简单的数学如何发挥作用| 广达杂志

想象一下，当你看到前方有问题时，你正开着一辆无人驾驶汽车在街上行驶。 一名亚马逊送货司机的货车驶过一辆并排停放的 UPS 卡车时，才意识到自己无法通过。 现在他们被困住了。 你也是。

街道太窄，U 型车无法驶出，因此您的人工智能增强型汽车会启动三点转弯。 首先，汽车沿着一条弯曲的路径驶向一个路边。 一旦到达那里，它就会转向另一个方向并倒回到对面的路边。 然后，它将方向盘朝第一个弯曲路径的方向转回，向前行驶并远离障碍物。

这种简单的中间转弯几何算法可以帮助您在紧张的情况下绕过。 （如果您曾经平行停车，您就会知道这种来回摆动可以为您带来什么。）

这里有一个有趣的数学问题，关于你需要多少空间来转动你的汽车，一百多年来，数学家们一直在研究这个问题的理想化版本。 它始于 100 年，当时日本数学家 Sōichi Kakeya 提出了一个听起来有点像我们的交通拥堵的问题。 假设你有一根长度为 1917 的无限细针。将针旋转 1 度并将其返回到原始位置的最小区域的面积是多少？ 这被称为挂谷针问题，数学家们仍在研究它的变体。 让我们看一下使挂谷的针问题如此有趣和令人惊讶的简单几何结构。

与许多数学问题一样，这个问题涉及一些简化的假设，使其不太现实，但更易于管理。 例如，当您开车时，汽车的长度和宽度很重要，但我们假设针的长度为 1，宽度为零。 （这意味着针本身的面积为零，这对于我们解决问题起着重要作用。）此外，我们假设针与汽车不同，可以绕其前端、后端旋转，或之间的任意点。

目标是找到允许针转动 180 度的最小区域。 找到满足一组特定条件的最小事物可能具有挑战性，但一个好的开始方法是寻找满足这些条件的任何事物，并看看在此过程中您可以学到什么。 例如，一个简单的答案是只需将针绕其终点旋转 180 度，然后将其向上滑动即可。 这会将针返回到其原始位置，但它现在指向相反的方向，正如挂谷的针问题所要求的那样。

转弯所需的区域是一个半径为1的半圆，其面积为$latex A = frac{1}{2} pi r^2 = frac{1}{2} pi (1)^2 = frac{ 1}{2} pi = frac{pi}{2}$。 所以我们找到了一个有效的区域。

利用神奇的数学针绕任意点旋转的能力，我们可以做得更好。 让我们围绕中点旋转它，而不是围绕其端点旋转它。

您可以将其称为挂谷指南针：我们的指针一开始指向北方，但旋转后它位于同一位置，但指向南方。 该区域是一个半径为 $latex frac{1}{2}$ 的圆，因此其面积为 $latex A=pi r^2 = pi (frac{1}{2})^2 = pi frac{1}{ 4}=压裂{pi}{4}$。 这是我们第一个区域的一半面积，所以我们正在取得进展。

接下来去哪里？ 我们可以从无人驾驶汽车的困境中获得灵感，并考虑使用诸如三点转向之类的指针。 这实际上效果很好。

使用这种技术的针扫过的区域称为三角肌，它也满足挂谷的要求。 计算它的面积需要的不仅仅是我们在这里讨论的基本几何形状（参数曲线的知识会有所帮助），但事实证明，这个特定三角肌的面积（被长度为 1 的线段扫过的面积）恰好是 $latex压裂{pi}{8}$。 现在我们有一个更小的区域，我们可以在其中扭转挂谷的针，你可能会认为这是我们能做的最好的事情。 挂谷自己也这么认为。

但当俄罗斯数学家艾布拉姆·贝西科维奇发现你可以做得更好时，这个针问题发生了巨大的转变。 他想出了一个程序来削减该区域不必要的部分，直到它像他想要的那样小。

这个过程技术性强且复杂，但基于贝西科维奇想法的一种策略依赖于两个简单的想法。 首先，考虑下面的直角三角形，高为 1，底为 2。

目前，我们将忘记完全转动针，而只关注一个简​​单的事实：如果我们将一根长度为 1 的针放在顶部顶点，则三角形足够大，可以让针旋转完整 90 度从一侧到另一侧的度数。

由于三角形的面积为 $latex A=frac{1}{2}bh$，因此该三角形的面积为 $latex A=frac{1}{2} 乘以 2 乘以 1 = 1$。

现在，这是第一个重要的想法：我们可以在保留 90 度旋转的同时减少该区域的面积。 策略很简单：我们将三角形从中间切开，然后将两半推到一起。

这个新图形的面积必须小于原始图形的面积，因为三角形的部分现在重叠了。 事实上，计算图形的面积很容易：它只是边 1 的平方的四分之三，因此面积为 $latex A = frac{3}{4}$，小于我们从三角形开始。

我们仍然可以将针指向与以前相同的方向。 只有一个问题：原始角度已分成两部分，因此这些方向现在分为两个单独的区域。

如果指针位于新区域的左侧，我们可以将其在南和东南之间旋转 45 度，如果它在右侧，我们可以将其在南和西南之间旋转 45 度，但由于这两个部分是分开的，我们似乎无法像以前那样将其旋转 90 度。

这就是第二个重要想法的用武之地。有一种偷偷摸摸的方法可以将针从一侧移动到另一侧，并且不需要太多的面积。 在国际象棋中，您可能知道马的走法是 L 形。 好吧，我们的针将以 N 形移动。

这是如何完成的。 首先，指针沿着 N 的一侧向上滑动。然后它旋转到沿对角线指向并向下滑动。 然后它再次旋转，并通过向上滑动 N 的另一侧来完成其行程。

乍一看，这个 N 形动作可能看起来不太起眼，但它却做了一些非常有用的事情。 它允许针从一条平行线“跳”到另一条平行线，这将帮助我们将针从一个区域移动到另一个区域。 更重要的是，它不需要太多面积即可实现。 事实上，您可以根据需要使其占用尽可能小的面积。 原因如下。

回想一下，我们的针宽度为零。 因此，针移动的任何直线，无论是向前还是向后，面积都为零。 这意味着沿着 N 形向上、向下或对角线移动针所需的区域将由面积为零的块组成。

这样就只剩下 N 形角上的旋转。

这些动作确实需要空间。 您可以在每个角上看到一个圆的小扇形。 但这里有一个狡猾的部分：你可以通过拉长 N 来缩小这些区域。

圆扇形面积的公式为 $latex A = frac{theta}{360} pi r^2$，其中 $latex theta$ 是扇形角度的度量单位（以度为单位）。 无论 N 有多高，扇形的半径始终为 1：这就是针的长度。 但随着 N 变高，角度会缩小，这会减少扇形的面积。 因此，您可以通过根据需要拉伸 N 来使附加区域尽可能小。

请记住，我们可以通过将三角形区域分成两部分并使各部分重叠来减少三角形区域的面积。 问题在于，这将 90 度角分成了两个独立的部分，导致我们无法将针旋转完整的 90 度。 现在我们可以通过添加适当的 N 形来解决这个问题，以确保针有从一侧到另一侧的路径。

在这个更新的区域中，针仍然可以像以前一样旋转完整的 90 度，只是现在分两个阶段进行。 首先，针旋转 45 度并与左侧的垂直边缘对齐。 接下来，它沿着N形移动到达另一边。 一旦到达那里，就可以自由地转动另一个 45 度。

这会将针移动 90 度，并保持其转动，您只需添加该区域的旋转副本即可。

通过添加适当的 N 个形状，针可以从一个三角形半岛跳到下一个三角形半岛，一点一点地自行旋转，直到完全旋转一圈，就像汽车执行三点转弯一样。

细节中有更多魔鬼般的数学，但这两个想法——我们可以通过将其切片并移动它来不断减少原始区域的面积，同时确保我们可以使用任意小的 N 形状从一块到另一块——帮助我们在不断缩小的区域中移动指针，最终可以达到您想要的大小。

构建此类区域的更标准方法是从等边三角形开始，并使用“Perron 树”，这是一种巧妙的方法，可以将三角形切片，然后将各部分拉伸和滑动回到一起。 结果是相当惊人的。

最近，数学家们 取得了进展 这个老问题的新变体，设置在更高的维度和不同的尺寸概念。 我们可能永远不会看到人工智能驱动的汽车走出挂谷针尖般的转弯，但我们仍然可以欣赏它近乎虚无的美丽和简单。

演习

1. 作为挂屋针组的最小等边三角形的面积是多少？

2. 通过使用“鲁洛三角形”，您可以比练习 1 中的等边三角形做得更好一点，“鲁洛三角形”是由三个重叠的圆扇形形成的区域。 有效的最小鲁洛三角形的面积是多少？