“熵百吉饼”和其他复杂的结构源于简单的规则|广达杂志

重复并不总是单调乏味。在数学中，它是一种强大的力量，能够产生令人眼花缭乱的复杂性。

即使经过几十年的研究，数学家发现自己无法回答有关重复执行非常简单的规则（最基本的“动力系统”）的问题。但在尝试这样做的过程中，他们发现了这些规则与其他看似遥远的数学领域之间的深刻联系。

例如，Mandelbrot 集，我 写的 上个月，是一个函数族如何用方程描述的地图 f(x）= x² + c — 表现为 c 范围在所谓的复平面上。 （与可以放在一条线上的实数不同，复数有两个组成部分，可以将其绘制在 x- 和 y-二维平面的轴。）

无论您将曼德尔布罗特集放大多少，新奇的模式总会出现，没有限制。 “即使是现在，这种非常复杂的结构却是从如此简单的规则中产生的，这对我来说是完全令人震惊的，”说 马修·贝克 佐治亚理工学院的。 “这是 20 世纪真正令人惊讶的发现之一。”

曼德尔布罗特集的复杂性部分是因为它是根据本身复杂的数字来定义的。但也许令人惊讶的是，这并不是故事的全部。即使当 c 是一个简单的实数，比如 –3/2，可能会发生各种奇怪的现象。没有人知道当你重复应用这个方程时会发生什么 f(x）= x² – 3/2，在称为迭代的过程中使用每个输出作为下一个输入。如果你开始迭代 x = 0（二次方程的“临界点”），不清楚您是否会产生一个最终收敛到重复循环值的序列，或者一个继续以混沌模式无限反弹的序列。

对于值 c 小于 –2 或大于 1/4，迭代很快就会膨胀到无穷大。但在该区间内，有无穷多个值 c 已知会产生混乱的行为，并且有无数像 –3/2 这样的情况，“我们不知道会发生什么，即使它是超级具体的，”说 朱利奥·蒂奥佐 多伦多大学的。

但在 1990 世纪 XNUMX 年代，石溪大学的数学家 米沙·柳比奇，他在我关于曼德尔布罗特集的报告中占有重要地位， 证明 在 –2 和 1/4 之间的区间内，绝大多数值 c 产生良好的“双曲线”行为。 （数学家 Jacek Graczyk 和 Grzegorz Swiatek 独立证明 大约在同一时间得到结果。）这意味着相应的方程在迭代时收敛到单个值或重复的数字循环。

十年后，三位数学家证明，大多数值 c 不仅对于二次方程而且对于 任意实多项式族 （更通用的函数结合了变量的幂，例如 x⁷ + 3x⁴ + 5x² + 1).现在其中之一， 塞巴斯蒂安·范·斯特里恩 伦敦帝国理工学院的教授相信他已经证明了这一性质，适用于更广泛的一类方程，称为实解析函数，其中包括正弦、余弦和指数函数。范斯特林希望在五月宣布结果。如果它在同行评审后成立，将标志着真实一维系统行为表征的重大进步。

不可能的交叉点和熵百吉饼

有无数个实二次方程，当从零开始迭代时，最终会产生一个重复的数字循环。但如果你限制 c 对于有理值（可以写为分数的值），只有三个值最终会生成周期序列：0、–1 和 –2。 “这些动力系统非常非常特别，”说 克莱顿·佩切 俄勒冈州立大学。

In 一篇论文 去年发表的 Petsche 和 查猜·诺伊塔普丁 滑铁卢大学的教授证明，它们比乍一看更加特别。数学家着眼于“完全实数”，它们比实数限制更多，但比有理数限制更少。

如果将一个数字代入多项式并得到零输出，则该数字是多项式的解或根。例如，2 是 f(x）= x² – 4， f(x）= x³ - 10x² + 31x – 30，以及无数其他方程。此类多项式可以具有实根或复数根。 （例如，根 x² + 1 是 –1 的平方根，写为 i和–i ——都是复数。）

如果一个数满足整数系数且只有实数根的多项式方程，则该数是完全实数。所有有理数都是完全实数，但一些无理数也是完全实数。例如， $latex sqrt{2}$ 是完全真实的，因为它是 f(x）= x² – 2，只有实根（$latex sqrt{2}$ 及其“姊妹”根 $latex -sqrt{2}$）。但 2 的立方根 $latex sqrt[3]{2}$ 并不完全真实。这是一个解决方案 f(x）= x³ – 2，它还有两个姐妹根，也称为伽罗瓦共轭，它们是复数。

Petsche 和 Noytaptim 证明，不存在最终产生周期循环的无理全实数。相反，0、–1 和 –2 是唯一能做到这一点的全实数。它们代表了两个看似不同世界的属性之间不太可能的交集——数论（整数的研究）和动力系统。 Petsche 和 Noytaptim 在他们的证明中使用了数论的重要结果，强调了这两个领域之间的联系。

数学家们 泽维尔·巴夫 和 莎拉·科赫 发现 另一个不太可能的交叉点。他们表明只有四个完全真实的值 c — 1/4、–3/4、–5/4 和 –7/4 — 生成一种特定的、易于理解的类型（称为抛物线循环）的序列。

伽罗瓦共轭也为发现一种被称为“熵百吉饼”的神秘物体铺平了道路，它是复平面中发光的分形环。熵是随机性的度量；在这种情况下，它衡量预测迭代生成的数字序列的难度 x² + c。 在 他写的最后一篇论文 著名拓扑学家威廉·瑟斯顿 (William Thurston) 在 2012 年去世之前，绘制了对应于近十亿个不同实际值的熵值集。 c - 以及这些熵值的伽罗瓦共轭，这可能是复杂的。蒂奥佐说，熵的概念“只是在实线上，但不知何故你仍然可以看到复杂世界的影子”。

科赫说：“你会看到，它正在组织成令人难以置信的花边分形结构。” “这太酷了。”熵百吉饼只是实二次方程迭代中出现的一种非常复杂的模式。 “我们仍在学习所有这些关于实二次多项式的神奇陈述——小宝石，”她补充道。 “你总是可以回去并对你认为自己非常了解的事情感到惊讶。”