介绍
算法已经变得无处不在。 它们优化我们的通勤、处理支付并协调互联网流量。 似乎对于每个可以用精确的数学术语表达的问题,都有一种算法可以解决它,至少在原则上是这样。
但事实并非如此——一些看似简单的问题永远无法通过算法解决。 计算机科学家先驱阿兰·图灵 证明 近一个世纪前,他在同一篇论文中提出了这种“不可计算”问题的存在 计算的数学模型 开创了现代计算机科学。
图灵使用一种反直觉的策略证明了这一突破性的结果:他定义了一个问题,并拒绝所有解决该问题的尝试。
“我问你在做什么,然后我说,‘不,我要做一些不同的事情,’” 拉胡尔·伊兰戈,麻省理工学院的研究生,研究理论计算机科学。
图灵的策略基于一种称为对角化的数学技术,该技术具有悠久的历史。 这是他的证明背后逻辑的简化说明。
弦理论
对角化源于一个巧妙的技巧,用于解决涉及位字符串的平凡问题,每个位可以是 0 或 1。给定一个这样的字符串列表,它们的长度都相等,你能生成一个不在该字符串上的新字符串吗?列表?
最直接的策略是依次考虑每个可能的字符串。 假设您有五个字符串,每个字符串长五位。 首先扫描列表中是否有 00000。如果不存在,则可以停止; 如果是,则转到 00001 并重复该过程。 这很简单,但是对于长字符串的长列表来说它很慢。
对角化是一种替代方法,可以一点一点地构建缺失的字符串。 从列表中第一个字符串的第一位开始并将其反转 - 这将是新字符串的第一位。 然后反转第二个字符串的第二位并将其用作新字符串的第二位,然后重复,直到到达列表的末尾。 您翻转的位可确保新字符串至少在一个位置与原始列表中的每个字符串不同。 (它们还通过字符串列表形成一条对角线,从而为该技术命名。)
对角化只需要检查列表中每个字符串的一位,因此它通常比其他方法快得多。 但它的真正威力在于它如何很好地处理无穷大。
“现在弦可以是无限的; 这个列表可以是无限的——它仍然有效,”说 瑞安·威廉姆斯(Ryan Williams),麻省理工学院的理论计算机科学家。
第一个利用这种力量的人是乔治·康托(Georg Cantor),他是集合论数学子领域的创始人。 1873年,康托尔用对角化证明了一些无穷大 比别人大。 六十年后,图灵将康托的对角化版本应用于计算理论,赋予其明显的逆向风格。
限制游戏
图灵想要证明存在任何算法都无法解决的数学问题,即具有明确定义的输入和输出但没有万无一失的从输入到输出的过程的问题。 他通过专注于决策问题,使这个模糊的任务更易于管理,其中输入可以是任何 0 和 1 的字符串,输出是 0 或 1。
确定一个数字是否是素数(只能被 1 和它本身整除)是决策问题的一个示例 - 给定一个表示数字的输入字符串,如果该数字是素数,则正确的输出是 1,如果不是,则正确的输出是 0。 另一个例子是检查计算机程序是否存在语法错误(相当于语法错误)。 在那里,输入字符串代表不同程序的代码——所有程序都可以用这种方式表示,因为这就是它们在计算机上存储和执行的方式——目标是如果代码包含语法错误则输出 1,如果不包含语法错误则输出 0。 t。
只有当算法为每个可能的输入产生正确的输出时,它才能解决问题 - 如果它失败一次,它就不是该问题的通用算法。 通常,您首先会指定要解决的问题,然后尝试找到解决该问题的算法。 为了寻找无法解决的问题,图灵彻底颠覆了这种逻辑——他想象了一个包含所有可能算法的无限列表,并使用对角化来构造一个顽固的问题,该问题将阻碍列表中的每个算法。
想象一下一个由 20 个问题组成的被操纵的游戏,回答者不是从脑海中考虑一个特定的对象,而是发明一个对每个问题说“不”的借口。 在游戏结束时,他们描述了一个完全由其所缺乏的品质定义的物体。
图灵的对角化证明是这个游戏的一个版本,其中的问题贯穿无限的可能算法列表,反复询问“这个算法能否解决我们想要证明不可计算的问题?”
“这有点像‘无限的问题’,”威廉姆斯说。
为了赢得比赛,图灵需要设计一个对于每个算法来说答案都是“否”的问题。 这意味着要识别导致第一个算法输出错误答案的特定输入,以及导致第二个算法失败的另一个输入,依此类推。 他使用一种类似于库尔特·哥德尔最近使用的技巧来发现这些特殊的输入 证明 像“这个陈述无法证明”这样的自我指涉断言给数学基础带来了麻烦。
关键的见解是每个算法(或程序)都可以表示为一串 0 和 1。 这意味着,就像错误检查程序的示例一样,一个算法可以将另一个算法的代码作为输入。 原则上,算法甚至可以将自己的代码作为输入。
有了这种洞察力,我们可以定义一个不可计算的问题,就像图灵证明中的问题一样:“给定一个表示算法代码的输入字符串,如果该算法在其自己的代码作为输入时输出 1,则输出 0;否则,如果该算法输出 0,则输出 XNUMX。” 否则输出XNUMX。” 每一种试图解决这一问题的算法都会在至少一个输入(即与其自身代码相对应的输入)上产生错误的输出。 这意味着任何算法都无法解决这个反常问题。
否定不能做什么
计算机科学家还没有完成对角化。 1965 年,尤里斯·哈特马尼斯 (Juris Hartmanis) 和理查德·斯特恩斯 (Richard Stearns) 将图灵的论点改编为 证明 并非所有可计算问题都是一样的——有些问题本质上比其他问题更难。 这一结果开创了计算复杂性理论领域,该理论研究计算问题的难度。
但复杂性理论也揭示了图灵相反方法的局限性。 1975 年,西奥多·贝克、约翰·吉尔和罗伯特·索洛维 证明 复杂性理论中的许多悬而未决的问题永远无法仅通过对角化来解决。 其中最主要的是著名的 P 与 NP 问题,该问题询问是否所有具有易于检查解决方案的问题也可以通过正确的巧妙算法轻松解决。
对角化的盲点是高度抽象的直接结果,这使得它如此强大。 图灵的证明并没有涉及任何实践中可能出现的不可计算的问题——相反,它是即时编造出这样一个问题的。 其他对角化证明同样远离现实世界,因此它们无法解决现实世界细节重要的问题。
“他们在远处处理计算,”威廉姆斯说。 “我想象一个人正在处理病毒并通过手套箱访问它们。”
对角化的失败是解决 P 与 NP 问题的早期迹象 漫长的旅途。 但尽管有其局限性,对角化仍然是复杂性理论家武器库中的关键工具之一。 2011 年,威廉姆斯将其与大量其他技术结合使用, 证明 某种有限的计算模型无法解决一些极其困难的问题——这一结果一直困扰着研究人员 25 年。 这与解决 P 与 NP 问题相去甚远,但它仍然代表着重大进展。
如果你想证明某件事是不可能的,请不要低估说“不”的力量。
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