lý thuyết số là nghiên cứu toán học về số nguyên. Vì vậy, hãy nghĩ 1, 2, 3, 4, 5. Và đặc biệt, một trong những điều quan trọng trong số nguyên chính là các số nguyên tố. Như bạn đã giải thích, ngay từ đầu, chúng là những khối xây dựng mà từ đó chúng ta có thể, thông qua phép nhân, xây dựng tất cả các số khác. Vì lý thuyết số liên quan đến tất cả các số nguyên đó, nên nó cũng liên quan đến khối xây dựng của chúng, số nguyên tố và cách các số khác phân tích thành số nguyên tố và cách chúng được tạo ra - từ các số nguyên tố.
Strogatz (10:37): Vì vậy, lý thuyết số, cho mục đích của chúng ta hôm nay, tôi đoán, sẽ là nghiên cứu về các số nguyên, đặc biệt quan tâm đến các số nguyên tố. Đó có vẻ như là một khởi đầu khá tốt. Tôi cho rằng nó còn hơn thế nữa. Nhưng có lẽ đó là một định nghĩa tốt cho chúng ta bây giờ. Bạn có nghĩ vậy không?
Gỗ (10:50): Đó là một khởi đầu tốt, đó là một khởi đầu tốt. Ý tôi là, từ đó, người ta khám phá thêm những thứ như, điều gì sẽ xảy ra nếu bạn bắt đầu xem xét các hệ thống số phức tạp hơn chỉ toàn số? Giống như bạn bắt đầu nhập các số khác, chẳng hạn như căn bậc hai của 2, thì điều gì sẽ xảy ra với các số nguyên tố và phân tích thành thừa số? Bạn được dẫn đến câu hỏi tiếp theo. Nhưng thành thật mà nói, có rất nhiều phép toán phong phú và đẹp đẽ chỉ trong các số nguyên và số nguyên tố.
Strogatz (11:16): Vì vậy, với suy nghĩ đó, tại sao bạn thấy nó hấp dẫn? Tại sao bạn thích nghiên cứu về lý thuyết số? Điều gì đã thu hút bạn đến với nó?
Gỗ (11:22): Tôi nghĩ rằng tôi thích các câu hỏi có thể rất cụ thể. Bạn biết đấy, tôi đi và nói chuyện với những đứa trẻ tiểu học. Và tôi có thể nói với họ về, bạn biết đấy, một số điều mà - mà tôi nghĩ đến. Vì vậy, thật thú vị đối với tôi khi làm việc gì đó mà một mặt, các câu hỏi có thể rất cụ thể, nhưng mặt khác, câu đố cố gắng giải nó có thể rất khó. Ý tôi là, mọi người đã cố gắng trả lời các câu hỏi về số nguyên, về số nguyên tố trong hàng ngàn năm.
(11:54) Và có rất nhiều nhánh toán học. Một trong những phần quan trọng của lý thuyết số hiện đại là để đạt được tiến bộ trong những câu hỏi cũ kỹ mà mọi người đã nghiên cứu quá lâu này, người ta cần đưa ra những ý tưởng mới và cần tạo mối liên hệ với các phần khác của toán học. Vì vậy, mặc dù tôi tự gọi mình là một nhà lý thuyết số, nhưng tôi sử dụng toán học từ tất cả các loại lĩnh vực khác nhau. Từ nghiên cứu, bạn biết đấy, hình học và cấu trúc liên kết và hình dạng của không gian đến xác suất và nghiên cứu tính ngẫu nhiên. Tôi sử dụng tất cả các loại toán học, nhưng để cố gắng nói điều gì đó về những thứ như số nguyên, số nguyên tố và phân tích thành thừa số.
Strogatz (12:36): Vâng, tôi thích tầm nhìn về toán học như một mạng lưới ý tưởng khổng lồ được kết nối với nhau và bạn có thể muốn sống trong một phần cụ thể của nó mà bạn yêu thích. Nhưng bạn đã đề cập đến số nguyên tố như là một lĩnh vực quan tâm đặc biệt trong lý thuyết số, thực sự là phần cơ bản nhất của nó. Có gì khó khăn về họ? Vẫn chưa rõ, trong cuộc thảo luận của chúng ta, có gì bí ẩn ở đó? Giống như chúng ta đã định nghĩa chúng, tôi cho rằng chúng ta có thể tiếp tục liệt kê chúng. Một số vấn đề bạn đang đề cập đến hàng trăm năm tuổi là gì?
Gỗ (13:05): Chà, một trong những câu hỏi lớn nhất và quan trọng nhất, có lẽ khoảng 120 năm tuổi hoặc lâu hơn, là, bạn đã nói, “ồ, bạn có thể liệt kê chúng. Nếu bạn đã làm điều đó, bạn sẽ tìm thấy bao nhiêu? Vì vậy, giả sử bạn đã liệt kê các số nguyên tố, lên đến một trăm, hoặc một nghìn, hoặc một trăm nghìn, hoặc một triệu, một tỷ. Khi bạn liệt kê các số nguyên tố cho đến các số ngày càng lớn hơn, có bao nhiêu trong số các số mà bạn trải qua sẽ thực sự là số nguyên tố? Vì vậy, hiểu rằng số lượng thực sự là trái tim của giả thuyết Riemann, là một trong những Viện toán học Clay Vấn đề giải thưởng thiên niên kỷ, có giải thưởng hàng triệu đô la cho câu trả lời. Đó là một trong những câu hỏi nổi tiếng nhất và chúng tôi không biết phải làm thế nào, và nó thực sự chỉ là về câu hỏi, khi bạn liệt kê những số nguyên tố đó, bạn sẽ tìm được bao nhiêu?
Strogatz (13:58): Được rồi. Nó là buồn cười, phải không? Bởi vì khi bạn bắt đầu lập danh sách, ngay cả khi ai đó chỉ tình cờ bắt đầu liệt kê các số nguyên tố đến 100 - bạn sẽ nhận thấy một số điều thú vị. Giống như, lúc đầu 11 và 13, chúng cách nhau 2 cái. Mười lăm, à, cái đó không được, vì nó chia hết cho 5 và 3. Rồi 17, vậy bây giờ có một khoảng cách là 4, giữa 13 và 17. Nhưng rồi 19 lại gần. Ý tôi là tôi không biết, vì vậy khoảng cách giữa các số nguyên tố có thể khá lớn. Giống như đôi khi có một khoảng cách khá lớn ở đó, và đôi khi họ ở ngay cạnh nhau, chỉ cách nhau 2 người.
Gỗ (14:31): Vâng, hiểu được khoảng cách và những khoảng cách đó cũng là một câu hỏi lớn được quan tâm. Đã có những tiến bộ đáng kể trong thập kỷ qua trong việc tìm hiểu khoảng cách giữa các số nguyên tố. Nhưng vẫn còn một câu hỏi cơ bản, thực sự hấp dẫn mà chúng ta không biết câu trả lời. Vì vậy, bạn đã đề cập rằng các số nguyên tố này, 11 và 13, chỉ cách nhau 2 đơn vị. Vì vậy, các số nguyên tố như vậy được gọi là số nguyên tố sinh đôi. Chúng ta không thể mong đợi các số nguyên tố lại gần nhau hơn 2 vì sau 2, chúng phải là số lẻ. Đây là một câu hỏi mở trong toán học, nghĩa là chúng ta không biết câu trả lời, và đó là: Có vô số cặp số nguyên tố sinh đôi không? Và ở đây, có một phỏng đoán, phỏng đoán sẽ là, vâng. Ý tôi là, không chỉ có một phỏng đoán rằng “vâng, chúng sẽ tồn tại mãi mãi, và sẽ luôn có nhiều chúng hơn,” mà thậm chí còn có một phỏng đoán về số lượng bạn sẽ tìm thấy khi bạn tiếp tục. Nhưng điều đó hoàn toàn mở. Theo những gì chúng tôi biết, có thể là khi bạn đạt đến một con số thực sự lớn, chúng sẽ dừng lại và bạn không tìm thấy bất kỳ cặp số nguyên tố sinh đôi nào nữa.
Strogatz (15:40): Có điều gì đó rất nên thơ về điều đó, sâu sắc, suy nghĩ đó, giống như, rằng có thể là cuối cùng của dòng vào một lúc nào đó. Ý tôi là, không ai trong chúng ta có thể tin điều đó. Nhưng có thể, tôi đoán, có thể hình dung được rằng có một cặp song sinh cô đơn cuối cùng nào đó đang rúc vào bóng tối, ở ngoài kia, bạn biết đấy, trên dãy số.
Gỗ (15:57): Ừ, có thể đấy. Và, bạn biết đấy, với tư cách là nhà toán học, chúng tôi sẽ nói, bạn biết đấy, chúng tôi không biết. Ngay cả khi bạn có thể tạo một biểu đồ khi bạn đi theo số lượng bạn đã tìm thấy, nếu bạn vẽ biểu đồ đó, có vẻ như nó thực sự chắc chắn đang tăng và tăng với tốc độ sẽ không bao giờ — không bao giờ quay đầu lại. Nhưng tôi đoán đó là một phần của sự khác biệt giữa toán học và khoa học, đó là chúng ta giữ thái độ hoài nghi đó và nói rằng, chúng ta không biết. Ý tôi là, có lẽ tại một thời điểm nào đó, biểu đồ sẽ quay vòng và không còn biểu đồ nào nữa.
Strogatz (16:29): Vì vậy, điều đó - tôi thích hình ảnh biểu đồ của bạn ở đó, bởi vì tôi nghĩ mọi người có thể liên tưởng đến ý tưởng này, về việc tạo biểu đồ, tạo một số loại biểu đồ. Bạn biết đấy, nghĩ về các số nguyên tố giống như dữ liệu. Và, vì vậy tôi nghĩ đây có lẽ là thời điểm tốt để chúng ta bắt đầu nói về lý thuyết xác suất. Và có vẻ hơi lạ khi nói về xác suất và thống kê liên quan đến các số nguyên tố bởi vì không có cơ hội nào liên quan ở đây. Các số nguyên tố được xác định theo định nghĩa mà chúng ta đã đưa ra, rằng chúng không chia hết. Tuy nhiên, các nhà toán học và lý thuyết số, như bạn, đã sử dụng các lập luận thống kê hoặc xác suất để suy nghĩ về các số nguyên tố. Tôi tự hỏi liệu bạn có thể phác thảo thứ gì đó tương tự cho tôi bằng cách tung đồng xu không, và quay lại — điều mà chúng ta đã nói lúc đầu, số lẻ và số chẵn.
Gỗ (17:14): Được rồi. Vì vậy, không giống như các số nguyên tố, chúng ta thực sự hiểu rất rõ quy luật của các số chẵn và lẻ. Họ đi lẻ, chẵn, lẻ, chẵn, tất nhiên. Nhưng giả sử chúng ta không hiểu mô hình đó. Và chúng tôi đang sử dụng điều này để hiểu bạn có thể tìm thấy bao nhiêu số lẻ nếu bạn nhìn vào tất cả các số lên đến một triệu. Bạn có thể tưởng tượng, vì có hai khả năng, một số có thể là số lẻ hoặc một số có thể là số chẵn, nên có thể ai đó đã tung một đồng xu cho mỗi số, và nếu đồng xu ngửa thì số đó là số lẻ. Và nếu đồng xu xuất hiện mặt sấp, số đó là số chẵn. Và vì vậy, bạn có thể yêu cầu người tung đồng xu của mình đi dọc theo dãy số, tung một đồng xu ở mỗi số, và nó xuất hiện, chẳng hạn như tuyên bố số đó là số lẻ hoặc số chẵn.
(18:03) Bây giờ, một mặt, điều đó thật vô nghĩa. Mặt khác, mô hình tung đồng xu sẽ làm đúng một số điều. Ví dụ, nếu bạn nói, đại khái, bạn biết đấy, có bao nhiêu số trong số các số lên đến một triệu là số chẵn? Chúng tôi biết rằng đại khái số lần tung đồng xu sẽ xuất hiện mặt sấp, nếu bạn thực hiện một số lượng lớn các lần tung đồng xu, chẳng hạn như một triệu, là khoảng một nửa trong số đó. Và như vậy, mô hình đó, dù ngớ ngẩn đến đâu, vẫn có thể đưa ra một số dự đoán chính xác. Và tôi nên nói rằng, điều đó nghe có vẻ ngớ ngẩn, bởi vì chúng ta đã biết câu trả lời cho câu hỏi đó. Ý tưởng là chúng tôi xây dựng các mô hình cho các mẫu phức tạp hơn, chẳng hạn như vị trí các số nguyên tố xuất hiện giữa các số, thay vì chỉ vị trí xuất hiện tỷ lệ cược.
Strogatz (18:55): Ừ. Ý tôi là, tôi nghĩ chúng ta cần nhấn mạnh điều đó - các số nguyên tố bí ẩn đến mức nào. Không có công thức cho số nguyên tố, cũng như có công thức cho số lẻ. Giống như nếu bạn nghĩ, ồ, thôi nào, đây là - chúng ta thực sự đang nói về những thứ vô lý ở đây, thực sự rất có giá trị khi có những mô hình thống kê có thể dự đoán các thuộc tính là thuộc tính trung bình. Giống như tương tự của, một nửa số nhỏ hơn số lớn sẽ là số lẻ. Đây là điều mà, trong trường hợp số nguyên tố, là một câu hỏi rất nghiêm túc và thú vị. Phân số nào của các số bé hơn một số lớn là số nguyên tố? Và, như bạn nói, bạn có thể tạo một mô hình thống kê đúng như vậy. Và sau đó, mô hình tương tự đó có thể được sử dụng để dự đoán có bao nhiêu số nguyên tố sinh đôi sẽ nhỏ hơn một số lớn? Liệu cùng một mô hình làm một công việc tốt trong trường hợp đó?
Gỗ (19:41): Vì vậy, trong trường hợp số nguyên tố, nếu chúng ta xây dựng một mô hình — bạn biết đấy, và có một mô hình mà các nhà toán học sử dụng được gọi là mô hình Cramér của các số nguyên tố — nếu chúng ta đang xây dựng một mô hình tung đồng xu của các số nguyên tố trong đó chúng ta tưởng tượng ai đó đi dọc theo trục số và tại mỗi số, bạn biết đấy, tung một đồng xu, chẳng hạn, để quyết định xem số đó có phải là số nguyên tố hay không, chúng ta sẽ kết hợp tất cả những gì chúng ta biết về các số nguyên tố vào mô hình đó. Vì vậy, trước hết, chúng ta biết rằng các số lớn ít có khả năng là số nguyên tố hơn các số nhỏ hơn. Vì vậy, những đồng tiền đó sẽ phải được cân. Và chúng tôi - chúng tôi phải cố gắng đưa vào chính xác các trọng số mà chúng tôi mong đợi. Và chúng ta biết những điều như, bạn không thể có hai số nguyên tố cạnh nhau, bởi vì một trong số chúng sẽ phải là số lẻ và một trong số chúng sẽ phải là số chẵn. Vì vậy, chúng tôi đưa nó vào mô hình. Và sau đó là nhiều điều chúng ta biết về các số nguyên tố.
(20:37) Vậy mô hình là thứ bắt đầu với mô hình tung đồng xu này, nhưng sau đó nó được sửa đổi bởi tất cả các quy tắc khác này và tất cả những thứ khác mà chúng ta biết về các số nguyên tố. Và một khi bạn đặt tất cả những thứ mà chúng ta biết vào mô hình, thì bạn sẽ hỏi trò tung đồng xu này, bạn biết đấy, mô hình, à, bạn có thấy, vô cùng thường xuyên, các đồng xu xuất hiện chỉ cách nhau 2 đồng xu không? Và mô hình nói với bạn, ồ, vâng, chúng tôi thấy điều đó. Trên thực tế, chúng tôi thấy nó ở tỷ lệ rất cụ thể này, chúng tôi có thể cung cấp cho bạn một công thức. Và sau đó, nếu bạn vẽ biểu đồ số lượng các số nguyên tố sinh đôi thực tế, trong các số thực tế, trong đó không có đồng xu nào được tung lên, ngược với những gì mô hình dự đoán, bạn sẽ thấy rằng mô hình đưa ra dự đoán rất chính xác cho số lượng các cặp số nguyên tố sinh đôi bạn sẽ tìm thấy khi bạn đi cùng. Và rồi bạn nghĩ, bạn biết đấy, có lẽ mô hình này biết nó đang nói về điều gì.
Strogatz (21:31): Hay quá. Ý tôi là, điều đó khá quan trọng, những gì chúng ta vừa đạt được, rằng - bạn vẫn chưa sử dụng từ máy tính. Nhưng tôi cho rằng bạn không làm điều này bằng tay. Tôi không biết những người đang liệt kê các số nguyên tố sinh đôi, chúng ta đang nói về cái gì vậy? Nghìn tỷ tỷ tỷ? Ý tôi là, đây là những con số lớn mà chúng ta đang nói đến, phải không?
Gỗ (21:49): Chà, đối với việc liệt kê các số nguyên tố sinh đôi, nghĩa là — hoàn toàn sẽ được thực hiện bằng máy tính. Nhưng để xây dựng mô hình này và đưa ra công thức mà mô hình đưa ra. Bạn biết đấy, về cơ bản, điều đó được thực hiện thủ công bởi các nhà toán học suy nghĩ về mô hình và tìm ra nó.
Strogatz (22:07): Hay quá. Vì vậy, đó là nơi mô hình hiển thị nội dung của nó, rằng mô hình thực sự có thể dự đoán những gì máy tính nhìn thấy. Và nó không yêu cầu máy tính đưa ra dự đoán đó. Điều đó có thể được thực hiện bằng tay, bởi con người và thực sự có thể dẫn đến bằng chứng. Ngoại trừ việc đó là bằng chứng về các thuộc tính của mô hình, không nhất thiết phải là bằng chứng về điều bạn quan tâm.
Gỗ (22:28): Đúng. Và tại một số điểm, máy tính dừng lại. Bạn biết đấy, chỉ có rất nhiều sức mạnh tính toán. Nhưng công thức mà bạn sẽ nhận được, mà mô hình sẽ cung cấp cho bạn, mà bạn có thể chứng minh là đúng, một lần nữa, về tình huống tung đồng xu theo mô hình này, công thức đó sẽ tiếp tục. Bạn có thể đặt những con số ngày càng lớn hơn vào công thức đó, lớn hơn nhiều so với máy tính của bạn có thể tính toán.
Strogatz (22:53): Vậy là bạn đã nói với chúng tôi một chút về việc tính ngẫu nhiên có thể giúp đưa ra các mô hình về các hiện tượng thú vị như thế nào trong lý thuyết số, và tôi chắc rằng điều đó cũng đúng trong các phần khác của toán học. Có một số trường hợp bạn có thể sử dụng tính ngẫu nhiên để cung cấp bằng chứng thực tế chứ không chỉ các mô hình không?
Gỗ (23:10): Chắc chắn rồi. Một nhánh khác của toán học được gọi là lý thuyết xác suất. Và trong lý thuyết xác suất, chúng chứng minh các định lý về các hệ thống ngẫu nhiên và cách chúng hoạt động. Và bạn có thể nghĩ rằng, vâng, nếu bạn bắt đầu với, với thứ gì đó ngẫu nhiên, và bạn làm gì đó với nó, bạn sẽ luôn có thứ gì đó ngẫu nhiên. Nhưng một trong những điều tuyệt vời phi thường mà người ta tìm thấy trong lý thuyết xác suất là đôi khi bạn có thể nhận được một điều gì đó mang tính quyết định từ một điều ngẫu nhiên.
Strogatz (23:45): Chà, nó hoạt động như thế nào? Như thế nào?
Gỗ (23:48): Ừ. Vậy là bạn đã thấy đường cong hình chuông, hay phân phối chuẩn, các nhà toán học sẽ gọi nó. Nó xuất hiện khắp nơi trong tự nhiên. Giống như nó xuất hiện nếu bạn nhìn vào huyết áp của mọi người, hoặc cân nặng khi sinh của em bé, hoặc một cái gì đó. Và bạn có thể nghĩ, ồ, đường cong hình chuông này, rằng đây là một sự thật của tự nhiên. Nhưng trên thực tế, có một định lý, được gọi là định lý giới hạn trung tâm trong lý thuyết xác suất, cho bạn biết rằng đường cong hình chuông này theo một nghĩa nào đó, không phải là một sự thật của tự nhiên, mà là một sự thật của toán học. Định lý giới hạn trung tâm cho bạn biết rằng nếu bạn kết hợp một loạt các hiệu ứng ngẫu nhiên nhỏ một cách độc lập, thì đầu ra của hiệu ứng đó sẽ luôn khớp với một phân phối nhất định. Hình dạng này, đường cong hình chuông này. Toán học, và lý thuyết xác suất, có thể chứng minh rằng nếu bạn có — nếu bạn kết hợp nhiều thứ ngẫu nhiên nhỏ độc lập, thì kết quả của tất cả sự kết hợp đó sẽ cho bạn một phân phối giống như đường cong hình chuông này. Và như vậy - ngay cả khi bạn không biết đầu vào như thế nào. Và đó là một định lý thực sự mạnh mẽ và một công cụ thực sự mạnh mẽ trong toán học.
Strogatz (25:05): Chắc chắn là có. Và tôi thích sự nhấn mạnh của bạn rằng bạn không cần biết chuyện gì đang xảy ra với những hiệu ứng nhỏ. Điều đó, bằng cách nào đó, điều đó bị cuốn trôi. Thông tin đó là không cần thiết. Đường cong hình chuông có thể dự đoán được, ngay cả khi bạn không biết bản chất của các hiệu ứng nhỏ là gì. Miễn là có nhiều và ít. Và chúng không ảnh hưởng lẫn nhau, phải, chúng độc lập, theo một nghĩa nào đó.
Gỗ (25:27): Vâng, chắc chắn rồi. Và đó là một ý tưởng, bạn biết đấy, đôi khi nó được gọi là tính phổ biến trong lý thuyết xác suất, rằng có một số loại máy móc mà nếu bạn đưa vào nhiều đầu vào ngẫu nhiên, bạn có thể dự đoán đầu ra. Chẳng hạn như bạn sẽ nhận được đường cong hình chuông này hoặc phân phối chuẩn này, ngay cả khi bạn không biết mình đã cho gì vào máy. Và điều đó cực kỳ hiệu quả khi có những điều mà chúng ta không hiểu rõ lắm, bởi vì —
Strogatz (25:56): Nhưng như vậy, bạn đang nói với tôi — ồ, tôi xin lỗi đã cắt lời bạn — nhưng bạn đang nói với tôi rằng điều này cũng đang xảy ra trong lý thuyết số? Rằng bằng cách nào đó chúng ta đang đưa ý tưởng về tính phổ quát xuất hiện trong lý thuyết số? Hay tôi đang mơ?
Gỗ (26:09): Chà, ở một mức độ nào đó, tôi có thể nói rằng đó là một giấc mơ đang bắt đầu của tôi. Bạn biết đấy, chúng tôi chỉ đang thực hiện những bước đầu tiên để thấy điều đó được hiện thực hóa. Vì vậy, đó không chỉ là giấc mơ của bạn, đó cũng là giấc mơ của tôi. Một số công việc mà tôi làm hôm nay và các cộng tác viên của tôi và tôi đang cố gắng biến giấc mơ đó thành hiện thực để một số câu hỏi khó hiểu về những con số mà chúng ta không biết câu trả lời, có lẽ chúng ta có thể hiểu rằng có những mẫu xuất hiện, giống như đường cong hình chuông, giống như phân phối chuẩn, mà chúng ta có thể chứng minh là do máy móc tạo ra ngay cả khi chúng ta không biết những bí ẩn nào đã được đưa vào.
Strogatz (26:55): Chà, thực ra đó là một tầm nhìn rất truyền cảm hứng và ly kỳ, và tôi hy vọng nó sẽ thành hiện thực. Cảm ơn bạn rất nhiều vì đã nói chuyện với chúng tôi ngày hôm nay, Melanie.
Gỗ (27:03): Xin cảm ơn. Điều này đã được rất nhiều niềm vui.
Người báo cáo (27:06): Nếu bạn thích Niềm vui của tại sao, kiểm tra Podcast Khoa học Tạp chí Quanta, do tôi, Susan Valot, một trong những nhà sản xuất của chương trình này dẫn chương trình. Ngoài ra, hãy nói với bạn bè của bạn về podcast này và cho chúng tôi một lượt thích hoặc theo dõi nơi bạn nghe. Nó giúp mọi người tìm Niềm vui của tại sao podcast.
Strogatz (27: 26): Niềm vui của tại sao là một podcast từ Tạp chí Quanta, một ấn phẩm độc lập về mặt biên tập được hỗ trợ bởi Simons Foundation. Các quyết định tài trợ của Simons Foundation không ảnh hưởng đến việc lựa chọn chủ đề, khách mời hoặc các quyết định biên tập khác trong podcast này hoặc trong Tạp chí Quanta. Niềm vui của tại sao được sản xuất bởi Susan Valot và Polly Stryker. Các biên tập viên của chúng tôi là John Rennie và Thomas Lin, với sự hỗ trợ của Matt Carlstrom, Annie Melchor và Leila Sloman. Nhạc chủ đề của chúng tôi do Richie Johnson sáng tác. Biểu trưng của chúng tôi là của Jackie King và tác phẩm nghệ thuật cho các tập phim là của Michael Driver và Samuel Velasco. Tôi là chủ nhà của bạn, Steve Strogatz. Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi hoặc nhận xét nào cho chúng tôi, vui lòng gửi email cho chúng tôi theo địa chỉ quanta@simonsfoundation.org. Cảm ơn vì đã lắng nghe.
