悬在针上的猜想之塔 | 广达杂志

在数学中，一个简单的问题往往并不像看上去的那样。 今年夏天早些时候， 广达 报告了一个这样的问题：在所有可能的方向上旋转无限细的针时，可以扫出的最小区域是多少？ 像表盘一样绕其中心旋转，你就会得到一个圆圈。 但更巧妙地旋转它，你就可以覆盖任意一小部分的空间。 如果您不需要针以连续的方式移动，而是简单地在各个方向放置一根针，您就可以构建一种完全不覆盖任何区域的针排列。

数学家将这些排列称为挂谷集。 虽然他们知道这样的集合在面积（或体积，如果您将针排列在三个或更多维度上）方面可能很小，但他们相信如果它们的大小是通过称为豪斯多夫的度量来测量的，那么这些集合必须始终很大方面。

数学家尚未证明这一说法，即挂谷猜想。 虽然这表面上是一个关于针的简单问题，但“这些挂谷集的几何形状支撑着偏微分方程、调和分析和其他领域的大量问题，”说 乔纳森·希克曼 爱丁堡大学的。

挂谷猜想是调和分析中三个核心问题的基础——调和分析是数学的一个分支，研究函数如何表示为周期性函数之和，例如定期振荡的正弦波。

该层次结构的下一步是“限制”猜想。 如果这是真的，挂谷猜想也成立。 （这也意味着，如果挂谷猜想被证明是错误的，那么限制猜想就不可能为真。）反过来，限制猜想又隐含在所谓的博赫纳-里斯猜想中。 最顶层是局部平滑猜想。

前两个猜想涉及傅里叶变换的行为，傅里叶变换是调和分析中的一种技术，实际上用于计算如何将几乎任何函数表示为正弦波之和。 它是物理学家和工程师可用的最强大的数学工具之一。 傅里叶变换在求解微分方程、表达海森堡不确定性原理等量子力学思想以及分析和处理信号方面发挥了基础作用，使现代移动电话等技术成为可能。

由于层次结构中的每个陈述都隐含着其下一个陈述，因此如果挂谷猜想为假，则其他猜想都不为真。 整座塔将会倒塌。 “你可以创造一个超级怪物反例，打破很多猜想，”希克曼说。

另一方面，证明挂谷猜想的正确性并不会自动暗示其他猜想的正确性，但它会给数学家提供关于如何继续下去的重要见解。

因此，“据我所知，近一半的调和分析社区正在研究这个问题和相关问题，或者在某个时候已经研究过这些问题，”说 郭少明 威斯康星大学麦迪逊分校。

最近，数学家们惊讶地发现，他们为解决这些问题而开发的技术也可以用来证明看似不相关的数论领域的主要结果。 “这种现象比人们想象的要普遍得多，”郭说。

层蛋糕

故事从傅里叶变换开始。 “你想要将[功能]分解成小块，分析它们的相互作用，然后将它们重新组合在一起，”说 欧雨萌 宾夕法尼亚大学的。 对于一维函数（可以在一张纸上绘制的曲线），数学家非常了解如何做到这一点，即使他们需要仅使用某些部分来反转傅里叶变换。

但在二维或更多维度中，事情可能会变得混乱。

1971年， 查理费弗曼普林斯顿大学的数学家弄清楚了如何使用挂谷集来证明反转傅立叶变换可以在多个维度上产生奇怪且令人惊讶的结果。

数学家找到了博赫纳-里斯猜想形式的解决方案，该猜想本质上表明存在更复杂的方法来恢复原始函数，而不会像费弗曼的例子那样崩溃。 但这一修复取决于挂谷猜想的真实性。

如果这是真的，“截断频率只会导致小错误，”说 贝齐·斯托瓦尔 威斯康星大学麦迪逊分校。 “这意味着小错误不会扩大。”

等级制度就这样开始了。 后来，数学家发现了另一个重要的联系：如果为真，博赫纳-里斯猜想也隐含着一种称为限制猜想的说法。 这个猜想指出，如果您从傅里叶变换的有限版本开始——将您查看的值“限制”为仅存在于特定表面上的值——这仍然可以为您提供有关原始函数的重要信息。 事实证明，如果限制猜想成立，那么挂谷猜想也成立。 （这将 Kakeya 和 Bochner-Riesz 之间的限制猜想置于塔中。）

层次结构中的最高问题称为局部平滑猜想，它不直接处理傅里叶变换，而是对描述波行为的方程的解的大小施加限制。

您也可以根据挂屋集中线条的几何形状来思考这一点。 您可以将波动方程的通解分解为一堆部分，这些部分随着时间的推移向不同方向移动并以不同方式相互作用。 从数学上讲，这些作品中的每一件都类似于挂屋套装中的一根针。 挂谷猜想断言这样的配置不能有太多重叠。 在这种物理背景下，重叠将对应于解决方案中持续存在的不规则和意外行为。 例如，声波可以在许多不同时间在许多区域放大。

局部平滑猜想指出，这种不规则性应该被平均掉。 “这就像取金融市场的平均值一样，”说 西普里安·德米特 印第安纳大学伯明顿分校。 “到处可能会出现崩盘，但如果你投资并在 40 年后退休，那么你很有可能会得到一些好的投资。”

但与层次结构中的所有猜想一样，这取决于挂谷猜想的真实性。 斯托瓦尔说：“我们的想法是，如果你排除了 Kakeya 集合中的大量交集，那就意味着你可以排除解决方案的各个部分共同造成某种爆炸的情况。”

这个猜想是其中最困难的：虽然 Kakeya、限制和 Bochner-Riesz 问题的二维情况在几十年前就已经解决，但二维局部平滑猜想在几年前才被证明。 （在更高的维度中，所有这些问题仍然悬而未决。）

尽管证明局部平滑猜想进展缓慢，但它的工作却在其他方面取得了巨大进展。 1999年，数学家托马斯·沃尔夫在试图解决这个猜想时，引入了一种称为解耦的方法。 从那时起，这项技术就获得了自己的生命：它不仅在调和分析方面取得了重大突破，而且在数论、几何和其他领域也取得了重大突破。 “利用解耦结果，你现在在非常著名、重要的问题上拥有了世界纪录，”说 克里斯托弗·索格 约翰·霍普金斯大学的教授，于 1990 世纪 XNUMX 年代首次提出了局部平滑猜想。 例如，解耦已被用来帮助计算一个整数可以用多少种方式表示为平方、立方和或其他幂的和。

正如德米特所说，这些结果是可能的，因为“我们可以将数字视为波浪”。 他补充说，所有这些问题都与挂谷针组有关，这“令人着迷”。 “你不会认为用线段表达出来的东西能够隐藏如此多的美丽、困难和重要性。”