Của chúng tôi nhiệm vụ câu đố tháng trước là để tiết kiệm một Star Trek đảng bề mặt gồm tám người do Doanh nghiệp Cán bộ truyền thông Trung úy Uhura (chơi muộn Nichelle Nichols). Phi hành đoàn bị giam cầm bởi một chủng tộc ngoài hành tinh, Catenati, trên một hành tinh trong Tinh vân vòng cổ. Để trốn thoát, họ phải tối đa hóa xác suất thực hiện một nhiệm vụ mà thoạt đầu dường như chỉ mang lại xác suất thành công rất thấp.
Phi hành đoàn tám người được thông báo về nhiệm vụ khi tạm thời bị giam giữ trong một phòng chung, nơi họ có thể tự do giao tiếp và lập chiến lược. Trong vài giờ nữa, họ sẽ được dẫn từng người một đến một căn phòng gọi là buồng roulette. Căn phòng này có tám nút được sắp xếp thành một hàng, mỗi nút được lập trình để phản ứng với một thành viên phi hành đoàn khác nhau. Để đánh lừa phi hành đoàn, mỗi nút được dán nhãn sai ngẫu nhiên với tên của một thành viên phi hành đoàn khác. Mỗi thành viên phi hành đoàn được phép nhấn tối đa bốn nút, theo bất kỳ thứ tự nào. Bất cứ khi nào họ nhấn một nút, họ sẽ thấy nút đó thực sự thuộc về ai. Trong bốn lần thử, họ phải tìm nút được chỉ định cho mình. Để phi hành đoàn được tự do, tất cả họ phải thành công trong nhiệm vụ này. Nếu thậm chí một trong số chúng không thành công, tất cả sẽ được thực thi. Sau khi một thành viên phi hành đoàn hoàn thành nỗ lực của họ, họ sẽ bị cô lập và không có cách nào để chuyển thông tin cho bất kỳ đồng đội nào của họ.
Cơ hội thành công dường như rất nhỏ. Nếu các thành viên phi hành đoàn chọn nút ngẫu nhiên, mỗi người sẽ có 1 trong 2 cơ hội tìm thấy nút của mình. Cơ hội thành công của cả tám người chỉ là 1 trên 256, hay khoảng 0.4%.
Nhưng họ không phải bấm nút một cách ngẫu nhiên. Một cách để tăng xác suất thành công có thể là thực hiện đồng đều tất cả các lần nhấn nút theo một cách nào đó. Điều này đưa chúng ta đến câu hỏi đố đầu tiên.
Câu đố 1
Xác suất sống sót của phi hành đoàn có thể được cải thiện bao nhiêu nếu họ đảm bảo mỗi nút được nhấn thường xuyên như nhau (thay vì nhấn ngẫu nhiên bốn nút bất kỳ)?
Rob Corlett và JPayette đã trả lời tốt câu hỏi này, cũng như họ đã làm tất cả các câu hỏi khác. Đối với ý tưởng trung tâm khó nắm bắt đằng sau các câu đố trong chuyên mục này, Rob Corlett, JPayette và Jouni Seppänen mô tả nó đẹp, trong khi Sacha bugnon đã đóng góp một giải pháp máy tính.
Đây là câu trả lời của Rob Corlett:
Một cách để đảm bảo rằng mỗi nút được nhấn với số lần bằng nhau là chia các tù nhân thành hai nhóm 4 người có số lượng bằng nhau.
Mỗi nhóm chỉ bấm các nút tương ứng với thành viên của nhóm mình. Do đó, nếu A, B, C và D đều thuộc cùng một nhóm con thì chúng chỉ nhấn các nút cho A, B, C và D.
Điều này thay đổi vấn đề thành yêu cầu xác suất mà mọi tù nhân được phân bổ vào đúng nhóm vì sau đó họ được đảm bảo nhấn nút của mình trong bốn lần nhấn hoặc ít hơn.
Số cách để điền vào nhóm thứ nhất (và do đó cả nhóm thứ hai) với bốn người là số cách chọn 4 từ 8 là C(8, 4) = 70. Do đó, tổng số cách phân bổ tất cả mọi người vào hai nhóm là 70.
Chỉ có một cách phân bổ duy nhất phân bổ chính xác từng tù nhân vào đúng nhóm và do đó, xác suất để mọi người ở đúng nhóm và tất cả tù nhân sống sót là 1/70, cao hơn 3.66 lần so với 1/256 của chiến lược trước đó. [Nhưng nó vẫn còn rất nhỏ: chỉ 1.4% cơ hội.]
Câu đố 2
Có một cách để cải thiện tỷ lệ cược ảm đạm ban đầu lên gấp 90 lần, lên khoảng 36.5%, điều này có vẻ kỳ diệu! Chiến lược này liên quan đến việc sử dụng các vòng lặp hoặc chuỗi phỏng đoán — do đó có liên quan đến Tinh vân Vòng cổ và Catenati (chuỗi là tiếng Latinh cho chuỗi). Ở dạng cơ bản của chiến lược, mỗi thành viên phi hành đoàn bắt đầu bằng cách nhấn vào nút có tên của họ, sau đó chuyển sang nút có tên của thành viên phi hành đoàn mà nút đầu tiên thực sự thuộc về, v.v., tạo ra một chuỗi tên.
Hãy xem làm thế nào điều này hoạt động trong thực tế. Trong sơ đồ, các nút được hiển thị với nhãn màu trắng. Các chữ cái màu xanh bên dưới hiển thị chủ sở hữu thực sự của các nút. Khi thành viên phi hành đoàn đầu tiên, A, bước vào buồng roulette, cô ấy nhấn nút A trước. Đây là nút của C, vì vậy cô ấy nhấn nút C tiếp theo, sau đó là nút E và cuối cùng là nút F, thực tế là nút của chính A, vì vậy cô ấy đã tìm thấy nó thành công sau bốn lần thử. Lưu ý rằng các nút ACEF tạo thành một vòng khép kín gồm bốn nút. Khi các thành viên phi hành đoàn C, E và F thay phiên nhau, họ cũng sẽ đi vòng quanh cùng một vòng khép kín, bắt đầu từ vị trí tương ứng của họ và cũng tìm thấy các nút của riêng mình sau bốn lần thử.
Sự sắp xếp này cũng có hai vòng nhỏ hơn, mỗi vòng có hai nút: BD và GH. Bốn thành viên phi hành đoàn này sẽ tìm thấy các nút của riêng họ trong vòng hai lần thử. Vì vậy, với sự sắp xếp này, tất cả các thành viên phi hành đoàn sẽ thành công và họ sẽ giành được tự do. Rõ ràng là nếu sự sắp xếp chỉ chứa các vòng có độ dài từ 4 trở xuống, thì tất cả các thành viên phi hành đoàn sẽ thành công và sẽ được giải thoát. Mặt khác, nếu có một vòng lặp gồm 5 hoặc nhiều hơn, thì tất cả các thành viên phi hành đoàn trong vòng lặp đó sẽ không tìm thấy nút của họ sau bốn lần thử và phi hành đoàn sẽ bị xử tử. Để tìm xác suất thành công, chúng ta có thể tìm xác suất có vòng lặp là 5, 6, 7 hoặc 8, cộng chúng lại rồi trừ tổng đó đi 1. Cách này dễ tính hơn cách kia vì cho 5 các nút, chỉ có thể có một vòng lặp duy nhất có 6, 7, 8 hoặc XNUMX thành viên.
Có 8! cách khác nhau để sắp xếp tám nút. Nhưng khi chúng ta tạo các vòng lặp, cùng một vòng lặp chiếm tám trong số các cách sắp xếp này (ABCDEFGH tạo thành vòng lặp giống như BCDEFGHA, giống như CDEFGHAB, v.v.). Vậy xác suất để có một vòng cỡ 8 là (8!/8)/8!, đơn giản là 1/8. Tương tự, xác suất để có một vòng cỡ 7 là 1/7, cỡ 6 là 1/6 và cỡ 5 là 1/5. Do đó, xác suất thành công của phi hành đoàn gan dạ của chúng ta là 1 − (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8), hay 36.5%, như đã đề cập trước đó.
Chiến lược trên có tác dụng với bất kỳ số lượng tù nhân nào và sự cải thiện tỷ lệ cược so với cách tiếp cận ngẫu nhiên tăng lên nhanh chóng khi số lượng đó tăng lên. Nó gấp khoảng bảy lần đối với bốn tù nhân, gấp 24 lần đối với sáu người, gấp 93 lần đối với tám người và một con số đáng kinh ngạc (3.8 × 1029)-gấp cho 100 tù nhân. Chìa khóa để hiểu được sự gia tăng to lớn này là phương pháp gắn kết thành công hay thất bại của mỗi thành viên trong nhóm với thành công hay thất bại của những người khác. Ở một mức độ rất lớn, tất cả họ đều thành công hoặc thất bại cùng nhau. Xác suất thành công của nhóm không giảm quá nhiều so với một người, chỉ giảm từ 50% đối với một tù nhân xuống 30.69% khi số lượng tù nhân tăng lên không giới hạn. Mặt khác, xác suất thành công của một cách tiếp cận ngẫu nhiên hoặc thậm chí là một cách tiếp cận “nhấn nút chẵn” giảm nhanh chóng xuống rất gần bằng XNUMX đối với một số ít tù nhân.
Nếu logic đằng sau chiến lược này vẫn còn mờ nhạt, đây là một phân tích về vấn đề 100 tù nhân trong này video tuyệt vời của Veritasium.
Câu đố 3
Câu đố này nói về việc Trung úy Uhura nhớ lại một trò chơi thời thơ ấu, về cơ bản là cùng một câu đố, nhưng dành cho sáu người. Như một gợi ý, tôi đề nghị giải quyết vấn đề cho bốn người. Bây giờ chúng ta có công thức, chúng ta có thể dễ dàng tính toán xác suất.
Đối với bốn người, xác suất vòng lặp dài nhất chỉ là 2 hoặc 1 là: 1 − (1/3 + 1/4) hoặc 41.7% với mức tăng gấp bảy lần so với lựa chọn ngẫu nhiên.
Đối với sáu người, xác suất vòng lặp dài nhất là 3, 2 hoặc 1 là: 1 − (1/4 + 1/5 + 1/6) hoặc 38.3% với mức tăng hơn 24 lần so với lựa chọn ngẫu nhiên.
Câu đố 4
Khi câu chuyện của chúng ta tiếp tục, hóa ra là một trong những Catenati đã không thích đặc biệt với Doanh nghiệp phi hành đoàn và đang giám sát họ từ xa. Anh ta nghi ngờ rằng họ đã đưa ra một chiến lược hiệu quả nào đó dựa trên sơ đồ của Uhura. Anh ta quyết tâm phá vỡ kế hoạch của họ bằng cách chui vào buồng và cố tình thay đổi thứ tự của các nhãn nút trước khi trò chơi roulette bắt đầu. Liệu anh ta có thể ngăn cản thành công kế hoạch không? Cái gì bên đổ bộ phải đặc biệt cẩn thận che giấu?
Rất sớm trong cuộc thảo luận chiến lược của phi hành đoàn, đôi mắt của Uhura đột nhiên nheo lại. Cô ấy ra hiệu cho phi hành đoàn của mình, và cô ấy chuyển sang nói bằng tiếng Nicholese, thông báo, "Làm ơn hãy thảo luận thêm bằng tiếng Nicholese." Nicholese là một ngôn ngữ mới mà Uhura đã phát minh ra từ rất sớm trong sự nghiệp của mình chỉ dành cho loại tình huống này, để tránh việc sử dụng các dịch giả phổ thông. “Chắc hẳn bạn đã chú ý đến Catenati đáng ngờ đó,” cô ấy tiếp tục. “Anh ta có thể cố gắng phá hoại chúng ta, vì vậy chúng ta cần sửa đổi kế hoạch của mình. Đây là những gì chúng ta cần làm…”
Uhura vạch ra kế hoạch mới cho đến khi cô ấy hài lòng rằng mọi thành viên trong nhóm của cô ấy đều biết rất rõ về nó. Rồi cô ấy trầm ngâm, với ánh mắt xa xăm, “Tôi đặt tên Nicholese theo tên một nữ diễn viên nổi tiếng của thế kỷ 20. Tôi rất vui vì đã nhấn mạnh rằng Starfleet biến nó thành tiêu chuẩn trên tất cả các tàu của chúng tôi.”
Cô quay lại với phi hành đoàn. “Đó là tất cả, các sĩ quan. Bạn biết phải làm gì!"
Chúng tôi không biết chính xác những gì Uhura đã nói với nhóm của cô ấy. Nhưng JPayette và Rob Corlett đã có một ý tưởng khá hay. Đây là Rob Corlett một lần nữa:
Nếu Catenati xấu xa biết rằng họ đang sử dụng chiến lược này thì anh ta có thể chuyển tên hiển thị trên màn hình để đảm bảo rằng có một chu kỳ dài hơn 4.
Để phá vỡ điều này, các tù nhân cần phải đồng ý với một trật tự bí mật ngẫu nhiên hóa trình tự. Họ làm điều này bằng cách nói điều gì đó như “nếu bạn thấy tên của Uhura, hãy chuyển đến nút có đánh dấu Chekov. Nếu bạn thấy tên của Chekov được hiển thị, hãy chuyển đến nút được đánh dấu là Smith, v.v.”
Bằng cách này, việc sắp xếp lại thứ tự của Catenati không thành vấn đề vì nó chỉ hoạt động nếu bạn biết cách mà phi hành đoàn sẽ phản hồi với các tên trên màn hình. Tuy nhiên, họ cần giữ bí mật về bất kỳ sự sắp xếp lại nào, nếu không nó có thể bị phá vỡ một lần nữa.
Như chúng ta đã thấy, Uhura đảm bảo rằng bí mật sẽ được giữ an toàn. Mỗi thành viên trong đoàn chỉ cần sử dụng cùng một mệnh lệnh bí mật và đảm bảo rằng Catenati độc ác không biết nó là gì. Trên thực tế, thứ tự bị thay đổi bởi Catenati độc ác thực sự đã làm tăng khả năng thành công của phi hành đoàn!
Đây là những gì đã xảy ra. Uhura là người đầu tiên được đưa đến buồng roulette. Cô nhấn ba nút. Không có cái nào là của cô ấy. Cô nên buồn hay nên vui? Cô nín thở và nhấn nút thứ tư. Cô đã tìm thấy chiếc nút thực sự của mình!
Cô biết tất cả họ sẽ được cứu.
Câu đố 5
Tỷ lệ phần trăm tiếp cận thành công tối đa là giới hạn nào khi quy mô của nhóm đổ bộ tăng lên vô thời hạn? Bạn có thể giải thích tại sao phương pháp này hiệu quả hơn nhiều so với cách nhấn nút ngẫu nhiên?
JPayette đã viết:
Tất cả những điều trên khái quát một cách đơn giản cho một phi hành đoàn gồm 2 ngườin mỗi thành viên được phép nhấn tối đa n nút. Từ Câu đố 2, chúng ta suy ra rằng cơ hội thành công của họ là
1 − (tổng trên k giữa n + 1 và 2n của 1 /k).
Tổng có thể được so sánh với tích phân của 1/x trong khoảng [n, 2n], cho phép chúng tôi chứng minh rằng như n tăng đến vô cùng, xác suất trên giảm xuống để hội tụ về mức đáng kinh ngạc 1 − ln(2) ≈ 30.6%. [Thực tế là 30.69% đến hai chữ số thập phân.]
Rob Corlett nói thêm:
Nếu bạn không biết tích hợp, bạn có thể nhanh chóng nhận được câu trả lời gần đúng bằng phép tính bằng bảng tính. Tôi đã đến 0.307 một lần n đạt khoảng 750 chính xác đến 3 chữ số thập phân.
Chúng tôi đã giải thích ở trên tại sao phương pháp này hoạt động. Tất cả các vòng lặp dài hơn 1 được chia sẻ bởi nhiều thành viên phi hành đoàn. Vì vậy, những thành công và thất bại của họ có mối tương quan cao. Đó là một minh họa cho nguyên tắc “Tất cả vì một người, và một người vì tất cả.” Đi thẳng ra khỏi sổ tay Starfleet!
Cảm ơn tất cả những người đóng góp của chúng tôi. JPayette và Rob Corlett đều gửi những câu trả lời xứng đáng khiến cột giải pháp này dường như trở nên dư thừa. Than ôi, tôi phải tuân theo quy tắc của chúng tôi là chọn một người chiến thắng cho mỗi cột câu đố. Giải thưởng Thông tin chi tiết được trao cho JPayette để ghi nhận những đóng góp ở đây và trong câu đố trước. Chúc mừng! Rob Corlett, đóng góp của bạn sẽ không bị lãng quên.
Hẹn gặp lại bạn vào tháng tới để có những Thông tin chi tiết mới!
