Hành vi đáng kinh ngạc của chuỗi đệ quy | Tạp chí Quanta

Trong toán học, những quy tắc đơn giản có thể mở ra những vũ trụ phức tạp và đẹp đẽ. Lấy dãy Fibonacci nổi tiếng, được định nghĩa như sau: Nó bắt đầu bằng 1 và 1, và mỗi số tiếp theo là tổng của hai số trước đó. Một số số đầu tiên là:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …

Đúng vậy, đơn giản, nhưng công thức khiêm tốn này đã tạo ra một mô hình có tầm quan trọng sâu rộng, một mô hình dường như được dệt vào chính cơ cấu của thế giới tự nhiên. Nó được nhìn thấy trong những vòng xoắn của vỏ ốc anh vũ, xương trong ngón tay của chúng ta và sự sắp xếp của những chiếc lá trên cành cây. Phạm vi toán học của nó mở rộng sang hình học, đại số và xác suất, cùng nhiều lĩnh vực khác. Tám thế kỷ kể từ khi dãy số được giới thiệu đến phương Tây - các nhà toán học Ấn Độ đã nghiên cứu nó rất lâu trước Fibonacci - các con số tiếp tục thu hút sự quan tâm của các nhà nghiên cứu, một bằng chứng cho thấy độ sâu toán học có thể ẩn chứa bao nhiêu ngay cả dãy số cơ bản nhất.

Trong dãy Fibonacci, mọi thuật ngữ đều được xây dựng dựa trên những thuật ngữ có trước nó. Các chuỗi đệ quy như vậy có thể thể hiện một loạt các hành vi, một số hành vi phản trực giác một cách tuyệt vời. Lấy ví dụ, một họ dãy kỳ lạ được mô tả lần đầu tiên vào những năm 1980 bởi nhà toán học người Mỹ Michael Somos.

Giống như chuỗi Fibonacci, chuỗi Somos bắt đầu bằng một chuỗi số XNUMX. Một Somos-k trình tự bắt đầu bằng k của họ. Mỗi thuật ngữ mới của Somos-k trình tự được xác định bằng cách ghép các số hạng trước đó, nhân từng cặp với nhau, cộng các cặp rồi chia cho số hạng k vị trí trở lại trong chuỗi.

Trình tự sẽ không thú vị lắm nếu k bằng 1, 2 hoặc 3 - chúng chỉ là một chuỗi lặp lại. Nếu không có k = 4, 5, 6 hoặc 7 các chuỗi có đặc tính lạ. Mặc dù có rất nhiều phép chia liên quan nhưng các phân số không xuất hiện.

Somos nói: “Thông thường chúng tôi không gặp phải hiện tượng này. “Đó là một sự tái diễn có vẻ đơn giản, tương tự như Fibonacci. Nhưng có rất nhiều điều đằng sau sự đơn giản đó.”

Các nhà toán học khác tiếp tục khám phá những mối liên hệ đáng ngạc nhiên giữa dãy Somos và những lĩnh vực toán học dường như không liên quan. Một bài báo được đăng vào tháng XNUMX sử dụng chúng để xây dựng giải pháp đến một hệ phương trình vi phân được sử dụng để mô hình hóa mọi thứ, từ tương tác giữa động vật ăn thịt và con mồi đến sóng truyền trong các plasma năng lượng cao. Chúng cũng được sử dụng để nghiên cứu cấu trúc của các đối tượng toán học được gọi là đại số cụm và được kết nối với đường cong elip — đó là chìa khóa để giải được Định lý cuối cùng của Fermat.

Janice Malouf, một sinh viên tốt nghiệp tại Đại học Illinois, đã công bố bằng chứng đầu tiên cho thấy trình tự Somos-4 và Somos-5 là không thể thiếu (có nghĩa là tất cả các số hạng của chúng đều là số nguyên) vào năm 1992. Bằng chứng khác cùng một kết quả do các nhà toán học khác nhau thực hiện xuất hiện cùng lúc, cùng với những bằng chứng cho thấy dãy Somos-6 và Somos-7 là nguyên.

Tính chất kỳ lạ này của dãy Somos đã khiến các nhà toán học kinh ngạc. “Chuỗi Somos đã hấp dẫn tôi ngay khi tôi biết về chúng,” nói James Propp, giáo sư toán học tại Đại học Massachusetts, Lowell. “Việc Somos-4 đến Somos-7 luôn đưa ra các số nguyên, bất kể bạn đi xa đến đâu, dường như là một điều kỳ diệu khi bạn nhìn mọi thứ từ góc độ ngây thơ. Vì vậy cần phải có một góc nhìn khác.”

Propp đã tìm ra một góc nhìn mới vào đầu những năm 2000, khi ông và các đồng nghiệp phát hiện ra rằng các con số trong dãy Somos-4 thực ra đang đếm thứ gì đó. Các thuật ngữ trong chuỗi tương ứng với các cấu trúc được tìm thấy trong các biểu đồ nhất định. Đối với một số biểu đồ, có thể ghép các đỉnh (điểm) với các cạnh (đường) sao cho mỗi đỉnh được kết nối với chính xác một đỉnh khác - không có đỉnh nào không ghép cặp và không có đỉnh nào được kết nối với nhiều hơn một cạnh. Các thuật ngữ trong chuỗi Somos-4 đếm số lượng kết quả khớp hoàn hảo khác nhau cho một chuỗi biểu đồ cụ thể.

Khám phá này không chỉ đưa ra một góc nhìn mới về chuỗi Somos mà còn giới thiệu những cách mới để suy nghĩ và phân tích các phép biến đổi đồ thị. Propp và các học trò của ông đã ăn mừng bằng việc đưa kết quả lên một tấm bảng Áo thun.

“Đối với tôi, phần lớn sức hấp dẫn của toán học là khi bạn đến cùng một đích bằng những con đường khác nhau và có vẻ như điều gì đó kỳ diệu hoặc sâu sắc đang diễn ra,” Propp nói. “Điều thú vị về những chuỗi này là có nhiều quan điểm khác nhau giải thích tại sao bạn nhận được số nguyên. Có những chiều sâu ẩn giấu ở đó.”

Câu chuyện thay đổi đối với các chuỗi Somos được đánh số cao hơn. 18 số hạng đầu tiên của Somos-8 là số nguyên, nhưng số hạng thứ 19 là phân số. Mỗi chuỗi Somos sau đó cũng chứa các giá trị phân số.

Một loại dãy khác, được phát triển bởi nhà toán học người Đức Fritz Göbel vào những năm 1970, là một đối trọng thú vị với dãy Somos. Các nSố hạng thứ của dãy Göbel được định nghĩa là tổng bình phương của tất cả các số hạng trước đó cộng 1, chia cho n. Giống như dãy Somos, dãy Göbel liên quan đến phép chia, vì vậy chúng ta có thể mong đợi rằng các số hạng sẽ không còn là số nguyên. Nhưng trong một thời gian - khi chuỗi ngày càng phát triển - chúng dường như như vậy.

Số hạng thứ 10 trong dãy Göbel là khoảng 1.5 triệu, số hạng thứ 11 là 267 tỷ. Số hạng thứ 43 quá lớn để tính toán - nó có khoảng 178 tỷ chữ số. Nhưng vào năm 1975, nhà toán học người Hà Lan Hendrik Lenstra cho thấy rằng không giống như 42 số hạng đầu tiên, số hạng thứ 43 này không phải là số nguyên.

Dãy số Göbel có thể được khái quát hóa bằng cách thay thế các bình phương trong tổng bằng lập phương, lũy thừa bậc bốn hoặc thậm chí số mũ cao hơn. (Theo quy ước này, dãy ban đầu của ông được gọi là dãy 2-Göbel.) Những dãy này cũng thể hiện một xu hướng đáng ngạc nhiên là bắt đầu bằng một chuỗi mở rộng các số nguyên. Năm 1988, Henry Ibstedt cho thấy rằng 89 số hạng đầu tiên của dãy 3-Göbel (dùng hình lập phương thay vì hình vuông) là số nguyên, nhưng số hạng thứ 90 thì không. Nghiên cứu sau đó về các trình tự Göbel khác thậm chí còn tìm thấy những đoạn dài hơn. Ví dụ: dãy 31-Göbel bắt đầu với con số khổng lồ là 1,077 số nguyên.

Vào tháng XNUMX, nhà toán học Rinnosuke Matsuhira của Đại học Kyushu, Toshiki Matsusaka và Koki Tsuchida chia sẻ một bài báo cho thấy điều đó đối với một k-Trình tự Göbel, bất kể sự lựa chọn k, 19 số hạng đầu tiên của dãy luôn là số nguyên. Họ được truyền cảm hứng để tìm hiểu câu hỏi từ một bộ truyện tranh Nhật Bản tên là Seisū-tan, có nghĩa là “Câu chuyện về số nguyên”. MỘT khung hình trong truyện tranh yêu cầu người đọc tìm ra giá trị tối thiểu có thể có của N_k, điểm mà tại đó một k- Dãy số Gobel không còn tạo ra các số nguyên. Ba nhà toán học bắt đầu trả lời câu hỏi. Matsusaka nói: “Sự tồn tại bất ngờ của các số nguyên trong một khoảng thời gian dài như vậy mâu thuẫn với trực giác của chúng ta. Khi hiện tượng xảy ra trái ngược với trực giác, tôi tin rằng luôn có vẻ đẹp hiện hữu.”

Họ tìm thấy một mô hình hành vi lặp đi lặp lại như k tăng. Bằng cách tập trung vào một số hữu hạn các trường hợp lặp lại, họ đã làm cho việc tính toán trở nên dễ thực hiện và họ có thể hoàn thành việc chứng minh.

Một cái nhìn sâu hơn về trình tự N_k tiết lộ một bất ngờ khác: N_k là số nguyên tố thường xuyên hơn bạn mong đợi nếu nó hoàn toàn ngẫu nhiên. “Với k-Chuỗi Göbel không chỉ đáng chú ý vì chúng là số nguyên,” nói Richard xanh, một nhà toán học tại Đại học Colorado. “Điều đáng chú ý là các số nguyên tố xuất hiện rất thường xuyên. Điều đó khiến có vẻ như có điều gì đó sâu sắc hơn đang diễn ra.”

Mặc dù bài báo mới trình bày một bằng chứng rằng N_k luôn ít nhất là 19, không biết là luôn hữu hạn hay tồn tại k trong đó dãy chứa số nguyên vô hạn. “N_k cư xử một cách bí ẩn. … Có một mong muốn cơ bản là hiểu được mô hình cơ bản của nó,” Matsusaka nói. “Nó có thể giống với niềm vui mà tôi cảm thấy khi còn nhỏ khi giải các câu đố do giáo viên đưa ra. Ngay cả bây giờ, những tình cảm đó từ thời đó vẫn còn đọng lại trong tôi.”

Quanta đang tiến hành một loạt cuộc khảo sát để phục vụ khán giả của chúng tôi tốt hơn. Lấy của chúng tôi khảo sát độc giả môn toán và bạn sẽ được tham gia để giành chiến thắng miễn phí Quanta buôn