Phép toán đơn giản đến bất ngờ đằng sau những trận đấu khó hiểu | Tạp chí Quanta

Đây là trận tranh chức vô địch của Giải toán tưởng tượng, nơi Đại số Atlanta sẽ đối đầu với Carolina Cross Products. Hai đội chưa đấu với nhau ở mùa giải này, nhưng hồi đầu năm Atlanta đã đánh bại Brooklyn Bisectors với tỷ số 10-5, và Brooklyn đánh bại Carolina với tỷ số 7-3. Điều đó có cho chúng ta cái nhìn sâu sắc hơn về ai không? sẽ lấy danh hiệu?

Vâng, đây là một dòng suy nghĩ. Nếu Atlanta đánh bại Brooklyn thì Atlanta mạnh hơn Brooklyn, và nếu Brooklyn đánh bại Carolina thì Brooklyn mạnh hơn Carolina. Vì vậy, nếu Atlanta tốt hơn Brooklyn và Brooklyn tốt hơn Carolina, thì Atlanta phải tốt hơn Carolina và giành chức vô địch.

Nếu bạn chơi các trò chơi hoặc môn thể thao mang tính cạnh tranh, bạn biết rằng việc dự đoán kết quả của một trận đấu chưa bao giờ đơn giản đến thế. Nhưng từ quan điểm toán học thuần túy, lập luận này có phần hấp dẫn. Nó sử dụng một ý tưởng quan trọng trong toán học được gọi là tính bắc cầu, một tính chất quen thuộc cho phép chúng ta xây dựng các chuỗi so sánh giữa các mối quan hệ. Độ chuyển đổi là một trong những tính chất toán học cơ bản đến mức bạn có thể không nhận thấy nó.

Ví dụ, sự bằng nhau của các số có tính bắc cầu. Điều này có nghĩa là nếu chúng ta biết rằng a = b và b = c, chúng ta có thể kết luận rằng a = c. Mối quan hệ “lớn hơn” cũng có tính bắc cầu: Với số thực, nếu a > b và b > cthì a > c. Khi các mối quan hệ mang tính bắc cầu, chúng ta có thể so sánh và kết hợp chúng, tạo ra thứ tự các đối tượng. Nếu Anna cao hơn Benji và Benji cao hơn Carl thì chúng ta có thể sắp xếp ba người theo chiều cao của họ: A, B, C. Tính bắc cầu cũng nằm đằng sau lập luận ngây thơ của chúng ta rằng nếu A tốt hơn B và B tốt hơn Cthì A tốt hơn C.

Tính bắc cầu hiện diện ở sự bình đẳng, đồng dạng, tương đồng, thậm chí song song. Nó là một phần của tất cả các phép toán cơ bản mà chúng ta thực hiện, khiến nó trở nên đặc biệt thú vị về mặt toán học khi nó không có ở đó. Khi các nhà phân tích xếp hạng các đội, các nhà kinh tế nghiên cứu sở thích của người tiêu dùng hoặc công dân bỏ phiếu cho các ứng cử viên ưa thích của họ, việc thiếu tính bắc cầu có thể dẫn đến những kết quả đáng ngạc nhiên. Để hiểu rõ hơn về các loại hệ thống này, các nhà toán học đã nghiên cứu “xúc sắc nội động” trong hơn 50 năm và một bài báo gần đây từ sự hợp tác toán học trực tuyến được gọi là dự án Polymath đã nâng cao hiểu biết đó. Để hiểu được tính nội cảm trông như thế nào và cảm thấy như thế nào, chúng ta hãy thành lập một liên minh của riêng mình và chơi thử.

Trong giải đấu toán học mới của chúng tôi, người chơi cạnh tranh bằng cách tung đồng xu tùy chỉnh và so sánh kết quả. Giả sử người chơi A có một đồng xu có một mặt là số 10 và mặt kia là số 6, và người chơi BĐồng xu của có các số 8 và 3. Chúng ta sẽ giả sử rằng các đồng xu đều công bằng — nghĩa là mỗi mặt đều có khả năng xuất hiện như nhau khi lật đồng xu — và chúng ta sẽ biểu thị các số trên đồng xu như thế này.

Trong một trò chơi, người chơi tung đồng xu của mình và đồng xu của ai có số cao hơn là người chiến thắng. Ai sẽ thắng khi A đóng B?

Tất nhiên, nó phụ thuộc. Thỉnh thoảng A đôi khi sẽ thắng B sẽ thắng. Nhưng không khó để nhận ra điều đó A được ưu tiên để giành chiến thắng trước B. Trò chơi có thể diễn ra theo bốn cách, và A chiến thắng trong ba trong số đó.

Vì vậy trong trò chơi A so với B, A có 75% cơ hội chiến thắng.

Hiện nay C đi cùng và thử thách B đến một trò chơi. CĐồng xu có một mặt là số 5 và một mặt là số 4. Một lần nữa có bốn khả năng.

Đây B và C mỗi người thắng hai trong số bốn trận đấu, vì vậy mỗi người sẽ thắng 50% số trận. B và C được trùng khớp một cách đồng đều.

Bây giờ, bạn mong đợi điều gì sẽ xảy ra khi A và C chơi? Tốt, A thường là nhịp đập Bvà B được kết hợp đồng đều với C, vì vậy có vẻ hợp lý khi kỳ vọng rằng A có lẽ sẽ được ưa chuộng chống lại C.

Nhưng A còn hơn cả một sự yêu thích. A thống trị C, thắng 100%.

Điều này có vẻ đáng ngạc nhiên, nhưng về mặt toán học không khó để hiểu tại sao nó lại xảy ra. Csố của nằm ở giữa Bvậy là C thắng bất cứ lúc nào B lật số thấp hơn của họ. Nhưng Csố của cả hai đều ở bên dưới Avậy là C sẽ không bao giờ thắng trận đấu đó. Ví dụ này không vi phạm ý tưởng về tính bắc cầu, nhưng nó cho thấy mọi thứ có thể phức tạp hơn là chỉ A > B > C. Một thay đổi nhỏ trong trò chơi của chúng tôi cho thấy nó có thể phức tạp hơn thế nào.

Các đối thủ của chúng tôi nhanh chóng chán trò chơi lật đồng xu hai mặt vì nó hoàn toàn dễ hiểu về mặt toán học (xem các bài tập ở cuối cột để biết thêm chi tiết), vì vậy liên đoàn quyết định nâng cấp lên đồng xu ba mặt. (Một trong những lợi ích của việc tham gia giải toán tưởng tượng là mọi thứ đều có thể xảy ra.)

Dưới đây là A và Bđồng xu của:

Ai được ưu ái trong trò chơi giữa A và B? Vâng, có ba kết quả cho Atung đồng xu và ba cho B, dẫn đến chín kết quả có thể xảy ra của trò chơi mà chúng ta có thể dễ dàng lập biểu đồ.

Giả sử một lần nữa rằng tất cả các kết quả đều có khả năng xảy ra như nhau, A nhịp đập B ở năm trong số chín kết quả. Điều này có nghĩa là A sẽ giành được $latex frac{5}{9} khoảng $55% thời gian, vì vậy A được ủng hộ chống lại B.

Cảm thấy hơi thất vọng về triển vọng của họ, B thách thức C đến một trò chơi. Csố của được hiển thị dưới đây. Bạn thích Bcơ hội của?

Một lần nữa, có chín kết quả có thể xảy ra trong một trò chơi B so với C, vì vậy chúng ta có thể liệt kê chúng ra.

Chúng tôi có thể thấy điều đó B trông khá tốt so với C. Năm trong số chín kết quả có thể xảy ra, B thắng. Vì thế B được ủng hộ chống lại C.

Tệ C bây giờ phải chơi A. Với A ủng hộ chống lại B và B ủng hộ chống lại C, cơ hội nào C phải thắng? Hóa ra là một cái khá tốt.

Năm trong số chín kết quả có thể xảy ra ở đây, C nhịp đập A. Điều này có nghĩa rằng C được ủng hộ chống lại A, Mặc du Ađược ủng hộ chống lại B và B được ủng hộ chống lại C.

Đây là một ví dụ về một hệ thống nội động. Theo thuật ngữ kỹ thuật hơn, mối quan hệ “được ưu ái chống lại” trong trò chơi của chúng ta không mang tính bắc cầu: A được ủng hộ chống lại Bvà B được ủng hộ chống lại C, Nhưng A không nhất thiết được ủng hộ chống lại C.

Chúng ta không thường thấy nó trong toán học, nhưng loại hành vi này sẽ không làm người hâm mộ thể thao ngạc nhiên. Nếu Người khổng lồ đánh bại Đại bàng và Đại bàng đánh bại Cao bồi, thì Cao bồi vẫn có thể đánh bại Người khổng lồ rất tốt. Có rất nhiều yếu tố góp phần vào kết quả của một trò chơi cá nhân. Các nhóm có thể trở nên tốt hơn nhờ luyện tập hoặc trì trệ nếu họ không đổi mới. Người chơi có thể thay đổi đội. Các thông tin chi tiết như địa điểm của trận đấu — sân nhà hay sân khách — hoặc cách các đội thi đấu gần đây có thể ảnh hưởng đến việc ai thắng và ai thua.

Nhưng ví dụ đơn giản này cho thấy rằng đằng sau tính nội truyền này cũng có những lý do thuần túy toán học. Và sự cân nhắc thuần túy mang tính toán học này có điểm chung với những hạn chế của cạnh tranh trong thế giới thực: các trận đấu.

Đây là những con số cho A, B và C.

Khi chúng ta xem chúng cạnh nhau, sẽ dễ hiểu hơn tại sao tính nội truyền lại xảy ra trong tình huống này. Mặc dù B được ưu tiên để giành chiến thắng trước C, Chai con số cao trung bình — 7 và 6 — mang lại cho họ lợi thế hơn A việc này B không có. Mặc dù A được ủng hộ chống lại B và B được ủng hộ chống lại C, C phù hợp với A tốt hơn so với B làm. Điều này tương tự như cách một đội thể thao yếu hơn có thể đấu tốt với một đối thủ vượt trội vì phong cách chơi của họ khó đối phó với đội đó hoặc vì một cầu thủ hoặc huấn luyện viên cho họ lợi thế trước đối thủ cụ thể đó.

Thực tế là thể thao có tính nội tại là một phần khiến chúng trở nên thú vị và hấp dẫn. Rốt cuộc, nếu A nhịp đập B và B nhịp đập C, C sẽ không bị mất do tính bắc cầu khi họ đối đầu với A. Trong thi đấu, chuyện gì cũng có thể xảy ra. Như nhiều nhà bình luận đã nói sau một trận khó chịu, “Đó là lý do tại sao họ chơi trò chơi.”

Và đó là lý do tại sao chúng ta chơi với toán học. Để tìm thấy điều gì thú vị, hấp dẫn và đáng ngạc nhiên. Chuyện gì cũng có thể xảy ra.

Các bài tập

1. Giả sử có hai người chơi trò chơi đồng xu hai mặt và bốn số của hai đồng xu đều khác nhau. Về cơ bản chỉ có sáu kịch bản có thể xảy ra về việc ai thắng và tần suất thắng. Họ là ai?

2. Trong tình huống trò chơi ba mặt được mô tả ở trên, hãy tìm một đồng xu ba mặt khác cho C để B vẫn được ưu ái chống lại C và C vẫn được ưu ái chống lại A.

3. Chứng minh rằng trong trò chơi hai đồng tiền không thể có ba người chơi A, B, C như vậy mà A được ủng hộ chống lại B, B được ủng hộ chống lại Cvà C được ủng hộ chống lại A.