Nhà lý thuyết nhìn thấy toán học trong nghệ thuật, âm nhạc và viết | Tạp chí Quanta

Sarah Hart luôn để mắt đến những cách bí mật mà toán học thâm nhập vào các lĩnh vực khác. Khi còn nhỏ, cô đã bị ấn tượng bởi sự xuất hiện khắp nơi của số 3 trong truyện cổ tích của mình. Mẹ của Hart, một giáo viên dạy toán, đã khuyến khích cô tìm kiếm khuôn mẫu, đưa ra những câu đố toán học để giết thời gian.

Hart tiếp tục lấy bằng tiến sĩ về lý thuyết nhóm vào năm 2000 và sau đó trở thành giáo sư tại Birkbeck, Đại học London. Nghiên cứu của Hart đã thăm dò cấu trúc của các nhóm Coxeter, các phiên bản tổng quát hơn của các cấu trúc lập danh mục các đối xứng của đa giác và lăng kính. Năm 2023, cô xuất bản Ngày xửa ngày xưa, một cuốn sách về cách toán học xuất hiện trong tiểu thuyết và thơ ca. Hart viết: “Vì con người chúng ta là một phần của vũ trụ, nên điều tự nhiên là các hình thức thể hiện sáng tạo của chúng ta, trong đó có văn học, cũng sẽ thể hiện xu hướng về khuôn mẫu và cấu trúc. “Vậy thì toán học là chìa khóa dẫn tới một góc nhìn hoàn toàn khác về văn học.”

Từ năm 2020, Hart là giáo sư hình học tại Cao đẳng Gresham ở London. Gresham không có các khóa học truyền thống; thay vào đó, mỗi giáo sư của trường đều giảng dạy một số bài giảng công khai mỗi năm. Hart là người phụ nữ đầu tiên từng giữ chức vụ 428 tuổi do Isaac Barrow, người nổi tiếng vì dạy dỗ một Isaac khác (Newton), đảm nhiệm vào thế kỷ 17. Gần đây hơn, nó được nắm giữ bởi Roger Penrose, một nhà toán học đoạt giải Nobel Vật lý năm 2020. Hart đã nói chuyện với Quanta về việc toán học và nghệ thuật ảnh hưởng lẫn nhau như thế nào. Cuộc phỏng vấn đã được cô đọng và chỉnh sửa cho rõ ràng.

Tại sao bạn lại chọn viết cuốn sách của mình về mối liên hệ giữa toán học và văn học?

Những liên kết này ít được khám phá và ít được biết đến hơn so với những liên kết giữa toán học và âm nhạc. Mối liên hệ giữa toán học và âm nhạc đã được tôn vinh ít nhất là từ thời Pythagore. Tuy nhiên, mặc dù đã có bài viết và nghiên cứu học thuật về những cuốn sách, tác giả hoặc thể loại cụ thể, tôi chưa thấy cuốn sách nào dành cho độc giả đại chúng về mối liên hệ rộng hơn giữa toán học và văn học.

Những người làm nghệ thuật nên nghĩ về toán học như thế nào?

Có rất nhiều điểm chung giữa toán học và các môn nghệ thuật khác. Trong văn học, cũng như âm nhạc và nghệ thuật, bạn không bao giờ bắt đầu mà không có gì cả. Nếu bạn là một nhà thơ, bạn đang lựa chọn: Tôi sẽ viết một bài haiku với những giới hạn về số lượng rất chính xác, hay tôi sẽ viết một bài sonnet có một số dòng nhất định, một sơ đồ vần điệu nhất định, một nhịp điệu nhất định? Ngay cả những thứ không có vần điệu cũng sẽ có ngắt dòng, nhịp điệu. Sẽ có những hạn chế khơi dậy sự sáng tạo, giúp bạn tập trung.

Trong toán học, chúng ta cũng có điều tương tự. Chúng tôi có một số quy tắc cơ bản. Trong đó, chúng ta có thể khám phá, có thể chơi và có thể chứng minh các định lý. Những gì toán học có thể làm cho nghệ thuật là giúp tìm ra những cấu trúc mới, chỉ ra những khả năng có thể xảy ra. Một bản nhạc sẽ trông như thế nào nếu không có chữ ký chủ chốt? Chúng ta có thể nghĩ về 12 âm và sắp xếp chúng theo cách khác nhau và đây là tất cả những cách bạn có thể làm điều đó. Dưới đây là những cách phối màu khác nhau mà bạn có thể nghĩ ra, đây là những hình thức đo thơ khác nhau.

Một ví dụ về việc toán học đã bị ảnh hưởng bởi văn học như thế nào?

Hàng ngàn năm trước ở Ấn Độ, các nhà thơ đã cố gắng nghĩ về những thước đo khả thi. Trong thơ tiếng Phạn, bạn có âm tiết dài và ngắn. Dài thì dài gấp đôi ngắn. Nếu bạn muốn tính xem có bao nhiêu cái có độ dài thời gian bằng ba, bạn có thể có ngắn, ngắn, ngắn hoặc dài, ngắn hoặc ngắn, dài. Có ba cách để làm cho ba. Có năm cách để tạo một cụm từ dài bốn. Và có tám cách để tạo thành một cụm từ dài năm phút. Chuỗi bạn đang nhận được là một chuỗi trong đó mỗi số hạng là tổng của hai số hạng trước đó. Bạn tái tạo chính xác cái mà ngày nay chúng ta gọi là dãy Fibonacci. Nhưng điều này đã xảy ra hàng thế kỷ trước Fibonacci.

Ảnh hưởng của toán học đến văn học như thế nào?

Một trình tự khá đơn giản nhưng có tác dụng rất mạnh mẽ là cuốn sách của Eleanor Catton. Đèn chiếu sáng, ra mắt vào năm 2013. Cô ấy đã sử dụng chuỗi 1,1/2, 1/4, 1/8, 1/16. Mỗi chương trong cuốn sách đó dài bằng một nửa chương trước. Nó tạo ra hiệu ứng thực sự hấp dẫn này, bởi vì tốc độ đang tăng lên và sự lựa chọn của các nhân vật ngày càng bị hạn chế hơn. Mọi thứ đều hướng tới kết luận của nó. Cuối cùng, các chương rất ngắn.

Một ví dụ khác về cấu trúc toán học phức tạp hơn một chút là cái được gọi là hình vuông Latin trực giao. Hình vuông Latin giống như một lưới sudoku. Trong trường hợp này, nó sẽ là lưới 10 x 10. Mỗi số xuất hiện đúng một lần ở mỗi hàng và mỗi cột. Các ô vuông Latinh trực giao được hình thành bằng cách chồng hai ô vuông Latinh lên nhau sao cho mỗi ô có một cặp số. Lưới được tạo bởi số đầu tiên trong mỗi cặp là một hình vuông Latinh và lưới được tạo bởi số thứ hai trong mỗi cặp cũng vậy. Hơn nữa, trong lưới các cặp, không có cặp nào xuất hiện nhiều hơn một lần.

Đây là rất hữu ích trong tất cả các cách. Bạn có thể tạo mã sửa lỗi từ chúng, điều này rất hữu ích khi gửi tin nhắn dọc theo các loại kênh nhiễu. Nhưng một trong những điều tuyệt vời về những cái đặc biệt này, cỡ 10, là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại, Leonhard Euler, đã nghĩ rằng chúng không thể tồn tại. Đó là một trong số rất ít lần anh mắc lỗi; đó là lý do tại sao nó rất thú vị. Một thời gian dài sau khi ông đưa ra phỏng đoán rằng những thứ này không thể tồn tại ở những kích thước cụ thể, nó đã bị bác bỏ và những hình vuông có kích thước như vậy đã được tìm thấy vào năm 1959. Nó nằm trên che of Khoa học Mỹ năm đó.

Nhiều năm sau đó, một nhà văn người Pháp, Georges Perec, đã tìm kiếm một cấu trúc để sử dụng cho cuốn sách của mình. Cuộc sống: Hướng dẫn sử dụng. Ông đã chọn một trong những hình vuông Latin trực giao này. Ông đặt cuốn sách của mình tại một khu chung cư ở Paris, nơi có 100 phòng, diện tích 10 x 10. Mỗi chương đều ở trong một căn phòng khác nhau và mỗi chương đều có hương vị riêng. Anh ấy có danh sách 10 thứ - nhiều loại vải, màu sắc, những thứ tương tự. Mỗi chương sẽ sử dụng một sự kết hợp độc đáo. Đó là một cách thực sự hấp dẫn để cấu trúc cuốn sách.

Bạn rõ ràng đánh giá cao bài viết tốt. Bạn nghĩ gì về chất lượng của văn bản trong các bài nghiên cứu toán học?

Nó rất thay đổi! Tôi biết chúng tôi đánh giá cao sự ngắn gọn, nhưng tôi nghĩ đôi khi điều đó đi quá xa. Có quá nhiều bài viết không có ví dụ hữu ích nào.

Điều chúng tôi thực sự đánh giá cao là một lập luận khéo léo, bởi vì nó bao quát tất cả các trường hợp cùng một lúc một cách rất thông minh, nên nó cũng ngắn gọn và tao nhã. Điều đó không giống như việc nén lập luận dài dòng của bạn vào một không gian nhỏ hơn mức cần thiết bằng cách phủ lên trang những ký hiệu phức tạp mà bạn đã tạo để làm cho ký hiệu ngắn gọn hơn, nhưng không chỉ người đọc mà có lẽ chính bạn cũng sẽ phải vất vả giải quyết. một lần nữa để hiểu được chuyện gì đang xảy ra.

Chúng tôi không suy nghĩ đủ về ký hiệu hữu ích để nhắc nhở người đọc ý nghĩa của nó. Ký hiệu đúng hoàn toàn có thể biến đổi một phần toán học và cũng có thể tạo không gian cho những khái quát hóa. Hãy nghĩ về quá trình chuyển đổi, về mặt lịch sử, từ việc viết một ẩn số, hình vuông và hình khối của nó bằng ba chữ cái khác nhau và có nhiều khả năng và thậm chí có thể xảy ra khi bạn bắt đầu nghĩ về  khi nào bạn bắt đầu viết  và  thay vào đó.

Bạn có thấy sự tiến hóa trong mối liên hệ giữa toán học và nghệ thuật không?

Luôn có những điều mới mẻ. Fractal xuất hiện ở khắp mọi nơi vào những năm 1990. Trên mỗi bức tường của phòng ký túc xá sinh viên đều có hình ảnh bộ Mandelbrot hoặc thứ gì đó tương tự. Mọi người đều nói, "Ồ, điều này thật thú vị, fractal." Ví dụ: bạn có các nhạc sĩ, nhà soạn nhạc, những người đang sử dụng chuỗi fractal trong tác phẩm của họ.

Khi tôi khoảng 16 tuổi, có những thứ mới gọi là máy tính đồ họa. Rất thú vị. Và một người bạn của mẹ tôi đã đưa cho tôi chương trình này để có thể vẽ bộ Mandelbrot trên một trong những máy tính đồ họa nhỏ này. Tôi không biết, nó có khoảng 200 pixel. Bạn lập trình thứ này vào, và sau đó tôi phải để nó trong 12 giờ. Nó sẽ vẽ 200 điểm này ở cuối nó. Vì vậy, ngay cả những học sinh đơn thuần cũng có thể tham gia vào lĩnh vực này vào cuối những năm 80 và đầu những năm 90 và tự mình tạo ra những bức ảnh này.

Có vẻ như ngay cả khi còn đi học, bạn đã rất hứng thú với môn toán khó.

 Tôi nghĩ tôi đã quan tâm từ trước khi tôi biết điều đó có nghĩa là tôi giỏi toán. Giống như, tôi luôn tạo ra các mẫu từ khi tôi còn là một đứa trẻ nhỏ xíu.

Khi còn nhỏ, đồ chơi yêu thích của tôi là những viên gạch bằng gỗ sơn rất đơn giản. Chúng có đủ màu sắc khác nhau. Tôi sẽ biến chúng thành các hình mẫu, rồi tôi ngắm nhìn nó một cách đầy tự hào trong khoảng một ngày, rồi tôi lại làm một cái khác.

Khi lớn hơn một chút, tôi chơi với những con số và nhìn vào các mẫu hình. Mẹ sẽ là người tôi đến và nói: “Con chán quá”. Và sau đó cô ấy sẽ nói, "Chà, bạn có thể tìm ra quy luật về số điểm bạn cần để tạo thành một hình tam giác không?" hoặc bất kể nó là gì. Cô ấy bảo tôi khám phá lại các số tam giác hay gì đó, và tôi sẽ rất phấn khích.

Người mẹ tội nghiệp của tôi, vô số phát minh tuyệt vời mà tôi sẽ mang về cho mẹ tôi. “Tôi đã phát triển một cách hoàn toàn mới để làm điều gì đó!” Và cô ấy sẽ nói, “Được rồi, điều đó thật tuyệt. Nhưng bạn biết đấy, Descartes đã nghĩ đến điều đó từ nhiều thế kỷ trước.” Và rồi tôi sẽ đi; Tôi nảy ra một ý tưởng tuyệt vời khác vài ngày sau đó. “Thật đáng yêu, em yêu. Nhưng người Hy Lạp cổ đại đã có thứ đó.”

Bạn có nhớ lại khoảnh khắc đặc biệt hài lòng nào trong sự nghiệp nghiên cứu toán học của mình không?

Những khoảnh khắc cuối cùng bạn cũng hiểu được khuôn mẫu mà bạn đang nhìn thấy luôn khiến bạn hài lòng, cũng như khi bạn tìm ra cách hoàn thành một bằng chứng mà bạn đang phải vật lộn. Ký ức sâu sắc nhất của tôi về những cảm giác vui sướng đó, có lẽ vì đó là lần đầu tiên tôi cảm nhận được chúng, là từ khi tôi bắt đầu sự nghiệp nghiên cứu. Nhưng đó vẫn là một cảm giác đáng yêu khi nhận được tiếng “aha” đó khi cuối cùng bạn cũng hiểu chuyện gì đang xảy ra.

Ngay từ rất sớm tôi đã cố gắng chứng minh điều gì đó về nhóm Coxeter vô hạn. Tôi đã giải quyết được một số trường hợp và khi xem xét phần còn lại, tôi đã nghĩ ra một kỹ thuật có thể hoạt động nếu một tiêu chí cụ thể được thỏa mãn. Bạn có thể viết những mối quan hệ này vào biểu đồ, vì vậy tôi bắt đầu tập hợp một bộ sưu tập các biểu đồ để có thể áp dụng kỹ thuật của tôi. Đây là dịp Giáng sinh một năm trước.

Sau một thời gian, bộ ảnh của tôi bắt đầu trông giống như một bộ biểu đồ cụ thể được liệt kê trong một cuốn sách về các nhóm Coxeter ở văn phòng của tôi và tôi bắt đầu hy vọng rằng đó chính xác là bộ biểu đồ này. Nếu đúng như vậy thì điều đó sẽ lấp đầy chỗ trống trong chứng minh của tôi và định lý của tôi sẽ hoàn thành. Nhưng tôi không thể kiểm tra chắc chắn cho đến khi tôi trở lại trường đại học sau Giáng sinh - đây là trước khi bạn có thể Google mọi thứ. Tôi nghĩ việc phải chờ đợi để xác nhận linh cảm của mình càng tuyệt vời hơn khi tôi đến cuốn sách và so sánh bộ sơ đồ viết tay của mình với bộ sơ đồ trong cuốn sách và chúng thực sự khớp với nhau.

Bạn nghĩ gì về câu hỏi toán học được tạo ra hay được khám phá? Hầu như không ai có thể tranh luận rằng bất kỳ tiểu thuyết gia nào mà bạn viết trong cuốn sách của bạn đều “khám phá” ra tiểu thuyết của họ. Đây có phải là sự khác biệt cơ bản giữa toán và văn hay không?

Có lẽ là vậy, mặc dù vẫn còn một số tiếng vang.

Làm toán có cảm giác như được khám phá. Nếu chúng ta phát minh ra toán học, chắc chắn việc chứng minh mọi thứ sẽ không quá khó khăn! Đôi khi chúng ta rất muốn điều gì đó là sự thật nhưng thực tế lại không phải vậy. Tôi cho rằng chúng ta không thể tránh được hậu quả của logic.

Tất cả đều giống như sự khám phá khi bạn làm việc đó. Một số lựa chọn phản ánh những gì chúng ta trải nghiệm trong thế giới thực, chẳng hạn như các tiên đề hình học mà chúng ta làm việc cùng, được chọn vì chúng dường như gần giống với thực tế — mặc dù ngay cả ở đó, không có cái gọi là “điểm” hay “ đường thẳng” (vì chúng ta không thể vẽ thứ gì đó không chiếm không gian và đường thẳng trong hình học không có chiều rộng và kéo dài vô tận).

Ở một mức độ nào đó, có những điểm tương đồng với sự liên tục này trong văn học. Một khi bạn đã xác định được quy tắc của một bài sonnet, bạn sẽ khó có thể viết được một bài có dòng đầu tiên kết thúc bằng “màu cam” hoặc “ống khói”.

Nhưng tôi không thể cưỡng lại việc chia sẻ điều gì đó của J.R.R. Tolkien nói về việc viết lách The Hobbit: “Mọi chuyện bắt đầu khi tôi đang đọc đề thi để kiếm thêm chút tiền. … Chà, một ngày nọ, tôi đến một trang trống trong cuốn đề thi và tôi viết nguệch ngoạc lên đó. ‘Trong một cái hố trên mặt đất có một người Hobbit sinh sống.’ Tôi không biết gì nhiều về những sinh vật này hơn thế, và phải nhiều năm sau câu chuyện về anh ấy mới được phát triển. Tôi không biết từ đó đến từ đâu.

Người Hobbit – anh ấy đã tạo ra hay khám phá ra chúng?