Kết nối ẩn đã thay đổi lý thuyết số | Tạp chí Quanta

Có ba loại số nguyên tố. Đầu tiên là một ngoại lệ đơn độc: 2, số nguyên tố chẵn duy nhất. Sau đó, một nửa số nguyên tố để lại số dư 1 khi chia cho 4. Nửa còn lại để lại số dư 3. (5 và 13 rơi vào phe thứ nhất, 7 và 11 rơi vào phe thứ hai.) Không có lý do rõ ràng nào cho số dư -1 số nguyên tố và số nguyên tố còn lại-3 nên hành xử theo những cách khác nhau về cơ bản. Nhưng họ làm vậy.

Một điểm khác biệt chính bắt nguồn từ một tính chất gọi là sự tương hỗ bậc hai, lần đầu tiên được chứng minh bởi Carl Gauss, được cho là nhà toán học có ảnh hưởng nhất thế kỷ 19. “Đó là một phát biểu khá đơn giản, có ứng dụng ở mọi nơi, trong mọi loại toán, không chỉ riêng lý thuyết số,” ông nói. James Rickards, một nhà toán học tại Đại học Colorado, Boulder. “Nhưng nó cũng không đủ rõ ràng để thực sự thú vị.”

Lý thuyết số là một nhánh của toán học liên quan đến các số nguyên (ngược lại với các hình dạng hoặc số lượng liên tục). Các số nguyên tố - những số chỉ chia hết cho 1 và chính nó - là cốt lõi của nó, giống như DNA là cốt lõi của sinh học. Sự tương hỗ bậc hai đã thay đổi quan niệm của các nhà toán học về mức độ có thể chứng minh được chúng. Nếu bạn coi các số nguyên tố như một dãy núi, thì sự tương hỗ giống như một con đường hẹp cho phép các nhà toán học leo lên những đỉnh cao mà trước đây không thể chạm tới và từ những đỉnh đó, nhìn thấy những sự thật đã bị che giấu.

Mặc dù đây là một định lý cũ nhưng nó vẫn tiếp tục có những ứng dụng mới. Mùa hè này, Rickards và đồng nghiệp của anh ấy Katherine Stange, cùng với hai sinh viên, bác bỏ một phỏng đoán được chấp nhận rộng rãi về cách những vòng tròn nhỏ có thể được gói gọn trong một vòng tròn lớn hơn. Kết quả đã gây sốc cho các nhà toán học. Peter Sarnak, một nhà lý thuyết số tại Viện Nghiên cứu Cao cấp và Đại học Princeton, đã nói chuyện với Stange tại một hội nghị ngay sau khi nhóm của cô đăng giấy của họ. “Cô ấy nói với tôi rằng cô ấy có một ví dụ điển hình,” Sarnak nhớ lại. “Tôi ngay lập tức hỏi cô ấy, 'Bạn có đang sử dụng nguyên tắc có đi có lại ở đâu đó không?' Và đó thực sự là thứ cô ấy đang sử dụng.”

Các mẫu trong cặp số nguyên tố

Để hiểu được sự có đi có lại, trước tiên bạn cần hiểu số học mô-đun. Các phép toán mô-đun dựa vào việc tính toán số dư khi bạn chia cho một số gọi là mô-đun. Ví dụ: 9 modulo 7 bằng 2, vì nếu chia 9 cho 7 thì dư 2. Trong hệ số modulo 7 có 7 số: {0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6}. Bạn có thể cộng, trừ, nhân và chia những số này.

Cũng giống như các số nguyên, các hệ thống số này có thể có các số bình phương hoàn hảo—các số là tích của một số khác nhân với chính nó. Ví dụ: 0, 1, 2 và 4 là các số bình phương modulo 7 (0 × 0 = 0, 1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4 và 3 × 3 = 2 mod 7). Mọi hình vuông thông thường sẽ bằng 0, 1, 2 hoặc 4 modulo 7. (Ví dụ: 6 × 6 = 36 = 1 mod 7.) Bởi vì hệ thống số mô-đun là hữu hạn nên hình vuông hoàn hảo phổ biến hơn.

Sự tương hỗ bậc hai bắt nguồn từ một câu hỏi tương đối đơn giản. Cho hai số nguyên tố p và q, nếu bạn biết điều đó p là một modulo bình phương hoàn hảo q, bạn có thể nói có hay không q là một modulo bình phương hoàn hảo p?

Hóa ra là miễn là một trong hai p or q nếu chia cho 1 dư 4 p là một modulo bình phương hoàn hảo qthì q cũng là một modulo bình phương hoàn hảo p. Hai số nguyên tố được cho là đối ứng nhau.

Mặt khác, nếu cả hai đều để lại 3 phần còn lại (chẳng hạn như 7 và 11) thì họ sẽ không đáp lại: Nếu p là một modulo vuông q, đó có nghĩa là q sẽ không phải là một modulo vuông p. Trong ví dụ này, 11 là bình phương modulo 7, vì 11 = 4 mod 7 và chúng ta đã biết rằng 4 là một trong những số bình phương modulo 7 hoàn hảo. Do đó, 7 không phải là bình phương modulo 11. Nếu bạn lấy danh sách bình thường các ô vuông (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64,…) và xét số dư của chúng theo modulo 11 thì số 7 sẽ không bao giờ xuất hiện.

Điều này, dùng một thuật ngữ kỹ thuật, thực sự kỳ lạ!

Sức mạnh của sự khái quát hóa

Giống như nhiều ý tưởng toán học, tính tương hỗ có ảnh hưởng vì nó có thể được khái quát hóa.

Ngay sau khi Gauss công bố bằng chứng đầu tiên về tính tương hỗ bậc hai vào năm 1801, các nhà toán học đã cố gắng mở rộng ý tưởng này ra ngoài phạm vi bình phương. “Tại sao không phải là quyền lực thứ ba hay quyền lực thứ tư? Họ tưởng tượng có thể có luật tương hỗ bậc ba hoặc luật tương hỗ bậc bốn,” nói Keith Conrad, một nhà lý thuyết số tại Đại học Connecticut.

Nhưng họ gặp khó khăn, Conrad nói, “bởi vì không có hình mẫu nào dễ dàng cả”. Điều này đã thay đổi khi Gauss đưa tính tương hỗ vào lĩnh vực số phức, cộng căn bậc hai của âm 1, biểu thị bằng i, về số thường. Ông đưa ra ý tưởng rằng các nhà lý thuyết số có thể phân tích không chỉ các số nguyên thông thường mà cả các hệ thống toán học giống số nguyên khác, như cái gọi là số nguyên Gaussian, là các số phức có phần thực và phần ảo đều là số nguyên.

Với số nguyên Gaussian, toàn bộ khái niệm về số nguyên tố đã thay đổi. Ví dụ: 5 không còn là số nguyên tố nữa vì 5 = (2 + i) × (2 − i). Conrad nói: “Bạn phải bắt đầu lại giống như đang học tiểu học. Năm 1832, Gauss chứng minh định luật tương hỗ bậc bốn cho các số nguyên phức mang tên ông.

Đột nhiên, các nhà toán học học cách áp dụng các công cụ như số học mô-đun và phân tích nhân tử vào các hệ thống số mới này. Theo Conrad, sự tương hỗ bậc hai là nguồn cảm hứng.

Những mô hình trước đây khó nắm bắt khi không có số phức giờ đã bắt đầu xuất hiện. Vào giữa những năm 1840, Gotthold Eisenstein và Carl Jacobi đã chứng minh được định luật tương hỗ bậc ba đầu tiên.

Sau đó, vào những năm 1920, Emil Artin, một trong những người sáng lập đại số hiện đại, đã khám phá ra cái mà Conrad gọi là “định luật tương hỗ tối thượng”. Tất cả các luật tương hỗ khác có thể được coi là trường hợp đặc biệt của luật tương hỗ Artin.

Một thế kỷ sau, các nhà toán học vẫn đang nghĩ ra những bằng chứng mới về định luật tương hỗ bậc hai đầu tiên của Gauss và khái quát hóa nó cho những bối cảnh toán học mới lạ. Có nhiều bằng chứng khác biệt có thể hữu ích. Conrad nói: “Nếu bạn muốn mở rộng kết quả sang một cài đặt mới, có thể một trong các đối số sẽ dễ dàng được chuyển sang, trong khi những đối số khác thì không.

Tại sao sự có đi có lại lại hữu ích

Tương hỗ bậc hai được sử dụng trong các lĩnh vực nghiên cứu đa dạng như lý thuyết đồ thị, cấu trúc liên kết đại số và mật mã. Sau này, một thuật toán mã hóa khóa công khai có ảnh hưởng được phát triển vào năm 1982 bởi Shafi Goldwasser và Silvio Micali xoay quanh việc nhân hai số nguyên tố lớn p và q cùng nhau và xuất ra kết quả, N, cùng với một số, x, không phải là modulo vuông N. Thuật toán sử dụng N và x để mã hóa tin nhắn kỹ thuật số thành chuỗi số lớn hơn. Cách duy nhất để giải mã chuỗi này là quyết định xem mỗi số trong chuỗi được mã hóa có phải là một modulo bình phương hay không N — hầu như không thể nếu không biết giá trị của số nguyên tố p và q.

Và tất nhiên, sự tương hỗ bậc hai xuất hiện nhiều lần trong lý thuyết số. Ví dụ, nó có thể được sử dụng để chứng minh rằng bất kỳ số nguyên tố nào bằng 1 modulo 4 đều có thể được viết dưới dạng tổng của hai bình phương (ví dụ: 13 bằng 1 modulo 4 và 13 = 4 + 9 = 2² + 3²). Ngược lại, các số nguyên tố bằng 3 modulo 4 không bao giờ có thể được viết dưới dạng tổng của hai bình phương.

Sarnak lưu ý rằng tính tương hỗ có thể được sử dụng để giải các câu hỏi mở, chẳng hạn như tìm ra những số nào có thể được viết dưới dạng tổng của ba lập phương. Người ta biết rằng các số bằng 4 hoặc 5 modulo 9 không bằng tổng của ba lập phương, nhưng những số khác vẫn còn là một bí ẩn. (Năm 2019, Andrew Booker tiêu đề được tạo khi anh ấy phát hiện ra rằng (8,866,128,975,287,528)³ + (−8,778,405,442,862,239)³ + (−2,736,111,468,807,040)³ = 33.)

Stange nói, đối với tất cả những ứng dụng của nó và nhiều bằng chứng khác nhau, có điều gì đó về sự tương hỗ vẫn còn là một bí ẩn.

“Điều thường xảy ra với một chứng minh toán học là bạn có thể làm theo từng bước; bạn có thể tin rằng đó là sự thật,” cô nói. “Và bạn vẫn có thể bước ra từ đầu bên kia với cảm giác như 'Nhưng tại sao?'”

Hiểu biết, ở cấp độ nội tạng, điều khiến 7 và 11 khác với 5 và 13 có thể mãi mãi nằm ngoài tầm với. Cô nói: “Chúng tôi chỉ có thể sắp xếp rất nhiều mức độ trừu tượng. “Nó xuất hiện khắp mọi nơi trong lý thuyết số… nhưng nó chỉ là một bước vượt quá những gì bạn có thể thực sự biết.”

Quanta đang tiến hành một loạt cuộc khảo sát để phục vụ khán giả của chúng tôi tốt hơn. Lấy của chúng tôi khảo sát độc giả môn toán và bạn sẽ được tham gia để giành chiến thắng miễn phí Quanta buôn