Khi Daniel Larsen học cấp hai, anh ấy bắt đầu thiết kế trò chơi ô chữ. Anh ấy phải xếp sở thích này lên trên những sở thích khác của mình: cờ vua, lập trình, piano, violon. Anh ấy đã hai lần đủ điều kiện tham gia Scripps National Spelling Bee gần Washington, DC, sau khi giành chiến thắng trong cuộc thi khu vực của mình. Mẹ của Larsen, Ayelet Lindenstrauss, cho biết: “Thằng bé tập trung vào một thứ gì đó, và nó cứ đập, đập, đập, cho đến khi nó thành công. Trò chơi ô chữ đầu tiên của anh ấy đã bị các tờ báo lớn từ chối, nhưng anh ấy vẫn tiếp tục và cuối cùng đã thành công. Cho đến nay, anh ấy giữ kỷ lục cho người trẻ tuổi nhất để xuất bản một ô chữ trong The New York Times, ở tuổi 13. “Anh ấy rất kiên trì,” Lindenstrauss nói.
Tuy nhiên, nỗi ám ảnh gần đây nhất của Larsen có cảm giác khác, “dài hơn và dữ dội hơn hầu hết các dự án khác của anh ấy,” cô nói. Trong hơn một năm rưỡi, Larsen không thể ngừng suy nghĩ về một bài toán nào đó.
Nó bắt nguồn từ một câu hỏi rộng hơn, một câu hỏi mà nhà toán học Carl Friedrich Gauss coi là một trong những câu hỏi quan trọng nhất trong toán học: làm thế nào để phân biệt một số nguyên tố (một số chỉ chia hết cho 1 và chính nó) với một hợp số. Trong hàng trăm năm, các nhà toán học đã tìm kiếm một cách hiệu quả để làm điều đó. Vấn đề cũng trở nên phù hợp trong bối cảnh mật mã học hiện đại, vì một số hệ thống mật mã được sử dụng rộng rãi nhất hiện nay liên quan đến việc thực hiện số học với các số nguyên tố khổng lồ.
Hơn một thế kỷ trước, trong cuộc tìm kiếm một bài kiểm tra tính nguyên tố nhanh và hiệu quả, các nhà toán học tình cờ gặp phải một nhóm chuyên gây rối — những con số đánh lừa các bài kiểm tra rằng chúng là số nguyên tố, mặc dù thực tế không phải vậy. Những số giả nguyên tố này, được gọi là số Carmichael, đặc biệt khó nắm bắt. Chẳng hạn, chỉ vào giữa những năm 1990, các nhà toán học mới chứng minh được rằng có vô số chúng. Có thể nói điều gì đó nhiều hơn về cách chúng được phân phối dọc theo trục số đã đặt ra một thách thức thậm chí còn lớn hơn.
Sau đó, cùng với Larsen đến với một bằng chứng mới chỉ về điều đó, một thứ được truyền cảm hứng từ công việc mang tính thời đại gần đây trong một lĩnh vực khác của lý thuyết số. Khi đó, anh mới 17 tuổi.
Tia lửa
Lớn lên ở Bloomington, Indiana, Larsen luôn say mê toán học. Cha mẹ anh, đều là những nhà toán học, đã giới thiệu anh và chị gái của anh với môn học này khi họ còn nhỏ. (Cô ấy hiện đang theo đuổi bằng tiến sĩ toán học.) Khi Larsen lên 3 tuổi, Lindenstrauss nhớ lại, anh bắt đầu hỏi cô những câu hỏi triết học về bản chất của vô cực. “Tôi nghĩ, đứa trẻ này có đầu óc toán học,” nói Lindenstrauss, một giáo sư tại Đại học Indiana.
Sau đó, vài năm trước - vào khoảng thời gian anh ấy đắm chìm trong các dự án đánh vần và ô chữ của mình - anh ấy đã bắt gặp một tài liệu về Yitang Zhang, một nhà toán học vô danh đã vươn lên từ bóng tối vào năm 2013 sau khi chứng minh một kết quả mang tính bước ngoặt đặt giới hạn trên cho khoảng cách giữa các số nguyên tố liên tiếp. Một cái gì đó nhấp vào Larsen. Anh ấy không thể ngừng suy nghĩ về lý thuyết số và về vấn đề liên quan mà Zhang và các nhà toán học khác vẫn hy vọng giải quyết: phỏng đoán số nguyên tố sinh đôi, phát biểu rằng có vô số cặp số nguyên tố chỉ khác nhau 2.
Sau công trình của Zhang, chứng minh rằng có vô số cặp số nguyên tố khác nhau dưới 70 triệu, những người khác nhảy vào để hạ thấp giới hạn này hơn nữa. Trong vòng vài tháng, các nhà toán học James Maynard và Terence tao chứng minh một cách độc lập một tuyên bố thậm chí còn mạnh mẽ hơn về khoảng cách giữa các số nguyên tố. Khoảng cách đó đã giảm xuống còn 246.
Larsen muốn hiểu một số toán học cơ bản trong công trình của Maynard và Tao, “nhưng điều đó gần như là không thể đối với tôi,” anh ấy nói. Giấy tờ của họ quá phức tạp. Larsen đã cố gắng đọc các tác phẩm liên quan, chỉ để thấy rằng nó cũng không thể đọc được. Anh ấy tiếp tục với nó, nhảy từ kết quả này sang kết quả khác, cho đến cuối cùng, vào tháng 2021 năm XNUMX, anh ấy bắt gặp một bài báo mà anh ấy thấy vừa đẹp vừa dễ hiểu. Chủ đề của nó: Số Carmichael, những hợp số kỳ lạ đôi khi có thể tự cho mình là số nguyên tố.
Tất cả trừ Prime
Vào giữa thế kỷ 17, nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat đã viết một lá thư cho người bạn và người bạn tâm giao Frénicle de Bessy, trong đó ông phát biểu điều mà sau này được gọi là “định lý nhỏ” của ông. Nếu N là số nguyên tố thì bN – b luôn là bội số của N, không có vấn đề gì b Là. Chẳng hạn, 7 là số nguyên tố và kết quả là 27 – 2 (bằng 126) là bội số của 7. Tương tự, 37 – 3 là bội số của 7, v.v.
Các nhà toán học đã nhìn thấy tiềm năng của một phép thử hoàn hảo xem một số đã cho là số nguyên tố hay hợp số. Họ biết rằng nếu N là nguyên tố, bN – b luôn là bội số của N. Nếu điều ngược lại cũng đúng thì sao? Đó là, nếu bN – b là bội số của N cho tất cả các giá trị của b, phải N được nguyên tố?
Than ôi, hóa ra là trong những trường hợp rất hiếm, N có thể thỏa mãn điều kiện này và vẫn là hợp số. Số nhỏ nhất như vậy là 561: Với mọi số nguyên b, b561 – b luôn là bội số của 561, mặc dù 561 không phải là số nguyên tố. Những số như thế này được đặt theo tên của nhà toán học Robert Carmichael, người thường được cho là đã xuất bản ví dụ đầu tiên vào năm 1910 (mặc dù nhà toán học người Séc Václav Šimerka đã phát hiện ra các ví dụ một cách độc lập vào năm 1885).
Các nhà toán học muốn hiểu rõ hơn về những con số gần giống với đối tượng cơ bản nhất trong lý thuyết số, các số nguyên tố. Hóa ra là vào năm 1899 — một thập kỷ trước kết quả của Carmichael — một nhà toán học khác, Alwin Korselt, đã đưa ra một định nghĩa tương đương. Đơn giản là anh ta không biết liệu có bất kỳ con số nào phù hợp với hóa đơn hay không.
Theo tiêu chí của Korselt, một số N là số Carmichael khi và chỉ khi nó thỏa mãn ba tính chất. Đầu tiên, nó phải có nhiều hơn một thừa số nguyên tố. Thứ hai, không có thừa số nguyên tố nào có thể lặp lại. Và thứ ba, với mọi số nguyên tố p phân chia N, p – 1 cũng chia hết N – 1. Xét lại số 561. Nó bằng 3 × 11 × 17, vì vậy nó rõ ràng thỏa mãn hai thuộc tính đầu tiên trong danh sách Korselt. Để hiển thị tính chất cuối cùng, hãy trừ 1 từ mỗi thừa số nguyên tố để được 2, 10 và 16. Ngoài ra, hãy trừ 1 từ 561. Cả ba số nhỏ hơn đều là ước của 560. Do đó, số 561 là số Carmichael.
Mặc dù các nhà toán học nghi ngờ rằng có vô số số Carmichael, nhưng số đó tương đối ít so với các số nguyên tố, khiến chúng khó xác định. Sau đó vào năm 1994, Red Alford, Andrew Granville và Carl Pomerance công bố đột phá giấy trong đó cuối cùng họ đã chứng minh được rằng thực sự có vô số các số giả nguyên tố này.
Thật không may, các kỹ thuật mà họ đã phát triển không cho phép họ nói bất cứ điều gì về những con số Carmichael đó trông như thế nào. Chúng có xuất hiện thành cụm dọc theo dãy số, với khoảng cách lớn ở giữa không? Hay bạn luôn có thể tìm thấy số Carmichael trong một khoảng thời gian ngắn? “Bạn sẽ nghĩ rằng nếu bạn có thể chứng minh rằng có vô số chúng,” Granville nói, “chắc chắn bạn sẽ có thể chứng minh rằng không có khoảng cách lớn giữa chúng, rằng chúng phải cách nhau tương đối tốt.”
Đặc biệt, ông và các đồng tác giả của mình hy vọng chứng minh được một mệnh đề phản ánh ý tưởng này - mệnh đề đó được đưa ra với một số lượng đủ lớn X, sẽ luôn có một số Carmichael giữa X và 2X. Jon Grantham, một nhà toán học tại Viện Phân tích Quốc phòng, người đã thực hiện công việc liên quan, cho biết: “Đó là một cách khác để thể hiện mức độ phổ biến của chúng.
Nhưng hàng chục năm qua, không ai chứng minh được điều đó. Các kỹ thuật do Alford, Granville và Pomerance phát triển “cho phép chúng tôi chỉ ra rằng sẽ có nhiều số Carmichael,” Pomerance nói, “nhưng không thực sự cho phép chúng tôi kiểm soát toàn bộ vị trí của chúng. ”
Sau đó, vào tháng 2021 năm 17, Granville mở một email từ Larsen, khi đó XNUMX tuổi và đang học năm cuối trung học. Một giấy đã được đính kèm - và trước sự ngạc nhiên của Granville, nó có vẻ chính xác. “Đó không phải là cuốn sách dễ đọc nhất,” anh nói. “Nhưng khi tôi đọc nó, rõ ràng là anh ấy không hề làm lung tung. Anh ấy có những ý tưởng tuyệt vời.”
Pomerance, người đã đọc phiên bản sau của tác phẩm, đồng ý. “Bằng chứng của anh ấy thực sự khá tiên tiến,” anh ấy nói. “Đó sẽ là một bài báo mà bất kỳ nhà toán học nào cũng thực sự tự hào khi được viết. Và đây là một học sinh trung học viết nó.”
Chìa khóa cho chứng minh của Larsen là công trình đã thu hút anh đến với các số Carmichael ngay từ đầu: các kết quả của Maynard và Tao trên các khoảng trống nguyên tố.
Khả thi - Không thể
Khi Larsen lần đầu tiên chứng minh rằng bạn luôn có thể tìm thấy một số Carmichael trong một khoảng thời gian ngắn, “có vẻ như điều đó hiển nhiên là đúng, khó chứng minh đến mức nào?” anh ấy nói. Anh ấy nhanh chóng nhận ra rằng nó thực sự có thể rất khó. Ông nói: “Đây là một vấn đề thử nghiệm công nghệ của thời đại chúng ta.
Trong bài báo năm 1994 của họ, Alford, Granville và Pomerance đã chỉ ra cách tạo ra vô số số Carmichael. Nhưng họ đã không thể kiểm soát kích thước của các số nguyên tố mà họ sử dụng để xây dựng chúng. Đó là những gì Larsen cần làm để xây dựng các số Carmichael có kích thước tương đối gần nhau. Độ khó của bài toán khiến cha anh, Michael Larsen, lo lắng. “Tôi không nghĩ điều đó là không thể, nhưng tôi nghĩ không chắc anh ấy sẽ thành công,” anh nói. “Tôi thấy anh ấy đã dành bao nhiêu thời gian cho nó… và tôi cảm thấy sẽ rất tệ nếu anh ấy cống hiến quá nhiều thời gian cho việc này mà không đạt được nó.”
Tuy nhiên, ông biết tốt hơn hết là không nên cố gắng can ngăn con trai mình. Anh ấy nói: “Khi Daniel cam kết làm điều gì đó mà anh ấy thực sự quan tâm, anh ấy sẽ kiên trì với nó từ đầu đến cuối.
Vì vậy, Larsen quay trở lại với các bài báo của Maynard - cụ thể là, để chứng minh rằng nếu bạn lấy một số dãy số nhất định, thì một số tập hợp con của những số đó phải là số nguyên tố. Larsen đã sửa đổi các kỹ thuật của Maynard để kết hợp chúng với các phương pháp được sử dụng bởi Alford, Granville và Pomerance. Điều này cho phép anh ta đảm bảo rằng các số nguyên tố mà anh ta thu được sẽ có kích thước khác nhau — đủ để tạo ra các số Carmichael nằm trong khoảng mà anh ta muốn.
“Anh ấy có nhiều quyền kiểm soát mọi thứ hơn chúng ta từng có,” Granville nói. Và anh ấy đã đạt được điều này nhờ sử dụng công việc của Maynard một cách đặc biệt thông minh. “Thật không dễ dàng… để sử dụng tiến trình này trên khoảng cách ngắn giữa các số nguyên tố,” cho biết Kaisa Matomäki, một nhà toán học tại Đại học Turku ở Phần Lan. “Thật tuyệt khi anh ấy có thể kết hợp nó với câu hỏi này về các con số Carmichael.”
Trên thực tế, lập luận của Larsen không chỉ cho phép anh ta chứng minh rằng số Carmichael phải luôn xuất hiện giữa X và 2X. Chứng minh của ông cũng có tác dụng với những khoảng thời gian nhỏ hơn nhiều. Các nhà toán học giờ đây hy vọng nó cũng sẽ giúp tiết lộ các khía cạnh khác trong hành vi của những con số kỳ lạ này. “Đó là một ý tưởng khác,” nói Thomas Wright, một nhà toán học tại Đại học Wofford ở Nam Carolina, người nghiên cứu về các giả nguyên tố. “Nó thay đổi rất nhiều thứ về cách chúng ta có thể chứng minh mọi thứ về số Carmichael.”
Grantham đồng ý. “Bây giờ bạn có thể làm những điều mà bạn chưa bao giờ nghĩ tới,” anh nói.
Larsen, trong khi đó, mới bắt đầu năm thứ nhất tại Viện Công nghệ Massachusetts. Anh ấy không chắc mình có thể giải quyết vấn đề gì tiếp theo, nhưng anh ấy háo hức muốn biết những gì đang diễn ra ở đó. “Tôi chỉ tham gia các khóa học… và cố gắng trở nên cởi mở,” anh nói.
Grantham nói: “Anh ấy đã làm tất cả những điều này mà không cần học đại học. “Tôi chỉ có thể tưởng tượng những gì anh ấy sẽ nghĩ ra ở trường sau đại học.”
