一位数学家论创造力、艺术、逻辑和语言 |广达杂志

克莱尔·沃赞花了很长时间才爱上数学。

这并不是说她不喜欢这个话题。她在法国长大，是 10 个孩子中的第 12 个，她喜欢花几个小时和她的工程师父亲一起解决数学问题。当她 12 岁的时候，她开始自己阅读一本高中代数教科书，对书中概述的定义和证明着迷。 “有这样的结构，”她说。 “代数实际上是一种结构理论。”

但她并不认为数学是一生的使命。直到大学时期，她才意识到它的深度和美丽，并且她有能力做出新的发现。在那之前，她认真追求数学之外的几个兴趣：哲学、绘画和诗歌。 （“当我 20 岁的时候，我想我只学过数学和绘画。这可能有点过分了，”她笑着说。）到了 20 岁出头，数学已经涵盖了其他一切。但绘画和诗歌继续影响着她。她将数学视为一门艺术，也是突破和挑战语言极限的一种方式。

几十年后，在成为代数几何领域的领军人物后，沃赞再次抽出时间绘画和制作泥塑。尽管如此，数学仍然占据了她大部分的注意力。她更喜欢花时间探索这个“不同的世界”，在那里“就像你在做梦一样”。

沃赞是巴黎法国国家科学研究中心的高级研究员。在那里，她研究代数簇，代数簇可以被认为是由多项式方程组定义的形状，就像多项式定义圆的方式一样 x² + y² = 1. 她是霍奇理论领域世界上最重要的专家之一，霍奇理论是数学家用来研究代数簇关键性质的工具包。

Voisin 因其工作获得了一系列奖项，包括 2008 年的克莱研究奖、2015 年的海因茨·霍普夫奖和 2017 年的邵逸夫数学奖。今年 XNUMX 月，她成为第一位获得克拉福德奖的女性数学。

广达 与沃赞谈论了数学的创造性本质。为了清晰起见，采访内容已经过精简和编辑。

你小时候喜欢数学，但并没有想到自己会追求它。为什么不？

证据有其魔力——当你理解它，当你意识到它有多么强大以及它让你变得多么强大时，你会感受到情感。当我还是个孩子的时候，我就已经看到了这一点。我很享受数学所需要的专注。随着年龄的增长，我发现这对于数学实践越来越重要。世界其他地方都消失了。你的整个大脑都是为了研究问题而存在的。这是一次非凡的经历，对我来说非常重要——让自己离开现实世界，生活在一个不同的世界。也许这就是我儿子如此喜欢玩电子游戏的原因。

但让我成为数学后来者的原因，从某种意义上来说，是因为我对游戏绝对不感兴趣。这不适合我。在高中，数学感觉就像一场游戏。我很难认真对待它。起初我并没有看到数学的深度。即使当我高中毕业后开始发现非常有趣的证明和定理时，我也从未想过我可以自己发明一些东西，我可以把它变成我的。

我需要一些更深刻、更严肃的东西，一些我可以自己创造的东西。

在你在数学中发现这一点之前，你在哪里寻找它？

我喜欢哲学及其对概念概念的坚持。另外，直到 22 岁左右，我花了很多时间画画，尤其是受几何启发的具象作品。我非常喜欢诗歌——马拉美、波德莱尔、雷内·夏尔的作品。我已经生活在一个不同的世界里。但我认为，当你年轻的时候，这很正常。

但数学变得越来越重要。这真的需要你全部的大脑。当您不在办公桌前处理特定问题时，您的大脑仍然忙碌。所以我做数学越多，画画就越少。我最近才重新开始画画，现在我的孩子们都离开了家，我有了更多的时间。

是什么让您最终决定将大部分创造力投入到数学上？

数学对我来说变得越来越有趣。作为硕士和博士。作为一名学生，我发现20世纪的数学是非常深刻和非凡的。这是一个充满思想和概念的世界。在代数几何领域，发生了由亚历山大·格洛腾迪克领导的著名革命。甚至在格罗腾迪克之前，就已经取得了令人难以置信的结果。所以这是一个新的领域，有着美丽但也极其强大的想法。我研究的霍奇理论就是其中的一部分。

越来越清楚我的生命就在那里。当然，我有家庭生活——有丈夫和五个孩子——还有其他职责和活动。但我意识到，通过数学，我可以创造一些东西。我可以把我的一生奉献给它，因为它是如此美丽，如此壮观，如此有趣。

您之前曾写过关于数学为何是一项创造性工作的文章。

我是一名专业数学家，所以我的工作日是围绕数学进行的。我坐在办公桌前；我在电脑上工作。但我的大部分数学活动都不是在那段时间发生的。你需要一个新的想法、一个好的定义、一个你认为你能够利用的声明。只有这样你的工作才能开始。当我坐在办公桌前时，这种情况就不会发生。我需要跟随自己的想法，让自己保持思考。

听起来数学对你来说是非常个人化的。在这个过程中你有发现一些关于自己的事情吗？

做数学，很多时候我都得跟自己作斗争，因为我很无序，我不太自律，而且我也很容易抑郁。我觉得这并不容易。但我发现，在某些时刻——比如早上吃早餐时，或者当我走在巴黎的街道上或做一些无意识的事情（比如打扫卫生）时——我的大脑开始自行工作。我意识到我正在思考数学，但并非有意如此。就像你在做梦一样。我已经 62 岁了，我没有真正的方法来做好数学：我或多或少仍在等待获得灵感的那一刻。

你使用非常抽象的对象——高维空间，满足复杂方程的结构。您如何看待这样一个抽象的世界？

事实上，这并不难。最抽象的定义，一旦你熟悉了它，就不再抽象了。它就像一座美丽的山，你看得很清楚，因为空气非常清澈，而且有光线可以让你看到所有的细节。对我们来说，我们研究的数学对象看起来很具体，因为我们比其他任何东西都更了解它们。

当然，有很多东西需要证明，当你开始学习一些东西时，你可能会因为抽象而受苦。但是当你使用一个理论时——因为你理解了定理——你实际上感觉与所讨论的对象非常接近，即使它们是抽象的。通过了解这些物体，通过操纵它们并将它们用于数学论证，它们最终会成为你的朋友。

而这也需要从不同的角度来看待他们？

我本来没学过代数几何。我从事复杂解析几何和微分几何工作。在解析几何中，您研究更大类别的函数以及由这些函数局部定义的形状。与代数几何不同，它们通常没有全局方程。

起初我并没有太关注代数的观点。但随着年龄的增长，我在这个领域工作得越多，我就越意识到拥有这两种不同语言的必要性。

有一个令人难以置信的定理，叫做 GAGA，这有点像个笑话；它在法语中的意思是“老年”，但它也代表 几何代数与几何分析。它说你可以从一种语言过渡到另一种语言。如果更容易的话，您可以在复杂的解析几何中进行计算，然后再回到代数几何。

其他时候，代数几何使您有可能研究问题的不同版本，从而产生非凡的结果。我致力于从整体上理解代数几何，而不是仅仅关注它的复杂几何方面。

有趣的是，您将它们视为不同的数学语言。

语言是必不可少的。在数学之前，先有语言。很多逻辑已经存在于语言之中。我们在数学中有所有这些逻辑规则：量词、否定、括号来指示正确的运算顺序。但重要的是要认识到，所有这些对数学家至关重要的规则已经存在于我们的日常语言中。

您可以将数学定理与一首诗进行比较。它是用文字写成的。它是语言的产物。我们之所以拥有数学对象，是因为我们使用语言，因为我们使用日常用语并赋予它们特定的含义。所以你可以比较诗歌和数学，因为它们都完全依赖于语言，但仍然创造出新的东西。

由于格洛腾迪克在代数几何方面的革命，你被数学所吸引。他本质上创建了一种新的语言来进行这种数学计算。

权利。

您现在使用的数学语言是否仍需要改变？

数学家不断地修改他们的语言。遗憾的是，因为这使得旧论文很难阅读。但我们重新设计了过去的数学，因为我们更好地理解了它。它为我们提供了更好的编写和证明定理的方法。格洛腾迪克就是这种情况，他将层上同调应用于几何学。实在是太壮观了。

熟悉你所学习的对象非常重要，以至于对你来说它就像母语一样。当一个理论开始形成时，需要时间来找出正确的定义并简化一切。或者也许它仍然很复杂，但我们对定义和对象变得更加熟悉；使用它们变得更加自然。

这是一个持续的演变。我们必须不断地重写和简化，以理论化什么是重要的，什么工具可用。

您是否必须在工作中引入新的定义？

有时。在 我所做的工作 亚诺什·科拉尔，有一个转折点，我们终于能够通过某个定义找到问题的正确观点。这是一个非常经典的问题，我们使用经典工具，但我们的证明实际上是基于我们建立的这个定义。

在另一种情况下， 奥利维尔·德巴尔, 丹尼尔·海布莱希茨, 埃马努埃莱·马克里 事实证明我是一个很好的人 分类结果 关于称为超凯勒流形的对象。该证明的起点是引入一个不变量，我们最初将其称为“a.“[笑.]

您可能会低估数学中定义的重要性，但您不应该这样做。

定义和语言并不是数学的唯一指导力量。猜想也是如此，可能是真的，也可能不是。例如，您已经在霍奇猜想上做了很多工作，这是一个克莱千年问题，其解决方案带有 1万美元奖励.

假设您有一个想要理解的代数簇。因此，您可以转到复解析几何方面，并将其视为所谓的复流形。您可以根据其整体形状或拓扑来思考复杂流形。有一个称为同调的对象，它为您提供了有关流形的大量拓扑信息。但要定义它并不那么容易。

现在考虑原始簇内的代数子簇。每个都有一个拓扑不变量，即与其相关的某些拓扑信息。通过观察这些拓扑不变量可以得到复流形同源性的哪一部分？

霍奇猜想给出了具体的答案。答案是非常微妙的。

那么数学家不确定霍奇猜想最终是真是假？

你要相信霍奇猜想，因为它是代数几何主要理论的指南。

您确实想了解代数簇的主要属性。如果霍奇猜想是正确的，那么你就可以对品种的几何形状进行令人难以置信的控制。您将获得有关品种结构的非常重要的信息。

有一些强有力的理由相信它。霍奇猜想的特殊情况是已知的。并且有许多关于代数簇的深刻陈述暗示霍奇猜想是正确的。

但证明这一点几乎完全没有进展。我还证明了没有办法将霍奇猜想扩展到另一个看起来很自然的环境。所以这有点令人震惊。

作为一名数学家工作了几十年之后，您是否觉得自己现在对数学的研究更加深入了？

现在我年纪大了，我有更多的时间把精力花在数学上，真正投入其中。我也有更好的能力去这里那里。以前，可能是因为时间少，行动力也少——虽然行动力太大，只是碰着问题而不坚持下去，也不好。现在我更有经验了，我可以建立自己的形象。

你对你不知道的事情和未解决的问题有了更好的了解。您可以详细了解您的田地及其边界。变老一定有一些好的方面。还有很多事情要做。