Các nhà toán học tung xúc xắc và cầm kéo oẳn tù tì

Khi Bill Gates kể câu chuyện, Warren Buffett đã từng thách thức ông chơi trò xúc xắc. Mỗi người sẽ chọn một trong bốn viên xúc xắc của Buffett, sau đó họ sẽ tung, với số cao hơn sẽ chiến thắng. Đây không phải là những viên xúc xắc tiêu chuẩn - chúng có nhiều loại số khác với thông thường từ 1 đến 6. Buffett đề nghị để Gates chọn trước, để ông có thể chọn được viên xúc xắc mạnh nhất. Nhưng sau khi Gates kiểm tra con xúc xắc, ông đưa ra một đề xuất ngược lại: Buffett nên chọn trước.

Gates đã nhận ra rằng những viên xúc xắc của Buffett thể hiện một đặc tính kỳ lạ: Không có viên nào mạnh nhất. Nếu Gates đã chọn trước, thì bất kỳ con xúc xắc nào ông chọn, Buffett sẽ có thể tìm thấy một con xúc xắc khác có thể đánh bại nó (tức là con xúc xắc có hơn 50% cơ hội chiến thắng).

Bốn con xúc xắc của Buffett (hãy gọi chúng A, B, C và D) đã tạo thành một mô hình gợi nhớ đến oẳn tù tì, trong đó A nhịp đập B, B nhịp đập C, C nhịp đập D và D nhịp đập A. Các nhà toán học nói rằng một bộ xúc xắc như vậy là “nội tại”.

“Thật không trực quan chút nào khi [intransitive dice] thậm chí còn tồn tại,” nói Brian Conrey, giám đốc Viện Toán học Hoa Kỳ (AIM) ở San Jose, người đã viết một bài báo có ảnh hưởng về chủ đề này vào năm 2013.

Các nhà toán học đã nghĩ ra ví dụ đầu tiên xúc xắc nội tại hơn 50 năm trước, và cuối cùng chứng minh rằng khi bạn xem xét con xúc xắc có ngày càng nhiều mặt, thì có thể tạo ra các chu kỳ nội tiếp với độ dài bất kỳ. Điều mà các nhà toán học không biết cho đến gần đây là xúc xắc nội động phổ biến như thế nào. Bạn có phải sắp xếp các ví dụ như vậy một cách cẩn thận hay bạn có thể chọn ngẫu nhiên viên xúc xắc và có khả năng tìm kiếm một tập hợp nội động từ tốt?

Nhìn vào ba con xúc xắc, nếu bạn biết rằng A nhịp đập B và B nhịp đập C, đó có vẻ như là bằng chứng cho thấy A là mạnh nhất; tình huống mà C nhịp đập A nên hiếm. Và thực sự, nếu các con số trên mặt xúc xắc được phép cộng thành các tổng khác nhau, thì các nhà toán học tin rằng trực giác này đúng.

Nhưng một giấy đăng trực tuyến cuối năm ngoái cho thấy rằng trong một bối cảnh tự nhiên khác, trực giác này thất bại một cách ngoạn mục. Giả sử bạn yêu cầu xúc xắc của bạn chỉ sử dụng các số xuất hiện trên một con xúc xắc thông thường và có tổng số bằng với một con xúc xắc thông thường. Sau đó, bài báo cho thấy, nếu A nhịp đập B và B nhịp đập C, A và C về cơ bản có cơ hội ngang nhau để chiếm ưu thế đối với nhau.

"Biết rằng A nhịp đập B và B nhịp đập C chỉ cung cấp cho bạn không có thông tin về việc liệu A nhịp đập C," nói Ti-mô-thê Gowers của Đại học Cambridge, một người đoạt huy chương Fields và là một trong những người đóng góp cho kết quả mới, được chứng minh thông qua một sự cộng tác trực tuyến mở được gọi là dự án Polymath.

Trong khi đó, một bài báo gần đây phân tích bộ bốn con xúc xắc trở lên. Phát hiện đó thậm chí còn nghịch lý hơn: Ví dụ, nếu bạn chọn ngẫu nhiên bốn viên xúc xắc và bạn thấy rằng A nhịp đập B, B nhịp đập C và C nhịp đập D, sau đó hơi chi tiết có khả năng cho D để đánh bại A hơn là ngược lại.

Không mạnh cũng không yếu

Sự bùng nổ kết quả gần đây đã bắt đầu từ khoảng một thập kỷ trước, sau khi Conrey tham dự một buổi họp mặt dành cho các giáo viên toán với một buổi học về xúc xắc nội động. “Tôi không biết rằng những thứ như vậy có thể tồn tại,” anh nói. “Tôi bị chúng mê hoặc.”

Anh ấy đã quyết định (sau đó được đồng nghiệp của anh ấy tham gia Kent Morrison tại AIM) để khám phá chủ đề này với ba học sinh trung học mà anh ấy đang hướng dẫn — James Gabbard, Katie Grant và Andrew Liu. Cả nhóm tự hỏi, liệu những viên xúc xắc được chọn ngẫu nhiên có tạo thành một chu kỳ nội tại hay không?

Các bộ xúc xắc nội tại được cho là hiếm nếu số mặt của các viên xúc xắc cộng lại thành các tổng khác nhau, vì viên xúc xắc có tổng điểm cao nhất có khả năng đánh bại các viên xúc xắc khác. Vì vậy, nhóm quyết định tập trung vào xúc xắc có hai thuộc tính: Thứ nhất, xúc xắc sử dụng các số giống như trên xúc xắc tiêu chuẩn — từ 1 đến n, trong trường hợp của một n-mặt chết. Và thứ hai, các số mặt có cùng tổng số như trên một con súc sắc tiêu chuẩn. Nhưng không giống như xúc xắc tiêu chuẩn, mỗi viên xúc xắc có thể lặp lại một số con số và bỏ qua những con số khác.

Trong trường hợp xúc xắc sáu mặt, chỉ có 32 con xúc xắc khác nhau có hai thuộc tính này. Vì vậy, với sự trợ giúp của máy tính, nhóm có thể xác định tất cả các bộ ba trong đó A nhịp đập B và B nhịp đập C. Các nhà nghiên cứu phát hiện ra, với sự ngạc nhiên của họ, rằng A nhịp đập C trong 1,756 bộ ba và C nhịp đập A trong 1,731 bộ ba — những con số gần như giống hệt nhau. Dựa trên tính toán này và mô phỏng xúc xắc có hơn sáu mặt, đội phỏng đoán rằng khi số mặt trên con xúc xắc tiến đến vô cùng, xác suất mà A nhịp đập C tiếp cận 50%.

Sự phỏng đoán, với sự pha trộn giữa khả năng tiếp cận và sắc thái, đã khiến Conrey trở thành nguồn cung cấp thức ăn tốt cho dự án Polymath, trong đó nhiều nhà toán học cùng nhau trực tuyến để chia sẻ ý tưởng. Vào giữa năm 2017, anh ấy đã đề xuất ý tưởng này với Gowers, người khởi xướng phương pháp Polymath. “Tôi rất thích câu hỏi này, vì giá trị bất ngờ của nó,” Gowers nói. Ông đã viết một blog đăng bài về phỏng đoán đã thu hút một loạt bình luận và trong suốt sáu bài đăng bổ sung, những người bình luận đã thành công trong việc chứng minh điều đó.

Trong bài báo của họ, Đăng trực tuyến vào cuối tháng 2022 năm XNUMX, một phần quan trọng của bằng chứng liên quan đến việc chỉ ra rằng, phần lớn, không có ý nghĩa gì khi nói về việc một con súc sắc mạnh hay yếu. Xúc xắc của Buffett, không có viên nào mạnh nhất trong nhóm, không có gì lạ: Nếu bạn chọn ngẫu nhiên một viên xúc xắc, dự án Polymath cho thấy, nó có khả năng đánh bại khoảng một nửa viên xúc xắc còn lại và thua nửa còn lại. “Hầu hết mọi con súc sắc đều ở mức trung bình khá,” Gowers nói.

Dự án khác với mô hình ban đầu của nhóm AIM ở một khía cạnh: Để đơn giản hóa một số kỹ thuật, dự án đã tuyên bố rằng thứ tự của các con số trên một con xúc xắc là quan trọng — vì vậy, ví dụ: 122556 và 152562 sẽ được coi là hai con xúc xắc khác nhau. Nhưng kết quả Polymath, kết hợp với bằng chứng thực nghiệm của nhóm AIM, tạo ra một giả định mạnh mẽ rằng phỏng đoán cũng đúng trong mô hình ban đầu, Gowers nói.

Conrey nói: “Tôi hoàn toàn vui mừng khi họ đưa ra bằng chứng này.

Khi nói đến bộ sưu tập gồm bốn viên xúc xắc trở lên, nhóm AIM đã dự đoán hành vi tương tự như của ba viên xúc xắc: Ví dụ: nếu A nhịp đập B, B nhịp đập C và C nhịp đập D thì sẽ có xác suất khoảng 50-50 D nhịp đập A, tiến đến chính xác 50-50 khi số mặt trên xúc xắc tiến đến vô cùng.

Để kiểm tra phỏng đoán, các nhà nghiên cứu đã mô phỏng các giải đấu đối đầu dành cho bộ bốn viên xúc xắc có 50, 100, 150 và 200 mặt. Các mô phỏng không tuân theo dự đoán của họ chặt chẽ như trong trường hợp ba con xúc xắc nhưng vẫn đủ gần để củng cố niềm tin của họ vào phỏng đoán. Nhưng mặc dù các nhà nghiên cứu không nhận ra điều đó, nhưng những khác biệt nhỏ này lại mang một thông điệp khác: Đối với bộ bốn viên xúc xắc trở lên, phỏng đoán của họ là sai.

Conrey nói: “Chúng tôi thực sự muốn [phỏng đoán] là sự thật, bởi vì điều đó sẽ rất tuyệt.

Trong trường hợp bốn con xúc xắc, Elisabetta Cornacchia của Viện Công nghệ Liên bang Thụy Sĩ Lausanne và Jan Hązła của Viện Khoa học Toán học Châu Phi ở Kigali, Rwanda, cho thấy trong một giấy đăng trực tuyến vào cuối năm 2020 rằng nếu A nhịp đập B, B nhịp đập C và C nhịp đập Dthì D có cơ hội tốt hơn một chút so với 50% A – có lẽ là khoảng 52%, Hązła nói. (Cũng như bài báo Polymath, Cornacchia và Hązła đã sử dụng một mô hình hơi khác so với bài báo AIM.)

Phát hiện của Cornacchia và Hązła xuất phát từ thực tế là mặc dù theo quy luật, một con xúc xắc đơn lẻ sẽ không mạnh cũng không yếu, nhưng đôi khi một cặp xúc xắc có thể có những điểm chung về sức mạnh. Cornacchia và Hązła đã chỉ ra rằng nếu bạn chọn ngẫu nhiên hai viên xúc xắc, thì có khả năng cao là các viên xúc xắc sẽ tương quan với nhau: Chúng sẽ có xu hướng thắng hoặc thua trước cùng một viên xúc xắc. Hązła nói: “Nếu tôi yêu cầu bạn tạo ra hai viên xúc xắc gần nhau, thì điều này hóa ra là có thể. Các túi tương quan nhỏ này sẽ đẩy kết quả giải đấu ra khỏi sự đối xứng ngay khi có ít nhất bốn viên xúc xắc trong hình.

Các bài báo gần đây không phải là kết thúc của câu chuyện. Bài báo của Cornacchia và Hązła chỉ mới bắt đầu khám phá chính xác mối tương quan giữa các viên xúc xắc làm mất cân bằng tính đối xứng của các giải đấu như thế nào. Tuy nhiên, trong thời gian chờ đợi, giờ đây chúng ta biết rằng có rất nhiều bộ xúc xắc nội động ngoài kia — thậm chí có thể có một bộ đủ tinh vi để đánh lừa Bill Gates lựa chọn đầu tiên.