Phép Toán Bí Ẩn Của Bàn Bida | Tạp chí Quanta

Trong bộ phim năm 1959 của Disney Donald ở vùng đất toán học, Vịt Donald, lấy cảm hứng từ mô tả của người kể chuyện về hình học của bàn bida, đánh bi cái một cách hăng hái, khiến nó nảy xung quanh bàn trước khi chạm vào những quả bóng đã định. Donald hỏi, “Bạn thích môn toán như thế nào?”

Bởi vì các bàn bida hình chữ nhật có bốn bức tường gặp nhau ở các góc vuông nên quỹ đạo bida như của Donald có thể dự đoán được và hiểu rõ - ngay cả khi chúng khó thực hiện trên thực tế. Tuy nhiên, các nhà toán học nghiên cứu vẫn chưa thể trả lời được những câu hỏi cơ bản về quỹ đạo có thể có của quả bi-a trên bàn có hình dạng của các đa giác khác (hình có cạnh phẳng). Ngay cả hình tam giác, loại đa giác đơn giản nhất, vẫn chứa đựng nhiều điều bí ẩn.

Có phải luôn luôn có thể đánh một quả bóng để nó quay trở lại điểm xuất phát và chuyển động cùng chiều, tạo ra cái gọi là quỹ đạo tuần hoàn? Không ai biết. Đối với các hình dạng khác, phức tạp hơn, không biết liệu có thể đánh bóng từ bất kỳ điểm nào trên bàn đến bất kỳ điểm nào khác trên bàn hay không.

Mặc dù những câu hỏi này dường như vừa khít với giới hạn của hình học được dạy ở trường trung học, nhưng nỗ lực giải quyết chúng đã đòi hỏi một số nhà toán học hàng đầu thế giới phải đưa ra ý tưởng từ các lĩnh vực khác nhau bao gồm hệ động lực, cấu trúc liên kết và hình học vi phân. Như với bất kỳ vấn đề toán học vĩ đại nào, việc giải quyết những vấn đề này đã tạo ra nền toán học mới và đã phản hồi và nâng cao kiến ​​thức trong các lĩnh vực khác đó. Tuy nhiên, bất chấp mọi nỗ lực này và những hiểu biết sâu sắc mà máy tính hiện đại đã mang lại, những vấn đề tưởng chừng như đơn giản này vẫn ngoan cố không thể giải quyết được.

Đây là những gì các nhà toán học đã học được về bida kể từ cú đánh rối rắm kinh điển của Vịt Donald.

Họ thường cho rằng quả bóng bi-a của họ là một điểm vô cùng nhỏ, không thứ nguyên và nó nảy ra khỏi tường với sự đối xứng hoàn hảo, khởi hành cùng một góc khi nó tới, như được thấy bên dưới.

Không có ma sát, quả bóng sẽ di chuyển vô tận trừ khi nó chạm tới một góc khiến quả bóng dừng lại như một cái túi. Lý do khiến môn bida khó phân tích về mặt toán học là vì hai cú đánh gần giống nhau ở hai bên góc có thể có quỹ đạo rất khác nhau.

Một phương pháp quan trọng để phân tích bida đa giác là không nghĩ quả bóng nảy ra khỏi mép bàn, mà thay vào đó hãy tưởng tượng rằng mỗi khi quả bóng chạm vào tường, nó sẽ tiếp tục di chuyển vào một bản sao mới của chiếc bàn được lật qua nó. cạnh, tạo ra một hình ảnh phản chiếu. Quá trình này (xem bên dưới), được gọi là sự mở ra của đường bi-a, cho phép quả bóng tiếp tục theo một quỹ đạo thẳng. Bằng cách gấp những chiếc bàn tưởng tượng lại với những chiếc bàn lân cận, bạn có thể khôi phục lại quỹ đạo thực tế của quả bóng. Thủ thuật toán học này giúp có thể chứng minh những điều về quỹ đạo mà lẽ ra rất khó để nhìn thấy.

Ví dụ, nó có thể được sử dụng để chỉ ra tại sao các bảng hình chữ nhật đơn giản lại có vô số quỹ đạo tuần hoàn đi qua mọi điểm. Lập luận tương tự cũng áp dụng cho bất kỳ hình chữ nhật nào, nhưng để cụ thể hơn, hãy tưởng tượng một cái bàn có chiều rộng gấp đôi chiều dài.

Giả sử bạn muốn tìm một quỹ đạo tuần hoàn đi qua bảng n lần theo hướng dài và m lần theo hướng ngắn. Vì mỗi ảnh phản chiếu của hình chữ nhật tương ứng với quả bóng nảy ra khỏi tường, nên để quả bóng quay trở lại điểm xuất phát và chuyển động cùng chiều, quỹ đạo của nó phải đi qua bàn một số lần chẵn theo cả hai hướng. Vì thế m và n phải chẵn. Bố trí một lưới gồm các hình chữ nhật giống hệt nhau, mỗi hình được xem như một hình ảnh phản chiếu của các hình chữ nhật lân cận. Vẽ một đoạn thẳng từ một điểm trên bảng gốc tới điểm giống hệt trên bản sao n bàn đi theo hướng dài và m bàn đi theo hướng ngắn. Điều chỉnh điểm ban đầu một chút nếu đường đi qua một góc. Đây là một ví dụ trong đó n = 2 và m = 6. Khi gấp lại, đường đi tạo ra một quỹ đạo tuần hoàn, như minh họa trong hình chữ nhật màu xanh lá cây.

Bất đẳng thức tam giác

Bi-a theo hình tam giác, không có hình dạng vuông góc đẹp mắt của hình chữ nhật, thì phức tạp hơn. Như bạn có thể nhớ trong môn hình học trung học, có một số loại hình tam giác: tam giác nhọn, trong đó cả ba góc trong đều nhỏ hơn 90 độ; tam giác vuông có góc 90 độ; và các hình tam giác tù có một góc lớn hơn 90 độ.

Bàn bida có hình tam giác nhọn và tam giác vuông có quỹ đạo tuần hoàn. Nhưng không ai biết liệu điều này có đúng với các hình tam giác tù hay không.

Để tìm quỹ đạo tuần hoàn trong một tam giác nhọn, hãy vẽ một đường vuông góc từ mỗi đỉnh đến cạnh đối diện, như bên trái, bên dưới. Nối các điểm có góc vuông để tạo thành một hình tam giác, như được thấy ở bên phải.

Tam giác nội tiếp này là một quỹ đạo bi-a tuần hoàn được gọi là quỹ đạo Fagnano, được đặt theo tên của Giovanni Fagnano, người vào năm 1775 đã chỉ ra rằng tam giác này có chu vi nhỏ nhất trong tất cả các tam giác nội tiếp.

Vào đầu những năm 1990, Fred Holt tại Đại học Washington và Gregory Galperin và các cộng tác viên của ông tại Đại học quốc gia Moscow độc lập cho thấy rằng mọi tam giác vuông đều có quỹ đạo tuần hoàn. Một cách đơn giản để thể hiện điều này là phản chiếu hình tam giác quanh một chân rồi đến chân kia, như minh họa bên dưới.

Bắt đầu với quỹ đạo vuông góc với cạnh huyền (cạnh dài của tam giác). Cạnh huyền và hình phản xạ thứ hai của nó song song với nhau nên đoạn thẳng vuông góc nối chúng tương ứng với một quỹ đạo sẽ nảy đi nảy lại mãi mãi: Quả bóng rời khỏi cạnh huyền một góc vuông, bật ra khỏi cả hai chân, quay trở lại cạnh huyền một góc vuông góc rồi quay lại đường đi của nó.

Nhưng hình tam giác tù vẫn còn là một bí ẩn. Trong bài báo năm 1992, Galperin và các cộng tác viên của ông đã đưa ra nhiều phương pháp phản xạ các tam giác tù theo cách cho phép bạn tạo ra các quỹ đạo tuần hoàn, nhưng các phương pháp này chỉ có tác dụng đối với một số trường hợp đặc biệt. Sau đó, vào năm 2008, Richard Schwartz tại Đại học Brown đã chỉ ra rằng tất cả các hình tam giác tù có góc từ 100 độ trở xuống chứa một quỹ đạo tuần hoàn. Cách tiếp cận của ông bao gồm việc chia vấn đề thành nhiều trường hợp và xác minh từng trường hợp bằng cách sử dụng toán học truyền thống và sự hỗ trợ của máy tính. Năm 2018, Jacob Garber, Boyan Marinov, Kenneth Moore và George Tokarsky tại Đại học Alberta đã mở rộng ngưỡng này tới 112.3 độ. (Tokarsky và Marinov đã dành hơn một thập kỷ theo đuổi mục tiêu này.)

Một bước ngoặt tôpô

Một cách tiếp cận khác đã được sử dụng để chỉ ra rằng nếu tất cả các góc đều hợp lý - nghĩa là chúng có thể được biểu diễn dưới dạng phân số - thì những tam giác tù với các góc thậm chí còn lớn hơn phải có quỹ đạo tuần hoàn. Thay vì chỉ sao chép một đa giác trên một mặt phẳng, phương pháp này ánh xạ các bản sao của đa giác lên các bề mặt tôpô, những chiếc bánh rán có một hoặc nhiều lỗ trên đó.

Nếu bạn phản chiếu một hình chữ nhật lên cạnh ngắn của nó, sau đó phản chiếu cả hai hình chữ nhật lên cạnh dài nhất của chúng, tạo thành bốn phiên bản của hình chữ nhật ban đầu, sau đó dán phần trên và dưới lại với nhau cũng như bên trái và bên phải với nhau, bạn sẽ làm một chiếc bánh rán, hoặc hình xuyến, như hình dưới đây. Các quỹ đạo của bàn bida tương ứng với các quỹ đạo trên hình xuyến và ngược lại.

Trong một bài báo mang tính bước ngoặt năm 1986, Howard Masur đã sử dụng kỹ thuật này để chỉ ra rằng tất cả các bảng đa giác có góc hữu tỉ đều có quỹ đạo tuần hoàn. Cách tiếp cận của ông không chỉ có hiệu quả đối với các hình tam giác tù mà còn đối với các hình dạng phức tạp hơn nhiều: chẳng hạn như các bảng 100 mặt không đều hoặc các đa giác có các bức tường ngoằn ngoèo và ngoằn ngoèo tạo ra các ngóc ngách, có quỹ đạo tuần hoàn, miễn là các góc hợp lý.

Điều đáng chú ý là sự tồn tại của một quỹ đạo tuần hoàn trong một đa giác ngụ ý sự tồn tại của vô số quỹ đạo; việc dịch chuyển quỹ đạo chỉ một chút sẽ tạo ra một nhóm quỹ đạo tuần hoàn có liên quan.

Vấn đề chiếu sáng

Các hình dạng có ngóc ngách làm nảy sinh một câu hỏi liên quan. Thay vì hỏi về các quỹ đạo quay trở lại điểm xuất phát, bài toán này hỏi liệu các quỹ đạo có thể đi qua mọi điểm trên một bảng cho trước hay không. Đây được gọi là bài toán chiếu sáng vì chúng ta có thể nghĩ về nó bằng cách tưởng tượng một chùm tia laser phản chiếu lên bức tường gương bao quanh bàn bi-a. Chúng tôi hỏi liệu, với hai điểm trên một bảng cụ thể, bạn luôn có thể chiếu tia laser (lý tưởng là một tia sáng mỏng vô hạn) từ điểm này sang điểm kia. Nói cách khác, nếu chúng ta đặt một bóng đèn, tỏa sáng theo mọi hướng cùng một lúc, tại một điểm nào đó trên bàn, liệu nó có chiếu sáng cả căn phòng không?

Đã có hai hướng nghiên cứu chính về vấn đề này: tìm ra những hình dạng không thể được chiếu sáng và chứng minh rằng có thể có nhiều loại hình dạng lớn. Trong khi việc tìm ra những hình dạng kỳ quặc không thể được chiếu sáng có thể được thực hiện thông qua một ứng dụng thông minh của phép toán đơn giản, thì việc chứng minh rằng rất nhiều hình dạng có thể được chiếu sáng chỉ có thể thực hiện được thông qua việc sử dụng máy móc toán học hạng nặng.

Trong 1958, Roger Penrose, một nhà toán học đã giành chiến thắng trong Giải thưởng Nobel 2020 Vật lý, đã tìm thấy một bảng cong trong đó bất kỳ điểm nào trong vùng này không thể chiếu sáng bất kỳ điểm nào trong vùng khác. Trong nhiều thập kỷ, không ai có thể nghĩ ra một đa giác có cùng tính chất. Nhưng vào năm 1995, Tokarsky đã sử dụng một thực tế đơn giản về các hình tam giác để tạo ra một đa giác hình khối 26 cạnh với hai điểm không thể tiếp cận lẫn nhau, như minh họa bên dưới. Nghĩa là, một chùm tia laser bắn từ một điểm, bất kể hướng của nó, không thể chạm tới điểm kia.

Ý tưởng chính mà Tokarsky sử dụng khi chế tạo chiếc bàn đặc biệt của mình là nếu chùm tia laser bắt đầu ở một trong các góc nhọn trong tam giác 45°-45°-90°, thì nó không bao giờ có thể quay trở lại góc đó.

Chiếc bàn lởm chởm của ông được làm từ 29 hình tam giác như vậy, được sắp xếp để tận dụng một cách khéo léo thực tế này. vào năm 2019 Amit Wolecki, khi đó là sinh viên tốt nghiệp tại Đại học Tel Aviv, đã áp dụng kỹ thuật tương tự này vào tạo ra một hình dạng có 22 cạnh (như hình bên dưới), mà ông đã chứng minh là số cạnh nhỏ nhất có thể có của một hình có hai điểm bên trong không chiếu sáng lẫn nhau.

Việc chứng minh kết quả theo hướng khác đã khó hơn rất nhiều. Năm 2014, Maryam Mirzakhani, nhà toán học tại Đại học Stanford, trở thành người phụ nữ đầu tiên giành huy chương Fields, giải thưởng danh giá nhất của toán học, cho công trình nghiên cứu về không gian moduli của các bề mặt Riemann - một dạng khái quát hóa của những chiếc bánh rán mà Masur đã sử dụng để chứng minh rằng tất cả các bảng đa giác với các góc hữu tỉ đều có quỹ đạo tuần hoàn. Năm 2016, Samuel Lelièvre của Đại học Paris-Saclay, Thierry Monteil của Trung tâm Nghiên cứu Khoa học Quốc gia Pháp và Barak Weiss của Đại học Tel Aviv đã áp dụng một số kết quả của Mirzakhani để hiển thị rằng bất kỳ điểm nào trong một đa giác hữu tỉ đều chiếu sáng tất cả các điểm ngoại trừ nhiều điểm hữu hạn. Có thể có những điểm tối biệt lập (như trong ví dụ của Tokarsky và Wolecki) nhưng không có vùng tối như trong ví dụ Penrose, có những bức tường cong chứ không phải thẳng. TRONG Bài viết năm 2019 của Wolecki, ông củng cố kết quả này bằng cách chứng minh rằng chỉ có hữu hạn cặp điểm không thể chiếu sáng.

Thật đáng buồn, Mirzakhani qua đời vào năm 2017 ở tuổi 40, sau thời gian chống chọi với căn bệnh ung thư. Công việc của cô ấy dường như khác xa với những cú đánh lừa trong phòng bi-a. Tuy nhiên, việc phân tích quỹ đạo bi-a cho thấy ngay cả toán học trừu tượng nhất cũng có thể kết nối với thế giới chúng ta đang sống như thế nào.