无穷大有多大？

在漫威大片的结尾 复仇者：终结， 托尼·斯塔克预先录制的全息图向他的小女儿道别时说：“我爱你 3,000 次。” 这个感人的时刻与早先的场景相呼应，在该场景中，两人正在进行有趣的睡前仪式，量化他们对彼此的爱。 根据扮演斯塔克的演员小罗伯特唐尼的说法，该台词的灵感来自与自己孩子的类似交流。

该游戏可以是探索大量数字的有趣方式：

“我爱你三千。”

“但我爱你100。”

“好吧，我爱你101！”

这正是“googolplex”在我家成为流行词的原因。 但我们都知道这个论点最终会导致：

“我爱你无限！”

“哦耶？ 我爱你无穷加一！”

无论是在操场上还是在睡前，孩子们早在数学课之前就遇到了无穷大的概念，他们对这个神秘、复杂而重要的概念产生了浓厚的兴趣，这是可以理解的。 其中一些孩子长大后成为对无限着迷的数学家，其中一些数学家正在发现关于无限的新奇事物。

您可能知道某些数字集是无限大的，但是您是否知道某些无穷大比其他无限大？ 而且我们不确定在我们最了解的两者之间是否还有其他无穷大？ 至少一个世纪以来，数学家一直在思考第二个问题，最近的一些工作改变了人们思考这个问题的方式。

为了解决有关无限集大小的问题，让我们从更容易计数的集合开始。 集合是对象或元素的集合，有限集合只是包含有限多个对象的集合。

确定有限集的大小很容易：只需计算它包含的元素数量即可。 由于集合是有限的，你知道你最终会停止计数，当你完成后你知道你的集合的大小。

此策略不适用于无限集。 这是自然数的集合，记为ℕ。 （有些人可能会争辩说零不是自然数，但这种争论并不影响我们对无穷大的研究。）

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,5,...}$

这个套装的尺寸是多少？ 由于没有最大的自然数，因此尝试计算元素的数量是行不通的。 一种解决方案是简单地将这个无限集的大小声明为“无限”，这并没有错，但是当您开始探索其他无限集时，您会意识到它也不完全正确。

考虑一组实数，它们都是可以用十进制展开式表示的所有数字，如 7、3.2、-8.015，或无限展开式，如 $latexsqrt{2} = 1.414213...$。 由于每个自然数也是实数，实数集至少与自然数集一样大，因此也必须是无限的。

但是，将实数集的大小声明为与用于描述自然数大小的“无穷大”相同，这有些令人不满意。 要了解原因，请选择任意两个数字，例如 3 和 7。在这两个数字之间总会有有限多个自然数：这里是数字 4、5 和 6。但它们之间总会有无限多个实数，数字比如 3.001、3.01、π、4.01023、5.666……等等。

值得注意的是，无论任何两个不同的实数彼此有多接近，它们之间总会有无穷多个实数。 这本身并不意味着实数集和自然数集具有不同的大小，但它确实表明这两个无限集有一些根本不同的东西，值得进一步研究。

数学家乔治·康托尔在 19 世纪后期对此进行了研究。 他表明这两个无限集确实有不同的大小。 要理解和欣赏他是如何做到的，首先我们必须了解如何比较无限集。 秘密是无处不在的数学课的主要内容：函数。

有很多不同的方式来思考函数——函数符号，如 $latex f(x) = x^2 +1$，笛卡尔平面中的抛物线图，诸如“获取输入并添加 3”之类的规则——但在这里，我们将函数视为一种将一个集合的元素与另一个集合的元素匹配的方法。

让我们将其中一个集合设为ℕ，即自然数集合。 对于另一组，我们称之为 S，我们将取所有偶数自然数。 这是我们的两组：

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,...}$ $latex S= {0,2,4,6,8,...}$

有一个简单的函数可以将 ℕ 的元素转换为 S: $乳胶 f(x) = 2x$。 这个函数只是将其输入加倍，所以如果我们将 ℕ 的元素视为 $latex f(x)$ 的输入（我们将函数的输入集合称为“域”），输出将始终是 S. 例如，$latex f(0)=0$、$latex f(1) = 2$、$latex f(2) = 4$、$latex f(3) = 6$ 等等。

您可以通过将两个集合的元素并排排列并使用箭头指示函数 $latex f$ 如何将输入从 ℕ 转换为 S.

注意 $latex f(x)$ 是如何准确分配 S 到ℕ的每个元素。 这就是函数的作用，但是 $latex f(x)$ 以一种特殊的方式做到了。 首先， $latex f$ 将所有内容分配到 S ℕ中的某物。 使用函数术语，我们说 S 是函数 $latex f$ 下 ℕ 元素的“图像”。 例如，偶数 3,472 在 S，我们可以找到一个 x 在 ℕ 中，$latex f(x) = 3,472$（即 1,736）。 在这种情况下，我们说函数 $latex f(x)$ 将ℕ映射到 S. 一种更好的说法是函数 $latex f(x)$ 是“满射的”。 无论您如何描述，重要的是：由于函数 $latex f(x)$ 将输入从 ℕ 转换为 S, 什么都没有 S 在这个过程中被遗漏。

关于 $latex f(x)$ 如何将输出分配给输入的第二个特别之处是，ℕ 中的任何两个元素都不会转换为 S. 如果两个数字不同，那么它们的双打就不同； 5 和 11 是 ℕ 中的不同自然数，它们的输出在 S 也不同：10 和 22。在这种情况下，我们说 $latex f(x)$ 是“1-to-1”（也写成“1-1”），我们将 $latex f(x)$ 描述为“内射。” 这里的关键是什么都没有 S 被使用两次：中的每个元素 S 仅与 ℕ 中的一个元素配对。

$latex f(x)$ 的这两个功能以一种强大的方式结合在一起。 函数 $latex f(x)$ 在 ℕ 的元素和 S. $latex f(x)$ 是“onto”这一事实意味着 S 在 ℕ 中有一个伙伴，$latex f(x)$ 是 1 对 1 的事实意味着在 ℕ 中什么都没有 S 在ℕ中有两个伙伴。 简而言之，函数 $latex f(x)$ 将 ℕ 的每个元素与 S.

既是单射又是满射的函数称为双射，双射在这两个集合之间建立了一对一的对应关系。 这意味着一个集合中的每个元素在另一个集合中恰好有一个伙伴，这是表明两个无限集合具有相同大小的一种方式。

由于我们的函数 $latex f(x)$ 是双射，这表明两个无限集 ℕ 和 S 大小相同。 这似乎令人惊讶：毕竟，每个偶数自然数本身都是自然数，所以ℕ包含 S 和更多。 那不应该让ℕ大于 S? 如果我们处理有限集，答案是肯定的。 但是一个无限集可以完全包含另一个，它们仍然可以是相同的大小，就像“无限加 1”实际上并不比普通的旧“无限”更大的爱。 这只是无限集的许多令人惊讶的属性之一。

更大的惊喜可能是有无限的不同大小的集合。 前面我们探讨了实数和自然数的无限集的不同性质，康托尔证明了这两个无限集有不同的大小。 他用他出色的、著名的对角线论证做到了这一点。

由于在任何两个不同的实数之间都有无穷多个实数，因此我们暂时只关注 1 和 XNUMX 之间的无穷多个实数。这些数字中的每一个都可以被认为是（可能是无限的）十进制展开式，就像这样。

这里 $latex a_1、a_2、a_3$ 等只是数字的数字，但我们要求并非所有数字都为零，因此我们的集合中不包含数字零本身。

对角线论证本质上是从一个问题开始的：如果自然数和这些实数之间存在双射会发生什么？ 如果确实存在这样的函数，则这两个集合将具有相同的大小，您可以使用该函数将 1 到 XNUMX 之间的每个实数与自然数进行匹配。 你可以想象一个有序的匹配列表，像这样。

对角线论证的天才之处在于你可以使用这个列表来构造一个不在列表中的实数。 按照以下方式开始逐位构建实数：使小数点后的第一个数字与 $latex a_1$ 不同，使第二个数字与 $latex b_2$ 不同，使第三个数字与 $latex 不同c_3 $，依此类推。

这个实数由它与列表对角线的关系定义。 它在名单上吗？ 它不能是列表中的第一个数字，因为它的第一个数字不同。 它也不能是列表中的第二个数字，因为它的第二个数字不同。 事实上，它不可能是 n此列表中的第 th 号，因为它有不同的 n第位数。 这对所有人都是正确的 n，所以这个介于 1 和 XNUMX 之间的新数字不能在列表中。

但是所有介于 1 和 1 之间的实数都应该在列表中！ 这个矛盾源于假设自然数与 1 和 XNUMX 之间的实数之间存在双射，因此不存在这样的双射。 这意味着这些无限集具有不同的大小。 对函数多做一些工作（见练习）可以证明所有实数的集合与 XNUMX 到 XNUMX 之间的所有实数的集合大小相同，因此包含自然数的实数必须是更大的无限集。

无限集大小的技术术语是它的“基数”。 对角线论证表明实数的基数大于自然数的基数。 自然数的基数写成 $latex aleph_0$，发音为“aleph naught”。 在数学的标准观点中，这是最小的无限基数。

下一个无限基数是 $latex aleph_1$（“aleph one”），一个简单的问题使数学家困惑了一个多世纪：$latex aleph_1$ 是实数的基数吗？ 换句话说，自然数和实数之间是否存在其他无穷大？ 康托尔认为答案是否定的——这一断言后来被称为 连续统假设 ——但他无法证明这一点。 在 1900 年代初期，这个问题被认为非常重要，以至于当大卫希尔伯特将他著名的 23 个重要的数学开放问题列表放在一起时，连续统假设是第一位的。

一百年后，取得了很大进展，但这种进展带来了新的谜团。 1940年著名逻辑学家 库尔特·哥德尔证明 也就是说，在普遍接受的集合论规则下，不可能证明在自然数和实数之间存在无穷大。 这似乎是向证明连续统假设正确迈出的一大步，但二十年后，数学家保罗科恩 证明 不可能证明这样的无穷大不存在！ 事实证明，连续统假设不能以一种或另一种方式证明。

这些结果共同确立了连续统假设的“独立性”。 这意味着普遍接受的集合规则并不足以告诉我们在自然数和实数之间是否存在无穷大。 但它并没有阻止数学家追求理解无穷大，而是将他们引向了新的方向。 数学家现在正在寻找无限集的新基本规则，这些规则既可以解释已知的无穷大，又可以帮助填补空白。

说“我对你的爱与公理无关”可能不像说“我爱你无穷加 1”那么有趣，但也许它会帮助下一代热爱无穷大的数学家睡个好觉。

演习

1. 令 $latex T = {1,3,5,7,…}$，正奇数自然数的集合。 是 T 大于、小于或等于自然数集ℕ？

2. 找出自然数集ℕ和整数集$latexmathbb{Z}={…,-1,-1,-3之间的一一对应关系， …}$。

3. 找到一个函数 $latex f(x)$，它是介于 1 和 XNUMX 之间的实数集与大于零的实数集之间的双射。

4. 找到一个函数，它是介于 1 和 XNUMX 之间的实数集与所有实数集之间的双射。

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