Toán học đơn giản di chuyển kim như thế nào | Tạp chí Quanta

Hãy tưởng tượng bạn đang lăn bánh trên đường trên một chiếc ô tô không người lái thì thấy phía trước có vấn đề. Một tài xế giao hàng của Amazon đã cho xe tải của họ vượt qua một nửa chiếc xe tải UPS đang đậu đôi trước khi nhận ra rằng họ không thể vượt qua được. Bây giờ họ đang bị mắc kẹt. Và bạn cũng vậy.

Đường phố quá hẹp để có thể thực hiện được chữ U, vì vậy, ô tô được tăng cường AI của bạn sẽ bắt đầu rẽ ba điểm. Đầu tiên, ô tô đi một đường vòng về phía lề đường. Khi đến đó, nó rẽ sang hướng khác và lùi vào lề đường đối diện. Sau đó, nó quay vô lăng về hướng đường cong đầu tiên, lái về phía trước và ra khỏi vật cản.

Thuật toán hình học đơn giản này để thực hiện các lượt rẽ trung gian có thể giúp bạn vượt qua trong những tình huống chật hẹp. (Nếu bạn đã từng đỗ xe song song, bạn sẽ biết việc lắc lư qua lại này có thể mang lại lợi ích gì cho bạn.)

Có một bài toán thú vị ở đây về việc bạn cần bao nhiêu không gian để quay chiếc xe của mình, và các nhà toán học đã nghiên cứu một phiên bản lý tưởng hóa của nó trong hơn 100 năm qua. Nó bắt đầu vào năm 1917 khi nhà toán học Nhật Bản Sōichi Kakeya đặt ra một bài toán nghe hơi giống vấn đề tắc đường của chúng ta. Giả sử bạn có một chiếc kim mỏng vô cùng có chiều dài bằng 1. Diện tích vùng nhỏ nhất mà bạn có thể xoay kim 180 độ và đưa nó về vị trí ban đầu là bao nhiêu? Đây được gọi là bài toán cái kim của Kakeya và các nhà toán học vẫn đang nghiên cứu các biến thể của nó. Chúng ta hãy cùng xem hình học đơn giản đã khiến bài toán về chiếc kim của Kakeya trở nên thú vị và bất ngờ như thế nào.

Giống như nhiều bài toán khác, bài toán này liên quan đến một số giả định đơn giản hóa khiến nó ít thực tế hơn nhưng dễ quản lý hơn. Ví dụ: chiều dài và chiều rộng của một chiếc ô tô rất quan trọng khi bạn đang lái xe, nhưng chúng ta sẽ giả sử rằng kim của chúng ta có chiều dài bằng 1 và chiều rộng bằng XNUMX. (Điều này có nghĩa là bản thân chiếc kim có diện tích bằng XNUMX, điều này đóng vai trò quan trọng trong việc cho phép chúng ta giải quyết vấn đề.) Ngoài ra, chúng ta sẽ giả sử rằng chiếc kim, không giống như một chiếc ô tô, có thể xoay quanh mặt trước và mặt sau của nó. , hoặc bất kỳ điểm nào ở giữa.

Mục tiêu là tìm vùng nhỏ nhất cho phép kim quay 180 độ. Việc tìm ra thứ nhỏ nhất thỏa mãn một loạt điều kiện nhất định có thể là một thách thức, nhưng cách tốt để bắt đầu là tìm kiếm bất cứ thứ gì thỏa mãn những điều kiện đó và xem bạn có thể học được gì trong suốt quá trình. Ví dụ: một câu trả lời dễ dàng là chỉ cần xoay kim 180 độ quanh điểm cuối của nó, sau đó trượt ngược lên. Thao tác này sẽ đưa kim về vị trí ban đầu, nhưng giờ nó đang chỉ theo hướng ngược lại, như yêu cầu của vấn đề về kim của Kakeya.

Vùng cần thiết để rẽ là hình bán nguyệt có bán kính 1, có diện tích $latex A = frac{1}{2} pi r^2 = frac{1}{2} pi (1)^2 = frac{ 1}{2} pi = frac{pi}{2}$. Vì vậy, chúng tôi đã tìm thấy một khu vực hoạt động.

Chúng ta có thể làm tốt hơn bằng cách tận dụng khả năng xoay quanh bất kỳ điểm nào của chiếc kim toán học kỳ diệu. Thay vì xoay nó quanh điểm cuối của nó, hãy xoay nó quanh điểm giữa của nó.

Bạn có thể gọi đây là la bàn của Kakeya: Kim của chúng ta bắt đầu chỉ về phía bắc, nhưng sau khi quay nó vẫn ở cùng một vị trí nhưng chỉ về phía nam. Vùng này là một hình tròn có bán kính $latex frac{1}{2}$, vì vậy diện tích của nó là $latex A=pi r^2 = pi (frac{1}{2})^2 = pi frac{1}{ 4} =frac{pi}{4}$. Đây là một nửa diện tích khu vực đầu tiên của chúng tôi, vì vậy chúng tôi đang đạt được tiến bộ.

Tiếp theo là đâu? Chúng ta có thể lấy cảm hứng từ tình thế tiến thoái lưỡng nan của chiếc xe không người lái và cân nhắc sử dụng thứ gì đó như kim xoay ba điểm. Điều này thực sự hoạt động khá tốt.

Vùng được kim quét ra bằng kỹ thuật này được gọi là cơ delta và nó cũng đáp ứng yêu cầu của Kakeya. Việc tính toán diện tích của nó đòi hỏi nhiều hơn hình học cơ bản mà chúng ta đang thảo luận ở đây (kiến thức về các đường cong tham số sẽ giúp ích), nhưng hóa ra diện tích của hình delta cụ thể này — diện tích bị quét bởi một đoạn thẳng có độ dài 1 — chính xác là $latex phân số{pi}{8}$. Bây giờ chúng tôi có một khu vực thậm chí còn nhỏ hơn, trong đó chúng tôi có thể xoay kim của Kakeya và bạn có thể tha thứ khi nghĩ rằng đây là điều tốt nhất chúng tôi có thể làm. Bản thân Kakeya cũng nghĩ là có thể như vậy.

Nhưng vấn đề về chiếc kim này đã có một bước ngoặt lớn khi nhà toán học người Nga Abram Besicovitch phát hiện ra rằng bạn có thể làm tốt hơn rất nhiều. Anh ấy đã nghĩ ra một quy trình để cắt bỏ những phần không cần thiết của vùng đó cho đến khi nó nhỏ như anh ấy muốn.

Quá trình này mang tính kỹ thuật và phức tạp, nhưng một chiến lược dựa trên ý tưởng của Besicovitch dựa trên hai ý tưởng đơn giản. Đầu tiên, hãy xem xét tam giác vuông bên dưới, có chiều cao bằng 1 và đáy bằng 2.

Hiện tại, chúng ta sẽ quên việc xoay kim hoàn toàn mà chỉ tập trung vào một thực tế đơn giản: Nếu chúng ta đặt một kim có chiều dài 1 ở đỉnh trên cùng, hình tam giác đủ lớn để cho phép kim quay hết 90 độ từ bên này sang bên kia.

Vì diện tích của tam giác là $latex A=frac{1}{2}bh$ nên tam giác này có diện tích $latex A=frac{1}{2} nhân 2 nhân 1 = 1$.

Bây giờ, đây là ý tưởng quan trọng đầu tiên: Chúng ta có thể giảm diện tích của vùng trong khi vẫn giữ góc quay 90 độ. Chiến lược rất đơn giản: Chúng ta cắt hình tam giác ở giữa rồi đẩy hai nửa lại với nhau.

Diện tích của hình mới này phải nhỏ hơn hình ban đầu vì các phần của hình tam giác bây giờ chồng lên nhau. Trên thực tế, thật dễ dàng để tính diện tích của hình: Nó chỉ bằng 1/3 bình phương cạnh 4, vì vậy diện tích là $latex A = frac{XNUMX}{XNUMX}$, nhỏ hơn diện tích của hình tam giác mà chúng ta đã bắt đầu.

Và chúng ta vẫn có thể chỉ kim theo mọi hướng như trước. Chỉ có một vấn đề: Góc ban đầu đã bị chia thành hai phần nên các hướng đó giờ đây được chia thành hai vùng riêng biệt.

Nếu kim ở bên trái của vùng mới, chúng ta có thể xoay nó 45 độ giữa nam và đông nam, và nếu nó ở bên phải, chúng ta có thể xoay nó 45 độ giữa nam và tây nam, nhưng vì hai phần tách biệt , có vẻ như chúng ta không thể xoay nó đủ 90 độ như trước đây.

Đây là lúc ý tưởng quan trọng thứ hai xuất hiện. Có một cách lén lút để đưa kim từ bên này sang bên kia mà không cần nhiều diện tích. Trong cờ vua, bạn có thể biết quân mã di chuyển theo hình chữ L. Chà, kim của chúng ta sẽ di chuyển theo hình chữ N.

Đây là cách nó được thực hiện. Đầu tiên, kim trượt lên một bên của chữ N. Sau đó, nó quay theo đường chéo và trượt xuống. Sau đó nó lại quay và kết thúc hành trình bằng cách trượt lên phía bên kia của chữ N.

Lúc đầu, động tác hình chữ N này có thể trông không giống lắm nhưng nó có tác dụng rất hữu ích. Nó cho phép kim “nhảy” từ đường song song này sang đường song song khác, điều này sẽ giúp chúng ta đưa kim từ vùng này sang vùng khác. Quan trọng hơn, nó làm được điều đó mà không cần nhiều diện tích. Trên thực tế, bạn có thể làm cho nó cần ít diện tích như bạn muốn. Đây là lý do tại sao.

Hãy nhớ lại rằng kim của chúng tôi có chiều rộng bằng không. Vì vậy, bất kỳ đường nào mà kim di chuyển dọc theo, tiến hoặc lùi, sẽ có diện tích bằng XNUMX. Điều này có nghĩa là vùng cần thiết để di chuyển kim lên, xuống hoặc theo đường chéo dọc theo hình chữ N sẽ được tạo thành từ các mảnh có diện tích bằng XNUMX.

Điều đó chỉ để lại các phép quay ở các góc của hình chữ N.

Những động thái này đòi hỏi diện tích. Bạn có thể thấy một phần nhỏ của vòng tròn ở mỗi góc. Nhưng đây mới là phần lén lút: Bạn có thể làm cho những vùng này nhỏ hơn bằng cách kéo dài N.

Công thức tính diện tích của một hình tròn là $latex A = frac{theta}{360} pi r^2$, trong đó $latex theta$ là số đo góc của hình tròn tính bằng độ. Dù chữ N có cao bao nhiêu thì bán kính của hình cung sẽ luôn là 1: Đó chính là chiều dài của kim. Nhưng khi chữ N cao hơn, góc sẽ co lại, điều này sẽ làm giảm diện tích của hình cung. Do đó, bạn có thể làm cho diện tích bổ sung nhỏ như bạn muốn bằng cách kéo dài N đến mức bạn cần.

Hãy nhớ rằng chúng ta có thể giảm diện tích của vùng hình tam giác bằng cách chia nó làm hai và làm cho các phần chồng lên nhau. Vấn đề là điều này chia góc 90 độ thành hai phần riêng biệt, khiến chúng tôi không thể xoay kim hết 90 độ. Bây giờ chúng ta có thể giải quyết vấn đề đó bằng cách tạo hình chữ N thích hợp để đảm bảo rằng kim có đường đi từ bên này sang bên kia.

Trong vùng cập nhật này, kim vẫn có thể xoay đủ 90 độ như trước, hiện tại nó chỉ diễn ra theo hai giai đoạn. Đầu tiên, kim quay 45 độ và thẳng hàng với cạnh thẳng đứng bên trái. Tiếp theo, nó di chuyển theo hình chữ N để sang phía bên kia. Khi nó ở đó, bạn có thể tự do quay 45 độ còn lại.

Thao tác này sẽ di chuyển kim 90 độ và để tiếp tục xoay, bạn chỉ cần thêm các bản sao đã xoay của vùng.

Với việc bổ sung các hình dạng N thích hợp, chiếc kim có thể nhảy từ bán đảo hình tam giác này sang bán đảo hình tam giác tiếp theo, tự quay từng chút một cho đến khi đi hết một vòng, giống như một chiếc ô tô đang thực hiện một cú rẽ ba điểm.

Có nhiều chi tiết toán học phức tạp hơn, nhưng hai ý tưởng này - rằng chúng ta có thể liên tục giảm diện tích của vùng ban đầu bằng cách cắt nó ra và dịch chuyển nó xung quanh trong khi vẫn đảm bảo rằng chúng ta có thể lấy từ mảnh này sang mảnh khác bằng cách sử dụng các hình chữ N nhỏ tùy ý - giúp chúng ta di chuyển kim vào vùng ngày càng thu hẹp và cuối cùng có thể nhỏ như bạn muốn.

Một cách tiếp cận tiêu chuẩn hơn để xây dựng loại vùng này bắt đầu bằng các hình tam giác đều và sử dụng “Cây Perron”, đây là những cách thông minh để cắt các hình tam giác lên, kéo giãn và trượt các mảnh lại với nhau. Kết quả là khá tuyệt vời.

Gần đây, các nhà toán học đã tiến độ thực hiện về các biến thể mới của bài toán cũ này, được đặt ở các chiều cao hơn và với các khái niệm khác nhau về kích thước. Có lẽ chúng ta sẽ không bao giờ nhìn thấy một chiếc ô tô được hỗ trợ bởi AI theo dõi một ngã rẽ bằng kim Kakeya, nhưng chúng ta vẫn có thể đánh giá cao vẻ đẹp và sự đơn giản của sự gần như hư vô của nó.

Các bài tập

1. Diện tích tam giác đều nhỏ nhất dùng làm bộ kim Kakeya là bao nhiêu?

2. Bạn có thể làm tốt hơn tam giác đều trong bài tập 1 một chút bằng cách sử dụng “tam giác Reuleaux”, một vùng được hình thành bởi ba phần hình tròn chồng lên nhau. Diện tích của tam giác Reuleaux nhỏ nhất có tác dụng là bao nhiêu?