特写视图揭示了无限图的“熔点”|广达杂志

2008 年，数学家奥德·施拉姆 (Oded Schramm) 在西雅图以东约 50 英里的喀斯喀特山脉徒步旅行时发生意外身亡。尽管他只有 46 岁，但他已经构建了全新的数学领域。

“他是一位出色的数学家，”说 伊泰·本杰明尼魏茨曼科学研究所的数学家，施拉姆的朋友和合作者。 “非常有创意，非常优雅，非常原创。”

他提出的问题仍然在推动概率论和统计物理学的前沿。其中许多问题都涉及具有相变的数学结构——一种突然的宏观变化，就像冰融化成水一样。正如不同的材料有不同的熔点一样，数学结构的相变也有所不同。

施拉姆推测，对于许多重要的数学结构，可以仅使用系统的特写视图（称为局部视角）来估计渗透过程中的相变。一直放大并查看整个事物不会显着改变计算结果。在过去的15年里，数学家们已经对这个猜想进行了一些小改动，但直到现在，他们还未能完全解决它。

在一个 预印本于 XNUMX 月发布, 汤姆·哈奇克罗夫特 加州理工学院的教授和他的博士生 菲利普·伊索 证明了施拉姆的局域性猜想。他们的证明依赖于概率论和其他数学领域的主要思想，并以巧妙的方式结合起来。

“这是一篇了不起的论文。这是长期工作的积累，”本杰明尼说。

无限簇

“渗透”一词最初是指流体通过多孔介质的运动，例如水流过咖啡渣或石油从岩石裂缝中渗出。

1957 年，数学家西蒙·拉尔夫·布罗德本特 (Simon Ralph Broadbent) 和约翰·迈克尔·哈默斯利 (John Michael Hammersley) 开发了这一物理过程的数学模型。此后的几十年里，该模型本身已成为研究对象。数学家研究渗滤是因为它达到了一个重要的平衡：设置很简单，但它表现出复杂和令人费解的特征。

“这对数学家来说是一个规范模型，”哈奇克罗夫特说。 “你可以用视觉来思考事物。这让我们合作起来非常愉快。”

渗透从图开始，图是可以通过边（线）连接的顶点（点）的集合。最简单的例子之一是正方形网格，其顶点排列形成正方形的角和连接其中一些的边。

施拉姆去世前不久，推测格里米特和马斯特兰德定理可以推广。他认为渗透阈值完全由一大类被称为传递图的图的特写或“微观”视角决定。

2009 年，本杰明尼 阿萨夫·纳赫米亚斯 和 尤瓦尔·佩雷斯 证明 正如现在所知，施拉姆的局部性猜想是针对一种类似于树的特定类型的传递图。然而，施拉姆假设它适用于所有传递图（一维图除外）。

在传递图中，所有顶点看起来都很相似。二维网格就是一个例子。如果选择任意两个顶点，您总是可以找到将一个顶点移动到另一个顶点的对称性。

这种关系对于任何传递图都成立。由于这些对称性，如果放大并查看传递图的任意两个相同大小的面片，它们看起来会是相同的。出于这个原因，施拉姆认为特写视角足以让数学家计算所有传递图的渗透阈值。

传递图可以采用多种形状和形式。它们可以是一个简单的网格，由正方形、三角形、六边形或其他形状组成。或者它们可以形成一个更复杂的对象，例如“三正则树”，其中一个中心点连接到三个顶点，然后每个顶点分支以无限地创建两个新顶点，其前几个步骤如下所示：

传递图的多样性增加了证明施拉姆局部性猜想的难度。在施拉姆猜想与埃索和哈奇克罗夫特证明之间的 15 年里，不同群体的数学家针对特定类型的图证明了这个猜想，但他们的想法从未扩展到一般情况。

“所有可能的几何形状的空间是如此巨大，而且总是潜伏着奇怪的东西，”哈奇克罗夫特说。

加宽镜头

伊索和哈奇克罗夫特最初并不是在寻找适用于无限图的施拉姆局部性猜想的解决方案。相反，他们正在研究有限图上的渗透。但他们灵机一动，顿时将注意力转移到了猜想上。

“我们想出了这个新工具，我们想，哦，这似乎有助于攻击局部地区，”伊索说。

为了证明这个猜想，他们需要证明微观视角可以准确地反映渗透阈值。当您仅查看图的一部分并观察一个大的连接簇时，您可能会假设该图具有无限簇，因此高于渗透阈值。伊索和哈奇克罗夫特着手证明这一点。

他们依赖于一种可以被认为是“扩大镜头”的技术。从单个顶点开始。然后缩小以查看原始图形上仅一条边的所有顶点。在方形网格上，您现在可以看到总共五个顶点。再次拉宽镜头以查看两条边距离内的所有顶点，然后查看三条边、四条边等距离内的所有顶点。

伊索和哈奇克罗夫特设置了一个刻度盘，确定有多少链接靠近他们看到的一个大簇。然后，他们扩大了镜头，观察越来越多的边缘聚集在他们的大簇中。当他们这样做时，他们必须增加链接存在的概率，这使得更容易显示该图具有较大的连通分量。这是一个微妙的平衡行为。他们需要足够快地扩大视野，并足够慢地添加链接，以显示完整的无限图形，而不需要显着改变表盘的位置。

他们能够证明大簇比小簇生长得更快，因此，正如 Easo 所说，“随着簇变得越来越大，它的增长速度也越来越快，就像滚雪球一样。”

对于方形网格，顶点数增长相对缓慢。它大约是镜头宽度的平方。 10 个步骤后，您会发现大约 100 个顶点。但是 3 正则树的生长速度呈指数级增长——大约为 2 的透镜宽度次方。 10 个步骤后，您将看到大约 1,024 个顶点。下图显示了三正则树如何在仅七步后变得更大，尽管方形网格一开始有更多的顶点。一般来说，图表在不同的尺度上可以有不同的增长率——它们可能开始很快，然后减慢。

回到 2018 年，哈奇克罗夫特 使用了类似的想法 证明快速增长图（如 3-正则树）的局部性猜想。但它不适用于像方形网格这样的缓慢增长的图，或者以中等速度增长的图，既不满足快速增长的数学标准，也不满足缓慢增长的数学标准。

“这就是三年来事情变得真正令人沮丧的地方，”哈奇克罗夫特说。

结构与扩展

对于混合不同比例增长率的图表，您必须使用各种技术。

一个非常有用的事实是，正如 Easo 所解释的那样，“如果一张图表在某种程度上看起来增长缓慢，那么它就会陷入困境。”它将继续以更大的规模缓慢增长。由于慢增长图具有由称为群论的数学分支确定的附加结构，因此众所周知，如果缩小得足够远，慢增长图会显示数学上驯服的几何形状。

2021 年，巴黎索邦大学的 Sébastien Martineau 与 Daniel Contreras 和 文森特·塔松 苏黎世联邦理工学院能够利用这一财产 证明施拉姆的局域性猜想 对于最终增长缓慢的图。

至此，两组数学家从不同方向成功解决了这个猜想：快增长和慢增长。但这留下了相当大的差距。首先，有一个中等增长类别没有被 Easo 和 Hutchcroft 的技术或者 Contreras、Martineau 和 Tassion 的证明所涵盖。另一个问题是，这些论点仍然不适用于增长率变化的图表——仅适用于保持快速或缓慢增长的图表。对于将 Contreras、Martineau 和 Tassion 论点应用于任意图形，当缩小时几何图形最终看起来很驯服还不够，Easo 解释道：“我们现在需要它在接近当前比例的情况下看起来很驯服。”

虚无之地

中间增长的传递图非常神秘。数学家从未找到过增长落在这个范围内的传递图的例子。有可能它们根本不存在。但数学家尚未证明它们不存在，因此施拉姆定域猜想的任何完整证明都必须解决它们。除了挑战之外，Easo 和 Hutchcroft 还需要解决在特定长度范围内可能仅短暂出现中间增长的图形，即使它们在放大或缩小时增长得更快或更慢。

Easo 和 Hutchcroft 在过去一年中花了很多时间来扩展他们的结果，以应用于任何早期方法都没有涵盖的图表。

首先，他们修改了 Hutchcroft 应用于快速增长图的 2018 年技术，以处理在不同尺度上改变增长水平的图。然后他们解决了增长缓慢的问题， 27页纸 他们在八月分享了孔特雷拉斯、马蒂诺和塔西翁工作的扩展内容。最后，在 XNUMX 月份的预印本中，他们使用随机游走理论（在空间中随机摆动的线）设计了另一个论点来处理中间增长的情况。随着三分法的完成，他们证明了施拉姆的局域性猜想。

“我们必须用我们所知道的一切来解决这个问题，”哈奇克罗夫特说。

该解决方案使数学家能够更好地了解渗透阈值以上（出现无限簇的可能性为 100%）和低于渗透阈值（出现无限簇的可能性为 0%）时发生的情况。但数学家仍然对大多数图（包括三维网格）在阈值处发生的情况感到困惑。 “这可能是渗流理论中最著名、最基本的悬而未决的问题，”说 拉塞尔·莱昂斯 印第安纳大学的。

二维网格是数学家证明在阈值处精确发生的情况的少数情况之一：不会形成无限簇。在 Grimmett 和 Marstrand 证明了大板的局域猜想的一个版本之后，Grimmett 和合作者表明，如果将 3D 网格水平切成两半，创建一个地板，并将刻度盘精确地调整到渗透阈值，则不会出现无限的簇。他们的结果暗示，完整的三维网格，就像它的二维网格一样，在渗透阈值处可能没有无限的簇。

1996 年，本杰明和施拉姆 猜想 对于所有传递图来说，在阈值处找到无限簇的机会为零，就像 2D 网格或切成两半的 3D 网格一样。现在局域性猜想已经得到解决，对转变点发生的事情的理解可能会更接近一些。

更正： 2023 年 12 月 18 日
3-正则图上起始节点的 n 个链接内的节点数量大约增长为 2ⁿ，而不是3ⁿ 正如本文最初所述。文章已更正。

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